В ящике 100 деталей,10 деталей бракованые. Наугад взяли 4 детали. Найти вероятность того, что среди деталей а) нет бракованных
Общее количество способов вынуть 4 детали из 100 равно числу сочетаний из 100 по 4:
C(100,4) = 100! / (4! · (100 — 4)!) = 97 · 98 · 99 · 100 / (1 · 2 · 3 · 4) = 3921225.
Количество способов вынуть 4 годные детали из 90 равно:
C(90,4) = 90! / (4! · (100 — 4)!) = 87 · 88 · 89 · 90 / (1 · 2 · 3 · 4) = 2555190.
Количество способов выбрать 0 негодных деталей из 10 равно:
C(10,0) = 1.
a) Вероятность вынуть 4 годные детали равна:
P(A) = C(90,4) · C(10,0) / C(100,4) = 2555190 · 1 / 3921225 = 0,652.
Количество способов вынуть 0 годных деталей из 90 равно:
C(90,0) = 1.
Количество способов вынуть 4 бракованные детали из 10 равно:
C(10,4) = 10! / (4! · (10 — 4)!) = 7 · 8 · 9 · 10 / (1 · 2 · 3 · 4) = 210.
б) Вероятность вынуть 4 бракованные детали равна:
P(B) = C(10,4) · C(90,0) / C(100,4) = 210 · 1 / 3921225 = 0,00005.
Ответ: Вероятность вынуть 4 годные детали 0,652, а 4 бракованные 0,00005.
Решение задач про выбор деталей
В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.
*Поясню, что значит «примерно»: вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно «стандартными», второй — «бракованными» и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.
Сначала найдем общее число исходов — это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).
Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных — это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных — $C_
Применяя классическое определение вероятности — поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о выборе деталей/изделий
Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?
Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.
Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.
Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_<12>^4$.
Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 — стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.
Нужная вероятность равна:
Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.
Подставляем в формулу (1) значения: $K=16$ стандартных деталей, $N-K=7$ бракованных деталей, итого $N=16+7=23$ всего деталей в ящике. Из ящика извлекают $n=6$ деталей, из них должно быть $k=4$ стандартных и соответственно, $n-k=6-4=2$ бракованные. Получаем нужную вероятность:
Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.
Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline = $ (Все три выбранные изделия стандартные).
Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:
Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.
Подставляем в формулу (1) значения: $K=8-3=5$ годных деталей, $N-K=3$ бракованных, $N=8$ всего деталей у мастера. Выбираем для замены $n=2$ детали, и обе они должны оказаться годными, то есть: $k=2$, $n-k=0$. Приходим к ответу:
В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей
Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.
решение вопроса
Связанных вопросов не найдено
- Все категории
- экономические 43,679
- гуманитарные 33,657
- юридические 17,917
- школьный раздел 612,440
- разное 16,911
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Срочно! Теория вероятность! Плиз!
,В ящике содержится 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных; нет годных?
Решение.
Найдем сначала вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных.
Обозначим за А – событие, когда среди извлеченных деталей нет бракованных.
Посчитаем число возможных случаев n и число случаев m, благоприятных событию А.
n – это количество способов выбрать 4 детали из 100 имеющихся, т. е.:
С4/100
m – это количество способов выбрать 4 детали из 90 не бракованных, т. е.:
С4/90
Тогда по классической формуле вероятности:
P=m/n (C4/90)/С4/100 = 0,651
Найдем вероятность того, что среди извлеченных деталей нет годных.
Обозначим за В – событие, когда среди извлеченных деталей нет годных.
Тогда в этом случае m – это количество способов выбрать 4 детали из 10 бракованных, т. е.:
С4/10
Тогда по классической формуле вероятности:
P=(C4/10)/(c4/100)= 0,001
Ответ: 0.651; 0.001
Вероятность достать первой годную — 90\100
вторую годную 89\99
третью годную 88\98
четвертую годную 87\97
Все четыре годных (нет бракованных) 90\100 * 89\99 * 88\98 * 87\97=0,65 (65%)
Вероятность достать первую брак — 10\100
вторую брак — 9\99
третью брак — 8\98
четвертую брак — 7\97
Все четыре бракованных (нет годных) 10\100*9\99*8\98*7\97=5.3 * 10^(-5) (0.005%)