Что такое inf в математике

Infimum/Supremum

The infimum and supremum are concepts in mathematical analysis that generalize the notions of minimum and maximum of finite sets. They are extensively used in real analysis, including the axiomatic construction of the real numbers and the formal definition of the Riemann integral. The limits of the infimum and supremum of parts of sequences of real numbers are used in some convergence tests and, in particular, in computations of domains of convergence of power series.

Definition
Properties
Completeness of the Real Numbers
Lim inf and Lim sup
Application to Power Series

Definition

The infimum and supremum can be defined in general contexts (e.g. partially ordered sets), but they are most commonly used in the context of subsets and functions of real numbers.

Let $ S $ be a subset of the real numbers $ \mathbb R $. Then $ \text S $ is the greatest lower bound of the elements of $ S $, if it exists; that is, $ \text S $ is the largest real number $ t $ such that $ t \le s $ for all $ s \in S $. Similarly, $ \text ^{S $ is the least upper bound of the elements of $ S $, if it exists; that is, $ \text ^{S $ is the smallest real number $ r $ such that $ s \le r $ for all $ s \in S $.}}

Remarks:

(1) If $ S $ is finite, then $ \text S $ and $ \text ^{S $ are just the minimum and maximum elements of $ S, $ respectively.}

(2) Note that $ \text S $ and $ \text ^{S $ may not lie in $ S $ in general. For instance, if $ S = (0,1) $, then $ \text S = 0 $ and $ \text ^{S = 1. $}}

(3) The infimum and supremum are unique if they exist.

(4) If $ S $ does not have a lower bound, it is reasonable to write $ \text S = -\infty. $ If $ S $ does not have an upper bound, it is reasonable to write $ \text ^{S = \infty. $}

(5) The infimum and supremum are related via $ \text S = -\text ^{(-S),$ where $ -S = \< -s \colon s \in S \>. $ This is often convenient for proofs.}

Properties

The following property is a useful characterization of the infimum and supremum of a set of real numbers.

Let $ S $ be a set of real numbers.
Suppose $ x $ is a lower bound for $ S. $ Then $ x = \text S $ if and only if, for every $ \epsilon > 0 $, there is an $ s \in S $ such that $ s < x+\epsilon$.
Suppose $ y $ is an upper bound for $ S. $ Then $ y = \text ^{S $ if and only if, for every $ \epsilon > 0 $, there is an $ s \in S $ such that $ s > y-\epsilon$.}

The proofs of the two statements are more or less identical $($and can be formally translated to each other by remark (5) above$).$ Here is the proof of the first statement. If $ x = \text S,$ then $ x+\epsilon $ cannot be a lower bound for $ S $, so there must be an element of $ S $ that is bigger than it. On the other hand, if $ x $ is a lower bound that is not the infimum, then there is a larger lower bound $ x’ $ for $ S $. Let $ \epsilon = x’-x $; then there is no $ s \in S $ such that $ s< x+\epsilon = x’.\ _\square $

The concepts of infimum and supremum can be extended to functions on the real numbers:

(The proof is left as an exercise.)

Completeness of the Real Numbers

Constructing the real numbers from scratch is a standard topic in introductory analysis. One way is to start with the integers, then create the rational numbers, and then pass to the real numbers by viewing them as limits of certain types of sequences of rational numbers. This process is called completion, as in «$\mathbb R$ is the completion of $ \mathbb Q $.»

The fundamental property that the real numbers satisfy is called completeness. There are several formulations of this property that are logically equivalent. One of them is the least upper bound property:

Every nonempty subset of the real numbers with an upper bound has a supremum.

If one uses the notation $ \text ^{S = \infty $ for sets with no upper bound as in remark (4) above, this can be restated «every nonempty subset of the real numbers has a supremum (which may be $ \infty$).»}

Note that this property is not true for the rational numbers: the set of all rational numbers less than $ \sqrt <2>$ has an upper bound that is rational (e.g. 2), but there is no least rational upper bound $\big($there are rational numbers less than $ \sqrt <2>+ \epsilon$ for any $ \epsilon > 0\big). $

The least upper bound property implies many of the basic facts about the real numbers that are used in analysis.

The intermediate value theorem states that if $ f$ is a continuous function on $ [a,b]$ and $ y$ is any number between $ f(a) $ and $ f(b),$ then there is some $ c \in [a,b] $ such that $ f(c) = y. $

To see that this theorem follows from the least upper bound property, suppose without loss of generality that $ f(a) \le f(b), $ and consider \[ S = \ < x \in [a,b] \colon f(z) \le y \text< for all >z \in [a,x] \>. \] Then $ S $ is nonempty since $ a \in S,$ and it has an upper bound $($namely $ b), $ so there is a least upper bound. Call that least upper bound $ c. $

Suppose $ f(c) > y.$ Then let $ \epsilon = f(c) — y > 0.$ By continuity, there is a $ \delta >0 $ such that $ |x-c|<\delta $ implies $ |f(x)-f(c)|<\epsilon. $ But $ |f(x)-f(c)|<\epsilon $ implies $ f(x) > y $ for all $ x $ in that range, so no $ x$’s in that range lie in $ S. $ So $ c-\delta $ is an upper bound for $ S $ as well, which is a contradiction of the «leastness» of $ c.$

Suppose $ f(c) < y $. Then let $ \epsilon = y-f(c) > 0.$ By continuity, there is a $ \delta>0 $ such that $ |x-c|<\delta $ implies $ |f(x)-f(c)|<\epsilon. $ But $ |f(x)-f(c)|<\epsilon$ implies $ f(x) < y $ for all $ x $ in that range, so every $ x $ in that range lies in $ S. $ So, for instance, $ x = c+\frac<\delta>2 $ is in $ S $, which is a contradiction since $ c $ is an upper bound.

The conclusion is that $ f(c)=y,$ as desired.

Lim inf and Lim sup

Let $ x_n $ be the sequence $ \frac12, -\frac13, \frac14, -\frac15, \ldots$. Then $ \text S_k = -\frac1<2\ell+1>,$ where $ \ell = \left\lceil \frac k2 \right\rceil, $ and $ \text ^{S_k = \frac1<2m>, $ where $m = \left\lfloor \frac2 \right\rfloor. $ The limit of both of these expressions as $ k\to\infty $ is $ 0, $ which is also the limit of the sequence. So}

\[\liminf_ x_n = \limsup_ x_n = \lim_ x_n = 0.\]

Note that $ \text x_n = -\frac13 $ and $ \text ^{x_n = \frac12. $}

Let $ x_n $ be the sequence

What are the values of

\[\inf x_n, \ \ \liminf_ x_n, \ \ \lim_ x_n, \ \ \limsup_ x_n, \ \ \sup x_n \, ?\]

Notation: In the choices, $\text $ means «does not exist.»

Properties:

(1) Unlike the limit of the sequence, the $ \liminf $ and $ \limsup $ always exist, if we allow $ -\infty$ and $+\infty$ as possible values. This is because the sequence $ t_k = \text S_k $ is a non-decreasing sequence $($similarly the $ \text ^{$ sequence is non-increasing$),$ so its limit either exists or equals $ \pm \infty $.}

(2) The limit $ \lim\limits_ x_n$ exists if and only if $ \liminf\limits_ x_n = \limsup\limits_ x_n; $ if the limit exists, all three values are equal.

(3) If $ \limsup\limits_ x_n \ne \infty, $ then it is the smallest real number $ s $ such that, for any $ \epsilon > 0,$ only finitely many elements of the sequence are $ > s+\epsilon.$ Note that it may not be the case that only finitely many elements of the sequence are $ > s. $ $\big($For instance, $ \limsup\limits_ \frac1 = 0.\big) $ So «every number larger than the $ \limsup$ is an eventual upper bound.» Similarly, every number smaller than the $ \liminf$ is an eventual lower bound.

Let $ p_n $ be the $n^\text
$ prime number. Then

\[\limsup\limits_ (p_-p_n) = \infty.\]

Proof: $ k! + 2, k!+3, \ldots, k!+k $ are all composite, for any $ k \ge 2. $ So for any $ k,$ there are infinitely many values of $ n $ such that $ p_-p_n \ge k-1 $. $($Take $ p_n $ to be the largest prime less than $ r!+2$, where $ r\ge k $; then the next prime is at least $ r-1 $ integers away.$)$ So $ k-1 $ cannot be an eventual upper bound, so it is not larger than the $ \limsup.$ Since this is true for all $ k $, the result follows.

On the other hand,

\[\liminf\limits_ (p_-p_n)\]

is still unknown. The twin primes conjecture is equivalent to the statement that it equals $ 2,$ but currently all that is known is that it is at most $ 246.$ (Until 2013, it was not even known that it was finite!)

Application to Power Series

Let $ \sum\limits_^\infty a_nz^n $ be a power series with complex coefficients. Let

\[R = \frac1 <\limsup_|a_n|^<1/n>>.\]

$($If the denominator is $ 0, $ let $ R=\infty.$ If the denominator is $ \infty,$ let $ R=0.)$ Then the series converges if $ |z|<R $ and diverges if $ |z|>R$. $($If $ R=\infty,$ the series always converges.$)$

In this context, $ R $ is called the «radius of convergence» for the series.

Точные грани числовых множеств

Множество X вещественных чисел (X ⊂ $\mathbb$) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ $\mathbb$ называется ограниченным снизу, если
$$
\exists C’\in\mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию \eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>$\Leftrightarrow\left\ <\exists C’\in \ \mathbb\ \exists C\in\mathbb: \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>$.

По условию $B=\left\<\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>$. Поэтому
$$
\rceil B=\left\<\forall C \ \in \ \mathbb: \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C < C\right\>.\nonumber
$$

Определение точной верхней и нижней грани.

Пусть числовое множество X ограничено сверху, тогда выполняется условие \eqref, а число C является верхней гранью множества X. Очевидно, что любое число, большее C, также является верхней гранью множества X. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней, среди которых особую роль имеет наименьшая. Речь идет о числе M, которое обладает следующими свойствами:

M — верхняя грань множества X;
любое число M’ меньшее M, не является верхней гранью множества X.

Это число M будем в дальнейшем называть точной верхней гранью множества X. Исходя из вышесказанного, сформулируем определение точной верхней грани множества.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

$$\forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ M\label$$
$$\forall\alpha < M \ \exists x_\alpha\in X: \ x_\alpha > \alpha\label$$

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x <2, то sup X = 2 ∉ X. Если X₁ — объединение множеств X и числа 3, то sup X₁=3 ∈ X₁.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

$$\forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ m\nonumber$$
$$\forall\beta > m \ \exists x_\beta\in X: \ x_\beta < m\nonumber$$

Существование точной верхней (нижней) грани.

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
все элементы множества X отрицательны.

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref. Пусть C=c₀,c₁c₂…c_n…; тогда c₀ — неотрицательное целое число, причем C < c₀+1, где c₀+1 = n₀∈ $\mathbb$. Следовательно, $$\forall x\in X \ \rightarrow \ x < C < n_0.\label$$
Если x=a₀,a₁a₂…=a₀,n> — произвольный элемент множества X, то из \eqref следует, что 0 ≤ a₀ < n₀. Рассмотрим множество E целых частей элемента множества X. Так как E — конечное непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве есть наибольший элемент $<\overline a>_0$. Обозначим,$$X_0=\left\_0,\left\\right\>.\nonumber$$

Множество X₀ состоит из всех тех элементов множества X, у которых целая часть равна $<\overline a>_0$; множество X₀ непустое и X ⊃ X₀.

Пусть E₁ — множество первых десятичных знаков элементов множества X₀. Так как множество E₁ конечно (его элементы могут быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и непусто, то существует $<\overline a>_1=\underset \ a_1$ — наибольший из первых десятичных знаков элементов множества X₀.

Продолжая эти рассуждения, построим последовательность <X_k> непустых множеств и последовательность десятичных знаков $<\overline a>_k$ таких, что X ⊃ X₀ ⊃ X₁ ⊃ … X ⊃ X₀ ⊃ …,$$<\overline a>_k=\underset> \ a_k,\nonumber$$

Рассмотрим десятичную дробь $\overline x=<\overline a>_0,<\overline a>_1<\overline a>_2…=<\overline a>_0,\left\<<\overline a>_n\right\>$. Покажем, что x = sup X, то есть что

$$\forall x\in X \ \rightarrow \ x \ \leq \ \overline x,\label$$

$$\forall x’ < \overline x \ \exists\widetilde x\in X: \ \widetilde x > x’.\label$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a₀,<a_n>. Чтобы проверить выполнение условия \eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$\exists m: \ x\in X_, \ x\not\in X_\label$$

Из \eqref следует, что $a_0 < <\overline a>_0$ и поэтому $x < \overline x$. Если выполнено условие \eqref, то $a_k=<\overline a>_k$ при k = 0, 1, 2,…, откуда, по определению числа $\overline x$, справедливо равенство $x=\overline x$. Наконец из \eqref, согласно определению множества X_m и числа $x=\overline x$, следует, что

и поэтому $x < \overline x$. Таким образом, неравенство \eqref доказано.

Проверим условие \eqref. Если x’ < 0, то \eqref имеет место при любом $\widetilde x\in X$, т.к. все элементы множества X неотрицательны.

Пусть $0 \ \leq \ x’ \ \leq \ \overline x$ и $x’=a’_0,\left\$. Тогда либо $a’_0 < <\overline a>_0$, либо $a’_k=a_k \ при \ k=\overline<0, \ m-1>,a’_m < <\overline a>_m$. В первом случае в качестве $\widetilde x$ можно взять любой элемент множества X₀, так как из условий $a’_0 < <\overline a>_0$ и $\widetilde x\in X_0$ следует, что

$$x’ < \widetilde x=<\overline a>_0,a_1…a_n… \ \leq \ \overline x, \ \ \ \ \ то есть \ \ \ \ \ x’ < \widetilde x \ \leq \ \overline x \ \ \ \ \ и \ \ \ \ \ x\in X_0\subset X.\nonumber$$

Во втором случае условию \eqref удовлетворяет произвольный элемент $\widetilde x\in X_m$, так как

Таким образом, $x’ < \widetilde x \ \leq \ \overline x$, где $\widetilde x\in X_m\subset X$. Условие \eqref проверено.

Итак, условия \eqref и \eqref выполняются, то есть x = sup X. То есть мы доказали предположение, что существует точная верхняя грань при предположении, что все элементы множества X неотрицательны.

Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный элемент x₀ ≥ 0, то множество $\left\<\widetilde X=x\in X: \ x \ \geq \ x_0\right\>$ состоит из неотрицательных чисел, причем $sup \ X=sup \ \widetilde X$. Поэтому непустое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде

Пусть $a_0^\ast$ — наименьшее из чисел a₀ в записи \eqref для всех x ∈ X, $a_1^\ast$ — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых $a_0=a_0^\ast$; $a_2^\ast$ — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых $a_0=a_0^\ast, \ a_1=a_1^\ast$ и т.д. Указанным способом определяется число $x^\ast=-a_0^\ast,a_1^\ast…a_n^\ast…=-a_0^\ast,\left\$. По аналогии с первым случаем доказывается, что число x * является точной верхней гранью множества.

Если X и Y — непустые множества вещественных чисел такие, что для любого x ∈ X и любого y ∈ Y справедливо неравенство $$x \ \leq \ y,\label$$ то существуют sup X и inf Y, причем $$\forall x\in X \ и \ \forall y\in Y \ \rightarrow \ x \ \leq \ sup \ X \ \leq \ inf \ Y \ \leq \ y.\label$$

Доказательство

Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества Y в силу \eqref, то по теореме 1 существует sup Y. Аналогично из ограниченности непустого множества Y снизу любым элементом множества X следует существование inf Y. По определению точных граней $$\forall x\in X \ \rightarrow \ x \ \leq \ sup \ X, \ \forall y\in Y \ \rightarrow \ inf \ Y \ \leq \ y.\label$$ Из \eqref следует, что для доказательства утверждения \eqref достаточно показать, что $$sup \ X \ \leq \ inf \ Y.\label$$Из неравенства \eqref следует, что каждое число y ∈ Y является верхней гранью множества X. Точная верхняя грань множества X, то есть число sup X, есть наименьшая из всех верхних граней множества X. Следовательно, для любого y ∈ Y выполняется неравенство $$sup \ X \ \leq \ y.\label$$

Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.

Пусть ξ — любое вещественное число такое, что $$sup \ X \ \leq \ \xi \ \leq \ inf \ Y\label$$ Тогда из \eqref и \eqref следует неравенство $$x \ \leq \ \xi \ \leq \ y,\label$$ которое справедливо для любого x ∈ X и любого y ∈ Y. Про число ξ говорят, что оно отделяет множество X от множества Y. Поэтому теорему 2 часто называют теоремой об отделимости числовых множеств.

Супремум и инфимум числовых множеств.

Выше было описано правило, устанавливающее признак равенства двух вещественных чисел. Опишем теперь правило, позволяющее установить, какое из двух вещественных чисел больше.

Пусть оба вещественных числа имеют знак +.

Найдем первую по порядку цифру в этих числах, которые не равны друг другу. Пусть это будет цифра с номером n, т.е.

(заметим,что символами математики это записывается так: ). Тогда, если , то считаем, что a>b, а если , то a<b.

Если вещественные числа а и b разных знаков, то большим считается число, имеющее знак +.

Пусть оба числа имеют знак –. Назовем модулем вещественного числа это же число, но со знаком +.

Тогда, если |a|>|b| то считаем, что а<b, если же |a|<|b| то считаем, что а>b.

Это правило будет необходимо нам ниже.

Определение. Множество, элементами которого являются вещественные числа, называется числовым множеством.

Числовые множества мы будем обозначать , где под х будут пониматься вещественные числа.

Для того, чтобы все дальнейшие определения и теоремы записывались в принятой математической форме, введем специальные значки, которые носят название кванторов. Их два:

Знакназывается “квантор общности” и читается “для каждого” ( есть перевернутая буква А из английского выражения “for All”).

Знак называется “квантором существования” и читается “существует” ( есть перевернутая буква Е из английского слова “Exist”). Вариантом этого квантора является знак!, который читается “существует единственный” или “существует один и только один”.

А теперь перейдем к определениям.

Определение 1. Числовое множество называется ограниченным сверху, если (читается: существует такое , что для любого выполнено условие x меньше либо равно M) .Число М называется верхней гранью числового множества .

Определение 2. Числовое множество называется ограниченным снизу, если . Число m называется нижней гранью числового множества .

Определение 3. Числовое множество называется ограниченным, если .

Очевидно,что если, скажем, существует одна верхняя грань, то их бесконечно много: если, например, М – верхняя грань числового множества ,то М+1, М+2, М+3 и т.д. – также верхние грани для .

Определение 4. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества (обозначение sup).

Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества (обозначение inf).

Эти понятия столь важны, что опишем их в других терминах.

Sup определяется двумя свойствами:

Первое свойство означает, что sup – верхняя грань, т.е. все элементы не превосходят sup.

Второе свойство означает, что любая попытка уменьшить эту верхнюю грань приводит к появлению элемента из , который окажется больше .

Говоря образно, sup это планка, перепрыгнуть которую нельзя, но любая попытка опустить эту планку хоть чуть-чуть приводит к тому, что кто-то ее преодолевает.

Аналогично, inf определяется двумя свойствами:

Заметим, что сами sup и inf могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству x.

Теперь мы в состоянии доказать важнейшую теорему этого раздела и одну из важнейших теорем всего мат. анализа.

Теорема о существовании супремума и инфимума.

Если числовое множество не пусто и ограничено сверху, то у него существуетsup.

Если числовое множество не пусто и ограничено снизу, то у него существуетinf.

Мы докажем эту теорему только для sup при одном дополнительном предположении – в множестве имеются положительные числа. Доказательство разбивается на три части.

Процедура построения sup .

Пусть М – верхняя грань для , т.е. . Проделаем следующее построение:

а) Выбросим из множества все отрицательные числа.

б) У оставшихся чисел выпишем те цифры , которые стоят перед запятой. Множество этих цифр конечно, т.к. этих цифр не более чем [M] (целая часть М). Обратите внимание, что именно в этом месте используется ограничение теоремы – существование верхней грани. Если бы верхней грани не существовало, то множество было бы бесконечным.

В силу конечности множества из этих цифр до запятой можно выбрать самую большую -–ведь их же конечное число. Обозначим самую большую из этих цифр через .

в) Выбросим из все те числа, у которых цифра до запятой меньше. У оставшихся чисел выпишем первую цифру после запятой. Этих цифр не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через .

г) Выбросим из все те числа, у которых первая цифра после запятой меньше . У оставшихся чисел выпишем вторую цифру после запятой. Этих цифр не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через .

д) Выбросим из все те числа, у которых…

Повторяя эту операцию до бесконечности мы построим число

Покажем,что и естьsup.

Проверим первое свойство sup .

Возьмем любое . Если х имеет знак –, то ясно, что .

Пусть х имеет знак +. Тогда

Сравним . Вспомним, что было самым большим из . Поэтому может быть всего два варианта: либо , либо . В первом случае и дальнейшая проверка ни к чему.

Если же , то сравним . Опять-таки по построению возможны два варианта: либо и тогда и дальнейшая проверка ни к чему, либо .

Если , то сравним. Опять-таки по построению возможны два варианта: либо и тогда и дальнейшая проверка ни к чему, либо .

Продолжая этот процесс и дальше, получим, что возможны два следующих варианта.

а) Найдется какое-то n, для которого . Тогда .

б) Для всех n . Тогда . Поэтому всегда и первое свойство супремума выполнено.

Проверка второго свойства супремума.

Заметим,что второе свойство можно записать так: . Возьмем положительное :

Так как , то найдется такое n,что

но вспомним процедуру построения. На n-м шаге после выбрасывания во множестве оставались лишь те числа, для которых . Любое из этих чисел будет больше x’ (т.к. ), но естественно, меньше или равно . Поэтому любое из этих чисел удовлетворяет второму свойству супремума. 

Подумайте сами, что надо изменить в процедуре построения, если во множестве есть только отрицательные числа.

Ограниченные множества. Супремум и инфимум | матан #002

Определение. Множество $X\subset\mathbb$ называется ограниченным сверху, если существует число $b$ такое, что $$\forall\,x\in X\ \to\ x\le b.$$ При этом говорят, что число $b$ ограничивает множество $X$ сверху.

Определение. Множество $X\subset\mathbb$ называется ограниченным снизу, если существует число $a$ такое, что $$\forall\,x\in X\ \to\ x\ge a.$$ При этом говорят, что число $a$ ограничивает множество $X$ снизу.

Определение. Множество $X\subset\mathbb$ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение. Множество $X\subset\mathbb$ называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху.

Определение. Множество $X\subset\mathbb$ называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу.

Определение. Множество $X\subset\mathbb$ называется неограниченным, если оно не является ограниченным.

Определение. Верхней гранью непустого множества $X\subset\mathbb$ называется число $b$, удовлетворяющее условиям:

$\forall\,x\in X\ \to\ x\le b$;
$\forall\,b'<b\ \to\ \exists\,x\in X:\ x > b’$
($\forall\,\varepsilon>0\ \to\ \exists\,x\in X:\ x > b — \varepsilon$).

Определение. Нижней гранью непустого множества $X\subset\mathbb$ называется число $a$, удовлетворяющее условиям:

$\forall\,x\in X\ \to\ x\ge a$;
$\forall\,a’> a\ \to\ \exists\,x\in X:\ x < a’$
($\forall\,\varepsilon>0\ \to\ \exists\,x\in X:\ x < a + \varepsilon$).

Верхняя и нижняя грани множества $X$ обозначаются символами $\sup X$, $\inf X$ соответственно.

Теорема (единственности). Числовое множество не может иметь больше одной верхней грани.

Доказательство. Допуская противное, предположим, что каждое из чисел $b$ и $b’$ ($b\ne b’$) является верхней гранью множества $X$. Пусть, для определённости, $b’ < b$. Но тогда $b’$ не является верхней гранью множества $X$.

Получили противоречие.Теорема доказана.

Замечание. Заметим, что в условиях теоремы не предполагается существование верхней грани. Теорема утверждает, что если верхняя грань существует, то она единственна. Значительно более глубокой является теорема о существовании верхней грани.

Теорема (о существовании верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет верхнюю грань.

Доказательство. Пусть $A$ — непустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое множество $B$, элементами которого являются все числа $b$, ограничивающие множество $A$ сверху. Тогда $$ \forall\,a\in A,\ \forall\,b\in B \ \to \ a\le b. $$ Из аксиомы непрерывности следует, что для некоторого $c\in\mathbb$ $$ \forall\,a\in A,\ \forall\,b\in B \ \to \ a\le c\le b. $$ Покажем, что $\exists\,\sup A = c$.

Первое условие из определения верхней грани выполнено для $c$ в силу того, что $$ \forall\,a\in A\ \to \ a\le c.$$ Покажем, что выполняется и второе.

Пусть $c'<c$. Тогда $c’\not\in B$, так как $$\forall\,b\in B \ \to \ c\le b.$$ Следовательно, $c’$ не ограничивает множество $A$ сверху, то есть $$\exists\,x\in A:\ x > c’,$$так что второе условие также выполнено.

Следовательно, $c=\sup A$, и теорема доказана.

Определение. Расширенным множеством действительных чисел $\overline<\mathbb>$> называется множество $$ \overline<\mathbb> = \mathbb\cup\<-\infty\>\cup\<+\infty\>. $$ То есть элементами множества $\overline<\mathbb>$ являются все действительные числа и еще два символа: $<-\infty>$, $<+\infty>$.

В множестве $\overline<\mathbb>$ не введены сложение и умножение, но имеется отношение порядка. Для двух элементов $a,b\in\overline<\mathbb>$ в случае $a,b\in\mathbb$ отношение порядка то же, что в $\mathbb$. В других же случаях оно определено так: $$\forall\,a\in\mathbb\ \to \ <-\infty><a,\quad a<<+\infty>;\qquad<-\infty><<+\infty>.$$

Рассматривая множество $X\subset\mathbb$ как подмножество расширенного множества действительных чисел ($X\subset\overline<\mathbb>$), можно обобщить понятие $\sup X$. Это обобщающее определение будет отличаться от приведенных выше лишь тем, что в качестве $b$ можно брать не только число, но и элемент $<+\infty>$.

Тогда получим, что для непустого неограниченного сверху числовогомножества $X$ $$\sup X = +\infty.$$

Учитывая предыдущую теорему, получаем, что всякое непустое числовое множество имеет в расширенном множестве действительных чисел $\overline<\mathbb>$ верхнюю грань.

Замечание. Все изложенные выше утверждения очевидным образом переносятся на понятие нижней грани.