Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 388 Ларина.
Если сделано 2 броска, то общее количество исходов 4 штуки (ОО; ОР; РО; РР) и только один с двумя орлами, то есть $$\frac<1><4>$$ — вероятность 2 орлов за 2 броска.
Далее за 3 считаем: всего исходов 8, с 2 орлами 3 (ООР; ОРО; РОО), но ООР мы не считаем, так как если бы первыми двумя бросками выпали орлы, то третий не делали бы. Значит $$2\Rightarrow P=\frac<2><8>=\frac<1><4>.$$
За 4 броска: всего 16 исходов, 2 орла: ОРРО; РОРО; РРОО (такие как ООРР или РООР исключаем). Итого $$P=\frac<3><8>.$$
И так далее. Получается:
| Кол-во бросков | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | . | n |
| Вероятность | 0 | $$0,5^2$$ | $$2\cdot0,5^3$$ | $$3\cdot0,5^4$$ | $$4\cdot0,5^5$$ | . | $$(n-1)\cdot0,5^n$$ |
При этом математическое ожидание есть сумма всех произведений количества бросков на соответствующую вероятность:
Задание №11 (Вероятность БАЗА)
1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12, …, 98, 99, 100, 101, …, 998, 999.
2) Разделим 999 на 33.
999 : 33 = 30 (ост. 9). Значит, всего 30 чисел, трёхзначных 30 — 3 = 27, т.к.
К содержанию
Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
1) Всего трёхзначных чисел: 999 — 99 = 900.
1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12, …, 98, 99, 100, 101, …, 998, 999.
2) Разделим 999 на 33.
999 : 25 = 39 (ост. 24). Значит, всего 39 чисел, трёхзначных 39 — 3 = 36, т.к.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет владеть мячом. Команда «Физик» играет два матча с разными командами. Найдите вероятность того, что оба раза мяч выиграет «Физик».
Обозначения: О – орёл, Р – решка.
Пояснение: оба раза выиграет мяч — ОО (m = 1); оба раза проиграет мяч — РР ( m = 1), один раз выиграет, один раз проиграет — ОР или РО (m = 2), хотя бы один раз выиграет мяч — ОО, ОР или РО (m = 3).
15 апреля на запись в первый класс независимо друг от друга пришли два будущих первоклассника. Считая, что приходы мальчика и девочки равновероятны, найдите вероятность, что оба пришедших оказались мальчиками.
Обозначения: М – орёл, Д – решка.
Пришли два мальчика — ММ (m = 1);
Пришли мальчик и девочка — МД или ДМ ( m = 2), Пришли две девочки — ДД (m = 1), хотя бы один мальчик — , ММ, МД или ДМ (m = 3). Ответ. 0,25
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Найдите вероятность того, что к моменту впадения орла будет сделано ровно три броска .
1) При бросании монеты возможны два исхода (орёл или решка). Поэтому вероятность выпадения орла Р = 0,5. Вероятность невыпадения орла (выпадения решки) = 1 — 0,5 = 0,5.
2) Из условия следует, что орёл выпал только при третьем броске. Значит, искомая вероятность равна
1) Обозначения: О — орёл, Р — решка. Или так: 1 — орёл, 0 — решка.
2) ООО 000 ООР 001
РРО 110 РРР 111
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет решка. Найдите вероятность того, что к моменту впадения решки будет сделано ровно четыре броска .
При бросании монеты возможны два исхода (орёл или решка). Поэтому вероятность выпадения решки Р = 0,5. Вероятность невыпадения решки (выпадения орла) 0,5 = 0,5.
Из условия следует, что решка выпадет только при четвёртом броске. Значит, искомая вероятность равна
Обозначения:: 1 — орёл, 0 — решка.
Ответ. 0,0625
В ящике находятся чёрные и белые шары, причём черных в 4 раза больше, чем белых. Из ящика случайным образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет белым. Решение.
Обозначения: х – количество белых шаров, тогда 4х — количество чёрных шаров. Всего х + 4х = 5х.
Вероятность того, что мобильный телефон выйдет из строя в течение первого года работы, равна 0,3. Если телефон проработал какое-то время, то вероятность его поломки в течение следующего года такая же (телефон не содержит изнашивающихся деталей, поэтому вероятность его поломки не растёт со временем). Найдите вероятность того, что такой новый телефон выйдет из строя не позже, чем через три года после покупки.
1) Если Р = 0,3 — вероятность, что телефон в течение года выйдет из строя, то = 1 — 0,3 = 0,7 — вероятность, что телефон не выйдет из строя, т.е. будет работать.
2) Телефон выйдет из строя не позже, чем через три года после покупки, означает,что он может испортиться в течение первых трёх лет ( в перый, второй или в третий год после покупки).
Р = 0,3 — вероятность того, что телефон выйдет из строя в первый год.
— вероятность того, что телефон в первый год исправен, выйдет из
строя во второй год.
— вероятность того, что телефон исправен в первый и второй
год, выйдет из строя в третий год
3) Вероятность телефон выйдет из строя не позже, чем через три года после покупки равна:
В среднем из 300 садовых насосов, поступающих в продажу, 60 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает. Решение.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 118 качественных сумок приходится 7 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.
. n = 118 + 7 = 200, m = 7.
На борту 14 мест рядом с запасными выходами и 23 места за перегородками, разделяющими салоны. Эти места удобны для пассажиров высокого роста, а остальные — неудобны.Пассажир Г. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Г. достанется удобное место, если всего в самолёте 100 мест. Решение.
. n = 100, m = 14 + 23 = 37
В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения.
Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут тарталетку с сыром, равна 0,25. Вероятность того, что в качестве комплимента принесут рогалик, равна 0,35 Найдите вероятность того, что в качестве комплимента от заведения посетителю И. принесут одно из двух: тарталетку с сыром или рогалик. Решение.
Р = 0,25 + 0,35 = 0,6
Вероятность того, что новая батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки.Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.
Р =0,5 ∙ 0,5 = 0,0025
Ответ. 0,0025
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважда. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 1 раз.
Обозначения: О – орёл, Р – решка.
. n = 4, m = 2. Дополнение:
а) Если надо найти вероятность того, что решка не выпадет ни разу, выбираем вариант ОО, тогда n = 4, m = 1, Р =
б) Если надо найти вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый, тогда Выбираем варианты ОО и РР, тогда n = 4, m = 2, Р =
На олимпиаде по информатике 450 участников разместили в четырёх аудиториях.
В первых трёх удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите верятность, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
120 ∙ 3 = 360 (чел.) = в трёх аудиториях.
450 — 360 = 90 (чел.) — в запасной аудитории . n = 450 , m = 90.
№16 В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Углеводороды»..
В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в сельский магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист А., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,23. Покупатель не глядя берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Р = 0,23 — вероятность, что ручка пишет плохо.
= 1 — 0,23 = 0,77 — вероятность противоположного события (ручка пишет хорошо).
На конференцию приехали 4 учёных из Италии, 3 из России и 3 из Финляндии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятым окажется доклад учёного из России.
Каким по счёту окажется доклад — неважно, такое же решение. если доклад будет первым, последним или под любым номером.
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 4. Ответ округлите до сотых.
Кидаем монету, до тех пор, пока не выпадет N орлов
Монету бросают, пока два раза подряд не выпадет герб
Монету бросают, пока два раза подряд не выпадет герб. Найти вероятность того что будет сделано n.
Правильную монету подбрасывают пока она подряд не выпадет одной стороной
Правильную монету подбрасывают до тех пор, пока она дважды подряд не выпадет одной и той же.
вычислять до тех пор, пока не нажмешь ‘?’
Ребят, помогите дополнить программу. Нужно продолжать вычисления, пока не нажмешь ‘?’ #include.
Сделать Button неактивным до тех-пор пока . . .
Как можно сделать неактивным Button, пока хотя-бы 1 символ не введен в Edit ? Заранее спасибо за.
Сообщение было отмечено как решение
Задание 5 ЕГЭ по математике. Теория вероятностей. Повышенный уровень сложности
В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми, которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности.
Мы разберем задачу №5 из Демоверсии ЕГЭ-2022, задания из Методических рекомендаций ФИПИ для учителей и аналогичные им.
1. Демоверсия ЕГЭ-2022
Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
Выпишем возможные исходы как тройки чисел так, чтобы в сумме получилось 6.
Всего 10 возможных исходов. Благоприятные исходы помечены красным цветом, их 6.
По определению вероятности получаем
2. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.
Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:
Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).
3. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Благоприятными будут следующие исходы:
Первый раз – вытащили красный фломастер.
И второй раз – красный.
А третий раз – синий.
Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна
После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна
Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна
Вероятность события <красный – красный – синий >равна произведению этих вероятностей, то есть
4. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Всего в коробке 25 фломастеров.
В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.
Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна
А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна Вероятность после этого вытащить красный равна вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна
Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна
А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!
Ответ: 0,3.
5. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.
Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Уточним условие: «Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?». В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.
Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А;
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.
Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность x.
Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.
Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).
Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!
Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.
Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей
6. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.
Решение:
Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.
Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.
С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна
Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна
7. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.
Формула Бернулли:
– Вероятность того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно m раз, равна:
p – вероятность появления события A в каждом испытании;
– вероятность появления события A в каждом испытании.
Коэффициент часто называют биномиальным коэффициентом.
О том, что это такое, расскажем с следующих статьях на нашем сайте. Чтобы не пропустить – подписывайтесь на нашу рассылку.
А пока скажем просто, как их вычислять.
Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн. Поделить на эм! И на эн минус эм! То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы. На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,
Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна вероятность решки тоже Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.
Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна
Найдем, во сколько раз больше, чем
8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?
Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна
Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна
Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:
9. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени»?
Решение:
Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.
С вероятностью стрелок поражает мишень первым выстрелом (и больше по ней не стреляет).
Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом. Она равна так как с вероятностью он промахнулся в первый раз и с вероятностью второй выстрел был удачным.
Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна
Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.
Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти
10. Стрелок в тире стреляет по мишени. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать этому стрелку, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6?
Похожие задачи были в Банке заданий ФИПИ и раньше. Пусть у стрелка есть n патронов. Стрелок может поразить цель первым, вторым … n-ным выстрелом, и все эти исходы для нас благоприятны. Не подходит только один исход – когда стрелок n раз стрелял и каждый раз был промах.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 – 0,3 = 0,7.
Вероятность n промахов (из n выстрелов) равна а вероятность попасть с первого раза или сто второго . или с n-ого выстрела равна
Если то – не подходит.
Для условие выполнено,
Хватит 3 патронов.
11. Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 3. Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно 3 броска? Ответ округлите до сотых.
Кажется, что задача сложная (на самом деле нет).
Давайте подумаем: как получилось, что ровно за 3 броска игральной кости сумма выпавших очков оказалась больше трех? Из этого следует, что за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3 или равна 3.
Если за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3, значит, она была равна 2, то есть первый раз выпала единица и второй раз тоже единица. Вероятность этого события равна
Сколько же очков в этом случае должен дать третий бросок? Очевидно, что подойдет 2, 3, 4, 5, 6 – все, кроме 1. Вероятность того, что при третьем броске выпадет число очков, не равное единице, равна
Значит, вероятность того, что при первых двух бросках выпали единицы, а при третьем – не единица, равна
Нам подойдет также случай, когда сумма очков за первые 2 броска равна 3. Это значит, что выпали 2 и 1 или 1 и 2, то есть 2 благоприятных исхода из 36 возможных. Вероятность этого события равна
При этом нам все равно, что выпадет при третьем броске: очевидно, что сумма очков при трех бросках будет больше трех.
Вот еще одна задача из Демоверсии ЕГЭ-2022:
12. В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Решение:
Пусть N – численность взрослого населения в городе (мужчин и женщин).
Количество взрослых мужчин в городе: 0,48N.
Количество женщин в городе: 0,52N.
Из них 0,15 * 0,52N = 0,078N женщин-пенсионеров.
Всего пенсионеров 0,126N.
Тогда количество мужчин-пенсионеров равно 0,126N – 0,078N = 0,048N.
Вероятность для случайно выбранного мужчины оказаться пенсионером равна отношению числа мужчин-пенсионеров к числу мужчин в городе, то есть 0,048 N : 0,48N = 0,1.
Ответ. 0,1.
Мы разобрали все доступные типы заданий №4 из вариантов ЕГЭ-2022. Раздел будет дополняться решениями новых задач – как только они появятся в Банке заданий ФИПИ.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 4 ЕГЭ по математике. Теория вероятностей. Повышенный уровень сложности» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.