Как найти расстояние между вершинами параболы

Задача 45639 Найти расстояние между вершинами парабол.

Найти расстояние между вершинами парабол y1=3x^2-2x-1 и y2=x^2+px+q, если квадратичная функция, соответствующая второй параболе, имеет корни 1 и 2.

Решение

по условию:
x^2+px+q =0
x_(1)=1; x_(2)=2

Абсцисса вершины параболы y=ax^2+bx+c
[b]x_(o)=-b/2a[/b]

Для параболы y_(1)=3x^2–2x–1
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=2/6=[b]1/3[/b]

Находим ординату, подставив х=1/3 в выражение:
y(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)-1
y(1/3)=-4/3

Для параболы y_(3)=x^2–3x+2
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=[b]3/2[/b]

Находим ординату, подставив х=3/2 в выражение:
y(3/2)=(3/2)^2-3*(3/2)+2
y(1/3)=-1/4

Находим расстояние между двумя точками
A(1/3; -4/3) и В (3/2;(-1/4))

Рисунок для наглядности.

Как найти расстояние между вершинами парабол

Парабола (от греч. παραβολή — сравнение, приближение, кривая линия) — в геометрии это плоская кривая линия (в форме арки), где каждая из точек M (на рисунке ниже) равноудалена от неподвижной точки F (фокус) и от неподвижной линии DA, называемой директрисой (MF = MA).

Парабола

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается как p.

Также это кривая, которую описывает вылетевший снаряд.

В литературе парабола — это аллегория, под которой скрывается важная истина.

Как выглядит парабола, когда меняется фокальный параметр (p)

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OX:

Когда фокус находится на оси OX

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OY:

Когда фокус находится на оси OY

Квадратичная функция и как построить график параболы

Квадратичная функция выглядит следующим образом:

y = ax² + bx + c, где a≠0

(a — старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член).

Построение графика квадратичной функции

Шаги построения графика

1. Как определить, куда направлены ветви параболы

Таким образом выглядит функция y = x².

Т. е. a (старший коэффициент) в данном случае равен 1, b (второй коэффициент) и c (свободный член) оба равны 0.

Ветви параболы будут направлены вверх, когда a > 0.

Таким образом выглядит функция y = -x².

А в данном случае a = –1 (b = 0, с = 0).

Ветви параболы будут направлены вниз, когда a < 0.

2. Как определить нули функции (значения х, где функция равна нулю)

Так как ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ, равна нулю, значит нужно решить уравнение f (x) = 0. Т. е. ax² + bx + c = 0

Для этого нужно найти дискриминант по этой формуле: D = b² – 4ac, который определит количество корней квадратного уравнения.

Если D < 0, то у квадратичной параболы нет точек пересечения с осью ОХ (она расположена выше или ниже оси ОХ и не дотрагивается до неё);
Если D = 0, то квадратичная парабола имеет только одну точку пересечения с осью ОХ;
Если D > 0, то у квадратичной параболы будут две точки пересечения с осью ОХ, которые можно найти по этим формулам:

3. Как вычислить координаты вершины параболы

Формулы для их вычисления:

Как вычислить координаты вершины параболы

4. Как посчитать точку пересечения параболы с осью OY

Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси OY, равна нулю.

Чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно всего лишь в вашу формулу вида ax² + bx + c вместо х подставить ноль.

Пример построения графика квадратичной функции

Например, нужно построить график квадратичной функции y = x² − 7x + 10.

1) Если квадратичная функция выглядит как y = ax² + bx + c, получается, в нашем случае: a = 1, b = −7, c = 10.

a = 1, а это a > 0, следовательно ветви параболы будут направлены вверх

2) Определяем нули функции, это значит ax² + bx + c = 0, в нашем случае: x² − 7x + 10 = 0

Ищем дискриминант по формуле: D = b² − 4ac, это D = (−7)² − 4*1*10 = 49 − 40 = 9

Потом вычисляем х1 и х2:

х1 = (−b + ²√D) / 2a = (7 + ²√9) / (2*1) = 5

х2 = (−b − ²√D) / 2а = (7 − ²√9) / (2*1) = 2

3) Вычисляем координаты вершины параболы:

х0 = −b / 2a = 7 / (2*1) = 3,5

y0 = −D / 4а = −9 / (4*1) = −2,25

4) Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c), следовательно, если c = 10, она пересекает её на (0;10).

Таким образом, получилась парабола такого вида:

ответ y = x²−7x+10

Свойства квадратичной функции y = x²

График функции y = x² выглядит следующим образом:

График функции y=x² выглядит следующим образом:

Свойства

1) Область определения функции y = x² — множество всех действительных чисел, т. е. D(y) = R = (−∞; +∞).

2) Множество значений функции — положительная полупрямая: E(y) = [0; +∞).

3) В точке x = 0 (и y = 0) функция принимает минимальные значения (наибольшего значения у функции нет).

Эта точка (с координатами (0;0)) является вершиной параболы; одновременно точка (0;0) является единственной общей точкой параболы с осями координат (начало координат).

4) Функция у = x² чётная, график симметричен относительно оси Оу, т. е. f(−x) = (−x)² = x² = f(x).

5) Функция непрерывна на всей области определения. На (−∞; 0) функция монотонно убывает, а на (0; + ∞) функция монотонно возрастает.

6) Функция у = x² непериодическая.

7) Единственный нуль функции — значение аргумента x = 0.

8) Функция у = x² не имеет асимптот.

9) Функция принимает положительные значения на всех точках параболы, кроме начала координат, т. е. в: (−∞;0) ∪ (0;+∞).

3.4 Кривые второго порядка

Всякая кривая второго порядка относительно декартовых координат задается уравнением:

, (18)

Где – константы.

Это уравнение задает окружность, эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. Например, если в уравнении и , то оно является уравнением окружности.

Если уравнение (18) разлагается на два линейных множителя, то в этом случае оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, называемой ее центром.

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

, (19)

Где – координаты центра, а – радиус окружности.

Пример 1. Найти центр и радиус окружности .

Решение. Выделяя полные квадраты по и по , приведем уравнение к виду , откуда, сравнивая с (19), находим и .

Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки , , .

Решение. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд. Точка – середина хорды , а – середина и , . Уравнения перпендикуляров к хордам и , проходящих через их середины, имеют вид: и или и . Точка пересечения этих прямых .

Для нахождения радиуса найдем расстояние между точками и : . Запишем уравнение окружности: .

Определение. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса:

, (20)

Где – большая полуось, – малая полуось, – эксцентриситет эллипса.

Прямую, на которой расположены фокусы эллипса , называют фокальной осью, а и – фокальными радиусами.

Прямые называют директрисами эллипса.

Пример 3. Убедитесь, что уравнение определяет эллипс. Найдите полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис.

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду , откуда , . Из условия найдем , то есть . Тогда , а уравнение директрис .

Пример 4. Доказать, что уравнение определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по и по :

Обозначим , где – новые переменные. Тогда уравнение примет вид или, приводя к каноническому виду, . Сравнивая полученное уравнение с уравнением (20) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке .

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек и плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы:

, (21)

Где .

Точки , называются вершинами гиперболы, прямые являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, – эксцентриситет гиперболы, прямые – ее директрисы.

Пример 5. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках и длина вещественной оси равна 6.

Решение. По условию , тогда из формулы найдем . Каноническое уравнение гиперболы: уравнения асимптот: .

Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптоты которой .

Решение. Из уравнения асимптот следует, что . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то . Решая систему найдем , . Получаем или .

Пример 7. Доказать, что уравнение определяет гиперболу. Написать уравнения ее асимптот.

Решение. Выделим полные квадраты по и по :

или

. Обозначая и деля обе части уравнения на 9, получим каноническое уравнение , откуда следует, что , центр находится в точке то есть . Учитывая, что асимптоты проходят через точку и , запишем их уравнения: или .

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы

, (22)

Где (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы .

Так как уравнение параболы содержит , то она симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии.

Пример 8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение.

Решение. Подставляя координаты точки в уравнение (22), найдем, что . Значит, уравнение параболы .

Пример 9. Доказать, что уравнение определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины.

Решение. Выделяя полный квадрат, получим . Если положить то уравнение примет вид . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим , откуда . Вершина параболы находится в точке , , то есть .

1. Найти координаты центра и радиус окружности .

Ответ: , .

2. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки и , а центр ее лежит на прямой .

Ответ: .

3. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

4. Составить уравнение хорды параболы , которая проходит через ее вершину перпендикулярно прямой .

Ответ: .

5. На параболе найти точку , ближайшую к прямой , и вычислить расстояние от точки до прямой.

Ответ: .

6. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .

7. Дана окружность . Найти уравнение радиусов, проведенных из центра в точки пересечения окружности с осью ординат, а также угол между этими радиусами.

Ответ: .

Квадратичная функция и её график

Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.

Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.

Начнем, как всегда, с простого)

Стандартная парабола.

Рассмотрим функцию y = ax 2 . Она также является квадратичной, просто b = c = 0.

При а = 1, мы получим функцию y = x 2 . Ее график назовем стандартной параболой, или классической (можешь называть как угодно). Начертить её можно с помощью таблицы значений:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.

Вершина этой параболы находится в точке (0; 0). И не забудь про то, что ветви параболы бесконечно поднимаются ввысь и не ограничены точками с координатами (3; 9) и (3; -9).

Еще одна стандартная парабола задается функцией y = —x 2 (в этом случае а = -1). Для этого графика я тоже напишу табличку:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:

Сразу напрашивается вывод: если перед х 2 стоит положительное число, то ветви параболы направлены вверх, если отрицательное — то вниз.

Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя "на ура".

Параболы со смещенной вершиной.

Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.

Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.

Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x₁; y₁). Тогда найти эти координаты можно по формулам:

Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.

Координату х_О находим по той же формуле, а координату у_О можно найти подстановкой координаты х_О в функцию.

Без примера не обойтись)

Дана функция y = x 2 — 4x + 4. Найдите вершину параболы и постройте график.

Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.

1 способ: по формулам.

2 способ: подстановкой.

Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.

Итак, получили, что О(2; 0) — вершина параболы. Отмечаем ее на координатной плоскости.

Перед х 2 стоит положительное число, значит ветви параболы направлены вверх. Наша задача: нарисовать стандартную параболу, представив, что точка О — начало координат. Если тебе это сложно сделать, то необходимо начертить таблицу значений и уже по ней рисовать параболу.

Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.

Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.

Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.

А если числовой коэффициент лежит в промежутке (-∞; -1) ∪ (1; +∞), то парабола будет прижиматься к оси Оу и занимать меньше места на плоскости.

Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:

К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.

Пусть вершиной первой параболы будет точка А(х_А; у_А), а вершиной второй параболы — точка B(х_B; у_B). Вершины буду находить по второму способу (см. выше).

Переходим к таблицам значений.

x	0	2	4	6	8
y	3	6	7	6	3

x	-1,5	-1	-0,25	0	1
y	-3	1	4,5	3	-3

Чертим обе параболы по получившимся координатам.

Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.

А ты заметил, что свободный член в уравнении функции — это точка пересечения графика с осью Оу? В обеих функциях свободный член равен 3 и графики пересекают ось Оу в точке с координатами (0; 3).

Практикум по параболам.

Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.

Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.

Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Решение. Коэффициент а, стоящий перед х 2 , отвечает за направление ветвей параболы, а свободный член с — за пересечение графика с осью Оу.

А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.

Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.

В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.

Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.

Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с < 0. Подходит вариант под номером 1.

В) Ветви направлены вниз, значит а < 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 2.

Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.

График В отличается от остальных тем, что его ветви направлены вниз. За направление ветвей отвечает коэффициент перед х 2 — он отрицательный. Отрицательный коэффициент только в функции под номером 3. Значит В-3.

Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)

Итак, рассматриваем график А и выбираем на нем точку с красивыми координатами (красивые значит не дробные). Мне нравится тут вершина. Ее координаты (4; -3). Даже не спрашивайте почему не прорисованы оси; эти задания взяты с сайта ФИПИ)

Теперь эти координаты подставляем в оставшиеся функции: вместо у подставляем -3, а вместо х подставляем 4.

Подставляем в первую функцию: -3 = 2 · 4 2 — 16 · 4 + 29; -3 = -3 — верно. Значит, А-1.

Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.

Очевидно, что В-2.

На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!

Подставляем в функцию А: 1 = (-4) 2 + 4 · (-4) + 1; 1 = 1 — верно. Значит, А-1.

Если ты считаешь, что чего-то не хватает или у тебя есть ещё задания из первой части, связанные с параболами, — напиши мне в VK)

1.3. Аналитическая геометрия. Аналитическая геометрия на плоскости

где А и B одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Верно и обратное утверждение: в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени вида (1.24).

Уравнение (1.24) называется общим уравнением прямой.

Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол j, на который нужно повернуть в положительном направлении ось абсцисс до ее совпадения с данной прямой. Направление любой прямой характеризуется ее угловым коэффициентом к, который определяется как тангенс угла наклона j этой прямой к оси Ох, т. е.

Исключение составляет только лишь прямая, перпендикулярная оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент к и пересекающей ось Оу в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде:

Частные случаи уравнения (1.24) приведены в следующей таблице.

Угловой коэффициент к прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C= 0, находится как коэффициент при х в выражении у через х:

Угловой коэффициент к прямой, заданной двумя точками вычисляется по формуле

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:

где а и b — соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Oy, т. е. длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с определенными знаками.

Уравнение прямой, проходящей через точкуИ имею

щей угловой коэффициент к, записывается в виде:

Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку А — центр пучка. Уравнение (1.28) можно рассматривать как уравнение пучка прямых, поскольку любая прямая пучка может быть получены из уравнения (1) при соответствующем значении углового коэффициента к. Исключение составляет лишь одна прямая пучка, которая параллельна оси Oy — ее уравнение х = xA.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки имеет вид:

Если точки A и B определяют прямую, параллельную оси Или оси, то уравнение такой прямой за

писывается соответственно в виде:

Условия пересечения, параллельности или совпадения двух прямых, заданными своими общими уравнениями

приведены в следующей таблице.

Если известны угловые коэффициенты прямых, то ус

ловие параллельности этих прямых состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

Условие перпендикулярности двух прямых, угловые коэффициенты которых соответственно равныСостоит в выполнении соотношения

т. е. угловые коэффициенты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Под углом между двумя прямыми понимается один из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс угла j между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны к1 и к2, вычисляется по формуле

причем знак «плюс» соответствует острому углу, а знак «минус» — тупому.

Уравнение окружности с центром в точке S^; b) и радиусом r имеем вид:

Это каноническое уравнение окружности (рис. 7).

Уравнение второй степени относительно текущих координат х и у является уравнением окружности тогда и только тогда, когда в этом уравнении коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Таким образом, это уравнение имеет вид:

В этом случае говорят, что окружность задана общим уравнением.

Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной общим уравнением, надо с помощью тождественных преобразований уравнение (1.35) привести к виду (1.34).

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (2а), большая, чем расстояние между фокусами (2с).

Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Оx принять прямую, проходящую через фокусы F1 и F2, а за ось Оу — перпен-

дикуляр к оси абсцисс в середине отрезка F1F2 (рис. 8). Тогда уравнение эллипса примет вид:

Точки А1 и А2, B1 и B2 пересечения эллипса с его осями симметрии (координатными осями) называются вершинами эллипса. Отрезки А1А2 = 2а и B1B2 = 2b называются осями эллипса, причем А1А2 — большой осью, а B1B2 — малой осью, так как а > b. Таким образом, параметры а и b, входящие в уравнение эллипса, равны его полуосям.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т. е.

Очевидно, что е < 1.

Если эллипс, определяемый уравнением вида (1.36), расположен так, что его фокусы лежат на оси Oy (рис. 9), то тогда b > а и уже большой осью будет отрезок B1B2 = 2b, а малой осью — отрезок А1А2 = 2а. Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).

Простейшее уравнение гиперболы получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусыА за ось Оу — перпендикуляр в середине отрезка(рис. 10). Тогда уравнение гиперболы примет вид:

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А1 и А2, называемых вершинами гиперболы. Отрезок.Называется действительной осью гиперболы, а отрезок— мнимой осью гиперболы.

Таким образом, параметры а и b, входящие в уравнение гиперболы, равны ее полуосям.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси:

Ее асимптоты те же, что и у гиперболы (1.39).

Гиперболы (1.39) и (1.42) называются сопряженными. Гипербола называется равносторонней, если ее действительные и мнимые оси равны, т. е. а = b. Простейшее уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

Если мнимая ось гиперболы направлена по оси Ох и имеет длину 2а, а действительная ось длиной 2b направлена по оси Oy, то уравнение гиперболы (рис. 11) имеет вид:

Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.

Величина р, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы; прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется осью, а точка пересечения параболы с ее осью — вершиной параболы.

Простейшее уравнение параболы получается, если координатная система расположена следующим образом: за одну из координатных осей берется ось параболы, а за другую — прямая, перпендикулярная оси параболы и проведенная посредине между фокусом и директрисой.

Тогда уравнение параболы примет вид:

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс.

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат.

Уравнения (1.48) и (1.49) приводятся к простейшему виду (1.44 — 1.47) путем тождественных преобразований с последующим параллельным переносом координатной системы.

Пример 1.16. Даны вершины А (2; 1), В (6; 3), C (4; 5) треугольника. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника. Сделать чертеж.

Делаем чертеж (рис. 16).

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А и В.

2. Для определения внутреннего угла А найдем уравнение прямой AC:

отсюда 2х — у — 3 = 0 или у = 2х — 3 и угловой коэффициент прямой AC равен: kAC = 2; далее находим уравнение прямой АВ:

Находим угол А отсюда

3. Уравнение высоты, проведенной через вершину C, ищем в виде у — yC = kCD (x — xC) и так как CD А прямой АВ, то

4. Для определения уравнения медианы CM находим координаты точки M, которая делит прямую АВ пополам

Уравнение прямой CM ищем в виде:

а это означает, что уравнение медианы имеет вид х = 4, т. е. прямая CM L Ох.

5. Точку пересечения высот треугольника найдем как точку К пересечения высот CD и BK.

Находим уравнение высоты ВК:

Решаем систему уравнений, описывающих прямые CD и BK:

Тогдат. е. координаты точ

ки К будут:

6. Для нахождения длины высоты CD запишем нормальное уравнение прямой АВ:

7. Находим систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.

Найдем уравнение прямой BC:

Итак:

Берем любую точку, лежащую внутри треугольника, например, (4; 3) и подставляем ее координаты в левую часть уравнений прямых:

следовательно, система неравенств имеет вид:

Пример 1.17. Составить уравнение прямой I, проходящей через точку А (2; -4) и отстоящей от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам.

Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид:

Для определения углового коэффициента к этой прямой воспользуемся тем, что она отстоит от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам. Найдем это расстояние непосредственно. Уравнение перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, имеет вид илиРешив совместно уравнения этих двух прямых

С другой стороны, по условию OC = 2. Таким образом, получаем уравнение для нахождения углового коэффициента к искомой прямой I:

получим координаты точки C их пересечения:

Отсюда находим расстояние от начала координат до прямой I:

В заключение отметим, что отыскивая уравнение прямой I в виде у — yA = k(x — Xa), мы предполагали тем самым, что эта прямая не параллельна оси ординат. Но очевидно, что прямая х = 2 (параллельная оси Оу) также удовлетворяет условию задачи, так как она проходит через точку А (2; -4) и отстоит от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам (рис. 17).

Пример 1.18. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 3х + 4у — 1 = 0 (I) и отстоящих от нее на расстоянии равном 1.

Решение. Уравнение каждой из прямых будем искать в виде Так как искомая прямая параллельна прямой I, то ее

угловой коэффициентИ, следовательно, ее уравнение при

нимает вид:

Для отыскания параметра b воспользуемся тем, что расстояние от любой точки прямой I, например, от точки А (3; -2) до прямой (*) согласно условию равно 1. Но это расстояние может быть вычислено и непосредственно. Запишем для этого

уравнение прямой h, проведенной из точки А перпендикулярно прямой I:

Решив, далее, совместно уравнения прямых h и I найдем координаты точки В их пересечения:

Тогда искомое расстояние равно длине отрезка АВ:

Приравнивая это выражение единице, получим уравнение относительно b:

Решения этого уравнения таковы:. Подставляя полученные значения b в уравнение (*), запишем уравнения искомых прямых:

Пример 1.19. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F (8; 0) вдвое больше, чем от прямой х — 2 = 0. Сделать чертеж.

Пусть М(х; у) — текущая точка линии. По условию задачи MF = 2MN.

Возводя в квадрат и раскрывая скобки, получим

Это есть каноническое уравнение гиперболы (рис. 18).

Пример 1.20. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки F (0; — 4) и от прямой у + 2 = 0. Сделать чертеж.

Если M(x; у) есть текущая точка линии, то по условию задачи MF = MN или

Подставляя координаты точек

И возводя в квадрат, после преобразований

§4 Кривые 2-го порядка.

В аналитической геометрии на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Эти линии часто встречаются во многих задачах естествознания и техники. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы, заключающимся в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы), после отражения от параболы образуют параллельный пучок.

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени с двумя неизвестными: .

ОКРУЖНОСТЬ.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности.

Определение. Расстояние от любой точки окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Теорема. Окружность является кривой 2-го порядка и ее уравнение имеет вид: где – координаты центра окружности,– радиус окружности.

Определение. Если центр окружности находится в начале координат, то такая система координат называется канонической для окружности, а уравнение называется каноническим уравнением окружности.

ЭЛЛИПС.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Эту величину принято обозначать через .

Определение. Расстояние между фокусами эллипса называется фокусным расстоянием. Фокусы эллипса принято обозначать буквами и, расстояние между ними – через. По определению эллипса.

Определение. Расстояния от точки , лежащей на эллипсе, до фокусовиназываютсяфокальными радиусами точки .

Замечание. Из определения эллипса следует, что точка является точкой эллипса тогда и только тогда, когда сумма её фокальных радиусов.

Определение. Число называетсябольшой осью эллипса, число , где, называетсямалой осью эллипса. Числа иназываются соответственнобольшой и малой полуосями эллипса.

Определение. Отношение фокусного расстояния эллипса к его большой оси называется эксцентриситетом эллипса, и обозначается буквой или:

Определение. Ось, на которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной осью эллипса.

В канонической для эллипса системе координат, оси координат являются главными осями эллипса, а начало координат является центром эллипса.

Определение. Точки эллипса, лежащие на его осях, называются вершинами эллипса.

Теорема. (Каноническое уравнение эллипса.) Эллипс является кривой 2-го порядка, и в канонической для эллипса системе координат его уравнение имеет вид:.

Теорема. (Фокальные радиусы точки эллипса.) Пусть в канонической для эллипса системе координат точка лежит на эллипсе. Тогда ее фокальные радиусы равны:,, где– большая полуось эллипса,– его эксцентриситет.

Определение. В канонической для эллипса системе координат прямые называютсядиректрисами эллипса.

Теорема. (Свойство директрис эллипса.) Пусть – произвольная точка эллипса,и– ее фокальные радиусы. Обозначим черези, соответственно, расстояния от точкидо левой и правой директрисы эллипса. Тогда.

Теорема. (Зеркальное свойство эллипса.) Луч света, выпущенный из одного фокуса эллипса после отражения от зеркала эллипса проходит через второй его фокус.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид:

ГИПЕРБОЛА

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы гиперболы принято обозначать буквами и. Расстояния от точки, лежащей на гиперболе, до фокусов обозначаютсяи, и называются еёфокальными радиусами.

Замечание. Из определения гиперболы следует, что точка М является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда модуль разности её фокальных радиусов есть величина постоянная для данной гиперболы. Эту константу принято обозначать через.

Определение. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием.

Фокусное расстояние для данной гиперболы есть величина постоянная и ее принято обозначать через :.

Замечание. Так как сторона треугольника больше модуля разности двух его других сторон, то отсюда и из определения гиперболы следует, что

Определение. Число называетсядействительной осью гиперболы, число , где, называетсямнимой осью гиперболы. Числа иназываются соответственнодействительной и мнимой полуосями гиперболы.

Определение. Отношение фокусного расстояния гиперболы к её действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы, и обозначается буквой или:

В канонической для гиперболы системе координат, оси координат являются главными осями гиперболы, а начало координат является центром гиперболы.

Теорема. (Каноническое уравнение гиперболы.) Гипербола является кривой 2-го порядка, и в канонической для гиперболы системе координат её уравнение имеет вид: .

Определение. Точки гиперболы, лежащие на её действительной оси, называются действительными вершинами гиперболы. Две точки плоскости (в канонической для гиперболы системе координат), лежащие на мнимой оси гиперболы называютсямнимыми вершинами гиперболы.

Определение. Две пары прямых, параллельных осям гиперболы высекают прямоугольник, который называетсяосновным прямоугольником гиперболы.

Гипербола состоит из двух кривых, называемых её ветвями, которые в канонической системе координат описываются уравнениями

Теорема. Прямые являются асимптотами гиперболы.

Теорема. (Фокальные радиусы точек гиперболы.) Пусть в канонической для гиперболы системе координат точка лежит на гиперболе. Тогда ее фокальные радиусы равны:|,, где– действительная полуось гиперболы,– её эксцентриситет.

Определение. В канонической для гиперболы системе координат прямые называютсядиректрисами гиперболы.

Теорема. (Свойство директрис гиперболы.) Пусть – произвольная точка гиперболы,и– ее фокальные радиусы. Обозначим черези, соответственно, расстояния от точкидо левой и правой директрисы гиперболы. Тогда.

Теорема. (Зеркальное свойство гиперболы.) Луч света, выпущенный из одного фокуса гиперболы после отражения от зеркала гиперболы кажется наблюдателю идущим из второго её фокуса.

Теорема. В канонической для гиперболы системе координат уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид:

ПАРАБОЛА

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой, называемой директрисой, равно расстоянию до фиксированной точки, называемой фокусом.

Определение. Расстояние от произвольной точки плоскости до фокуса параболы называетсяфокальным радиусом точки .

Обозначения: – фокус параболы,– фокальный радиус точки,– расстояние от точкидо директрисы.

По определению параболы, точка является точкой параболы тогда и только тогда, когда.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы, и обозначается буквой .

Замечание. Из определений следует, что в канонической для параболы системе координат фокус имеет координаты , а директриса описывается уравнением.

Теорема. (Каноническое уравнение параболы.) Парабола является кривой 2-го порядка, и в канонической для неё системе координат её уравнение имеет вид:

Теорема. В канонической для параболы системе координат, фокальный радиус точки параболы равен

Теорема. (Зеркальное свойство параболы.) Луч света, выпущенный из фокуса параболы после отражения от зеркала параболы проходит параллельно её фокальной оси.

Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение касательной к параболе в точке имеет вид:.

Определение. Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной.

Замечание. Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат – с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости, то ее уравнение будет иметь вид:

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, то парабола будет иметь уравнение:

, если она лежит в верхней полуплоскости, и

— если в нижней полуплоскости.

Полярная система координат.

Определение. Точка О называется полюсом, а луч L – полярной осью.

Задание какой-либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол  называется полярным углом.

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси .

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcos; y = rsin; x 2 + y 2 = r 2 .

Взаимосвязь полярных и декартовых координат определяется формулами: .

В полярной системе координат уравнения эллипса, параболы или правой ветви гиперболы имеют вид: , причем, данное уравнение задает эллипс, если; параболу, если; гиперболу, если. Левая ветвь гиперболы задается уравнением.