Что такое математика и почему 2×2 может быть 5
Может ли 2×2 = 5? Большинство скажут «нет». Более знакомые с математикой скажут что-то в стиле «нет в рамках поля вещественных чисел». И вот именно это уточнение делает ответ полностью верным. Потому что в принципе, если не привязываться к существующим полям и операторам, в математике может быть что угодно.
Все дело в том, что математика — не естественная наука. Ее действие разворачивается не в реальном мире, а в мире абстракций. Число — уже абстракция. Точка, прямая — тоже абстракции. Множество — абстракция.
Некоторые абстракции ложатся на некоторые сущности в реальном мире. Так, натуральными числами можно измерять количество, а вещественными — длину. Положение на карте можно считать точкой, а толпу людей — множеством. Другие абстракции не ложатся вовсе — например, многомерные пространства или комплексная плоскость.
Однако сама математика как наука оперирует именно абстракциями, не связывая их с реальным миром.
Но вернемся в 2х2.
Допустим, мы работаем с натуральными числами. Что такое привычное нам арифметическое умножение? Согласно определению, axb = a + a . + a, и так b раз. Блин, очень неудобно на пикабу писать формулы, но суть, думаю, вы поняли.
Но кто сказал, что такое определение — единственно возможное? Что нам мешает определить операцию умножения иным образом? Например так:
axb = a + (a + 1) + (a + 2) + . + (a + b-1). Т.е. b слагаемых начиная с a и далее увеличивая на единицу.
Если мы исследуем эту операцию, станет понятно что она «не очень». Нет коммутативности, нет ассоциативности. На ней не построить ни поля, ни даже кольца. Да что там говорить, множество с такой операцией не будет даже группой. Однако все равно это возможно. Я даже допускаю, что в некоторой очень специфической области такая абстракция «ляжет» на какой-то процесс в реальном мире.
И да, несложно заметить, что с таким умножением 2×2=5 🙂
Возможно, кто-то скажет что «незаконно» использовать слово «умножение» для операций, отличных от арифметического умножения. Это не так — для множеств с двумя операциями, кольцами и полями, обычно одну называют «сложением», а другую — «умножением». Есть сложение и умножение матриц. В булевой алгебре дизъюнкцию (или) иногда называют сложением, а конъюнкцию (и) — умножением. Хотя очевидно, что они отличаются от арифметических.
Так что нет никакого криминала в том, чтобы назвать удобную вам операцию умножением даже если результат будет отличаться от арифметического.
P.S. Спонсором поста стал мой бомбёж от дискуссии в комментах. Свой пост я почистил от лишних эмоций. Если кому интересно, откуда ноги растут, то вот: #comment_260155780
P.P.S. если тема зайдет, расскажу как делить на 0. Нет, не на бесконечно малое в пределе, это скукота, а именно на 0. Как вы поняли, в математике все возможно, надо только правильно аксиоматику подвести)
UPD: Честно говоря, не думал что подобный, в общем-то, безобидный пост вызовет столько негатива. Понял, больше подобных постов не будет. Большая просьба — если очень хочется написать гадость, просто поставьте минус пройдите мимо. Конструктива ваша ругань не принесет, а читать неприятно. Всем добра и с наступающим.
Математика (любая её ветвь) строится на аксиомах и базовых определениях. Из этих аксиом и определений выводится все остальное.
В данном случае вы использовали общепринятое определение и переопределили его. Именно поэтому считаю данный пост неверным.
Ваш пример для матриц и булевых переменных некорректен — там операция называется так же, но определена она над другим множеством и поэтому задается другим (так же общепринятым) способом.
Почему от меня минус? Потому что, если следовать вышей логике придется на каждое утверждение приводить, предварительно, всю систему аксиом и определений
Нухули. Поскольку тангенс подлежащего обычными средствами определить трудно, пусть в данном случае будет синий. Влияние бурундуков отметаем сразу, они свистят, это не мешает, но усложняет и без того нечеловеческую задачу. Которую придется решать стоя, чтобы исключить влияние жопы на результат. Итак. В том месте, где ускоренная кривая пересекает ось понимания, временно ставим вертикальную точку с таймером на 20 минут, которых хватит, чтобы съебаться, если решение будет ложным. Далее. Снимаем с проходящей старухи шляпу, на карте накрываем ей Индию. Получается 14. Но не те 14, которые 7+7, а те, которые 140:10, где 10 — это размерность пиздюлей, необходимых для того, чтобы стронуть с места среднеленивого ишака. Пиздим его и выводим за скобки. В скобках пишем: два китайца чешут яйца на высоком берегу. Это единственная магическая формула, которую мы здесь применяем. После ее применения остается кучка пепла и обугленные, но годные скобки. В которые вводим ишака. В старушечьей шляпе. Оголенную Индию накрываем своей, получается 11. 14+11=25. Минус 20 минут чтоб съебаться — получается 5. Минус подоходный — 4,35. Что, строго говоря, не является решением, но как некруглая цифра вызывает доверие и вполне может служить доказательством для людей, окончивших заочные и вечерние отделения.
Тогда 3 х 220 = 380
«Но кто сказал, что такое определение — единственно возможное? Что нам мешает определить операцию умножения иным образом?»
Люди уже договорились о том, какой смысл несёт термин «умножение». И к этому термину привыкли и менять не собираются. Это и мешает.
Потому что если каждый начнёт в какой-то набор звуков и символов вкладывать свой смысл, то языком пользоваться не получится.
продолжай. расширение границ сознания очень полезно
чтобы не застревали в колее обыденности
Комплексные числа: коротко и понятно – Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
Как появились комплексные числа, что это такое и как математики пришли к необходимости их изучения? Какое отношение имеют комплексные числа к уравнениям со всеми вещественными корнями? Как они представляются геометрически и какие операции с ними можно производить? Об этом рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
Оппенгеймер и его математика конца света (Welch Labs)
Что же именно дало уверенность ученым Манхэттенского проекта продолжить работу по созданию первой ядерной бомбы, несмотря на все существовавшие в то время опасения о том, что испытание может запустить термоядерную реакцию в атмосфере Земли и уничтожить всё живое в огне плазмы?
Основная теорема арифметики – Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
В чём заключается основная теорема арифметики и почему она так «громко» называется? Как она может быть доказана и какие интересные следствия из неё выводятся? Как она связана с простыми числами и методами шифрования?
Об этом в лекции по математике рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Вы знали, что у чисел тоже есть возраст? Всего лишь одно "доживает" до 11!
Сегодня мы обсудим вопрос, о котором никогда не задумывались не только обычные люди, но и математики. Речь пойдет о том, что числа, подобно людям, имеют определенный срок существования. Я подробно расскажу об этом в статье. Давайте начнем!
Кто придумал числовой возраст?
Нил Слоан (род. 10 октября 1939 года) — выдающийся американский математик. Он является одной из важнейших фигур в области комбинаторики, дискретной математики и компьютерных наук.
Слоан окончил Массачусетский технологический институт (MIT) в 1960 году, где изучал математику. Затем он получил докторскую степень в Йельском университете, где его научным руководителем был Гарретт Биркгоф. Его диссертация была посвящена теории графов и алгебраической комбинаторике.
Самый известный вклад Нила Слоана — создание «Энциклопедии последовательностей целых чисел» (OEIS), которая стала неоценимым ресурсом для математиков, ученых и любителей математики. OEIS является онлайн-базой данных, содержащей миллионы последовательностей чисел, включая те, которые встречаются в различных математических задачах, теории чисел, комбинаторике, физике и других областях. Каждая последовательность сопровождается описанием, ссылками на литературу и иногда даже комментариями от самого Нила.
Стандартная статья из OEIS — огромное количество комментариев и бесценных ссылок
Нил Слоан также работал над проблемами, связанными с сетями, кодами, теорией графов и другими областями дискретной математики. Он опубликовал множество статей и книг по этим темам.
Числовой возраст
Как это часто бывает, видимо от скуки, математик решил поиграться с числами, сопоставив каждому из них некоторый алгоритм. В этом случае Нил предложил перемножать значащие цифры, а возраст определять по длине цепочки умножений, приводящей к единственной цифре. Например:
«Числа-то маленькие» — скажете Вы, но не всё так просто. Их увеличение не ведёт к пропорциональному изменению возраста. Иногда даже происходят вот такие коллизии:
Понятно, что основным ограничивающим фактором является появление цифры «0», которая сразу прерывает «жизнь» числа.
Однако здесь на сцену выходит вот такое число:
И его результат просто ошеломительный:
Его психологический возраст равен 11! Более того, проанализировав (конечно, не в лоб) числа до 10^223, Нил не обнаружил ни одного числа с продолжительностью жизни, большей 11!
Этот поразительный результат противоречит нашей интуиции. Казалось бы, если мы возьмем огромное число с десятками и сотнями значащих цифр (например, 7, 8 и 9), то для того чтобы получить однозначный результат, потребуется значительно больше, чем 11 шагов. Однако реальность оказывается иной: ноль появляется на одиннадцатом шаге или даже раньше. Как отметил сам Слоун, его алгоритм можно назвать «чрезвычайно эффективным уничтожителем огромных чисел».
Известным это число стало, конечно же, после видео на канале «Numberphile»:
Оно на английском языке, но нейросети Яндекса позволяют перевести его в очень удобоваримом формате.
Больше интересного в Telegram «Математика не для всех»
Формула Эйлера: объяснение | Самая красивая формула математики – Алексей Савватеев | Лекции
Почему формула Эйлера – «самая красивая» формула математики? Что такое тождество Эйлера, какими различными вариантами его можно представить и почему оно считается одной из самых красивых формул в математике? Как его вывести, как изобразить геометрически и как всё это можно понять наиболее наглядным образом, так сказать, «на пальцах и фломастерах»? 😉
Об этом в неподражаемой манере рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Почему 2 + 2 = 4? Отвечает математик Алексей Савватеев | Математика для всех :)
Действительно ли два плюс два (как дважды два) равно четыре? Ответ математика для сомневающихся. 🙂 Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.
Анаморфоз – математик Николай Андреев | Научпоп | Лекции по математике | НаукаPRO
Какие отражения получаются в цилиндрическом зеркале и как они описываются с точки зрения математики? Что такое анаморфоз и к каким необычным визуальным и даже художественным эффектам он приводит? Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Регрессия к среднему — невидимая рука хаоса
Что объединяет израильских лётчиков, лечение сомнительными методами и твою жизнь? Сегодня поговорим про регрессию к среднему. Это явление порождает огромное количество заблуждений везде, где мы с ним сталкиваемся, потому что наш мозг очень любит истории и не очень любит статистику. Его неправильное понимание приводит к ошибкам в политике, медицине, науке и бизнесе.
Начнём мы с истории из книги Даниеля Канемана «Думай медленно, решай быстро». Автор преподавал психологию эффективного обучения инструкторам израильских лётчиков. Опираясь на исследования, он начал рассказывать им, что поощрение за улучшение результатов работает лучше, чем наказание за ошибки. На что опытный инструктор поделился наблюдениями: когда он хвалит курсантов за особенно чистое исполнение заданий, в следующий раз их результат ухудшается. Когда же он ругает их за особо плохое исполнение, результат в следующий раз улучшается. Почему же эмпирические данные так противоречат исследованиям? Дело вот в чём: вне зависимости от уровня владения каким-то навыком мы не способны показывать один и тот же результат, потому что всегда присутствуют некоторые случайные факторы, не поддающиеся просчёту. Поэтому после НЕОБЫЧНО удачной попытки почти любой следующий результат окажется хуже. И в обратную сторону, если пилот выполнил упражнение ОСОБЕННО плохо, то, скорее всего, следующая попытка будет лучше. Давайте попробуем разобраться почему.
История
Регрессия к среднему довольно контринтуитивна. По ироническому замечанию статистика Дэвида Фридмана, если в ходе судебного разбирательства возникает вопрос о регрессии, та сторона которой приходится объяснять её суть присяжным, обязательно проигрывает.
Её контринтуитивность подтверждает и то, что её обнаружили аж на 200 лет позже, чем дифференциальное исчисление и Ньютоновскую теорию гравитации. Это сделал троюродный брат Чарльза Дарвина. Звали его Фрэнсис Гальтон, и он тоже увлекался темой наследственности. Однако в отличие от Дарвина, расписывающегося в своём бессилии в математике, Гальтон был в ней довольно крут. Он пытался выяснить, как наследуются различные признаки и случайно сделал важнейший вклад в статистический анализ. Вот что он обнаружил.
График роста отцов и сыновей
Мой рост 183 сантиметра, как и у моего отца. Выше изображён график, в котором по одной оси рост отцов, а по другой рост сыновей (в оригинале включены дети и родители обеих полов). Вы видите точку, отражающую наш с папой результат — мой рост 183 и его рост такой же. Гальтон обобщил данные о многих родителях и детях и нанёс их на подобный график.
Фантазия на тему, что мы получили бы если бы корреляция была полной
Если корреляция была бы полной (то есть рост детей всегда равен росту родителей), то мы бы получили вот такую прямую линию. 165=165, 190=190. На ней больше всего точек было бы вокруг среднего роста для мужчин — 176 сантиметров (то есть таких пар было бы просто больше, чем, например, двухметровых отцов с их двухметровыми сыновьями). Если бы корреляции не было вообще, то мы получили бы другую картину. Хаотично разбросанные по графику точки, которые немного кучкуются вокруг центра со средним значением. Но как вы понимаете обе картины далеки от реальности. Так что же тогда получил Гальтон?
Оригинальная иллюстрация 1886 года, с которой начался рагрессионный анализ.
А получил он приблизительно такую картину, напоминающую эллипс. Рост родителей имеет корреляцию с ростом детей. Но корреляция эта не идеальна. Есть много случайных факторов, влияющих на рост, таких как внутриутробное развитие, болезни, стрессы, питание и прочее. Поэтому дети очень высоких родителей хоть и выше среднего, но обычно ниже своих родителей.
Давайте возьмём отцов с ростом 200 сантиметров. Это очень высокие отцы, и в большинстве случаев их сыновья будут ниже них. Это мы наблюдаем и на графике, чем выше рост отца, тем больше сыноей остаются ниже линии его роста. Однако большинство этих сыновей будут выше среднего значения (гены всё же играют роль). Это наблюдение и есть регрессия к среднему.
За экстремальными результатами обычно следуют более обычные показатели. И мы наблюдаем это в любой ситуации с неидеальной корреляцией. То есть там, где есть хоть какая-то случайность (невозможность рассчитать/ неконтролируемые параметры).
KPI шаманизм
Представьте себе ситуацию: мы смотрим на показатели эффективности сотрудников в каком-то отделе. Давайте взглянем на лучшего и худшего работника этого месяца, и попробуем предположить, что произойдёт с их показателями в будущем? Если корреляция между навыками и показателями идеальна, то в следующем месяце не произойдёт никаких изменений. Однако если корреляция не идеальна, и результат определяется в том числе удачей, то лучший сотрудник покажет результат похуже, хоть и выше среднего. Худший так же улучшит результат, но вряд ли станет лидером. Если же баллом правит случайность (например, у нас отдел по выбрасыванию монеток орлом) то регресс к среднему будет максимальным.
В реальной жизни ушлый руководитель большого отдела мог бы каждый месяц проводить тренинги для сотрудника показавшего экстремельно плохорй результат. А руководство каждый месяц удвилялось бы стабильному улучшению показателей этого сотрудника.
Больше примеров
Вообще, интересное наблюдение Даниеля Каннемана заключается в том, что успех = навыки + удача (под удачей имеется ввиду случаность — неконтролируемые параметры). И если навыки всегда остаются с тобой, то удача изменчива. Это значит, что особо выразительный успех включает в себя как высокие навыки, так и высокую удачу. Именно этим объясняется так называемое проклятье обложки. Результаты спортсменов, попадающих на обложку журнала Sports illustrated неизменно ухудшаются. Как и карьеры актёров, получивших Оскар. Что в них общего? Их результат является отражением и великолепных навыков, и высокой удачи.
А вот пример из совершенно другой сферы. В 1999 году школы в штате Массачусетс поделили на отстающие, средние и лучшие по ряду показателей. Затем внесли некоторые изменения в программу. Что же произошло на следующий год? У худших школ средний балл возрос, что министерство образования, естественно, записало на свой счёт. Однако был проигнорирован тот факт, что почти все лидеры ухудшили свои показатели.
В науке игнорирование регрессии к среднему — довольно тяжкий грех. В 1976 год в British medical journal была опубликована статья про эффективность отрубей. Там людей разделили по скорости пищеварения на лучшую группу, среднюю и худшую (где-то мы такое уже слышали). Затем их кормили отрубями и смотрели, улучшаются ли показатели в худшей группе. У испытуемых наступило улучшение, что авторы статьи посчитали эффектом отрубей (правда, если бы они взглянули на лучшую группу, то увидели бы ухудшение показателей). Самое анекдотичное, авторы статьи упоминают регрессию к среднему и пишут: что она может присутствовать, но они считают, что эффект всё же есть.
Вот похожий пример: в Америке была телепередача scared straight («напуганы до исправления») где несовершеннолетним правонарушителям показывали тюрьмы, а заключённые рассказывали им об ужасах, которые их там ждут. Видите тот же рисунок — выбираем худших по произвольному показателю и смотрим, что произойдёт в результате воздействия. Организаторы в одном из штатов сообщили, что их участников арестовывают в следующем году в два раза реже. Такой эффект вполне может быть объяснён регрессией к среднему, а не эффективностью программы (чуть ниже по тексту мы это узнаем точно).
При чём тут лишний вес?
Хорошо, но какое это имеет отношение к вашей жизни? Представьте себе ситуацию. У вас разболелась голова, и вы уже не можете это игнорировать. Но подруга как раз вчера посоветовала вам классный способ от головных болей: натереть виски чесночной водой перед сном. Вы так и поступаете, и голова на следующий день болит гораздо меньше или вообще проходит. Круто! Можно звонить подруге и говорить спасибо? Не спешите.
При хронических заболеваниях вам, то становится лучше, то опять что-то болит (голова, спина или суставы, подставьте свой вариант). В какой момент мы обычно обращаемся за помощью? Когда становится совсем плохо. Вот тут мы бежим за альтернативной медициной или приходим к врачу, который выписывает нам средства из расстрельного списка препаратов. Но ведь если нам стало особенно плохо, после этого мы и так ожидаем улучшения. Не из за того, что организм сам себя спасёт, а просто, потому что любое состояние будет улучшением по сравнению с острой фазой.
А теперь представляем, что этот же график отражает ваш вес. В какой момент вы сядете на диету? В момент, когда вы уже не можете игнорировать отклонение от своей же нормы (точнее от того уровня, что ваш мозг считает нормальным). И конечно же, в этот момент кремлёвская диета вам помогает.
Нужно больше историй!
Наш мозг не любит статистику, но очень любит истории. Это ещё называется искажением нарратива. Из-за него во всех этих ситуациях мы видим истории с причинно-следственной связью вместо регрессии к среднему.
Вот вам наблюдение: умные женщины часто выходят замуж за менее умных мужчин. Сколько интересных объяснений этому вы слышали? Умные женщины избегают конкуренции умных мужчин или умные мужчины не хотят соревноваться с умными женщинами. Но корреляция между интеллектом супругов не идеальна (в том смысле, что браки с разным IQ не запрещены). А там, где корреляция не идеальна — мы обязаны ожидать регрессию к среднему.
Непонимание регресса к среднему может быть довольно опасной штукой, если дело касается медицины. Раньше благодаря заблуждениям о его природе мы верили в эффективность далеко не безвредного кровопускания или употребления родянки (токсичного вообще-то растения) для лечения бесплодия.
Так, стоп, но как тогда вообще понять, работает ли метод лечения или диета?
Именно для этого и существуют исследования с фокус-группами. Это когда мы делим группы людей на худеющих с помощью какой-то диеты, и людей, которые ничего не будут делать. Если в среднем результаты нельзя отличить, то диета не работает (конечно, в реальности фокус-группы обычно плацебо контролируемы, при делении групп происходит рандомизация и учитывается Хоторнский эффект, но об этом мы поговорим в другой раз).
Кстати, помните несовершеннолетних правонарушителей? Там тоже были проведены рандомизированные испытания с фокус-группой, которые показали, что программа приводит… к усилению антисоциального поведения. Иными словами, группа, которую не трогали, показала результаты лучше. Так что эффект всё же есть, да вот только не тот.
А как же ошибка игрока?
И вот тут есть скользкое и оттого очень интересное место. В одном из роликов я рассказывал об ошибке игрока. Это когда вы думаете, что если орёл выпал десять раз подряд, то шанс на выпадение решки возрос (спойлер: нет). Но теперь я утверждаю, что после плохого результата нужно ожидать результат лучше. Разве эти утверждения не противоречат друг другу? Должны ли мы менять свою ставку после экстремального результата?
Чтобы разобраться, давайте обратимся к настольной игре колонизаторы. В ней сумма двух кубиков указывает, какие территории получат ресурсы (а значит ценность территорий разная).
Взгляните на этот график, отражающий вероятность получения различных сумм. И вот я выбрасываю 12. Регресс к среднему говорит, что следующий бросок я сделаю, скорее всего, с меньшей суммой. Это легко понять, ведь вероятность, что я выброшу любой другой результат кроме 12 гораздо выше (она составляет примерно 97%, против 3%). Также легко понять, что тот факт, что я выбросил 12 вообще никак не влияет на будущие результаты. Выбросил я 12 или два раза по 12, вероятность другого результата в следующем броске останется равной 97%. Кубики не помнят предыдущих бросков. И наоборот, если 12 давно не выпадало, то вероятность выбросить его в следующем броске всё ещё = 3%.
Вот вам хрестоматийный пример непонимания этого: «лихорадка 53 номера». Начиная с 2003 года на протяжении многих розыгрышей итальянской лотереи перестал выпадать выигрышный номер 53. Это совпадение заставило многих людей ставить на это число гораздо больше денег. К моменту завершения этой истерии люди успели проиграть 4 миллиарда евро. А могли просто прочитать эту статью.
Нормальный такой купол
Кстати, форма распределения вероятности выпадения кубиков называется купол нормального распределения. Откуда он берётся?
Точка означает просто один из 36 вариантов.
Вот график отражающий корреляцию между значениями двух брошеных игральных кубиков, по образу графика с ростом отцов и сыновей. Тут как видите никакой корреляцией и не пахнет. Если выпала единица на первом, то есть равные шансы для любого значения на втором. Но давайте посмотрим, как часто встречаются те или иные суммы двух кубиков.
Немного перевернул его для удобства, цифрой обозначена сумма двух значений.
Некоторые суммы могут выпадать большим количеством вариантов. Например семёрку можно получить шестью разными результатами. Если мы это переведём в график (он в нижней части, немного не влез в кадр), то получим уже знакомый нам купол. Волшебство? Давайте проверим, работает ли эта магия на практике?
Взгляните на это фото. Здесь я кидал два кубика и клал фишку на соответствующую ячейку суммы. Один бросок = одна фишка. Процессом управляла случайность, но полюбуйтесь великолепным порядком, который она образовала (на видео есть таймлапс со всеми бросками под музычку).
А вот эта штука называется доска Гальтона. Он изобрёл её, чтобы не заморачиваться как я и не кидать кубики кучу раз. В остальном цель у неё та же: продемонстрировать как хаос обретает порядок.
Триумф посредственности?
Следующая история взята из книги Джордана Элленберга «Как не ошибаться». Хорас Секрист в 1930ых годах пытался выяснить, почему одни компании процветают, а другие находятся на грани банкротства. Он собрал кучу данных систематизировав их в почти 500 страничный труд под названием «Триумф посредственности». Какие бы параметры ни брал исследователь, по всем лидеры теряли лидерство, а аутсайдеры переставали быть аутсайдерами. Секрист посчитал виной этому свободную конкуренцию и приход к управлению непрофессионалов в бизнесе. Мол любой может вырваться в лидеры по стечении обстоятельств, но не каждый может удержать своё положение на рынке. Красивое причинно-следственное объяснение, всё как любит наш мозг. Однако, этот вывод игнорирует регрессию к среднему, на что указал Гарольд Хоттелинг. Он возглавлял группу Статистических исследований в Нью Йорке (та самая позиция, где позже Абрахам Вальд будет объяснять армейским чиновникам суть ошибки выжившего). Он указал, что для регрессии вовсе не нужны причины, это давно известный статистический закон. Секрист потративший 10 лет на исследования от выводов отказываться не стал. Тогда Хоттелинг сказал: «Тезис этой книги математически тривиален, и доказательство его посредством дорогостоящего и длительного исследования аналогично доказательству таблицы умножения путём замены цифр на слонов, а затем выполнению этого с другими животными. Такое представление, имеющее возможно педагогическую ценность, не вносит ничего нового ни в зоологию, ни в математику».
Благодаря эффекту Баадера-Мейнхофф теперь вы начнёте замечать это явление повсюду. Как много историй в вашей жизни объясняется регрессом к среднему?
Помогите разобраться почему 2*2=5
конечно, 2*2=4, но, действительно, есть такое понятие, как матем. софизм — это намеренная ошибка, ложное заключение, например:
4*(3+6-9)=5*(3+6-9) — сократим на (3+6-9) правую и левую части, получим:
Ложный шаг — сокращение, поскольку выражение (3+6-9) = 0, а на ноль делить нельзя.
Очень много примеров мат софизмов в книге «Математическая шкатулка» и в книгах Мартина Гарднера.
А начнем мы с того, что расскажем о названии: “2 * 2 = 5”. Почему 5, а не 4.
В математике существует такое понятие как софизм — это умышленно ложное утверждение, которое имеет видимость правильного и ошибка искусно замаскирована. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости
математических рассуждений. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки. И.П. Павлов говорил, что и “правильно понятая ошибка — это путь к открытию”.
Новые вопросы в Математика
Этот сайт использует cookies Политика Cookies . Вы можете указать условия хранения и доступ к cookies в своем браузере.
Ученые доказали, что 2+2=5 правда ли это?
Ученые доказали, что 2+2=5 правда ли это? Мне сказали что они доказали это причем, не только ученые но уже стали доказывать учители из техникумов и институтов?
В математике есть много подобных «доказательств». В том числе есть и «доказательство» того, что 2*2=5. Но все эти «доказательства» содержат в себе ошибки, но бывает, что их трудно сразу обнаружить. Ученые такими доказательствами не занимаются. Только шутники, которые неплохо знают математику.
То, что 2+2=5 есть много разных «доказательств». Приведу самое простое. Представим равенство: 20-20=25-25. Выносем множители: 4(5-5)=5(5-5) и разделим на общий множитель (5-5). Получим 4=5. Следовательно, 2+2=5. Попробуйте найти здесь ошибку. А всё очень просто. 5-5=0. А в математике делить на ноль нельзя.
Ещё одно «доказательство». 2+2=5. Преобразуем это равенство 2 * 1 + 2 * 1 = 5 * 1. Распишем 1 как частное равных чисел: Имем 1 = (5-5)/(5-5). Тогда получим 2 * (5-5)/(5-5) + 2 * (5-5)/(5-5) = 5 * (5-5)/(5-5). Умножим обе части уравнения на(5-5), тогда имеем 2*(5-5) + 2*(5-5) = 5*(5-5) Отсюда получим 0 + 0 = 0. Это доказательство похоже на предыдущее, но лихо закрученное. Здесь также нельзя делить на ноль.
А вот ещё более сложное «доказательство». Докажем что 2+2=5 и 2 * 2 = 5, тоже равно 5. То есть 4=5 . Запишем сначала очевидное равенство 25 — 45 = 16 — 36 . Прибавим (9/2)^2 к обеим частям 25 — 45 + (9/2)^2 = 16 — 36 + (9/2)^2. Или 5^2 — (2 * 5 * 9)/2 + (9/2)^2 = 4^2 — (2 * 4 * 9)/2 + (9/2)^2. Отсюда(5-9/2)^2 = (4-9/2)^2. Обе части положительны, можно извлечь квадратный корень. 5 — 9/2 = 4 — 9/2. Теперь прибавим 9/2 к обеим частям уравнения: 5 = 4 что и требовалось доказать. Итак, 2*2 = 5 и 2+2=5. Где здесь ошибка в доказательстве?
2 х 2 = 5 Доказательство — блог №17614
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.
январь 30, 2010 г.
Для того, чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.
Николай Хижняк
Завораживающий набор чисел. Сколько на него ни смотрю, всегда задаю себе один и тот же вопрос: почему так получается? Стандартный ответ о квадратном корне — это для деток из яселек.
Интересно, кто-нибудь сумеет проделать подобный фокус в области исключительно положительных чисел, не прибегая к помощи деления на ноль?
Куликов Андрей Сергеевич
При извлечении корня из обеих частей тождества, тождество сохраняется только в случае корней с одинаковыми знаками. Например, (4-9/2)=-(5-9/2), из чего следует -0,5=-0,5, или -(4-9/2)=(5-9/2), из чего следует 0,5=0,5.
В приведённом примере, при извлечении корней из обеих частей тождества, были взяты корни с разными знаками: (4-9/2)=-0,5 и (5-9/2)=+0,5, при которых тождество не сохраняется.
Николай Хижняк
Это общепринятый взгляд. Если быть до конца честным, то знак равенства между тождествами — это самая первая ошибка. Мы сами устанавливаем правило, что 16 = 4 х 4, 25 = 5 х 5, что квадраты разности равны между собой. Все дальнейшее — результат игры по нашим правилам.
Вот вариант без извлечения корней, но с весьма интенсивным жонглированием математическими выражениями.
Пусть с = a + b, где а и b — любые числа.
а2 — b2 = (a — b) (a + b)
Поскольку с = a + b, получаем тождество: a2 — b2 = (a — b) c
Раскрываем скобки: a2 — b2 = aс — bc
Добавляем к обеим частям произведение ab: a2 + ab — b2 = ac — bc + ab
Переносим вправо b2: a2 + ab = ac — bc + ab + b2
Переносим влево ac: a2 + ab — ac = ab — bc + b2
Маленькая группировочка: a (a + b — c) = b (a + b — c)
Сокращаем выражения в скобках: a = b
Так как a и b — произвольные числа, получается, что любое число равно любому числу. Лично я сторонник всеобщего равенства:)))
Куликов Андрей Сергеевич
В приведённой задаче три величины a, b и c связаны между собой двумя уравнениями, т.е. задана система из двух уравнений с тремя неизвестными, дальнейшие вычисления являются преобразованием второго уравнения системы из двух уравнений способом подстановки первого уравнения во второе. Полученное выражение a=b является не всеобщим равенством, а уравнением справедливым только для заданной системы из двух уравнений.
сентябрь 1, 2010 г.
а разве извлекать квадратный корень можно?
Николай Хижняк
сентябрь 1, 2010 г.
Корень извлекать можно и нужно, но всё нужно делать с умом))))
Marion
сентябрь 16, 2010 г.
Сразу возник вопрос: почему рассматривается отвлеченное от изначально заданного примера тождество? Здесь доказывается, что число равно числу, а не выражение 2х2=5 (то есть, по сути, здесь выведено доказательство того, что 4=5, а не того, что 2х2=5). Это сводит на нет всю поставноку данной теоремы в моем понимании, ведь она не доказана. Хотя, конечно, я не профессионал в данной области, а просто интересующийся, так что могу не понимать чего-то.)
Николай Хижняк
сентябрь 16, 2010 г.
Вы точно чего-то не понимаете, впрочем, как и я сам. Действительно, здесь используется довольно распространенный среди шулеров и математиков прием — подтасовка. Ответ подгоняется под условие задачи. Базируется всё на неоспоримом равенстве 2 х 2 = 4. Действиельно, существует бесконечное множество вариантов получения числа 4, где 2 х 2 лиш один из них. Так что обратное утверждение 4 = 2 х 2 является не совсем математически правильным — это один из множества вариантов. В данном примере подобный прём используется с единственной целью — произвести впечатление на публику. Хотя математически пример очень интересный — никто толком не может объяснить, почему так получается и в чем заключается принципиальная ошибка.
Marion
сентябрь 20, 2010 г.
Мм-м! Теперь понятно.) Спасибо за ответ, Николай.))
Неандерталец
Извлекаем квадратный корень из обеих частейуравнения.
не правильное извлечение корня, 4-4,5 берется в модуль, а дальше тождество неверно.
во втором случае, где а+b=с . тоже не верное, так как выражение a+b-c равно нулю, а деление на ноль запрещено) из этого следует a*0=b*0, и получается, что 0=0
Валерий Викторович
апрель 25, 2011 г.
Ой, дядя Саша, совсем тебе скучно стало богом быть… На пальцах считать пытаешься, ну раз веж это корень.
Ответ не пять… А — Сколько надо?
Владимир Чепурных
Сконструровали каким-то образом очевидное равенство
(a)^2=(-a)^2
и хотим из него получить следствие
a=-a.
Не дано! Если a!=0.
Точно также сконструировали другое равенство
a*0=b*0
и также хотим сделать вывод
a=b.
На кого расчитаны такие шутки-сюрпризы?
Поступать таким образом сознательно — сравнимо с преступлением. Правила установлены для всех, избранные же хотят от них отступить и ввести в заблуждение остальных. Сами же о существовании таких правил знают.
Однако, это очень современно, если коснуться нашей политической элиты. К примеру: Воровать ни-ни! Но ворует! И примеров тому множество, если посмотреть сайт РосПил.
Георгий
февраль 15, 2012 г.
если B отрицательное и больше А — равенство не справедливо, математический парадокс не верен т. к. скобки не сократятся, в случае А отрицательного и больше B аналогично. ПО поводу 4=5, ответ примера 0.5=0.5
Георгий
февраль 15, 2012 г.
если B отрицательное и больше А — равенство не справедливо, математический парадокс не верен т. к. скобки не сократятся, в случае А отрицательного и больше B аналогично. ПО поводу 4=5, ответ примера 0.5=0.5
sensornet
апрель 13, 2012 г.
это просто доказательство на другой пример не на этот так что это не верно
Алексей
ноябрь 4, 2012 г.
Этот пример доказывает не то, что 4=5, а то что формула квадрата разности ( (а – b ) 2 = а 2 – 2 ab + b 2 ) — не верна.
София
декабрь 13, 2012 г.
Это софизм. Извлечь корень квадратный из (4-9/2) на множестве действительных чисел нельзя. Допущена ошибка. так что 4 не равно 5
Светлана
январь 6, 2013 г.
согласна с Алексеем, что пример доказывает, что формула квадрата разности ( ( а – b ) 2 = а 2 – 2 ab + b 2 ) — не верна.
Николай Хижняк
январь 7, 2013 г.
И при чем здесь формула квадрата разности. С нею всё нормально. Принимаем a=b и проверяем фомулу.
Как видите, никаких проблем.
Анастасия
февраль 19, 2013 г.
Чистый и красивый софизм. Я своих детей уже приучила искать подвох) Обязательно дам им это)
saneksen
классная тема! случайно наткнулся, прочитал. в среду вызывает шеф с отчётом, чёт заспорили. я говорю: ды я… я… я вообще могу доказать что2х2=5. он: да ну. я математический клас… я шкоу с отличием. да никогда! Я: забьём? ОН: на бутылку вискаря Я: бери бумагу пиши. туда-сюда он в офигении. ОН: ну скажиииии как? Я: вискарь? ОН: вечером будет. я открвыаю карты. вроде бы всё, ан нет. вечером залетает начальник отдела не моего, другого и такой давольный орёт: давай поспорим на бутылку вискаря я докажу что 2х2=5. я включаю дурачка: да ну! никогда! я в школе… по матике 5! ну давай. ОН пишет -20=-20 и т.д. в нужный момент я: подожди подожди. квадрат, корень, два решения +-=-+ ну и тд. он аж сел с открытым ртом, хорошо строители подоконник в нужном месте построили. Т.о. стоят две классные бутылочки к пятнице! ща думаю сходить в соседний офис с этой темой, не покупать же самому закуску с моей то гениальностью 🙂 в общем БОЛЬШОЕ СПАСИБО.