Чему равен субфакториал 4? Как вычислить субфакториал 4?
Субфакториал — это когда в последовательности чисел ни одно не стоит на своем месте. Помимо приведенной выше формулы с числом Эйлера (е=2,718), для такого небольшого числа, как 4, в принципе субфакториал можно вычислить перебором, если есть свободное время.
На первом месте пусть будет 2, тогда идем от большого к меньшему и получаем:
Других вариантов нет. Тогда на первое место ставим 3, получаем:
И последний кандидат на первое место 4, опять же три варианта:
Других вариантов нет. Складываем все расстановки и понимаем, что для последовательности из 4 чисел существует 9 беспорядков (когда все они стоят не на своем месте).
Субфакториал в математике, понятие и применение кратко
Привет, сегодня поговорим про субфакториал, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое субфакториал , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..
субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.
В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт (т. н. Задача о письмах).
Субфакториал — это математическая функция, которая определяется как количество перестановок из n элементов, которые не имеют ни одной фиксированной точки. Символически субфакториал обозначается как !n.
Например, если у нас есть три элемента <1, 2, 3>, то мы можем получить 3! = 6 перестановок: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Однако, если мы хотим получить перестановки без фиксированных точек, то они могут быть только две: (2,3,1) и (3,1,2). Это означает, что !3 = 2.
Явная формула
Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения:
Другие формулы
, где 
обозначает неполную гамма-функцию (англ.), а e — математическая константа;
, где 
обозначает ближайшее к x целое число.
(согласно Mehdi Hassani), где 
обозначает целую часть числа.- Справедливы формальные тождества:
и 
, где 
нужно понимать как 
, а 
— как 
.
Таблица значений
последовательность A000166 в OEIS
Свойства субфакториала
(таким же свойством обладает сам факториал)
где 
и 
. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Начальные члены последовательности 
:
1, 1, 3, 11, 53, 309, 2119, … (последовательность A000255 в OEIS)
- Число 148349 является субфакторионом, т.е равно сумме субфакториалов своих цифр (аналог факториона):
(найдено J. S. Madachy, 1979)
Применение субфакториала
Итак, если факториал определяет количество перестановок, возможных в наборе из n объектов, то субфакториал характеризует количество беспорядков в таком же наборе. Проще всего понять, что такое факториал на жизненном примере. Возьмем некоторое количество писем и конвертов и пронумеруем их:
Теперь наша задача в том, чтобы создать максимальный беспорядок, а именно сделать так, чтобы каждое письмо оказалось не в том конверте, для которого предназначено. На рисунке я показал один из способов такого распределения.
Формула для вычисления субфакториала сложностью не отличается:
Формула была выведена Николаем Бернулли еще в 1713 году.
Единственное, что восклицательный знак ставится перед переменной. Для примера вычислим !4:
Значит, в наборе из 4 писем есть 9 вариантов навести тотальный хаос!
Еще одна интерпретация задачи: профессор дал тест 4 студентам – 1, 2, 3 и 4 – и хочет, чтобы они оценили тесты друг друга. Конечно, ни один студент не должен оценивать свой собственный тест. Сколько существует способов, чтобы никто не получил обратно свой собственный тест для проверки?
Видно, что таких случаев 9, как и должно быть по формуле.Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Derangement4.png/800px-Derangement4.png
Судя по формуле, субфакториал всегда меньше факториала, ведь в скобках величина всегда меньшая, чем 1/2 для n>3. Поразительно, но факториал и субфакторила лаконично связаны через постоянную Эйлера, и это действительно очень красиво:
Просто вычисляем ближайшее целое число к полученному результату
Ну и напоследок еще одно феноменальное совпадение — единственное известное математикам число-субфакторион:
Практическое применение
Субфакториал имеет практическое применение в различных областях, таких как комбинаторика, криптография, теория графов, теория вероятностей и других. Например, в криптографии субфакториал используется для вычисления количества ключей, которые необходимы для шифрования данных, чтобы никакой ключ не использовался дважды. В теории графов субфакториал используется для определения числа гамильтоновых путей и циклов в графе.
Также стоит отметить, что субфакториал является частным случаем обычного факториала. Факториал n обозначается как n! и определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n. Следовательно, !n можно выразить через n! следующим образом: !n = n! * S(n, 1), где S(n, k) — количество стерлинговых чисел второго рода, которые определяют количество способов разбить множество из n элементов на k непустых подмножеств.
- Субфакториал иногда допускается в математических играх типа получения различных результатов из определенных цифр (например, известна игра Четыре четверки, где равенство !4 = 9 может принести пользу).
Выводы
субфакториал — это математическая функция, которая имеет широкое практическое применение в различных областях. Знание этой функции может быть полезным для людей, работающих в таких областях, как криптография, теория графов и теория вероятностей.
Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!
- Факториал
- Целочисленные последовательности
Напиши свое отношение про субфакториал. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое субфакториал и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.
Единственное в мире число-субфакторион — это 148349. Что это такое?
Сегодня у нас достаточно простая статья, связанная с занимательной математикой. Я думаю, все прекрасно, знают, что такое факториал:
Более изощренные любители математики знают и про такое понятие, как субфакториал:
Субфакториал
Субфакториал (или subfactorial) — обозначается символом !n и представляет собой количество перестановок n элементов, в которых ни один элемент не остается на своем месте (по сути — это аналогия полного беспорядка). Для небольших значений n это можно проиллюстрировать следующим образом:
Для n = 1: !1 = 0. Единственный элемент не может «переставляться» сам с собой.
Для n = 2: !2 = 1. Всего две возможные перестановки (1, 2) и (2, 1), и только одна из них соответствует требованию «ни один не остается на своем месте».
Для n = 3: !3 = 2. Возможные перестановки: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). В двух из них ни один элемент не остается на своем месте: (2, 3, 1) и (3, 1, 2).
Более жизненная интерпретация субфакториала: профессор дал тест 4 студентам – 1, 2, 3 и 4 – и хочет, чтобы они оценили тесты друг друга. Конечно, ни один студент не должен оценивать свой собственный тест. Сколько существует способов, чтобы никто не получил обратно свой собственный тест для проверки?
Чем отличается субфакториал и факториал?
Математические понятия факториала и субфакториала используются для решения различных задач, связанных с комбинаторикой и теорией вероятностей. Несмотря на то, что оба термина обозначают множество перестановок элементов, эти два понятия имеют свои особенности и отличия.
Факториал, обозначаемый как n!, представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Факториал нередко применяется для решения задач, связанных с перестановками, сочетаниями и размещениями элементов в определенном порядке.
Субфакториал, в свою очередь, обозначается как !n и используется для решения задач, связанных с количеством перестановок элементов, которые не остаются на своих местах. Одной из наиболее распространенных задач, в которых используется субфакториал, является задача о рассадке гостей на празднике.
Таким образом, факториал и субфакториал — важные математические понятия, которые позволяют решать различные задачи, связанные с перестановками и комбинациями. Однако, несмотря на то, что оба термина обозначают множество перестановок элементов, они имеют свои особенности и применение в различных областях математики и естественных наук.
Чем отличается субфакториал и факториал?
Факториал — что это?
Факториал — это математическая операция, которая вычисляет произведение всех целых чисел от 1 до заданного числа. Факториал обозначается символом «!» и читается как «факториал». Например, факториал 5 выражается как 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Факториал используется в комбинаторике для решения задач на перестановки и сочетания элементов.
Факториал является частным случаем субфакториала, который также вычисляется как произведение целых чисел, но не от 1 до заданного числа, а от 1 до ближайшего меньшего простого числа.
Например, субфакториал 5 обозначается как !5 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24, а субфакториал 9 — как !9 = 8 * 7 * 5 * 3 * 2 * 1 = 40 320. Субфакториал также используется в комбинаторике и теории чисел.
| Факториал | Субфакториал |
|---|---|
| Вычисляется как произведение всех целых чисел от 1 до заданного числа | Вычисляется как произведение всех целых чисел от 1 до ближайшего меньшего простого числа |
| Обозначается символом «!» | Обозначается символом «!» и числом, для которого вычисляется субфакториал |
| Используется для решения задач на перестановки и сочетания элементов | Используется в комбинаторике и теории чисел |
Как вычисляется факториал?
Факториал — это математическая операция, которая вычисляет произведение положительных целых чисел от 1 до данного числа. Факториал обычно обозначают символом «!» после числа.
Например, факториал числа 5 равен 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
Вычисление факториала можно представить в виде цикла, начиная с 1 и умножая каждое последующее число до заданного числа.
- Инициализируем переменную factorial = 1
- Задаем число n, для которого нужно вычислить факториал
- Создаем цикл от 1 до n
- Умножаем каждое число от 1 до n на factorial
- Результатом будет значение переменной factorial, равное факториалу числа n
Например, для вычисления факториала числа 5 выполним следующий код:
| Шаг | factorial | i |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 6 | 3 |
| 4 | 24 | 4 |
| 5 | 120 | 5 |
Результатом будет значение 120.
Вычисление факториала можно также производить с помощью рекурсии.
Зная, как вычисляется факториал, можно более подробно изучить, как отличается субфакториал от факториала.
Чем отличается субфакториал и факториал?
Субфакториал — что это?
Субфакториал — это математическая функция, которая обозначается как !n. Его значение равно количеству перестановок (изменений порядка элементов) шестиэлементного множества, которые не оставляют ни одного элемента на своем исходном месте. Это значит, что субфакториал числа n меньше факториала n, потому что он вычисляется на основе перестановок, в которых некоторые элементы остаются на своем месте.
Например, !6 = 265, а 6! = 720. Это означает, что существуют только 265 перестановок шести элементов, которые не оставляют ни одного элемента на своем месте.
Субфакториалы имеют множество практических приложений, включая криптографию, теорию кодирования и комбинаторику. Они также являются объектами исследования в различных областях математики и обеих информатики.
Отличие субфакториала от факториала?
Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 равен 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.
Субфакториал числа — это количество перестановок данного числа, которые не имеют ни одного неподвижного элемента. Например, субфакториал числа 4 равен 9, так как можно переставить цифры 1234 следующими способами: 2143, 2413, 2431, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312 и 4321.
Главное отличие между факториалом и субфакториалом заключается в том, что в факториале учитываются все возможные перестановки элементов, а в субфакториале только те перестановки, которые не имеют неподвижных элементов.
Иными словами, в факториале учитываются все перестановки, включая те, где элементы остаются на своих местах, а в субфакториале учитываются только те перестановки, где никакой элемент не остается на своем месте.
Таким образом, субфакториал меньше факториала, поскольку их значения различаются на количество перестановок, где хотя бы один элемент остается на своем месте.
Вычисление субфакториала: что это такое и как его найти
Что такое субфакториал?
Субфакториал числа N (обозначается как !N) это количество перестановок, в которых не осталось ни одного элемента на своем месте.
Субфакториал используется в задачах комбинаторики, в том числе в задачах теории вероятности и теории информации.
Как вычислить субфакториал?
Существует специальная формула для вычисления субфакториала числа N:
где n — количество натуральных чисел меньше или равное N.
Вычислим субфакториал числа 4.
!4 = 4!(1-1/1!+1/2!-1/3!)
!4 = 4x3x2x1(1-1+1/2-1/6)
!4 = 9
Таким образом, субфакториал числа 4 равен 9.
Где применяются факториалы и субфакториалы?
Факториалы
Факториалы широко применяются в математике, анализе алгоритмов и статистике. Например, они используются:
- для решения задач комбинаторики, в том числе при подсчете числа перестановок, сочетаний и размещений
- для вычисления вероятностей и математических ожиданий в случайных процессах
- в анализе алгоритмов для оценки трудоемкости и скорости выполнения программ
Также факториалы используются в физике при расчетах электронных конфигураций и моделировании процессов в частицах.
Субфакториалы
Субфакториалы также находят применение в математике и анализе алгоритмов:
- они используются для решения задач на подсчет числа комбинаторных объектов с ограничениями (например, число перестановок без фиксированных точек)
- в анализе алгоритмов субфакториалы используются для оценки верхней грани числа перестановок, при которых выполняется определенное условие, например, максимальное число точек, не находящихся на одной прямой
Кроме того, субфакториалы находят применение в теории информации при анализе сложности схем и кодировании данных.