Сколько симметричных линий в пятиугольнике
Перейти к содержимому

Сколько симметричных линий в пятиугольнике

  • автор:

Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник?

В 2:09 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал следующим образом: Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник?

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:

Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.

Коновалова Регина Антоновна — автор студенческих работ, заработанная сумма за прошлый месяц 53 196 рублей. Её работа началась с того, что она просто откликнулась на эту вакансию

ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!

Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.

Деятельность компании в цифрах:

Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.

Ответы на вопросы — в этот раздел попадают вопросы, которые задают нам посетители нашего сайта. Рубрику ведут эксперты различных научных отраслей.

Полезные статьи — раздел наполняется студенческой информацией, которая может помочь в сдаче экзаменов и сессий, а так же при написании различных учебных работ.

Красивые высказывания — цитаты, афоризмы, статусы для социальных сетей. Мы собрали полный сборник высказываний всех народов мира и отсортировали его по соответствующим рубрикам. Вы можете свободно поделиться любой цитатой с нашего сайта в социальных сетях без предварительного уведомления администрации.

Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.

Оси симметрии пятиугольника вписанного в окружность

Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы

Точное построение фигуры

Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:

  1. Построить окружность с центром в некоторой точке О.
  2. Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
  3. Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
  4. По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
  5. Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
  6. Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
  7. Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
  8. Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
  9. Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
  10. Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
  11. Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
  12. Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
  13. Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.

Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

Алгоритм Биона

Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

  1. Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
  2. Провести в ней диаметр АD.
  3. Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
  4. Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
  5. Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
  6. Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
  7. Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.

Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

Приближенные методы

Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

  1. Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
  2. Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
  3. Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
  4. Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
  5. Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.

Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

Признаки и свойства

Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

  1. Стороны равны между собой.
  2. Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

  1. Равенство сторон.
  2. Углы равны по 108 градусов.
  3. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
  4. Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.
  5. Количество диагоналей соответствует 5.
  6. Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
  7. Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
  8. Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
  9. Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

Расчет параметров

С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

Условные обозначения

Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

  1. Сторона: a.
  2. Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
  3. Площадь: S.
  4. Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
  5. Диагональ: d.
  6. Отношение золотого сечения: Ф.

Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

Соотношения и формулы

После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

  1. S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
  2. S = 5r^2 * tg(36).
  3. S = 2,5 * R^2 * sin(72).
  4. S = (5/12) * R * d.

Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

  • Ось симметрии угла — биссектриса.
  • Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
  • Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
  • У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
  • У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
  • Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

  1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
  2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
  3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
  4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC.
  5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

  1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
  2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
  3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
  4. Соединяем точки и строим треугольник A1B1C1.

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

  1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
  2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
  3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
  4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A1 и B1.
  5. Соединяем точки A1 и B1.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

  1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
  2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
  3. Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1 B1C1.
  4. Получаем треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

  1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
  2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
  3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
  4. Чертим на противоположной стороне отрезки А1О и B1О, равные отрезкам АО и АB.
  5. Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Правильные многоугольники

Многоугольник — замкнутая ломаная линия. В школьной планиметрии изучают плоские линии, без самопересечений. Часть плоскости, ограниченная этой линией, также называется многоугольником. В этом смысле многоугольник имеет площадь. Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами, называется n-угольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

На этом рисунке

1 — простая (без самопересечений) ломаная линия, имеет 6 звеньев и 7 вершин;
2 — шестизвенная ломаная, имеющая одно самопересечение;
3 — выпуклый многоугольник, пятиугольник;
4 — невыпуклый многоугольник, десятиугольник.

Итак, слово «правильный» в условии задачи сразу говорит нам о том, что все стороны и все углы многоугольника одинаковые. Количество углов (вершин) и количество сторон определяем по названию многоугольника. Далее в формулах и задачах будем обозначать это количество символом n.


и так далее.

правильный пятиугольник.

Чтобы построить другие правильные многоугольники, задайте количество сторон n (от 3-ёх до 12-ти).

Многоугольники можно вписывать в окружность или описывать вокруг неё. Однако, это получается не для всех и не всегда. Говоря математическим языком, не всегда существует окружность, которая удовлетворяет определению.

Если многоугольник вписан в окружность, то можно сказать, что окружность описана около многоугольника, или, наобррот, если многоугольник описан около окружности, то окружность вписана в него. Такие формулировки тоже встречаются в условиях геометрических задач. Чтобы не путаться запомним — вписанная фигура находится внутри описанной около неё.

Четырехугольник вписан в окружность.

Четырехугольник описан около окружности.

Рассмотрим другие примеры.

Произвольный прямоугольник всегда можно вписать в окружность, но описать нельзя. Описать получится только тогда, когда прямоугольник — это квадрат.

Параллелограмм нельзя вписать в окружность. Описать можно только ромб.

В окружность можно вписать только равнобочную трапецию, описать около окружности тоже можно не всякую трапецию.

Существование вписанной и описанной окружности для произвольных многоугольников связано с величинами их углов и сторон. Есть специальные теоремы, позволяющие определить будет ли многоугольник являться вписанным и/или описанным. Сейчас мы на них останавливаться не будем. Сейчас важно отметить следующее:

Треугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

Пятиугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

Правильные многоугольники имеют центр, точнее совпадающие в одной точке центр симметрии, центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей. Если соединить с центром правильного n-угольника его вершины, то многоугольник разобьется на n равных равнобедренных треугольников.

Боковые стороны этих треугольников (на рисунке — зелёные отрезки) будут равны радиусу описанной окружности \(R\), а их основания (на рисунке — красные отрезки) равны стороне многоугольника \(a\).

Пользуясь таким чертежом, можно вычислять различные отрезки и углы в многоугольнике на основе знаний о равнобедренных треугольниках.
Например, угол AOB в пятиугольнике равен 360/5 = 72° (360° — полный круг). Угол OAB равен углу OBA и равен (180 − 72)/2 = 54°. Угол CAB = 2×54 = 108°. Сумма всех углов при вершинах пятиугольника 5×108 = 540°.

При решении задач на правильный многоугольник, часто бывает удобно дорисовать внешнюю (описанную) или внутреннюю (вписанную) окружность даже, если они не упоминаются в условии, и соединить вершины и точки касания с центром. Получатся равнобедренные или прямоугольные треугольники, о которых много известно, поэтому задачу будет решать легко.

Синие треугольники равнобедренные потому, что их боковые стороны это радиусы одной и той же окруюности.

Оранжевые треугольники прямоугольные потому, что касательная к окружности перпендикулярна её радиусу.

На ОГЭ по математике в 9-ом классе и на ЕГЭ в 11-ом встречаются задачи с правильными многоугольниками, часто они включают в себя и вписанную или описанную окружность.

Задачи на правильные многоугольники

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Cовпадать обязан только ответ. Способ решения может отличаться.

Доказать, что площадь правильного n-угольника можно вычислить по формуле S = pr, где p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной окружности.

Ответ: S = pr

Середины сторон правильного восьмиугольника ABCDEFGH последовательно соединили. Какую часть площади исходного многоугольника занимает получившийся многоугольник KLMNPQRS ?
Ответ дайте в процентах, округлив до целых.

Примечание: Отношение сторон многоугольников можно найти иначе, например, достроить другие внутренние отрезки и рассмотреть прямоугольные треугольники.

Ответ: 85

В круг вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти площадь круга, если радиус окружности, вписанной в треугольник ADE, равен r.

Определим площадь треугольника ADE двумя способами:
через произведение катетов \[S = \frac > = \frac > \cdot\frac \cdot\frac = \frac > ; \] и через полупериметр и заданный радиус вписанной окружности \[S = \frac \cdot r = \frac \cdot \big(\frac > +\frac + x\big) = \frac + 3) > \]

Теперь можно составить уравнение и решить его относительно х.
\[ \frac > = \frac + 3)> \] \[ \frac > = \frac + 3)> \] \[x = \frac + 3)> > = 2r(1 + \sqrt )\] Так как AD = x — диаметр окружности, то её площадь можно найти по формуле \[S = \frac = \frac )^2> = \pi r^2(1 +2 \sqrt + 3) = \pi r^2(4 + 2\sqrt ) = 2\pi r^2(2 + \sqrt )\]

Ответ: 2πr 2 (2 + √3 _ )

Найти отношение площади правильного двадцатичетырёхугольника, вписанного в некоторую окружность, к площади правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность.

Ответ: 4sin15° ≈ 1,04

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

Примечание: Если Вы не догадались использовать свойство медиан треугольника, то можно рассматривать треугольники AOC, AOH и т.п., теорему косинусов или теорему Пифагора. Ответ будет получен с чуть большим объёмом вычислений.

Ответ: 7

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Сколько осей симметрии у пятиугольника рисунок. Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник

«Симметрия вокруг нас» — Симметрия. Симметрия на плоскости. Зеркальная. Произвольная. Работы детей. Вокруг нас. Осевая. Симметрия властвует. Вращения. В геометрии есть фигуры, которые имеют. Осевая симметрия относительно прямой. Вращения (поворотная). Центральная. Центральная относительно точки. Вертикальная. Горизонтальная.

«Виды симметрии» — Осевая симметрия. Осевая симметрия также является движением. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос. Виды движения. Зеркальная симметрия является движением. Параллельный перенос – один из видов движения. Понятие движения. Теорема. Центральная симметрия является движением. Центральная симметрия. Доказать, что параллельный перенос является движением Доказательство:

«Орнамент» — Сетчатый орнамент применяется для оформления пола, потолка, стен помещения. Преобразования, используемые для создания орнамента: Примеры русского орнамента. Виды орнамента. Сетчатый. Параллельный перенос. «Орнамент — математическое воплощение красоты». Растительный. Создание орнамента с помощью осевой симметрии и параллельного переноса.

«Виды симметрии в геометрии» — Центральная симметрия. Я в листочке, я в кристалле, я в живописи. Зеркальная симметрия. Человек веками пытается объяснить и создать порядок. Прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника. Центральная симметрия фигур. Симметрия. Практическая работа. Осевая симметрия. На зеркальной поверхности сидит мотылек.

«Понятие осевой симметрии» — Координаты точек. Ось симметрии. Полученные формулы. Прямая, параллельная оси симметрии. Симметричная прямая. Определение и теорема. Отображение пространства на себя. Треугольник. Отображение пространства. Осевая симметрия.

«Симметрия в искусстве» — Виды симметрии. Соловецкий монастырь. Айвазовский. Лейбниц. Пропорция в искусстве. Левитан. III.1.Периодичность в архитектуре. Платон. С.Ковалевская. Симметрия относится к числу наиболее сильных средств организации формы. музей Гуггенхейма. Красота — всюду. В. ВАСНЕЦОВ. Шишкин. Москва. Ii.3. Пропория в музыке.

Всего в теме 32 презентации

Концептуальная цель: развитие основ пространственного мышления учащихся.

Стратегическая цель: развитие познавательной сферы учащихся; умения анализировать, делать выводы, обобщать.

1. Познакомить с правильными пяти- и шестиугольниками.
2. Показать применение правильных многоугольников для составления паркетов; многогранников.

Проблема: Почему тетрадь по математике в клеточку?

1. Удобнее записывать в столбик числа.
2. Легче чертить.
3. Можно использовать линейку без делений.
4. Проще найти расстояние от точки до прямой.
5. По клеточкам легко подсчитать площадь фигуры.
6. Можно находить площади параллелограмма, треугольника и других фигур путём перекраивания.
7. Рассматривать свойства геометрических фигур.

Оптимальный вариант: Все варианты решения практически используются; последний вариант своей эстетикой способствует развитию интереса к математике.

«Всё вокруг – геометрия».
Ле Карбюзье.

I. Организационный момент.

Доброе утро, дети. Я рада приветствовать вас на уроке математики.

Садитесь.
И конечно же, улыбнитесь.
Просто так, без особой причины.
Улыбаясь, мы делаем мир
Гармоничнее и светлее.

II. Актуализация знаний.

Согласны ли вы с высказыванием французского архитектора, начала ХХ века, Ле Карбюзье: «Всё вокруг – геометрия»? Что он имел в виду?

Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.

  1. Какая геометрическая фигура имеет три оси симметрии?
    (равносторонний треугольник)
  2. Какая геометрическая фигура имеет четыре оси симметрии?
    (квадрат)

Каким общим свойством обладают эти фигуры?

(Все стороны равны и все углы равны)

Назовите тему урока.

С квадратом и правильным треугольником мы уже знакомы. На уроке узнаем о правильных фигурах с большим количеством углов.

III. Объяснение новой темы.

Начертите квадрат, площадь которого равна 1 квадратному сантиметру.

(Учащимся предлагается на выбор два листа бумаги: в клеточку и нелинованный.)

Проблемный вопрос: Почему тетрадь по математике в клеточку?

(приводят варианты решения)

Подведение к главному решению проблемы.

1. Расставьте 8 стульев так, чтобы вдоль каждой стены стояло по 3 стула.

(Квадратный или прямоугольной)

В чём сходство и различие этих фигур?

Все перечисленные свойства нагляднее, если фигуры построены на бумаге в клеточку.

2. Расставьте 10 стульев так, чтобы у каждой стены комнаты стояло по 3 стула.

Практическая работа: Как из полоски бумаги получить пятиугольник?

Завязать простым узлом узкую полоску бумаги и осторожно разгладить её. Получится пятиугольник.)

Измерьте стороны у полученного пятиугольника.

(Стороны примерно одинаковы по длине.)

Такой пятиугольник называется правильным.

Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник?

(Одна ось симметрии)

Сколько диагоналей имеет правильный пятиугольник?

3. Расставьте 24 стула так, чтобы вдоль каждой стены стояло по 5 стульев?

Какой формы пол в этой комнате?

В каком «доме» мы можем увидеть «комнаты», у которых пол шестиугольной формы?

Шестиугольники – основа пчелиных сот. И это не случайно. В чём тут дело?

(Высказывают свои предположения)

Постройте правильный шестиугольник с помощью циркуля.

(Выполнение построения в тетради. Учитель оказывает помощь. Вырезают полученные шестиугольники и укрепляют плотно друг к другу.)

Что получилось? Была пустая плоскость, вы заполнили её правильными шестиугольниками. Подобное покрытие называется настилом или паркетом.

Такая конструкция очень экономична и прочна. Пчёлы дошли до этого открытия «своим умом». Люди, наблюдая за ними и увидев это свойство, стали применять его в жизни. Многие вещи для прочности изготавливают или составляют из правильных многоугольников.

(Демонстрация вещей: подставка, изделия из пластмассы и т.д.)

Многоугольники являются кирпичиками, из которых можно составить сложные геометрические фигуры.

Из правильных треугольников можно сложить:

Тетраэдр 4 треугольника
— октаэдр 8 треугольников
— икосаэдр 20 треугольников

Из квадратов: гексаэдр (куб) 6 квадратов

Из пятиугольников: додекаэдр 12 пятиугольников

(Названные фигуры демонстрируются учащимся.)

Эти правильные многогранники были описаны ещё в Древней Греции. Они сыграли важную роль в учении древнегреческого философа Платона (428 – 348 до н.э.) Каждый многогранник, в его учении, является символом.

Тетраэдр символизирует огонь

Форму многогранников придумал не человек, их создала природа. Люди, рассматривая чудесные, сверкающие, переливающиеся многогранники кристаллов, не могли поверить, что их создала природа. Именно поэтому родилось так много удивительных народных сказаний о кристаллах. Несколько таких легенд, рассказанных старыми уральскими мастерами, собраны П.П. Бажовым в сборнике «Малахитовая шкатулка». Известный любитель и знаток камня академик А.Е. Ферсман в книге «Рассказы о самоцветах» тоже поведал много народных легенд о драгоценных камнях. Он ярко и красочно повествует о том, какие красивые самоцветы находят у нас в России.

(Показ презентации кристаллов.)

Многогранники – удивительные символы симметрии. Мир наш наполнен симметрией. С древних времён с ней связаны наши представления о красоте.

Что такое красота?
— Что бы вы поставили на первое место в решении проблемного вопроса?
— Что вас больше всего удивило на уроке?
— Что вы запомнили важного и интересного для себя?
— Что могло бы пригодиться вам в жизни?
— За что вы можете поблагодарить своих одноклассников?

Вершина пятиугольника: Сколько углов сторон и вершин у пятиугольника

стороны, вершины, диагонали. Периметр многоугольника

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :

В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E — это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA — стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

AB + BC + CD + DE + EA.

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

t = n — 2,

где t — это количество треугольников, а n — количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Пентагон — Pentagon — qaz.wiki

форма с пятью сторонами

Равносторонний пятиугольник, то есть пятиугольник, все пять сторон которого имеют одинаковую длину.

В геометрии , A пятиугольник (от греческого πέντε Пента и γωνία Гониа , что означает пять и угол ) является любым пятисторонним многоугольник или 5-угольник. Сумма внутренних углов в простом пятиугольнике составляет 540 °.

Пентагон может быть простым или самопересекающимся . Самопересекающийся правильный пятиугольник (или звездный пятиугольник ) называется пентаграммой .

Правильные пятиугольники

Регулярный пятиугольник имеет Шлефли символ <5>и внутренние углы 108 °.

Регулярный пятиугольник имеет пять линий reflectional симметрии , и поворотную симметрию порядка 5 (через 72 °, 144 °, 216 ° и 288 °). В диагоналях из более выпуклого правильного пятиугольника находятся в золотая пропорция к его сторонам. Его высота (расстояние от одной стороны до противоположной вершины) и ширина (расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками, равное длине диагонали) задаются выражением

Высотазнак равно5+252⋅Боковая сторона≈1,539⋅Боковая сторона,<\ displaystyle <\ text > = <\ frac <\ sqrt <5 + 2 <\ sqrt <5>>>> <2>> \ cdot <\ text > \ примерно 1,539 \ cdot <\ текст >,> Шириназнак равноДиагональзнак равно1+52⋅Боковая сторона≈1,618⋅Боковая сторона,<\ displaystyle <\ text > = <\ text > = <\ frac <1 + <\ sqrt <5>>> <2>> \ cdot <\ text > \ приблизительно 1,618 \ cdot <\ text >,>

где R — радиус описанной окружности . <\ circ>)> <4>>>

с длиной стороны t .

Inradius

Как и в любой правильный выпуклый многоугольник, в правильный выпуклый пятиугольник вписан круг . Апофема , что радиус г вписанной окружности, правильный пятиугольник связана с длиной стороны т путем

Хорды ​​от описанной окружности к вершинам

Как и любой правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет описанную окружность . Для правильного пятиугольника с последовательными вершинами A, B, C, D, E, если P — любая точка на описанной окружности между точками B и C, то PA + PD = PB + PC + PE.

Точка в плоскости

Для произвольной точки на плоскости правильного пятиугольника с описанным радиусом , расстояния до центра тяжести правильного пятиугольника и его пяти вершин равны и соответственно, имеем р<\ displaystyle R>L<\ displaystyle L>dя<\ displaystyle d_ >

∑язнак равно15dя2знак равно5(р2+L2), <\ displaystyle \ textstyle \ sum _ ^ <5>d_ ^ <2>= 5 (R ^ <2>+ L ^ <2>),> ∑язнак равно15dя4знак равно5((р2+L2)2+2р2L2), <\ displaystyle \ textstyle \ sum _ ^ <5>d_ ^ <4>= 5 ((R ^ <2>+ L ^ <2>) ^ <2>+ 2R ^ <2 >L ^ <2>),> ∑язнак равно15dя6знак равно5((р2+L2)3+6р2L2(р2+L2)), <\ displaystyle \ textstyle \ sum _ ^ <5>d_ ^ <6>= 5 ((R ^ <2>+ L ^ <2>) ^ <3>+ 6R ^ <2 >L ^ <2>(R ^ <2>+ L ^ <2>)),> ∑язнак равно15dя8знак равно5((р2+L2)4+12р2L2(р2+L2)2+6р4L4). <4>.>

Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , так как 5 — простое число Ферма . Известно множество методов построения правильного пятиугольника. Некоторые обсуждаются ниже.

Метод Ричмонда

Один из методов построения правильного пятиугольника в данном круге описан Ричмондом и далее обсуждается в Многогранниках Кромвеля .

На верхней панели показана конструкция, использованная в методе Ричмонда для создания стороны вписанного пятиугольника. Окружность, определяющая пятиугольник, имеет единичный радиус. Его центр расположен в точке C, а средняя точка M отмечена на полпути по его радиусу. Эта точка соединена с периферией вертикально над центром в точке D . Угол ЦМД пополам, а биссектриса пересекает вертикальную ось в точке Q . Горизонтальная линия, проходящая через Q, пересекает окружность в точке P , а хорда PD — это искомая сторона вписанного пятиугольника. <2>= 2-2h = 2-2 \ left (<\ frac <<\ sqrt <5>> — 1> <4>> \ right) \> знак равно5-52 .<\ displaystyle = <\ frac <5 — <\ sqrt <5>>> <2>> \.>

Таким образом, сторона s :

хорошо зарекомендовавший себя результат. Следовательно, такая конструкция пятиугольника верна.

Карлайл круги

Круг Карлайла был изобретен как геометрический метод поиска корней квадратного уравнения . Эта методика приводит к процедуре построения правильного пятиугольника. Шаги следующие:

  1. Нарисуйте круг , в котором , чтобы вписать пятиугольник и пометить центральную точку O .
  2. Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметить левое пересечение с кругом в качестве точки B .
  3. Проведите вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с кругом в качестве точки А .
  4. Построить точку М как средняя точка O и B .
  5. Нарисуйте круг с центром в точке М через точку А . Отметьте ее пересечения с горизонтальной линией (внутри исходной окружности) в точке W и ее пересечение вне окружности в качестве точки V .
  6. Нарисуйте окружность радиуса ОА и центра W . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  7. Нарисуйте окружность радиуса ОА и центр V . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  8. Пятая вершина — это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.

Шаги 6–8 эквивалентны следующей версии, показанной на анимации:

6а. Постройте точку F как середину точек O и W. 7а. Постройте вертикальную линию через F. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника. Третья вершина — это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью. 8а. Постройте две другие вершины, используя циркуль и длину вершины, найденную на шаге 7a.

Использование тригонометрии и теоремы Пифагора
Конструкция
  1. Сначала отметим, что правильный пятиугольник можно разделить на 10 равных треугольников, как показано в наблюдении . Кроме того, cos 36 ° = . †1+54<\ displaystyle <\ tfrac <1 + <\ sqrt <5>>><4>>>
  2. На шаге 1 мы используем четыре единицы (показаны синим цветом) и прямой угол, чтобы построить отрезок длиной 1+ √ 5 , в частности, создав прямоугольный треугольник 1-2- √ 5 и затем расширив гипотенузу √ 5 на длина 1. Затем мы делим этот сегмент пополам, а затем снова делим пополам, чтобы создать сегмент длины (показан красным).1+54<\ displaystyle <\ tfrac <1 + <\ sqrt <5>>><4>>>
  3. На шаге 2 мы строим две концентрические окружности с центром в точке O радиусом 1 и длиной . <2>-4 (4) (- 1)>>><2 (4)>> \\ u & <> = <\ frac <1+ <\ sqrt <5>>><4>> \ end >>

Это быстро следует из знания, что удвоение синуса 18 градусов является обратным золотым сечением, которое мы знаем геометрически из треугольника с углами 72,72,36 градусов. Из тригонометрии мы знаем, что косинус дважды 18 градусов равен 1 минус два квадрата синуса 18 градусов, и это сводится к желаемому результату с помощью простой квадратичной арифметики.

Длина стороны указана

Правильный пятиугольник согласно золотому сечению , делящий отрезок линии внешним делением

  1. Нарисуйте отрезок AB , длина которого равна заданной стороне пятиугольника.
  2. Вытяните отрезок BA от точки A примерно на три четверти отрезка BA .
  3. Нарисуйте дугу окружности с центром в точке B и радиусом AB .
  4. Нарисуйте дугу окружности с центром A и радиусом AB ; возникает пересечение F .
  5. Постройте перпендикуляр к отрезку AB через точку F ; возникает пересечение G .
  6. Проведите линию, параллельную отрезку FG, от точки A до дуги окружности вокруг точки A ; возникает пересечение Н .
  7. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку G с радиусом GH до продолжения отрезка AB ; возникает пересечение J .
  8. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку B с радиусом BJ до перпендикуляра в точке G ; возникают пересечение D на перпендикуляре, и пересечение Е с дугой окружности , которая была создана вокруг точки А .
  9. Нарисуйте дугу окружности с центром в точке D с радиусом BA, пока эта дуга окружности не пересечет другую дугу окружности вокруг точки B ; возникает пересечение С .
  10. Соедините точки BCDEA . Получается пятиугольник.
Золотое сечение
Метод Евклида

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , вписав один в заданный круг или построив один на заданном крае. Этот процесс был описан Евклидом в его « Элементах» около 300 г. до н. Э.

Просто с помощью транспортира (не классическая конструкция)

Ниже приводится прямой метод с использованием степеней:

  1. Нарисуйте круг и выберите точку пятиугольника (например, центр вверху)
  2. Выберите точку A на окружности, которая будет одной из вершин пятиугольника. Нарисуйте линию через O и A .
  3. Проведите через него направляющую линию и центр круга.
  4. Нарисуйте линии под углом 54 ° (от направляющей), пересекающие точку пятиугольника.
  5. Там, где они пересекают круг, нарисуйте линии под углом 18 ° (от параллели к направляющей).
  6. Присоединяйтесь к тому месту, где они пересекают круг

После формирования правильного выпуклого пятиугольника, если соединить несмежные углы (нарисовать диагонали пятиугольника), получится пентаграмма с меньшим правильным пятиугольником в центре. Или, если расширить стороны, пока не встретятся несмежные стороны, получится пентаграмма большего размера. Точность этого метода зависит от точности транспортира, используемого для измерения углов.

Физические методы
  • Правильный пятиугольник можно создать просто из полоски бумаги, завязав на полоску узел сверху и аккуратно расплющивая узел, потянув за концы полоски бумаги. Если загнуть один из концов над пятиугольником, то при заднем освещении будет открыта пентаграмма .
  • Постройте правильный шестиугольник на плотной бумаге или картоне. Сделайте складку по трем диаметрам между противоположными вершинами. Вырежьте от одной вершины к центру, чтобы получился равносторонний треугольный лоскут. Закрепите этот клапан под его соседом, чтобы получилась пятиугольная пирамида . Основание пирамиды — правильный пятиугольник.
Симметрия

Правильный пятиугольник имеет DIH 5 симметрии , порядка 10. Так как 5 является простым числом , есть одна подгруппы с двугранной симметрией: DIH 1 , 2 и циклические группы симметрия: Z 5 и Z 1 .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на пятиугольнике. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. Полная симметрия регулярной формы равна r10, а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g5 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Равносторонние пятиугольники

Равносторонний пятиугольник, состоящий из четырех равных кругов, расположенных в виде цепочки.

Равносторонний пятиугольник — это многоугольник с пятью сторонами равной длины. Однако его пять внутренних углов могут принимать ряд наборов значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Напротив, правильный пятиугольник уникален до подобия, потому что он равносторонний и равносторонний (его пять углов равны).

Циклические пятиугольники

Циклический пятиугольник один , для которых окружность называется окружность проходит через все пять вершин. Правильный пятиугольник — это пример циклического пятиугольника. Площадь циклического пятиугольника, правильного или неправильного, может быть выражена как одна четвертая квадратного корня одного из корней септического уравнения , коэффициенты которого являются функциями сторон пятиугольника.

Существуют циклические пятиугольники с рациональными сторонами и рациональной площадью; они называются пятиугольниками Роббинса . В пятиугольнике Роббинса либо все диагонали рациональны, либо все иррациональны, и предполагается, что все диагонали должны быть рациональными.

Общие выпуклые пятиугольники

Для всех выпуклых пятиугольников сумма квадратов диагоналей меньше, чем в 3 раза больше суммы квадратов сторон.

Графики

Полный граф K 5 часто рисуется в виде правильного пятиугольника со всеми 10 связными ребрами. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 5 вершин и 10 ребер 5-ячейки . Выпрямляется 5-элементный , с вершинами в середине ребер 5-клетки проецируются внутри пятиугольника.

Примеры пятиугольников

Растения
Животные
Минералы

Pyritohedral кристалл пирита . Пиритоэдр имеет 12 одинаковых пятиугольных граней, которые не обязательно должны быть правильными.

Искусственный

Пентагоны в плитке

Правильный пятиугольник не может появляться ни в одной мозаике из правильных многоугольников. Во- первых, чтобы доказать , пятиугольник не может сформировать регулярную черепицу (один , в котором все грани конгруэнтны, таким образом , требует , чтобы все многоугольники быть пятиугольников), заметим , что 360 ° / 108 ° = 3 1 / 3 (где 108 ° Принимают внутрь угол), который не является целым числом; следовательно, не существует целого числа пятиугольников, разделяющих одну вершину и не оставляющих промежутков между ними. Сложнее доказать, что пятиугольник не может входить ни в одну мозаику от края до края, образованную правильными многоугольниками:

Максимальная известная плотность упаковки правильного пятиугольника составляет приблизительно 0,921, что достигается показанной двойной решетчатой упаковкой. В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлз и Воден Куснер объявили о доказательстве того, что двойная решетчатая упаковка обычного пятиугольника (которую они называют «пятиугольной упаковкой ледяного луча» и которая восходит к работе китайских мастеров в 1900 году) имеет оптимальную плотность среди всех упаковок правильных пятиугольников на плоскости. По состоянию на 2020 год их доказательства еще не рецензировались и не публиковались.

Не существует комбинаций правильных многоугольников с 4 или более, пересекающимися в вершине, содержащими пятиугольник. Для комбинаций с 3, если 3 многоугольника встречаются в вершине и один имеет нечетное число сторон, другие 2 должны быть конгруэнтными. Причина этого в том, что многоугольники, соприкасающиеся с краями пятиугольника, должны чередоваться вокруг пятиугольника, что невозможно из-за нечетного количества сторон пятиугольника. Для пятиугольника это дает многоугольник, все углы которого равны (360-108) / 2 = 126 ° . Для того, чтобы найти число сторон этого многоугольника, результат равен 360 / (180 — 126) = 6 2 / 3 , которое не является целым числом. Следовательно, пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике из правильных многоугольников.

Существует 15 классов пятиугольников, которые могут моноэдрально замостить плоскость . Ни один из пятиугольников не обладает какой-либо симметрией в целом, хотя у некоторых есть особые случаи с зеркальной симметрией.

Пентагоны в многогранниках

Смотрите также

Встроенные заметки и ссылки

внешние ссылки

Равносторонний пятиугольник — Equilateral pentagon

Равносторонний пятиугольник, состоящий из четырех равных кругов, расположенных в виде цепочки.

В геометрии равносторонний пятиугольник является многоугольник с пятью сторонами одинаковой длины. Его пять внутренних углов, в свою очередь, могут принимать ряд наборов значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Требуется, чтобы все углы в сумме составляли 540 градусов и составляли от 0 до 360 градусов, но не равнялись 180 градусам. Напротив, правильный пятиугольник уникален, потому что он равносторонний и, кроме того, равноугольный (его пять углов равны; мера составляет 108 градусов).

Четырех пересекающихся равных окружностей, образующих замкнутую цепочку, достаточно, чтобы образовался выпуклый равносторонний пятиугольник. Центр каждого круга — одна из четырех вершин пятиугольника. Оставшаяся вершина определяется одной из точек пересечения первой и последней окружностей цепочки.

Пять углов любого выпуклого равностороннего пятиугольника можно описать только двумя углами α и β, при условии, что α ≥ β и δ — наименьший из других углов. Таким образом, общий равносторонний пятиугольник можно рассматривать как функцию двух переменных f (α, β), где остальные углы могут быть получены с помощью тригонометрических соотношений. <2>> <2 (1) (1)>> \.>

Упрощая, получаем δ как функцию от α и β:

Остальные углы пятиугольника можно найти геометрически: оставшиеся углы оранжевого и синего треугольников легко найти, заметив, что два угла равнобедренного треугольника равны, а сумма всех трех углов равна 180 °. Тогда и два оставшихся угла зеленого треугольника можно найти из четырех уравнений, утверждающих, что сумма углов пятиугольника составляет 540 °, сумма углов зеленого треугольника равна 180 °, угол — это сумма его углов. три составляющих, а угол — это сумма двух составляющих. ϵ,γ,<\ displaystyle \ epsilon, \ gamma,>γ<\ displaystyle \ gamma>ϵ

Циклический пятиугольник равноугольные тогда и только тогда , когда оно имеет равную стороны и , таким образом , является регулярным. Точно так же тангенциальный пятиугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он имеет равные углы и, следовательно, правильный.

Двумерное отображение

Равносторонний пятиугольник как функцию двух переменных можно изобразить на двумерной плоскости . Каждая пара значений (α, β) отображается в одну точку плоскости, а также в один пятиугольник.

Периодичность значений α и β и условие α ≥ β ≥ δ позволяют ограничить размер отображения. В плоскости с осями координат α и β, α = β — линия, разделяющая плоскость на две части (южная граница показана на чертеже оранжевым цветом). δ = β, поскольку кривая делит плоскость на разные участки (северная граница показана синим цветом).

Обе границы охватывают непрерывную область плоскости, точки которой соответствуют уникальным равносторонним пятиугольникам. Точки за пределами региона просто соответствуют повторяющимся пятиугольникам, то есть пятиугольникам, которые при повороте или отражении могут совпадать с другими уже описанными. Пентагоны, которые точно совпадают с этими границами, имеют линию симметрии .

Внутри области уникальных отображений есть три типа пятиугольников: звездчатые, вогнутые и выпуклые, разделенные новыми границами.

Звездчатый

У звездчатых пятиугольников есть стороны, пересекаемые другими. Типичный пример этого типа пятиугольника — пентаграмма . Условие для того, чтобы пятиугольник был звездообразным или самопересекающимся, должен иметь 2α ​​+ β ≤ 180 °. Итак, на карте линия 2α + β = 180 ° (показанная оранжевым на севере) является границей между областями звездчатых и незвездных пятиугольников. Пентагоны, которые сопоставляются точно с этой границей, имеют вершину, касающуюся другой стороны.

Вогнутый

В вогнутых пятиугольниках не являются звездообразными пятиугольниками , имеющими по меньшей мере один углом , большим , чем 180 °. Первый угол, который открывается больше 180 °, — это γ, поэтому γ = 180 ° (граница, показанная зеленым справа) — это кривая, которая является границей областей вогнутых пятиугольников и других, называемых выпуклыми. Пентагоны, которые сопоставляются точно с этой границей, имеют по крайней мере две последовательные стороны, которые выглядят как сторона двойной длины, которая напоминает пятиугольник, вырожденный в четырехугольник.

Выпуклый

В выпуклых пятиугольников есть все свои пять углов меньше 180 ° , а не сторон , пересекающих другие. Типичный пример этого типа пятиугольника — правильный пятиугольник .

Ссылки

Пентагон (фигура) — это… Что такое Пентагон (фигура)?

Правильный пятиугольник или пентагон (греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Высота правильного пятиугольника:
  • Площадь правильного пятиугольника:
  • Радиус вписанной окружности правильного пятиугольника:
  • Радиус описанной окружности правильного пятиугольника:

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D. Обозначьте её пересечения с оригинальной (зелёной окружностью) как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Интересные факты

  • Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Пентагон (многоугольник)
  • Пентадеканолид
Смотреть что такое «Пентагон (фигура)» в других словарях:

ПЕНТАГОН — (греч., от pente пять, и gonia угол). Геометрическая фигура, окруженная 5 ю сторонами и 5 ю углами: пятиугольник. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПЕНТАГОН греч., от pente, пять, и gonia, угол.… … Словарь иностранных слов русского языка

Пентагон — (Греч.) От pente пять , и gonia угол ; в геометрии плоская фигура с пятью углами. Источник: Теософский словарь … Религиозные термины

Пентагон-додекаэдр — Пентагондодекаэдр Индексы граней <2 1 0>Тип Неправильный многогранник Грань Неправильный пятиугольник Граней 12 Рёбер 30 Вершин 20 Граней при вершине … Википедия

Пентагон (многоугольник) — Пятиугольник многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°. См.также Правильный пятиугольник Звезда (геометрическая фигура) Многоугольники … Википедия

ПЕНТАГОН — (Греч.) От pente пять , и gonia угол ; в геометрии плоская фигура с пятью углами … Теософский словарь

Пентаграмма — Пентаграмма … Википедия

Пентакль — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный … Википедия

Пентакл — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный … Википедия

Пифагорейский пентакл — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный … Википедия

Сатанинская звезда — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный … Википедия

Пятиугольник — Карта знаний

  • Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Шестиугольник — многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы. Пятиугольник Роббинса — это вписанный пятиугольник, стороны которого и площадь являются рациональными числами. Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их. .. Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника. Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

Упоминания в литературе

Действительно, семь из 13 Архимедовых тел могут быть получены отрезанием кусочков от Платоновых тел – среди этих многогранников и классический футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников. Но более примечательным было открытие некоторых других форм. Оказывается, возможно объединение 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников в симметричную форму, которая называется ромбоусеченный икосододекаэдр (рис. 2.06). Рис. 18. Геометрические построения, в основе которых лежат гармоничные пропорции: а – «золотое сечение»; б – квадрат; в – равносторонний треугольник; г – пятиугольник; д – прямоугольники, построенные на соответствующих гармоничных отрезках Вот, например, по стороне вазы, от горлышка, но не доходя до низу, сбегает круговая линия, почти (но не вполне!) совпадающая с правильным кругом; внутри круга вписаны другие кривые, неполными спиралями касающиеся окружности, выходящие из одной точки и направленные под разными уклонами; низ вазы украшен параллельными поперечными полосами; свободное пространство в круге оживлено звездочками и пальметками. Или вот со дна шаровидной вазы дерзко вскидываются к ее середине лучевые линии, заканчивающиеся широким, вытянуто-округлым пятном, подобием огромного вопросительного знака, а сверху вазы из сплетения круговых линий получаются, идущие навстречу, секирообразные полушария. Или вот из резко-стилизованных листьев и цветов получается сложный узор, заполняющий всю поверхность вазы, образующий вогнутые ромбы, ограниченные вытянутыми кругами, причем внутренность и кругов и ромбов, в свою очередь, заполнена комбинацией из пяти звездочек, составляющих пятиугольник. Во всех этих линейных орнаментах поражает умение заполнить пространство, дать впечатление сложности при помощи самых простых, в сущности, элементов. Глаз сначала видит определенный узор, потом, пытаясь вникнуть в его систему, запутывается безнадежно; лишь после, усилием мысли, удается восстановить сложно простое построение. Пятиугольная звезда, используемая как область отсечения формы, создается с помощью описанной в листинге 1.15 процедуры Make5Angle. После ее создания изменяется порядок следования вершин пятиугольника, чтобы их обход при построении региона выполнялся в той же последовательности, как рисуется звезда карандашом на бумаге (например, 1-3-5-2-4) (листинг 1. 16). А потом Владимир Авинский приложил свой магический пятиугольник к плану марсианских пирамид. Увиденное повергло его в шок. Угол альфа использовался везде… Марсианские пирамиды явно старше земных. Если отбросить древние тексты, останется беспристрастная геометрия и математика. Она доказывает – сооружения на Земле и на другой планете построены по единому инженерному замыслу… На это же обратил внимание и доктор геолого-минералогических наук Александр ПОРТНОВ:

Связанные понятия (продолжение)

Равносторонний многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба. Пра́вильный икоса́эдр (от др. -греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно. В геометрии гиробифастигиум или двускатный повёрнутый бикупол является 26-м многогранником Джонсона (J26). Его можно построить объединением двух треугольных призм с правильными гранями по соответствующим квадратным граням с поворотом одной призмы на 90º . Это единственное тело Джонсона, которым можно заполнить трёхмерное пространство. Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения. Семиуго́льник, называемый иногда гептагон — многоугольник с семью углами. Семиугольником также называют всякий предмет такой формы. Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны. Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. По определению, каждый правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно. В геометрии плосконосый двуклиноид или сиамский додекаэдр — это трёхмерный выпуклый многогранник с двенадцатью правильными треугольниками в качестве граней. Многогранник не является правильным, поскольку в некоторых вершинах сходятся четыре грани, а в остальных — пять граней. Многогранник является двенадцатигранником, одним из восьми дельтаэдров (выпуклых многогранников с гранями в виде правильных треугольников) и одним из 92 многогранников Джонсона (неоднородные выпуклые многогранники с правильными… Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами. Бикуполы более высоких порядков можно построить, если допускается растяжение боковых граней в прямоугольники и равнобедренные треугольники. Одиннадцатиуго́льник, называемый иногда Гендекаго́н — многоугольник с одиннадцатью углами. Одиннадцатиугольником также называют всякий предмет, имеющий такую форму. Площадь круга с радиусом r равна πr2. Здесь символ π (греческая буква пи) обозначает константу, выражающую отношение длины окружности к её диаметру или площади круга к квадрату его радиуса. Поскольку площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (высоту), а правильные многоугольники стремятся к окружности при росте числа сторон, площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус (то есть 1⁄2 × 2πr × r). В геометрии ротонда — любой член семейства диэдрально-симметричных многогранников. Они похожи на куполы, но вместо перемежающихся квадратов и треугольников перемежаются пятиугольники и треугольники (по отношению к оси). Пятискатная ротонда является телом Джонсона (J6). Треуго́льный парке́т (треугольный паркета́ж) или треугольная мозаика — это замощение плоскости равными правильными треугольниками, расположенными сторона к стороне. В геометрии удлинённый квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр (по Залгаллеру — удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол) — это один из многогранников Джонсона (J37 = (по Залгаллеру) М5+П8+М5). Тело, обычно, не считается архимедовым телом, хотя его грани и являются правильными многоугольниками и многоугольники вокруг каждой вершины те же самые, но, в отличие от 13 архимедовых тел, многогранник не обладает глобальной симметрией, переводящей любую вершину в любую другую (хотя Грюнбаум… В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы . В геометрии вершина — это вид точки, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников. Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников. Девятиуго́льник — многоугольник с девятью углами. Девятиугольником также называют всякий предмет, имеющий такую форму. Окта́эдр (греч. οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание») — многогранник с восемью гранями. Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами. Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это окружность, которая касательна каждой стороны многоугольника. Двойственный многоугольник описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины. Апейрогон (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон. В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников. Сглаженный восьмиугольник — это область плоскости, предположительно, имеющая самую малую наибольшую плотность упаковки плоскости из всех центрально симметричных выпуклых фигур. Фигура получается заменой углов правильного восьмиугольника секцией гиперболы, которая касается двух сторон угла и асимптотически приближается к продолжениям сторон восьмиугольника, смежным сторонам угла. Звезда Лакшми — октаграмма, составной правильный звездчатый многоугольник, представленный символом Шлефли a<8>, <8/2>или 2<4>, составленный из двух квадратов с общим центром, повёрнутых друг относительно друга на 45°. В индуизме является символом Ашталакшми, восьми форм богини Лакшми. Наибольший многоугольник единичного диаметра — многоугольник с n сторонами (для заданного числа n), диаметр которого равен единице (то есть любые две его точки находятся друг от друга на расстоянии, не превосходящем единицы), и имеющий наибольшую площадь среди других n-угольников диаметра единица. Решением (не уникальным) для n = 4 является квадрат, решением для нечётных n является правильный многоугольник, при этом для остальных чётных n правильный многоугольник наибольшим не будет. Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет. В геометрии конциклическими (или гомоциклическими) точками называют точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.

Подробнее: Конциклические точки

Девятигранник (иногда используется название эннеаэдр) — это многогранник с девятью гранями. Существует 2606 видов выпуклых девятигранников, каждый из которых имеет свою отличную конфигурацию вершин, рёбер и граней. Ни один из этих многогранников не является правильным. Ромбокубооктаэдр или ромбокубоктаэдр — полуправильный многогранник, гранями которого являются 18 квадратов и 8 треугольников. Также называется малым ромбокубооктаэдром. В геометрии пространственный многоугольник — это многоугольник, вершины которого не компланарны. Пространственные многоугольники должны иметь по меньшей мере 4 вершины. Внутренняя поверхность таких многоугольников однозначно не определяется. Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Шестиуго́льный парке́т (шестиугольный паркета́ж) или шестиугольная мозаика — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне. Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника. Ромботриаконтáэдр( от греч. τριάκοντα (греч. τριάντα) — «тридцать» и εδρον — «грань») — выпуклый тридцатигранник с одинаковыми ромбическими гранями. Относится к каталановым телам. Является двойственным по отношению к икосододекаэдру и зоноэдром.

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией. Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника). Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы двух внутренних углов противоположных углов четырёхугольника, биссектрисы внешних углов двух других вершин, и биссектрисы внешних углов в точках пересечения продолжений противоположных сторон (смотрите рисунок справа, указанные… Звёздчатый многогра́нник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами). Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, соединяющих попарно эти точки. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.

Значение слова ПЯТИУГОЛЬНИК. Что такое ПЯТИУГОЛЬНИК?

ПЯТИУГО́ЛЬНИК, -а, м. Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой образуют пять углов.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

  • Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Источник: Википедия

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова оглаживать (глагол), оглаживая:

Понятно
в общих чертах

Понятия не имею,
что это

Некоторые ответы о пятиугольниках

Некоторые отношения в правильных пятиугольниках
Сумма углов -> Угол при вершине

Сумма углов пятиугольника = 3 * 180 = 540 градусов. Таким образом, каждый угол при вершине = 540/5 = 108 градусов.

Равнобедренные треугольники Углы

Две стороны и вершина образуют тупой равнобедренный треугольник, две такие заштрихованные. Вот.

Так как угол при тупой вершине EAB = 108 и два равных угла при основании имеют сумму = 180 108 = 72, острые углы основания, такие как CAB = 36 градусов.

Кроме того, угол CAD = угол EAB — 2 * 36 = 36 градусов, поэтому 2 диагонали от вершина, такая как A, делит угол при вершине пополам; то есть они делят угол при вершине на 3 равных угла по 36 градусов.

Наконец, треугольник DAC равнобедренный, поскольку каждый из углов основания ACD и ADC равны 108 36 = 72 градусам.

Пентаграмма (5 звезд)

Если все 5 диагоналей нарисованы в правильном пятиугольнике, эти 5 сегментов образуют звезду, называемую правильной пентаграммой.

Объединив то, что сейчас известно о равных углах при вершинах, получим Легко видеть, что пятиугольник ABCDE разделен на 5 равнобедренных треугольников, похожих на к треугольнику ABC 36-108-36 градусов, 5 равнобедренных треугольников, подобных 72-36-72 треугольник DAC градусов и один правильный пятиугольник в центре.

Равнобедренная трапеция и параллельные линии

Есть несколько способов увидеть, что диагональ BE параллельна CD и что CDEB — это равнобедренная трапеция.Если предположить, что знания об углах разработано выше, есть несколько быстрых способов увидеть это.

Метод поперечного и дополнительного угла: Линия BC является поперечной CD и BE. Угол DCB = 3 * 36 и угол CBE = 2 * 36, поэтому сумма углов = 5 * 36 = 180. Поскольку углы дополнительные, прямые CD и BE параллельны.

Метод поперечных и равных углов: Линия BD является поперечной CD и BE.Угол BDC = 36 и угол DBE = 36. Эти совпадающие чередующиеся внутренние Углы означают, что прямые CD и BE параллельны.

Метод симметрии линии равнобедренного треугольника: Поскольку треугольник EAB равнобедренный, биссектриса угла EAB является серединным перпендикуляром отрезка БЫТЬ. Поскольку треугольник DAC равнобедренный, биссектриса угла DAC — серединный перпендикуляр к CD. Но биссектрисы углов двух углы — это одна и та же линия (так как биссектриса DAC делит угол EAB на два углы размером 18 + 36 градусов).Но это значит, что у CD и BE одинаковые перпендикулярная биссектриса. Таким образом, эти линии параллельны. Кроме того, поскольку BC является При отражении DE отрезки имеют одинаковую длину.

Ромбики одинаковой длины

Теперь мы знаем, что каждая диагональ параллельна одной из сторон. Итак, если мы нарисуем две диагонали, они образуют параллелограмм параллелограммом. Но с тех пор стороны правильного пятиугольника равны, параллелограмм — ромб.(В любом параллелограмме противоположные стороны равны; если две соседние стороны равны, тогда все четыре стороны равны.)

Это означает, что определенные длины внутри звездообразной формы равны сторонам пятиугольника.

Золотое сечение в регулярном пентагоне

Теперь у нас есть много способов найти вложенные похожие равнобедренные треугольники в пентаграмме. 2 d 1 = 0.

Положительный корень этого квадратного уравнения равен (1/2) * (1 + sqrt 5). Это называется золотым сечением .

Для любого правильного пятиугольника со стороной s и длиной диагонали d отношение d / s = золотое сечение.

Построение правильного пятиугольника со стороны

Мы узнали, как по единице длины s построить длину sqrt 5, так что это можно использовать для построения длины d, которая является золотым сечением * s.

Затем с помощью s и d можно начать с отрезка AB и построить все треугольники ABC, ABD, ABE и таким образом построить правильный пятиугольник со стороной AB.

Этот метод также создает случайные углы, равные 36 градусам и целым числам. кратные 36 градусам.

Построение правильного пятиугольника из центра и вершины

Учитывая центр O и точку A, можно построить правильный пятиугольник ABCDE нарисовав круг с центром О через А, а затем построив углы необходимы (либо центральные углы, такие как AOB, либо углы при вершинах).

Но построение золотого сечения также дает необходимые углы, как было отмечено в предыдущем разделе.

Итак, вы хотите знать о пятиугольниках?

В геометрии учащиеся работают с множеством различных форм. Один из самых важных полигонов, с которым нужно познакомиться, — это пятиугольник.

7 фактов о пятиугольниках, которых вы могли не знать

  1. Все пятиугольники имеют пять прямых сторон, но стороны не должны быть одинаковой длины.
  2. У правильного пятиугольника пять равных сторон и пять равных углов. В базовой геометрии большинство проблем связано с правильными многоугольниками.
  3. Каждый внутренний угол правильного пятиугольника = 108 градусов.
  4. Каждый внешний угол правильного пятиугольника = 72 градуса.
  5. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника = 540 градусов.
  6. Рисование диагональных линий между точками пятиугольника приведет к идеальной форме звезды или пентаграммы.
  7. Если пять сторон фигуры НЕ соединены или у фигуры есть изогнутые стороны, это НЕ пятиугольник.

Типы пятиугольников

  1. Правильный или равносторонний пятиугольник: пять равных сторон и углов
  2. Неправильный пятиугольник: пять неравных сторон и неравные углы
  3. Выпуклый пятиугольник: внутренний угол не может превышать 180 градусов
  4. Вогнутый пятиугольник: имеет внутренний угол более 180 градусов, из-за чего две стороны «погружаются», как «пещера»

Части Пентагона

  1. Сторона: один из пяти линейных сегментов
  2. Вершина: две стороны встречаются в точке, называемой вершиной
  3. Диагональ: линия, соединяющая две вершины, не являющиеся одной из пяти сторон
  4. Внутренний угол : внутренний угол, образованный двумя сторонами пятиугольника
  5. Внешний угол : угол снаружи пятиугольника, образованный двумя соседними сторонами

Как рассчитать площадь пятиугольника

  1. Начало с одной стороны и апофемы *
  2. Разделите пятиугольник на 5 треугольников, проведя 5 линий из центра пятиугольника
  3. Вычислить площадь треугольника **
  4. Умножьте на 5, чтобы найти общую площадь

* Апофема — это линия от центра пятиугольника к стороне, пересекающая сторону под прямым углом 90º.

** Запомните формулу для вычисления площади треугольника: ½ x основание x высота

Пентагоны — несколько забавных фактов

Почему Пентагон — это пятиугольник: Штаб-квартира Министерства обороны США в Вашингтоне, округ Колумбия, называется Пентагоном. Это массивное здание из бетона и стали имеет общую площадь почти 7 миллионов квадратных футов и 17,5 миль коридоров. В начале Второй мировой войны в 1941 году президент Рузвельт решил, что для Военного департамента необходимо новое здание.

Архитектор решил воспользоваться свойствами симметричного пятиугольника. Это сократило расстояние, которое люди должны были бы пройти от одного офиса до другого в этом огромном здании по сравнению с традиционным прямоугольным зданием. Круглое здание также должно было включать более короткие пешеходные расстояния, но построить здание с прямыми сторонами, такими как пятиугольник, было намного проще и быстрее.

Бамия: В следующий раз, когда вы будете есть жареную бамию или гамбо, взгляните на ломтик бамии.Он имеет форму пятиугольника.

Морская звезда: Почти все морские звезды имеют пятикратную радиальную симметрию или имеют форму пятиугольника.

Поэзия: На самом деле существует так называемая поэзия пятиугольника.

Музыкальные пятиугольники: Если вам нравится музыка 1980-х годов, обратите внимание на группу Pentagon Band Рича Клэра. Для чего-то другого, в Южной Корее есть бойз-бэнд под названием Pentagon.

Как видите, пятиугольник — очень полезная форма. Мало того, что пятиугольник часто используется в базовой геометрии, это форма, полезная в архитектуре и встречающаяся во всем мире природы.

Что такое Пентагон? | Определение, свойства и типы

Определение Пентагона

В геометрии пятиугольник — это пятиугольник с пятью прямыми сторонами и пятью внутренними углами, которые в сумме составляют 540 °. Пятиугольник — это плоская фигура или плоская (двумерная) 5-гранная геометрическая форма.

Свойства Пентагона

Пентагоны могут быть простыми или самопересекающимися. Свойства простого пятиугольника (5-угольника) заключаются в том, что он должен иметь пять прямых сторон, которые пересекаются, чтобы образовать пять вершин, но не пересекаются друг с другом:

  1. Пентагоны имеют пять прямых сторон
  2. Пентагоны имеют пять внутренних углов, которые в сумме составляют 540 °
  3. Пять сторон не пересекаются

Самопересекающийся правильный пятиугольник называется пентаграммой .

Содержание

  1. Определение формы пятиугольника
  2. Свойства Пентагона
  3. Типы пятиугольников
  4. Примеры пятиугольников
  5. Периметр и площадь пятиугольника

Типы пятиугольников

Пятиугольники двух типов — правильные пятиугольники и неправильные пятиугольники.

Обычные пятиугольники

Правильный пятиугольник должен иметь пять конгруэнтных сторон, пять конгруэнтных внутренних углов и конгруэнтные внешние углы:

  • пять равных сторон (стороны равной длины)
  • пять одинаковых внутренних углов (каждый по 108 °)
  • пять конгруэнтных внешних углов 72 °

У правильных пятиугольников нет параллельных сторон.

Как и любой правильный многоугольник, пятиугольник завершает полный круг, поэтому внешние углы находятся путем деления 360 ° на количество сторон, в данном случае 360 ° 5 = 72 °.

Неправильные пятиугольники

Неправильные пятиугольники могут быть выпуклым пятиугольником или вогнутым пятиугольником, но у них должно быть пять сторон разной длины.

  • Выпуклый пятиугольник — Внутренний угол не может превышать 180 °
  • Вогнутый пятиугольник — Один внутренний угол больше 180 °

Распространенный пример выпуклого неправильного пятиугольника — домашняя пластина на бейсбольном поле.

Все пятиугольники (правильные и неправильные) имеют пятиугольную форму с пятью внутренними углами и пятью внешними углами.

Примеры пятиугольников

Если вы будете искать вокруг себя пятиугольник, вы обязательно его найдете. Будь то неправильный пятиугольник с различной длиной сторон или правильный пятиугольник с равными сторонами и равными углами, существует множество реальных примеров пятиугольников:

  • Знаменитое здание Министерства обороны США в Вашингтоне, округ Колумбия.(Здание Пентагона)
  • Домашняя тарелка на бейсбольном поле
  • Знаки школьного перехода
  • Участки на футбольном мяче

пятиугольник Википедия

форма с пятью сторонами

Равносторонний пятиугольник, то есть пятиугольник, все пять сторон которого имеют одинаковую длину

В геометрии пятиугольник (от греческого πέντε pente и γωνία gonia , что означает пять и угол [1] ) — это любая пять многоугольник или 5-угольник.Сумма внутренних углов в простом пятиугольнике составляет 540 °.

Пятиугольник может быть простым или самопересекающимся. Самопересекающийся правильный пятиугольник (или пятиугольник звезды ) называется пентаграммой.

Правильные пятиугольники []

Правильный пятиугольник имеет символ Шлефли <5>, а внутренние углы составляют 108 °.

Правильный пятиугольник имеет пять линий отражательной симметрии и вращательную симметрию 5-го порядка (72 °, 144 °, 216 ° и 288 °).Диагонали выпуклого правильного пятиугольника находятся в золотой пропорции к его сторонам. Его высота (расстояние от одной стороны до противоположной вершины) и ширина (расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками, равное длине диагонали) задаются выражением

Пентаграмма или пятиугольник — правильный пятиугольник. <\ circ>)> <4>>>

с длиной стороны t .

Inradius []

Как и любой правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет вписанную окружность. Апофема, которая представляет собой радиус r вписанной окружности, правильного пятиугольника связана с длиной стороны t соотношением

Хорды ​​от описанной окружности до вершин []

Как и любой правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет описанную окружность.Для правильного пятиугольника с последовательными вершинами A, B, C, D, E, если P — любая точка на описанной окружности между точками B и C, то PA + PD = PB + PC + PE.

Точка на плоскости []

Для произвольной точки на плоскости правильного пятиугольника с радиусом описанной окружности R <\ displaystyle R>, расстояния до центра тяжести правильного пятиугольника и его пяти вершин равны L <\ displaystyle L>и di <\ displaystyle d_ > соответственно имеем [2]

∑i = 15di2 = 5 (R2 + L2), <\ displaystyle \ textstyle \ sum _ ^ <5>d_ ^ <2>= 5 (R ^ <2>+ L ^ <2>),> ∑i = 15di4 = 5 ((R2 + L2) 2 + 2R2L2), <\ displaystyle \ textstyle \ sum _ ^ <5>d_ ^ < 4>= 5 ((R ^ <2>+ L ^ <2>) ^ <2>+ 2R ^ <2>L ^ <2>),> ∑i = 15di6 = 5 ((R2 + L2) 3 + 6R2L2 (R2 + L2)), <\ displaystyle \ textstyle \ sum _ ^ <5>d_ ^ <6>= 5 ((R ^ <2>+ L ^ < 2>) ^ <3>+ 6R ^ <2>L ^ <2>(R ^ <2>+ L ^ <2>)),> ∑i = 15di8 = 5 ((R2 + L2) 4 + 12R2L2 (R2 + L2) 2 + 6R4L4).<4>.>

Строительство правильного пятиугольника []

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, так как 5 — простое число Ферма. Известно множество методов построения правильного пятиугольника. Некоторые обсуждаются ниже.

Метод Ричмонда []

Один из методов построения правильного пятиугольника в данном круге описан Ричмондом [3] и далее обсуждается в книге Кромвеля Многогранники . [4]

На верхней панели показана конструкция, использованная в методе Ричмонда для создания стороны вписанного пятиугольника.Окружность, определяющая пятиугольник, имеет единичный радиус. Его центр расположен в точке C , а средняя точка M отмечена на полпути по его радиусу. Эта точка соединяется с периферией вертикально над центром в точке D . Угол CMD делится пополам, а биссектриса пересекает вертикальную ось в точке Q . Горизонтальная линия, проходящая через Q , пересекает окружность в точке P , а хорда PD является необходимой стороной вписанного пятиугольника.

Для определения длины этой стороны под кружком изображены два прямоугольных треугольника DCM и QCM . Используя теорему Пифагора и две стороны, гипотенуза большего треугольника находится как 5/2 <\ displaystyle \ scriptstyle <\ sqrt <5>> / 2>. Сторона h меньшего треугольника определяется по формуле половинного угла:

где косинус и синус ϕ известны из большего треугольника. <2>= 2-2h = 2-2 \ left (<\ frac <<\ sqrt <5>> — 1> <4>> \ right) \> = 5−52. <\ Displaystyle = <\ frac <5 — <\ sqrt <5>>> <2>> \.>

Таким образом, сторона s :

хорошо зарекомендовавший себя результат. [5] Следовательно, эта конструкция пятиугольника верна.

Круги Карлайла []

Круг Карлайла был изобретен как геометрический метод нахождения корней квадратного уравнения. [6] Эта методология приводит к процедуре построения правильного пятиугольника. Шаги следующие: [7]

  1. Нарисуйте круг, в который нужно вписать пятиугольник, и отметьте центральную точку O .
  2. Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметьте левое пересечение с кругом как точку B .
  3. Постройте вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с окружностью как точку A .
  4. Постройте точку M как среднюю точку O и B .
  5. Нарисуйте круг с центром M через точку A . Отметьте его пересечение с горизонтальной линией (внутри исходного круга) как точку W и его пересечение вне круга как точку V .
  6. Нарисуйте окружность с радиусом OA и центром W . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  7. Нарисуйте окружность радиуса OA и центра V . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
  8. Пятая вершина — это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.

Шаги 6–8 эквивалентны следующей версии, показанной на анимации:

6а. Постройте точку F как среднюю точку O и W. 7a. Проведите вертикальную линию через F.Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника. Третья вершина — это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью. 8а. Постройте две другие вершины, используя циркуль и длину вершины, найденную на шаге 7a.

Использование тригонометрии и теоремы Пифагора []
Строительство []
  1. Сначала отметим, что правильный пятиугольник можно разделить на 10 равных треугольников, как показано в наблюдении Наблюдения .Кроме того, cos 36 ° = 1 + 54 <\ displaystyle <\ tfrac <1 + <\ sqrt <5>>><4>>>. †
  2. В шаге 1 мы используем четыре единицы (показаны синим) и прямой угол, чтобы построить отрезок длиной 1 + √5, в частности, создав прямоугольный треугольник 1-2-√5 и затем расширив гипотенузу √ 5 на длину 1. Затем мы делим этот сегмент пополам, а затем снова делим пополам, чтобы создать сегмент длиной 1 + 54 <\ displaystyle <\ tfrac <1 + <\ sqrt <5>>><4>>> ( показан красным.)
  3. На шаге 2 мы строим две концентрические окружности с центром O с радиусами длины 1 и длины 1 + 54 <\ displaystyle <\ tfrac <1 + <\ sqrt <5>>><4>>>.Затем мы помещаем P произвольно на меньший круг, как показано. Строя прямую, перпендикулярную OP, проходящую через P , мы строим первую сторону пятиугольника, используя точки, созданные на пересечении касательной и единичной окружности. Копирование этой длины четыре раза по внешнему краю единичных кругов дает нам правильный пятиугольник. <\ circ>><2>>>> (используя формулы двойного и половинного угла) Пусть u = cos 36 °. <2>-4 (4) (- 1)>>><2 (4)>> \\ u & <> = <\ frac <1 + <\ sqrt <5>>><4>> \ end <выровнено >>>

Это быстро следует из знания, что удвоение синуса 18 градусов является обратным золотым сечением, которое мы знаем геометрически из треугольника с углами 72,72,36 градусов. Из тригонометрии мы знаем, что косинус дважды 18 градусов равен 1 минус два квадрата синуса 18 градусов, и это сводится к желаемому результату с помощью простой квадратичной арифметики.

Указана длина стороны []

Правильный пятиугольник согласно золотому сечению, делящий отрезок линии внешним делением.

  1. Нарисуйте отрезок AB , длина которого равна заданной стороне пятиугольника.
  2. Удлините сегмент BA от точки A примерно на три четверти сегмента BA .
  3. Нарисуйте дугу окружности с центром B и радиусом AB .
  4. Нарисуйте дугу окружности с центром A с радиусом AB ; возникает перекресток F .
  5. Постройте перпендикуляр к отрезку AB через точку F ; возникает перекресток G .
  6. Проведите линию, параллельную отрезку FG , от точки A до дуги окружности вокруг точки A ; возникает перекресток H .
  7. Нарисуйте дугу окружности, центр G с радиусом GH до продолжения сегмента AB ; возникает перекресток J .
  8. Нарисуйте дугу окружности, центральная точка B с радиусом BJ до перпендикуляра в точке G ; возникает пересечение D на перпендикуляре и пересечение E с дугой окружности, созданной вокруг точки A .
  9. Нарисуйте дугу окружности с центром D с радиусом BA , пока эта дуга окружности не пересечет другую дугу окружности вокруг точки B ; возникает перекресток C .
  10. Соедините точки BCDEA . Получается пятиугольник.
Золотое сечение []
Метод Евклида []

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, вписав один в заданный круг или построив один на заданном крае. Этот процесс был описан Евклидом в его Elements около 300 г. до н.э. [8] [9]

Просто используя транспортир (не классическая конструкция) []

Прямой метод с использованием градусов:

  1. Нарисуйте круг и выберите точку, которая будет пятиугольником (например,грамм. вверху в центре)
  2. Выберите точку A на окружности, которая будет одной вершиной пятиугольника. Проведите линию через O и A .
  3. Проведите через него направляющую и центр круга
  4. Нарисуйте линии под углом 54 ° (от направляющей), пересекающие точку пятиугольника
  5. Там, где они пересекают круг, нарисуйте линии под углом 18 ° (от параллелей к направляющей)
  6. Соединитесь там, где они пересекают окружность

После образования правильного выпуклого пятиугольника, если соединить несмежные углы (рисуя диагонали пятиугольника), получится пентаграмма с меньшим правильным пятиугольником в центре.Или, если расширить стороны, пока не встретятся несмежные стороны, получится пентаграмма большего размера. Точность этого метода зависит от точности транспортира, используемого для измерения углов.

Физические методы []
  • Правильный пятиугольник можно создать из полоски бумаги, завязав на ней узел сверху и осторожно расправив узел, потянув за концы полоски. Если загнуть один из концов над пятиугольником, то при заднем освещении будет открыта пентаграмма.
  • Постройте правильный шестиугольник на плотной бумаге или картоне. Сделайте складку по трем диаметрам между противоположными вершинами. Вырежьте от одной вершины к центру, чтобы получился равносторонний треугольный лоскут. Закрепите этот клапан под его соседом, чтобы получилась пятиугольная пирамида. Основание пирамиды — правильный пятиугольник.
Симметрия []

Правильный пятиугольник имеет симметрию Dih 5 , порядок 10. Поскольку 5 — простое число, имеется одна подгруппа с двугранной симметрией: Dih 1 и 2 симметрии циклических групп: Z 5 и Z 1 .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на пятиугольнике. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. [10] Полная симметрия правильной формы — r10 , и никакая симметрия не помечена как a1 .Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров) и i , когда линии отражения проходят через ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g5 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные грани.

Равносторонние пятиугольники []

Равносторонний пятиугольник — это многоугольник с пятью сторонами одинаковой длины. Однако его пять внутренних углов могут принимать различные наборы значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Напротив, правильный пятиугольник уникален с точностью до подобия, потому что он равносторонний и равноугольный (его пять углов равны).

Циклические пятиугольники []

Циклический пятиугольник — это пятиугольник, у которого окружность, называемая описанной окружностью, проходит через все пять вершин.Правильный пятиугольник — это пример циклического пятиугольника. Площадь циклического пятиугольника, правильного или неправильного, может быть выражена как одна четвертая квадратного корня одного из корней септического уравнения, коэффициенты которого являются функциями сторон пятиугольника. [11] [12] [13]

Существуют циклические пятиугольники с рациональными сторонами и рациональной площадью; они называются пятиугольниками Роббинса. В пятиугольнике Роббинса либо все диагонали рациональны, либо все иррациональны, и предполагается, что все диагонали должны быть рациональными. [14]

Общие выпуклые пятиугольники []

Для всех выпуклых пятиугольников сумма квадратов диагоналей меньше трехкратной суммы квадратов сторон. [15] : стр.75, № 1854

Графики []

Полный граф K 5 часто изображается в виде правильного пятиугольника со всеми 10 соединенными ребрами. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 5 вершин и 10 ребер 5-ячейки. Выпрямленная 5-ячеечная с вершинами на средних краях 5-ячеечной проекции проецируется внутри пятиугольника.

Примеры пятиугольников []

Растения []
Животные []
Минералы []

Пиритоэдрический кристалл пирита. Пиритоэдр имеет 12 одинаковых пятиугольных граней, которые не обязательно должны быть правильными.

Искусственный []

Пентагоны в мозаике []

Правильный пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике из правильных многоугольников. Во-первых, чтобы доказать, что пятиугольник не может образовывать правильную мозаику (в которой все грани совпадают, что требует, чтобы все многоугольники были пятиугольниками), заметьте, что 360 ° / 108 ° = 3 1 ⁄ 3 (где 108 ° внутренний угол), который не является целым числом; следовательно, не существует целого числа пятиугольников, разделяющих одну вершину и не оставляющих промежутков между ними.Сложнее доказать, что пятиугольник не может входить ни в одну мозаику от края до края, образованную правильными многоугольниками:

Максимальная известная плотность упаковки правильного пятиугольника составляет приблизительно 0,921, что достигается показанной двойной решетчатой ​​упаковкой. В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлз и Воден Куснер объявили о доказательстве того, что двойная решетчатая упаковка обычного пятиугольника (которую они называют упаковкой «пятиугольного ледяного луча» и которая восходит к работам китайских мастеров в 1900 году) имеет оптимальную плотность среди всех упаковок правильных пятиугольников на плоскости. [16] По состоянию на 2020 год [обновление] , их доказательство еще не рецензировалось и не публиковалось.

Не существует комбинаций правильных многоугольников с 4 или более пересекающимися вершинами, содержащими пятиугольник. Для комбинаций с 3, если 3 многоугольника встречаются в вершине и один имеет нечетное число сторон, другие 2 должны быть конгруэнтными. Причина этого в том, что многоугольники, соприкасающиеся с краями пятиугольника, должны чередоваться вокруг пятиугольника, что невозможно из-за нечетного количества сторон пятиугольника.Для пятиугольника это дает многоугольник, все углы которого равны (360-108) / 2 = 126 °. Чтобы найти количество сторон этого многоугольника, результат: 360 / (180 — 126) = 6 2 ⁄ 3 , что не является целым числом. Следовательно, пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике из правильных многоугольников.

Внешние ссылки []

Найдите пятиугольник в Wiktionary, бесплатном словаре.

Мы Пентагон | Ускорьте свой онлайн-рост

«Пентагон помог сформировать нашу стратегию выхода на рынок, и когда они были готовы, они были гибкими и действовали быстро, чтобы это произошло.С момента запуска они были как продолжение моей команды, всегда готовы ответить на наши вопросы и даже предвидеть наши потребности. Они продолжают сотрудничать с нами, чтобы бросить вызов рынку, чтобы мы могли расти вместе, понимая коммерческое влияние на нас ».
— Чарльз Оудс, директор по новым бизнес-моделям в Coty

«Коммерческая модель Пентагона — это разделенный риск, что означает, что они верят в себя и всегда стремятся вывести Sports Direct на новые рынки.”
— Найл Сазерленд, руководитель отдела электронной торговли в Sports Direct

«Пентагон является чрезвычайно ценным дополнением к нашей команде по электронной коммерции. С самого первого дня они активно разрабатывали наши предложения на рынке, начиная с создания новых запасов и заканчивая их оптимизацией. Пентагон помог нам получить максимальную отдачу от нашей рыночной стратегии, и имели решающее значение во времена достижения целей роста и управления торговой политикой рынка, чтобы минимизировать торговые и сбытовые риски.«
— Марк Барклай, менеджер группы по электронной торговле в The Parts Alliance

«У Пентагона есть культура обучения в рамках своего бизнеса, что означает, что они постоянно улучшают услуги, которые предлагают нам, гарантируя постоянный рост доходов и удовлетворенность клиентов. Мы полностью доверяем их знаниям и опыту, чтобы добиться успеха в Интернете на мировых рынках ».
— Пол Херст, руководитель отдела онлайн-оптимизации и оптимизации сайта Cotton Traders

«Команда Пентагона чрезвычайно хорошо осведомлена, оперативна и всегда в курсе всех последних рыночных тенденций, что позволяет нам опережать тенденции и соответствовать любым новым изменениям.Сейчас мы стремимся к расширению за пределами Великобритании и полностью намерены максимально использовать огромный опыт Пентагона по выходу на новые рынки ».
— Крис Хиам, руководитель отдела продаж на Kitbag.com

Найдите местное представительство в Пентагоне

Барнсли

Пентагон предлагает 3 франшизы, включая Nissan, Jeep и Peugeot. Пожалуйста, выберите желаемого производителя ниже:

Барнсли, Клейклифф-роуд, Барух Грин, Барнсли, Южный Йоркшир, S75 1LR.

Бертон-он-Трент

Выберите Vauxhall или Peugeot в Бертон-он-Трент, нажав на логотип ниже:

Бертон-он-Трент, Дерби-роуд, Стреттон, Бертон-он-Трент, Стаффордшир, DE13 0DF.

Дерби

Пентагон — это название Воксхолла в Дерби, Дербишир.

Дерби, Остров Пентагон, Ноттингем-роуд, Дерби, Дербишир, DE21 6HB.

Хаддерсфилд

Выберите SEAT или CUPRA в Хаддерсфилде, щелкнув логотип ниже:

Хаддерсфилд, 1 Fartown Green Road, Брэдфорд-роуд, Хаддерсфилд, Западный Йоркшир, HD2 1AA.

Lincoln (Outer Circle Rd)

Пентагон предлагает 3 франшизы, включая Renault, Dacia и Mitsubishi. Пожалуйста, выберите желаемого производителя ниже:

Lincoln (Outer Circle Rd), Внешняя кольцевая дорога, Линкольн, Линкольншир, LN2 4LD.

Линкольн

Пентагон предлагает 5 франшиз, включая Vauxhall, Citroen, Jeep, Mazda и Peugeot.Пожалуйста, выберите желаемого производителя ниже:

Линкольн, 8 Tritton Road, Линкольн, Линкольншир, LN6 7QY.

Лафборо

Пентагон предлагает 4 франшизы, включая Vauxhall, Citroen, Peugeot и Renault. Пожалуйста, выберите желаемого производителя ниже:

Похожие публикации:
  1. Как включить камеру в зуме
  2. Как отвязать кость от меша blender
  3. Как работать в ворде онлайн
  4. Как сделать ученика в shadow fight 2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *