Доказать что прямые лежат в одной плоскости

Следствия из аксиом стереометрии

Сегодня мы рассмотрим три важнейших следствия из аксиом стереометрии и решим несколько задач. Но сначала вспомним сами аксиомы стереометрии.

1. Теорема о прямой и точке

Теорема. Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Рассмотрим прямую $l$ и точку $M$, не лежащую на этой прямой:

Отметим на прямой $l$ произвольные точки $A$ и $B$:

Точки $A$, $B$, $M$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме трёх точек существует плоскость, проходящая через точки $A$, $B$, $M$, и притом только одна. Назовём эту плоскость $\alpha $:

Поскольку точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $, то по Аксиоме о прямой и плоскости прямая $l=AB\subset \alpha $. Итак, мы получили плоскость $\alpha $, которая содержит и прямую $l$, и точку $M$, и эта плоскость единственная.

2. Теорема о пересекающихся прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются , если они имеют ровно одну общую точку.

По сути, это обычные прямые из планиметрии, которые пересекаются в одной точке. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то обычно это записывается так:

Теорема. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Для доказательства рассмотрим две прямые:

Мы видим, что эти прямые пересекаются в точке $M$. Отметим на прямой $a$ произвольную точку $N$, которая не совпадает с $M$:

По Теореме о прямой и точке, доказанной выше, прямая $b$ и точка $N$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $:

Итак, прямая $b\subset \alpha $. Кроме того, точки $M\in \alpha $, $N\in \alpha $. По Аксиоме о прямой и плоскости заключаем, что прямая $a=MN\subset \alpha $.

Итак, обе прямые лежат в плоскости $\alpha $. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, содержащая пересекающиеся прямые $a$ и $b$, содержит, в частности, прямую $b$ и точку $N$. И по предыдущей теореме через эту прямую и точку проходит лишь одна плоскость.

3. Теорема о параллельных прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

В стереометрии параллельные прямые выглядят так же, как и в планиметрии:

Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то пишут $a\parallel b$.

Теорема. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$ в пространстве:

Из определения параллельных прямых следует, что они лежат в одной плоскости. Однако таких плоскостей может быть несколько.

Докажем, что такая плоскость всегда одна. Отметим на прямой $a$ точки $A$ и $B$, на прямой $b$ — точку $C$:

Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме трёх точек через точки $A$, $B$, $C$ проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha $:

Докажем, что это та самая плоскость, в которой лежат прямые $a$ и $b$. Предположим, что это не так, и есть ещё одна плоскость $\beta $, которой также принадлежат прямые $a$ и $b$. Но тогда

\[\beginA & \in a\subset \beta \\ B & \in a\subset \beta \\ C & \in a\subset \beta \\ \end\]

Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме о трёх точках они определяют плоскость однозначно. И мы уже обозначили эту плоскость $\alpha $. Следовательно, плоскости $\alpha $ и $\beta $ — это на самом деле одна и та же плоскость.

4. Способы задания плоскости

Итого плоскость однозначно задаётся любым из четырёх способов:

Тремя точками, не лежащими на одной прямой (Аксиома трёх точек);
Прямой и не лежащей на ней точкой (Теорема о прямой и точке);
Двумя пересекающимися прямыми;
Двумя параллельными прямыми.

Есть и другие способы задать плоскость. Но, во-первых, эти четыре способа прямо следуют из аксиом и не требуют дополнительного обоснования. Можно написать в решении «Две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость» — и этого будет достаточно.

А во-вторых, для большинства стереометрических задач хватит и этих четырёх приёмов. И прямо сейчас мы проверим это в задачах на доказательство.

5. Решение задач

Перед вами шесть на доказательство. Некоторые из них мы будем решать напрямую — через аксиомы и теоремы. Другие докажем методом «от противного» — очень рекомендую освоить его. Это полезный приём для контрольных и экзаменов.

Задача 1

Дана прямая $a$ и точка $B$, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через точку $B$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Решение. Итак, дана прямая $a$ и точка $B$, не лежащая на этой прямой.

1. По теореме о прямой и точке существует плоскость, проходящая через эту прямую и точку, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha $.

2. Пусть некоторая прямая проходит через точку $B$ и пересекает прямую $a$ в точке $N$:

3. Поскольку точка $B\in \alpha $, $N\in \alpha $, по Аксиоме прямой на плоскости заключаем, что прямая $BN\subset \alpha $, что и требовалось доказать.

Задача 2

Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку $C$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку $C$?

Решение. По условию задачи, нам даны прямые $a$ и $b$, причём $a\cap b=C$.

1. По Теореме о пересекающихся прямых заключаем, что прямые $a$ и $b$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.

2. Рассмотрим произвольную прямую, которая пересекает исходную прямую $a$ в точке $N$ и прямую $b$ в точке $N$:

\[\beginM & \in b\subset \alpha \\ N & \in a\subset \alpha \\ \end\]

4. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на плоскости $\alpha $, по Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $MN\subset \alpha $, что и требовалось доказать.

Однако всё это верно лишь при условии, что точки $M$ и $N$ отличны от точки $C$. В противном случае возможен такой вариант:

Прямая $CK$ проходит через некую точку $K$, не лежащую на плоскости $\alpha $. Она всё так же пересекает прямые $a$ и $b$, однако не лежит в одной плоскости вместе с ними.

Задача 3

Через точку пересечения прямых $AB$ и $AC$ проведена прямая $m$, не лежащая с ними в одной плоскости. Докажите, что прямые $m$ и $BC$ не пересекаются.

Решение. Мы уже знаем по Теореме о пересекающихся прямых, что прямые $AB$ и $AC$ однозначно задают плоскость, которая обозначена $\alpha $.

1. Рассмотрим прямую $m$, которая пересекает плоскость $\alpha $ в точке $A$. Докажем, что прямая $m$ никогда не пересечёт прямую $BC$, какими бы ни были точки $B$ и $C$.

2. Предположим обратное: пусть $m\cap BC=N$. Поскольку $N\in BC\subset \alpha $, точка $N$ лежит на плоскости $\alpha $.

3. Заметим, что точки $A\in \alpha $ (по условию), $M\in \alpha $ (доказано в п. 2). По Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $m=AN\subset \alpha $. Получили противоречие с условием задачи. Утверждение доказано.

Задача 4

Прямые $a$ и $b$ не лежат в одной плоскости. Прямые $m$ и $n$ пересекают каждую из прямых $a$ и $b$ в попарно различных точках. Верно ли, что прямые $m$ и $n$ не пересекаются?

Решение. Это задача с открытым вопросом, которая требует исследования.

1. Предположим, что прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $F$:

2. По теореме о пересекающихся прямых получаем, что прямые $m=AB$ и $n=MN$ однозначно задают плоскость. Назовём эту плоскость $\alpha $:

3. Поскольку точки $A\in \alpha $, $M\in \alpha $, по Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $a=AM\subset \alpha $.

4. Аналогично для точек $B\in m$, $N\in \alpha $ получаем, что прямая $b=BN\subset \alpha $.

5. Из пунктов 3 и 4 получаем, что прямые $a\subset \alpha $, $b\subset \alpha $, что противоречит условию задачи. Следовательно, наша гипотеза неверна, и прямые $m$ и $n$ на самом деле не пересекаются.

Большинство учеников, читая эту задачу в первый раз, впадают в ступор и не понимают, что с ней делать. В этих случаях помогает простая картинка, которую мы и нарисовали в самом начале решения.

Когда картинка готова, остаётся лишь рассматривать разные варианты и проверять, не противоречат ли они исходному условию. Это классический «метод перебора», который прекрасно работает и в алгебре, и в геометрии.

Задача 5

Точка $M$ лежит вне плоскости, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Может ли четырёхугольник $ABCM$ быть трапецией? Ответ обоснуйте.

Решение. 1. Для начала рассмотрим тривиальный вариант, когда точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. В этом случае $ABCM$ — точно не трапеция. Это либо треугольник, либо вообще отрезок (когда точка $M$ лежит на прямой $AB$).

2. Пусть теперь точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. Тогда по Аксиоме трёх точек они однозначно задают плоскость $ABC=\alpha $. По условию задачи есть точка $M\notin \alpha $:

3. Предположим, что четырёхугольник $ABCM$ — трапеция. В этом случае, либо $AB\parallel MC$, $AM\parallel BC$.

4. Рассмотрим случай, когда $AM\parallel BC$. По Теореме о параллельных прямых заключаем, что прямые $AM$ и $BC$ однозначно задают плоскость. Однако среди точек этой плоскости будут точки $A$, $B$, $C$, которые согласно Аксиоме плоскости тоже однозначно задают плоскость. Эта плоскость обозначена $\alpha $.

5. Получается, что плоскости $\alpha $ и $ABCM$ — это одна и та же плоскость. Поэтому точка $M\in \alpha $, что противоречит условию задачи. Следовательно, прямые $AM$ и $BC$ не могут быть параллельны.

6. Аналогично доказывается, что прямые $AB$ и $CM$ не могут быть параллельны. Следовательно, четырёхугольник $ABCM$ не может быть трапецией.

Задача 6

Докажите, что через точку пересечения диагоналей трапеции и середины её оснований можно провести более чем одну плоскость.

Решение. Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $F$ — точка пересечения диагоналей, точки $M$ и $N$ — середины оснований $AD$ и $BC$ соответственно.

1. Дополнительное построение: отрезки $FM$ и $FN$.

2. Докажем, что точки $F$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Для этого рассмотрим треугольники $AFD$ и $CFB$. Поскольку $AD\parallel BC$, углы $DAC$ и $BCA$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, они равны:

\[\angle DAC=\angle BCA\]

3. Углы $AFD$ и $BFC$ являются вертикальными. Они тоже равны:

\[\angle AFC=\angle BFC\]

4. Итак, в треугольниках $AFD$ и $CFB$ есть два соответственно равных угла. Следовательно, эти треугольники подобны:

\[\Delta AFD\sim\Delta CFB\]

5. Из подобия треугольников следует, что

С другой стороны, точки $M$ и $N$ делят отрезки $AD$ и $BC$ пополам, поэтому

6. Рассмотрим треугольники $AFM$ и $CFN$. Углы $DAC$ и $BCA$ равны (доказано в п. 2), а прилежащие к этим углам стороны пропорциональны (доказано в п. 5):

Следовательно, треугольники $AFM$ и $CFN$ подобны по углу и пропорциональным прилежащим сторонам:

\[\Delta AFM\sim\Delta CFN\]

7. Из подобия треугольников следует, что соответственные углы равны. В частности. Равны углы $AFM$ и $CFN$:

8. Рассмотрим равные углы $AFM$ и $CFN$. Их стороны $FA$ и $FC$ являются продолжением друг друга.

Поскольку сами углы равны (доказано в п. 7), стороны $FM$ и $FN$ также являются продолжениями друг друга. Следовательно углы $AFM$ и $CFN$ являются вертикальными, а точки $M$, $F$, $N$ лежат на одной прямой.

Через прямую $MN$ можно провести сколь угодно много плоскостей, что и требовалось доказать.

Промежуточный итог

Последнее решение — яркий пример того, как стереометрия сводится к планиметрии. «Чисто стереометрических» теорем на самом деле совсем немного. И скоро мы изучим их все.:)

Доказать, что прямые лежат в одной плоскости

Здравствуйте, буду признателен за помощь следующих задач:

29. Доказать, что прямые: и лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости. (Решение в описание)

Доказать, что прямые не лежат в одной плоскости
Прямые АВ и СД не лежат на в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и ВD не лежат в одной.

Доказать, что прямые, по которым пересекаются соответственные грани, лежат в одной плоскости
Не знаю как доказать:cry:, задача такая: Два тетраэдра расположены в пространстве

_ <3>так, что.

Покажите, что все прямые, которые пересекают данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости
Всем привет! Задана такая задача: (10 класс) даны 2 несовпадающие параллельные прямые. докажите.

Меню пользователя @ VSI

Уравнение плоскости и доказательство того, что прямые лежат в одной плоскости
Доказать, что прямые x=2+4t,y=-6t,z=-1-8t. и x=7-6t, y=2+9t, z=12t лежат в одной плоскости и.

Докажите, что прямые лежат в одной плоскости
докажите, что все различные прямые, пересекающие одну из скрещивающихся(мимобежащих) прямых и.

Доказательство того, что прямые лежат в одной плоскости
Прямые k и l пересекаются в точке O. Прямая a пересекает их в точках M и P, а прямая b — в точках C.

Доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке
как доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной.

Лежат ли прямые в одной плоскости
Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если: l1: x=y=z l2: x=1; y=t; z=2t

Доказать, что плоскости пересекаются в одной точке
Доказать, что плоскости 2х-3у-z+15=0 3x+y-4z=0 и 5x-2y+3z-1=0 пересекаются в одной точке и найти.

Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.

Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.

Для принадлежности прямых L₁: и L₂: одной плоскости  чтобы векторы М₁М₂=2-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁>, q₁=1;m₁;n₁> и q₂=2;m₂;n₂> были компланарны. Т.е., по условию компланарности трех векторов, смешанное произведение М₁М₂·s₁·s₂=Δ==0(8)

Т.к. условие параллельности двух прямых имеет вид: , то для пересечения прямыхL₁ и L₂ , чтобы они удовлетворяли условию (8) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций .

Пример. Исследовать взаимное расположение прямых:

L₁: , L₂:

Направляющий вектор прямой L₁–q₁=(1;3;-2). Прямая L₂ задана как пересечение 2-х плоскостей α₁: х-у-z+1=0; α₂: x+y+2z-2=0. Т.к. прямая L₂ лежит в обеих плоскостях, то она, а значит и ее направляющий вектор, перпендикулярна нормалям n₁ и n₂. Следовательно, направляющий вектор s₂ является векторным произведением векторов n₁ и n₂, т.е. q₂=n₁ х n₂==-i-3j+2k.

Т.о. s₁=- s₂, значит прямые или параллельны, или совпадают.

Чтобы проверить совпадают ли прямые, подставим координаты точки М₀(1;2;-1)L₁ в общие уравнения L₂: 1-2+2+1=0 – неверные равенства, т.е. точка М₀L_2,

следовательно прямые параллельны.

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки М₁(х₁;у₁;z₁) до прямой L, заданной каноническим уравнением L: можно вычислить при помощи векторного произведения.

Из канонического уравнения прямой следует, что точка М₀(х₀;у₀;z₀)L, а направляющий вектор прямойq=(l;m;n)

Построим параллелограмм на векторах q и М₀М₁. Тогда расстояние от точки М₁ до прямой L равно высоте h этого параллелограмма. Т.к. S=|qxМ₀М₁|=h|q|, то

h=(9)

Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

L₁: и L₂:

2) L₁ и L₂ – скрещивающиеся

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Для расположения прямой и плоскости в пространстве возможны 3 случая:

прямая и плоскость пересекаются в одной точке;

прямая и плоскость параллельны;

прямая лежит в плоскости.

Пусть прямая задана своим каноническим уравнением, а плоскость – общим

L: ,

Уравнения прямой дают точку М₀(х₀;у₀;z₀)L и направляющий векторq=(l;m;n), а уравнение плоскости – нормальный вектор n=(A;B;C).

1. Пересечение прямой и плоскости.

Если прямая и плоскость пересекаются, то направляющий вектор прямой q не параллелен плоскости α, а значит не ортогонален нормальному вектору плоскости n. Т.е. их скалярное произведение n·q≠0 или, через их координаты,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Определим координаты точки М — точки пересечения прямой L и плоскости α.

Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому: , tR

Подставим эти соотношения в уравнение плоскости

если Am+Bn+Cp≠0, то уравнение имеет единственное решение, определяющее координаты точки М:

t_М= —→(11)

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

Угол φ между прямой L:

с направляющим вектором q= и плоскостью

: Ах+Ву+Сz+D=0 с нормальным вектором n=(A;B;C) находится в пределах от 0˚ ( в случае параллельности прямой и плоскости) до 90˚ (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). (Угол между вектором q и его проекцией на плоскость α).

– угол между векторами q и n.

Т.к. угол  между прямой L и плоскостью  является дополнительным к углу , то sin φ=sin(-)=cos =— (рассматривается абсолютная величина т.к. угол φ острый sin φ=sin(-) или sin φ=sin(+) в зависимости от направления прямой L)

sin φ=(12)

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Звезда активна Звезда не активна

Пусть $L_1: \frac=\frac=\frac$ и $L_2: \frac=\frac=\frac$ — две скрещивающиеся прямые. Расстояние $\rho(L_1, L_2)$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ можно найти по следующей схеме:

1) Находим уравнение плоскости $P,$ проходящей через прямую $L_1,$ параллельно прямой $L_2:$

Плоскость $P$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1),$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2]=(n_x, n_y, n_z),$ где $\overline s_1=(m_1, l_1, k_1)$ и $\overline s_2=(m_2, l_2, k_2)$ — направляющие вектора прямых $L_1$ и $L_2.$ Следовательно, уравнение плоскости $P: n_x(x-x_1)+n_y(y-y_1)+n_z(z-z_1)=0.$

2) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_2$ до плоскости $P:$

Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Для нахождения общего перпендикуляра прямых $L_1$ и $L_2,$ необходимо найти уравнения
плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;$

Тогда уравнение общего перпендикуляра имеет вид

Пример.

2.214.

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$

в) вычислить расстояние между прямыми;

г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$ и $L_2.$

Решение.

а) Если прямые $L_1$ и $L_2$ лежат в одной плоскости, то их направляющие вектора $\overline(3, 4, -2),$ $\overline(6, -4, -1),$ и вектор $\overline l,$ соединяющий произвольную точку прямой $L_1$ и произвольную точку прямой $L_2$ компланарны. В качестве такого вектора $\overline$ можно выбрать $\overline(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$ Проверим будут ли эти вектора компланарны.

Следовательно, вектора не компланарны и прямые не лежат в одной плоскости.

б) Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1.$ Эта плоскость проходит через точку $M_2(21, -5, 2)$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2].$

Таким образом, вектор $\overline n$ имеет координаты $\overline n(-12, -9, -36).$

Находим уравнение плоскости $$P:\,\, -12(x-21)-9(y+5)-36(z-2)=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow-12x-9y-36z+252-45+72=0\Rightarrow -12x-9y-36z+279=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x+3y+12z-93=0.$$

Ответ: $4x+3y+12z-93=0.$

в) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_1$ до плоскости $P:$

Ответ: $\frac<76><13>.$

г) Найдем уравнения плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$

Имеем, $M_1=(-7, -4, -3)\in P_1,$

Таким образом, $$P_1: 54(x+7)-44(y+4)-7(z+3)=54x-44y-7z+378-176-21=$$ $$=54x-44y-7z+181=0.$$

Аналогично находим $P_2:$

Имеем, $M_2=(21, -5, 2)\in P_2,$

Таким образом, $$P_1: -45(x-21)-76(y+5)+34(z-2)=-45x-76y+34z+945-380-68=$$ $$=-45x-76y+34z+497=0.$$

Ответ: $\left\<\begin54x-44y-7z+181=0;\\ -45x-76y+34z+497=0.\end\right. $

2.215.