Доказать основное тригонометрическое тождество
Основным тригонометрическим тождеством является следующее равенство:
sin2 α + cos2 α = 1
Это значит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же острого угла равна единице.
Докажем это тригонометрическое тождество. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90º). Проведем в нем высоту CH к гипотенузе.
Выразим катеты треугольника ABC по косинусам углов. Так как cos A = AC/AB, то
Так как cos B = BC/AB, то
Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный, т. к. CH ⊥ AB. АС в этом треугольнике является гипотенузой. Тогда cos A = AH/AC. Выразим отсюда отрезок AH:
Подставим вместо отрезка AC его значение, выраженное ранее через косинус угла A треугольника ABC. Получим:
AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos 2 A
Теперь рассмотрим треугольник BCH. В нем cos B = BH/BC. Выразим BH и заменим BC его значением, найденным в треугольнике ABC:
BH = AB · cos 2 B
Отрезок AB является суммой отрезков AH и BH:
Заменим AH и BH на их выражения через косинусы углов:
AB · cos 2 A + AB · cos 2 B = AB
AB · (cos 2 A + cos 2 B) = AB
cos 2 A + cos 2 B = 1
Как известно, синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла этого же треугольника. В данном случае:
Следовательно, в тождестве cos 2 A + cos 2 B = 1 мы можем косинус угла B заменить на синус угла A. Таким образом получим:
cos 2 A + cos 2 B = 1
cos 2 A + (cos B · cos B) = 1
cos 2 A + (sin A · sin A) = 1
cos 2 A + sin 2 A = 1
Таким образом, сумма квадрата косинуса угла и квадрата синуса этого угла равна единицы, что и требовалось доказать.
Чему равна сумма квадратов синуса и косинуса прямого угла?
единице, потому что синус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате альфа равно единице, где альфа может быть любым углом, в том числе прямым. sinA*sinA + cosA*cosA = 1 . Это давно доказанная тригонометрическая формула, чуть ли не встечается на каждом шагу в мире математического анализа, эта теорема связанно с теоремой Пифогора, встречается так же часто и доказывается ее: радиус тригонометрического круга равен единице, а единица в квадрате равна единице. При помощи этой теоремы решаются многие примеры, в том числе геометрические задачи.
Тригонометрические преобразования
Несложно догадаться, что синус и косинус угла – это величины, связанные друг с другом. Отложим на единичной окружности произвольный угол α и опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох, в некоторую точку В:
Изучим треугольник АОВ. Он прямоугольный, а потому для него можно записать теорему Пифагора:
АВ 2 + ОВ 2 = ОА 2
Мы рассматриваем единичную окружность, а потому ОА = 1, ОВ = соsα, AB = sinα. Подставив эти величины в равенство, получим тождество:
sin 2 α + соs 2 α = 1
Его называют основным тригонометрическим тождеством, ведь именно оно связывает значение двух прямых тригонометрических ф-ций – синуса и косинуса.
Задание. В прямоугольном треугольнике есть угол α. Известно, что sin α = 0,8. Чему равен соsα?
Решение. Подставим в основное тригон-кое тождество значение sinα = 0,8 и получим уравнение:
sin 2 α + соs 2 α = 1
0,8 2 + соs 2 α = 1
0,64 + соs 2 α = 1
соs 2 α = 1 – 0,64
соsα = – 0,6 или соsα = 0,6
Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию α – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол α относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, соsα = 0,6.
Рассмотренный пример показал, что одному заданному значению синуса соответствует сразу два противоположных друг другу значения косинуса. Верно и обратное. Действительно, отложим по оси Ох некоторую величину соsα и проведем вертикальную линию, чтобы найти соответствующие ему значения синуса. Она пересечет единичную окружность в двух точках с противоположными ординатами:
По этой причине при решении задач на использование основного тригон-кого тождества обычно указывают, к какой четверти относится угол α.
Задание. Вычислите sinα, если соsα = 0,28 и α принадлежит IV четверти.
sin 2 α + соs 2 α = 1
0,28 2 + sin 2 α = 1
0,0784 + sin 2 α = 1
sin 2 α = 1 – 0,0784
sin α = –0,96 или sin α = 0,96
Так как α принадлежит IV четверти, то sinα должен быть отрицательным, поэтому sinα = – 0,96.Напомним, что в IV четверти значение косинуса положительно, ведь соответствующая ей дуга единичной окружности располагается правее оси Оу, то есть абсциссы точек, принадлежащих ей, положительны.
Задание. Найдите tgα, если sinα = 5/13 и π/2 < α < π.
Решение. Здесь задача уже в два действия! Сначала определим соsα:
sin 2 α + соs 2 α = 1
соs 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – (5/13) 2 = 169/169 – 25/169 = 144/169
соsα = – 12/13 или соsα = 12/13
Условие π/2 < α < π указывает на то, что угол относится ко II четверти, в которой косинус отрицателен, поэтому соsα = – 12/13.
Далее находим тангенс, просто деля синус на косинус:
tgα = sinα:соsα = (5/13):(12/13) = (5/13)•(13/12) = 5/12
Рассмотренный пример показал нам, что, зная синус, можно рассчитать не только косинус, но и тангенс. А возможно ли совершить обратное действие, найти по тангенсу синус или косинус? Да, но для этого нужно получить новую тригонометрическую формулу.
sin 2 α + соs 2 α = 1
Далее поделим его на величину соs 2 α:
Крайнее левое слагаемое – это величина tg 2 α, а следующая дробь равна единице, так как у неё совпадают числитель и знаменатель:
В итоге нам удалось получить ф-лу, которая связывает значение тангенса и косинуса угла. Есть такая формула и для котангенса. Для ее получения необходимо поделить основное тригон-кое тождество на sin 2 α:
Задание. Известно, что tgα = 0,75. Найдите соsα и sinα, если угол α принадлежит III четверти.
Просто подставляем в ф-лу известное значение тангенса и решаем получившееся уравнение. Для простоты вычислении заменим десятичную дробь 0,75 на обычную 3/4:
Так как угол относится к III четверти, где косинус отрицателен, то
Синус угла найдем, используя основное тригон-кое тождество:
sin 2 α + соs 2 α = 1
sin 2 α = 1 – соs 2 α = 1 – (– 0,8) 2 = 1 – 0,64 = 0,36
sinα = – 0,6 или sinα = 0,6
С учетом того, что в III четверти синус становится отрицательным, следует выбрать вариант sinα = – 0,6
Ответ: sinα = – 0,6; соsα = – 0,8.
Иногда ф-лы используют не для вычисления значений тригон-ких выражений, а для упрощения выражений. Из тождества sin 2 α + соs 2 α = 1 несложно получить из выражения
sin 2 α = 1 – соs 2 α
соs 2 α = 1 – sin 2 α
которые помогают в работе с длинными ф-лами.
Задание. Упростите выражение
4sin 2 α + 9соs 2 α – 6
таким образом, чтобы в нем не содержалось синуса.
Решение. Произведем замену sin 2 α = 1 – соs 2 α:
4sin 2 α+ 9соs 2 α – 6 = 4(1 – соs 2 α)+ 9соs 2 α – 6 =
= 4 – 4 соs 2 α + 9соs 2 α – 6 = 5соs 2 α – 2
Видим, что получилось значительно более простое выражение.
Ответ: 5соs 2 α – 2.
Задание. Избавьтесь от синуса в выражении
sin 4 α – соs 4 α
Решение. Воспользуемся ф-лой разности квадратов:
sin 4 α – соs 4 α = (sin 2 α – соs 2 α)(sin 2 α + соs 2 α) = (sin 2 α – соs 2 α)•1 =
= 1 – соs 2 α– соs 2 α = 1 – 2 соs 2 α
Ответ:1 – 2 соs 2 α.
Задание. Упростите дробь
Тригонометрические функции суммы и разности
Легко проводить вычисления, когда все тригонометрические действия выполняются над одним углом α. Однако иногда в задачах добавляется ещё один угол, который обычно обозначают как β. Существуют ф-лы, с помощью которых можно вычислять тригон-кие ф-ции от суммы и разности углов α и β.
Вывод этих ф-л достаточно сложен, поэтому сначала мы просто без доказательства приведем две из них, позволяющие вычислять синус суммы и косинус суммы:
Достаточно запомнить их, а далее следующие формулы можно выводить из них. Так, если вместо β подставить угол (–β), то получим формулы для разности. При этом мы используем тот факт, что синус – нечетная ф-ция, то естьsin (– β) = – sinβ, а косинус – четная ф-ция, то есть соs (– β) = соsβ:
Теперь поступим также с ф-лой для косинуса разности:
Итак, нам удалось получить ф-лы для нахождения синуса и косинуса суммы и разности углов.
С помощью этих формул возможно вычислить значение тригон-ких ф-ций для некоторых нестандартных углов. (Стандартными считаются углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, ведь для них значение тригон-ких ф-ций можно узнать из таблички.)
Задание. Вычислите соs 150°.
Решение. В табличке стандартных углов есть углы, равные 90° и 60°. Их сумма как раз равна 150°. Поэтому запишем:
Задание. Вычислите синус, косинус и тангенс для угла 15°.
Решение. Угол в 15° можно представить как разность 45° – 30°. Тогда синус будет вычисляться так:
Далее вычислим косинус:
Можно выполнить проверку. Полученные значения должны удовлетворять основному тригон-кому тождеству. И действительно:
Проверка пройдена: сумма квадратов синуса и косинуса оказалась равной единице. Теперь посчитаем tg 15°, используя определение тангенса:
Задание. Вычислите значение тригонометрического выражения
sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7
Решение: Значение тригон-ких ф-ций для углов π/7 и π/42 мы не знаем, однако это не помешает вычислениям. Можно заметить, что исходное выражение представляет собой синус суммы π/7 и π/42:
sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7 = sin (π/7 + π/42) = sinπ/6 = 1/2
Задание. Упростите выражение
Вынесем за скобки множитель 2:
Теперь произведем замену:
C учетом этого можно переписать выражение и использовать ф-лу суммы косинусов:
Ответ: 2соs (π/6 + α).
Формулы двойного угла
Что будет, если формулу синуса суммы подставить не два различных угла α и β, а два одинаковых угла α и α? Получится ф-ла для синуса двойного угла:
Аналогично можно составить ф-лу и для косинуса двойного угла:
Итак, справедливы следующие ф-лы:
Задание. Вычислите sin 120° и соs 120°.
Задание. Упростите выражение
соs 2 t – соs 2t = соs 2 t – (соs 2 t – sin 2 t) = соs 2 t – соs 2 t + sin 2 t = sin 2 t
Задание. Докажите, что функция
является периодической и имеет период, равный π.
Решение. Используем ф-лу квадрата суммы:
Таким образом, исходную ф-цию можно переписать в виде
По определению, ф-ция является периодической с периодом Т, если выполняется условие у(х + Т) = у(х). Поэтому подставим в нашу ф-цию величину х + π:
Получили, что у(х + π) = y(x), то есть ф-ция имеет период, равный π.
Задание. Выведите формулы синуса и косинуса тройного угла.
Решение. Для их получения следует использовать ф-лу синуса суммы углов, в которую подставляют вместо β величину 2α:
Аналогично можно получить и ф-лу для косинуса тройного угла:
Формулы понижения степени
Если нам необходимо узнать косинус угла, который вдвое больше табличного, мы используем ф-лу:
соs 2α = соs 2 α – sin 2 α
А что делать, если нам надо вычислить косинус угла, который вдвое меньше известного? Попробуем преобразовать ф-лу косинуса двойного угла:
В результате нам удалось получить тождество, позволяющее по косинусу удвоенного угла найти косинус самого угла! Однако значительно чаще в тригонометрии это равенство записывают в обратном порядке:
и называют ф-лой понижения степени. Действительно, в левой части стоит косинус в квадрате, а справа – косинус без квадрата, но вычисляется он от угла 2α, а не α.
Попробуем получить аналогичную ф-лу и для синуса. Для этого используем основное тригон-кое тождество:
С помощью этих ф-л можно вычислять тригон-кие ф-ции для некоторых малых углов. Так, ранее мы с использованием ф-лу разности синусов определили, что
При этом мы представляли угол 15° как разность 45° – 30°. Но как посчитать соs 7,5°? Этот угол невозможно представить как разницу или сумму известных нам табличных углов (0°, 30°; 45°; 60° и 90°). Однако поможет ф-ла понижения степени. Действительно, ведь 2•7,5° = 15°. Тогда можно записать:
Мы нашли соs 2 7,5°. Чтобы узнать соs 7,5°, необходимо извлечь квадратный корень:
Так как угол 7,5° принадлежит I четверти, то его косинус должен быть положительным, поэтому можно записать:
Видно, что получается довольно громоздкое выражение. Используя ф-лу понижения степени, можно найти косинус и угла, который ещё вдвое меньше, то есть равен 3,75°, но в результате получится ещё более громоздкое выражение.
Задание. Вычислите sinπ/8.
Решение. Угол π/4 является табличным (его градусная мера составляет 45°). Поэтому можно записать:
Эти примеры показывают, что тригон-кие ф-ции многих нестандартных углов можно выразить, используя квадратные корни. Возникает вопрос – а любую ли тригонометрическую ф-цию можно выразить таким способом? Оказывается, что нет. Например, sin 10° невозможно найти ни в одной, даже самой подробной тригонометрической таблице. Мы не будем это доказывать, но эту величину невозможно представить в виде выражения, используя арифметические операции и корни. Однако существуют приближенные методы, позволяющие с любой наперед заданной точностью вычислять значение тригонометрических ф-ций.
Формулы приведения
Возможно, вы уже заметили, что синусы и косинусы принимают одинаковые значения в углах, чья сумма равна 90°. Например, sin30° = соs60° = 1/2, и при этом 30° + 60° = 90°. Также мы знаем, что sin 45° = соs 45° (45° + 45° = 90°) и sin60° = соs30° (60° + 30°). В чем причина такой закономерности и справедлива ли она для нестандартных углов?
Используя ф-лу синуса разности, мы можем записать, что
Полученная ф-ла sin (90° – α) = соsα называется формулой приведения. При ее выводе мы использовали тот факт, что sin 90° = 1, а соs 90° = 0, поэтому формула получилась очень простой. Однако синусы и косинусы других углов, кратных 90° (или кратных π/2, если измерять углы в радианах), также равны 0, 1 или – 1, поэтому для них тоже можно получить подобные простые ф-лы, например:
Похожих ф-л можно написать несколько десятков! Все их запоминать не надо, так как существует особое мнемоническое правило, позволяющее записать необходимую ф-лу.
Пусть есть некоторое тригон-кое выражение вида
где f – тригонометрическая ф-ция (sin; соs; tg; ctg)
k– угол, кратный π/2 (π/2, π, 3π/2, 2π)
Мы хотим заменить ее другой ф-цией, только от угла α. На первом шаге мы смотрим на слагаемое k. Если оно кратно π (– π, π, 2π), то ф-ция f остается неизменной. Если же слагаемое k – это число π/2 или 3π/2, то ф-цию f надо поменять на так называемую кофункцию (синус меняем на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
Далее надо определить знак, стоящий перед новой ф-цией. Для этого мы предполагаем, что α – это острый угол, то есть он принадлежит I четверти. Далее с учетом этого предположения смотрим, в какую четверть попадает угол k ± α, и какое значение принимает там исходная тригонометрическая ф-ция. Если она отрицательна, то перед новой тригонометрической ф-цией надо поставить минус. В противном случае ничего ставить не надо.
Лучше всего изучить это алгоритм на примерах.
Задание. Упростите выражение соs (π/2 + α).
Решение. Первый шаг – смотрим на слагаемое под знаком косинуса. Это число π/2. Оно НЕ кратно π, а потому мы должны поменять косинус на синус:
Второй шаг – надо определить, надо ли ставить минус перед синусом. Если α – это острый угол, то угол (π/2 + α) попадет во II четверть:
Во второй четверти косинус отрицателен, а потому перед синусом следует поставить минус:
соs (π/2 + α) = – sinα
Важное примечание. В этом примере для составления формулы приведения мы «предположили», что угол α является острым. В результате нам удалось получить формулу соs (π/2 + α) = – sinα. Однако отметим, что полученная нами формула выполняется для абсолютно любых значений угла α, а не только для 0° < α < 90°. Предположение об остроте угла – это лишь часть мнемонического правила для составления формул приведения, позволяющая быстро определить, надо ли в ней перед тригонометрической функцией ставить знак минус или не надо.
Это мнемоническое правило работает абсолютно точно, однако надо понимать, что всё-таки для строгого вывода формул приведения следует использовать формулу косинуса суммы
соs (π/2 + α) = cosπ/2 cos α – sin π/2 sin α = 0•cos α – 1•sin α = – sin α
Получили тот же результат, что и с помощью формулы приведения. При этом нам не потребовалось предположение об остроте угла α, то есть формула верна для любых α. Но практика показывает, что люди просто не могут запомнить формулу косинусов суммы. Поэтому для «упрощения жизни» школьникам рассказывают об относительно простом мнемоническом правиле.
Задание. Составьте ф-лу приведения для выражения tg (α – π).
Решение. Сначала смотрим на слагаемое под знаком тангенса. Это число (– π), кратное π. Поэтому сама ф-ция не меняется на кофункцию:
Примем, что угол α принадлежит I четверти, тогда угол α – π будет ему противоположен и окажется в III четверти:
Тангенс в III четверти положителен. Значит, минуса перед тангенсом ставить не надо:
Задание. Вычислите sin 7π/6.
Решение. Представим угол 7π/6 как сумму: 7π/6 = π + π/6. Получается, нам надо вычислить величину sin (π + π/6). Составим ф-лу приведения для выражения π + α Так как в скобках стоит слагаемое π, то ф-ция sin остается, а не меняется на косинус:
Угол (π + α) относится к III четверти, где синус отрицателен. Следовательно, надо добавить знак минус:
sin (π + α) = – sinα
Остается подставить вместо α величину π/6:
sin (π + π/6) = – sinπ/6 = – 1/2
Задание. Чему равен ctg7π/4?
Решение. Угол 7π/4 можно представить как 3π/2 + π/4. Найдем ф-лу приведения для ctg (3π/2 + α). Из-за слагаемого 3π/2, не кратного π, ф-ция должна измениться с котангенса на тангенс:
ctg (3π/2 + α) = tgα
Угол 3π/2 + α попадает в IV четверть, где котангенс отрицателен. Поэтому необходимо добавить знак минуса перед ф-цией:
ctg (3π/2 + α) = –tgα
Ф-ла приведения получена. Осталось подставить в неё значение α = π/4:
ctg (7π/4) = ctg (3π/2 + π/4) = – tgπ/4 = – 1
Откуда же возникло название «формула приведения»? Дело в том, что с их помощью вычисление тригонометрических ф-ций от углов из диапазона 0 ≤ π ≤ 2π можно привести к вычислению ф-ций от углов из I четверти, то есть из диапазона 0 ≤ α ≤ π/2. Это означает, что нет смысла заучивать большие таблицы, в которых указаны синусы и косинусы углов, больших 90°. Достаточно знать ф-ции от стандартных углов: 0, π/6; π/4, π/3 и π/2.
Если всё же использование ф-л приведения вызывает сложности, то вместо них всегда можно использовать обычные ф-лы косинуса и синуса суммы, которые дадут такой же результат.
В прошлом уроке, строя графики косинуса, мы заметили, что он представляет собой синусоиду, смещенную на π/2 единиц:
Теперь становится ясна причина этого смещения. Дело в ф-ле приведения
соsx = sin (x + π/2)
Она показывает, что точки графика косинуса могут быть получены параллельным переносом точек синусоиды на π/2 единиц влево.
Сумма тригонометрических функций
Мы видим, что тригон-ких формул довольно много. Надо ли все их учить? Этого делать не надо. Достаточно иметь под рукой справочник при решении задач, связанных с преобразованием тригонометрических выражений, в котором все эти ф-лы можно посмотреть. В крайнем случае можно всегда самостоятельно вывести все ф-лы, используя только основное тригон-кое тождество и ф-лы синуса и косинуса суммы. Они, кстати, выдаются в качестве раздаточного материала учащимся при сдаче ЕГЭ. Ещё важно помнить определение тангенса, которое в раздаточном материале не записано.
Пусть есть два произвольных угла s и t. Найдем синусы их разности и суммы:
Сложим эти два уравнения:
Теперь произведем замену. Будем считать, что
Это значит, чтох + у = 2s, или
С другой стороны
х – у = s + t– (s– t) = 2t
Подставляем всё это в ф-лу (1):
Получили формулу, с помощью которой можно найти сумму любых двух синусов! Теперь попытаемся составить аналогичную ф-лу и для их разности синусов. При этом мы учтем нечетность синуса (это значит, что sin (– у) = – sinу):
Задание. Упростите выражения
Теперь попробуем составить ф-лы для сложения и вычитания косинусов. Для этого запишем ф-лы для произвольных величин s и t:
Сложив уравнения, мы получим тождество
Далее произведем замены, которые выполняли и ранее:
Подставляя всё это в (3), получим:
Получили ф-лу, с помощью которой можно складывать косинусы. Чтобы их можно было вычитать, вычтем из (1) уравнение (2):
Снова произведем замены переменных s и t:
Получили ф-лу и для разности косинусов.
Задание. Упростить тригонометрические выражения
в) Здесь мы сталкиваемся с более сложным случаем, так как из косинуса надо вычесть синус. У нас нет готовой ф-лы для такого действия. Однако вспомним, что с помощью формул приведения легко заменить синус на косинус:
sinx = соs (π/2 – х)
Тогда исходное выражение уже можно будет преобразовать:
Произведение тригонометрических функций
В предыдущем разделе, когда мы выводили ф-лы для вычисления суммы синусов и косинусов, мы сначала получали уравнения:
Далее мы производили замену переменных sи t. Однако давайте вместо этого просто поделим первые два уравнения на двойку, а третье – на (– 2):
В случае с последней формулой мы воспользовались правилом, по которому знак минус перед дробью можно убрать, если в числителе поменять местами вычитаемое и уменьшаемое.
Получили ф-лы, которые позволяют заменять произведение тригонометрических ф-ций их суммой.
Задание. Преобразуйте произведение в сумму:
На этом наше знакомство с основными тригонометрическими формулами заканчивается. Ещё раз напомним, что в рамках школьного курса заучивать все ф-лы не нужно, можно при необходимости пользоваться смотреть в справочник. Тригон-кие преобразования помогут в будущем при решении сложных тригон-ких уравнений.
Основное тригонометрическое тождество
Основное тригонометрическое тождество гласит, что для любого угла альфа сумма квадратов синуса и косинуса равна единице:
Докажем это тождество с помощью единичной окружности. На окружности радиуса единица выберем произвольный угол и проведем радиус к этому углу:
Длина радиуса равна единице. Пусть этот радиус будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Для этого достроим катеты. По определению координаты конца радиуса равны (cos(α); sin(α)). И получается, что длины катетов равны минус косинусу и синусу альфа. Минус косинус потому, что косинус данного угла отрицательный:
А длина положительная – +0,8 и поэтому длина нижнего горизонтального катета равна –cos(α). Длина верхнего катета равна синусу альфа.
Запишем теорему Пифагора для этого треугольника. Теорема гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: