Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства

Доказать, что существует единственный линейный оператор

Доказать, что существует единственный линейный оператор, переводящий векторы (u1, u2, u3) в векторы (v1, v2, v3), и найти матрицу этого оператора в том же базисе, в котором заданы указанные векторы: u1=(2, 3, 5), u2=(0, 1, 2), u3=(1, 0, 0); v1=(1, 1, 1), v2=(1, 1, -1), v3= (2, 1, 2)

Может кто-то помочь с этой задачей? Я хотел бы проверить правильность формулы для решения задачи.
A=
B=

Тогда матрица X, оператора переводящего одни векторы в другие, удовлетворяет уравнению
X⋅A=B Отсюда X=B⋅A−1 ?

Показать, что существует линейный оператор в подпространстве
Пусть L — подпространство подпространства Х, А — линейный оператор из L в некоторое пространство У.

Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу
Подскажите, с чего начать? ^ <3>– линейное пространство арифметических трехмерных векторов. В.

Доказать, что φ– линейный оператор, и найти его матрицы в базисах
Здравствуйте, помогите решить задачу: В пространстве многочленов степени не выше 2 задан оператор.

Нужно доказать (тема — Линейный оператор)
Нужно доказать, что если А-линейный оператор и взаимно отображается, то А^(-1) — тоже линейный.

3.2. Ядро и образ линейного преобразования

Следствие. Множество является подпространством.

Так как множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством, то из теоремы 3.5 следует, что множество является подпространством.

Пример

Найти ядро линейного преобразования , где

Решение. Так как ядро совпадает с множеством решений системы уравнений , то базисом подпространства является фундаментальный набор решений этой системы уравнений. Найдем этот базис

Векторы образуют базис системы векторов . Вектор разлагается по векторам : . Отсюда следует, что фундаментальный набор решений системы линейных уравнений состоит из одного вектора , который является базисом . Итак, ядро

Так как является подпространством пространства , то вектор принадлежит . Линейное преобразование называется невырожденным, если содержит только нулевой вектор, т. е. .

□ Теорема 3.6. Дано линейное преобразование . Тогда равносильны следующие утверждения:

1. Линейное преобразование является невырожденным.

2. Линейное преобразование f переводит базис пространства в базис этого пространства, т.е. если базис , то и базис пространства .

3. Линейное преобразование обратимо.

Доказательство

1) 2). Дано, что ядро . Докажем, что если базис , то также базис пространства . Сначала докажем линейную независимость системы векторов . Для этого рассмотрим произвольное разложение вектора по этой системе векторов

Равенство (1) перепишем в виде

Теперь из равенства (2) вытекает, что вектор . Отсюда, в виду вытекает

= . (3) Так как линейно независимая система векторов, то из соотношения (3) следуют равенства . Этим доказана линейная независимость системы векторов . Она содержит n векторов и, значит, является базисом пространства

2) 3). Диагональная система является базисом пространства Из условия 2) теоремы получаем, что базис пространства . Так как матрица линейного преобразования то . Следовательно, − линейно независимая система векторов и, значит, матрица обратима, т. е. − обратимое преобразование.

3) 1). Дано, что линейное преобразование обратимо. Докажем, что ядро . Пусть вектор , т. е. Отсюда . Следовательно, . ■

Множество всех векторов , , называется образом линейного преобразования и обозначается символом . Итак,

Теперь докажем следующую теорему.

□ Теорема 3.7. Множество является подпространством пространства .

Доказательство. Пусть , − произвольные векторы подпрост-ранства . Тогда найдутся такие векторы , в пространстве что . Теперь имеем

Из этих равенств вытекает, что векторы + и принадлежат множеству . Следовательно, является подпространством. ■

В следующей теореме содержится задание подпространства в виде линейной оболочки.

□ Теорема 3.8. Если система векторов , ,…, базис пространства то = .

Доказательство теоремы вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

Пример

Найти образ линейного преобразования

Решение. Диагональная система , , является базисом пространства . Так как

то из теоремы 3.8 следует, что

1. Доказать, что существует единственное линейное преобразование пространства , переводящее его базис соответственно в векторы . Найти матрицу этого линейного преобразования.

2. Найти ядро линейного преобразования, которое переводит базис пространства соответственно в векторы

3. Доказать, что линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда из неравенства следует, что

4. Доказать равносильность следующих утверждений:

5. Доказать, что для каждого линейного преобразования справедливо равенство

6. Доказать, что для каждого линейного преобразования пространства сумма размерностей ядра и образа равна n, т. е. .

Линейные преобразования

Ортогональными называются такие преобразования плоскости, которые не меняют расстояния между любыми двумя точками, то есть преобразования $f$ ортогональное, если для любых точек $A$ и $B$ выполнено $|AB|=|f(A)f(B)|$.

Основными примерами ортогональных преобразований служат параллельный перенос, поворот и осевая симметрия.

Получим координатную запись ортогонального преобразования в декартовой прямоугольной системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Обозначим через $A$ и $B$ концы базисных векторов: $\boldsymbol_<1>=\overrightarrow$, $\boldsymbol_<2>=\overrightarrow$ (рис. 12.1). При ортогональном преобразовании равнобедренный прямоугольный треугольник $OAB$ перейдет в равный ему треугольник $O^<*>A^<*>B^<*>$. Рассмотрим произвольную точку $M(x, y)$. Она перейдет в точку $M^<*>$ с координатами $(x^<*>, y^<*>)$. Нам надо выразить $(x^<*>, y^<*>)$ через $(x, y)$.

Рис. 12.1. Ортогональное преобразование.

По определению координат $\overrightarrow=x\overrightarrow+y\overrightarrow$. Отсюда следует, что $\overrightarrowM^<*>>=x\overrightarrowA^<*>>+y\overrightarrowB^<*>>$. Действительно, векторы $\overrightarrowA^<*>>$ и $\overrightarrowB^<*>>$ взаимно перпендикулярны и по длине равны 1, а потому компоненты $\overrightarrowM^<*>>$ по этим векторам равны его скалярным проекциям на них. Эти проекции равны проекциям $\overrightarrow$ на $\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$, что видно из равенства соответствующих треугольников. Теперь мы можем написать
$$
\overrightarrow>=\overrightarrow>+\overrightarrowM^<*>>=\overrightarrow>+x\overrightarrowA^<*>>+y\overrightarrowB^<*>>.\label
$$

Обозначим через $\varphi$ угол между $\overrightarrowA^<*>>$ и $\boldsymbol_<1>$. Поскольку $|\overrightarrowA^<*>>|=1$, координаты этого вектора в базисе $\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$ равны $(\cos \varphi, \sin \varphi)$. Тогда перпендикулярный вектор единичной длины $\overrightarrowB^<*>>$ имеет координаты ($\mp \sin,\ \pm \cos$), причем верхние знаки берутся в том случае, когда пара векторов $\overrightarrowA^<*>>$ и $\overrightarrowB^<*>>$ ориентирована так же, как $\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Координаты точки $O^<*>$ обозначим через $(c_<1>, c_<2>)$.

Теперь мы можем разложить все члены равенства \eqref по базису:
$$
\begin
& x^<*>=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_<1>,\\
& y^<*>=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_<2>.
\end\label
$$

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Произвольное ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами \eqref, где $\varphi$ — угол, на который поворачивается первый базисный вектор, a $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты образа начала координат. При этом выбираются верхние знаки, если образы базисных векторов ориентированы так же, как и сами эти векторы, и нижние знаки в противоположном случае.

Параллельный перенос на вектор с сопоставляет точке $M$ с координатами $(x, y)$ в некоторой декартовой системе координат точку $M^<*>$ с координатами
$$
x^<*>=x+c_<1>,\ y^<*>=y+c_<2>,\nonumber
$$
где $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты $c$.

Напишем уравнения поворота плоскости на угол $\varphi$ вокруг некоторой точки, приняв эту точку за начало декартовой прямоугольной системы координат. В этом случае $O=O^<*>$ и, следовательно, $c_<1>=c_<2>=0$. Должны быть выбраны верхние знаки. Итак
$$
x^<*>=x \cos<\varphi>-y \sin<\varphi>,\ y^<*>=x \sin<\varphi>+y \cos<\varphi>,\nonumber
$$

Рассмотрим осевую симметрию относительно некоторой прямой. Примем ось симметрии за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Тогда точка $M(x, y)$ переходит в точку $M^<*>$ с координатами
$$
x^<*>=x,\ y^<*>=-y.\nonumber
$$
Здесь $c_<1>=c_<2>=0$ и $\varphi=0$ при нижних знаках в формулах \eqref.

Определение линейных преобразований.

Основным объектом для нас будет более широкий класс преобразований, включающий в себя ортогональные преобразования.

Преобразование $f$ плоскости $P$ называется линейным, если на $P$ существует такая декартова система координат, в которой $f$ может быть записано формулами
$$
\begin
& x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\\
& y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>.
\end\label
$$
Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным преобразованием.

Подчеркнем, что в определении линейного преобразования, вовсе не требуется, чтобы коэффициенты в формулах \eqref не обращались в нуль одновременно. Они могут быть любыми. Докажем следующее утверждение.

Для того чтобы преобразование, задаваемое формулами \eqref, было взаимно однозначным, необходимо и достаточно,
$$
\begin
a_<1>& b_<1>\\
a_<2>& b_<2>
\end \neq 0.\label
$$

Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами \eqref при условии \eqref.

Наше утверждение вытекает по существу из утверждения о существовании решения системы линейных уравнений. Нам нужно узнать, при каком условии каждая точка плоскости имеет единственный прообраз. Формулы \eqref связывают координаты $(x^<*>, y^<*>)$ точки $M^<*>$ и координаты $(x, y)$ ее прообраза. Их можно рассматривать как систему линейных уравнений для нахождения $x$ и $y$, и эта система имеет единственное решение при любых свободных членах $x^<*>-c_<1>$ и $y^<*>-c_<2>$ (а значит, при любых $x^<*>$ и $y^<*>$) тогда и только тогда, когда выполнено условие \eqref.

Как видно из доказанного утверждения, ортогональные преобразования являются линейными. Проверка условия \eqref показывает, что они аффинные. Рассмотрим другие примеры.

Рассмотрим сжатие к прямой и примем эту прямую за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Легко видеть, что в такой системе координат сжатие с коэффициентом $\lambda$ записывается формулами
$$
x^<*>=x,\ y^<*>=\lambda y.\nonumber
$$
Сжатие к прямой — аффинное преобразование.

Проектирование на прямую в такой декартовой прямоугольной системе координат, для которой эта прямая — ось абсцисс, записывается формулами
$$
x^<*>=x,\ y^<*>=0.\nonumber
$$
Это — линейное, но не аффинное преобразование.

Для записи уравнений гомотетии не существенно, чтобы система координат была прямоугольной, но уравнения проще, если начало координат поместить в центр гомотетии. По определению гомотетии с коэффициентом $\lambda$ вектор $\overrightarrow$ переходит в вектор $\overrightarrow>=\lambda\overrightarrow$. Если $O$ — начало координат, координаты точек $M$ и $M^<*>$ будут связаны равенствами
$$
x^<*>=\lambda x,\ y^<*>=\lambda y.\nonumber
$$
Гомотетия — аффинное преобразование.

Преобразование, сопоставляющее каждой точке плоскости одну и ту же точку $C$, записывается формулами $x^<*>=c_<1>$, $y^<*>=c_<2>$, где $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты точки $C$. Оно линейное, но не аффинное.

Определение аффинного преобразования содержит упоминание о некоторой определенной системе координат, и заранее не известно, будет ли преобразование записываться формулами вида \eqref в какой-либо другой системе координат. Давайте докажем следующее утверждение.

В любой декартовой системе координат, линейное преобразование задается формулами вида \eqref, то есть:
$$
\begin
& x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\\
& y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>.
\end\nonumber
$$

Пусть преобразование задано равенствами \eqref в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Перейдем к системе координат $O’, \boldsymbol’_<1>, \boldsymbol’_<2>$. Как мы знаем, старые координаты точки $M(x, y)$ выражаются через новые координаты $(x’, y’)$ по следующим формулам:
$$
x=\alpha_<1>x’+\beta_<1>y’+\gamma_<1>,\ y=\alpha_<2>x’+\beta_<2>y’+\gamma_<2>.\label
$$
Для образа $M^<*>$ точки $M$ нам нужно будет, наоборот, выразить новые координаты $(x’^<*>, y’^<*>)$ через его старые координаты $(x^<*>, y^<*>)$. Они выражаются такими же формулами, разумеется, с другими коэффициентами:
$$
x’^<*>=\lambda_<1>(x^<*>)+\mu_<1>y^<*>+\nu_<1>,\ y’^<*>=\lambda_<2>x^<*>+\mu_<2>y^<*>+\nu_<2>.\label
$$

Нам требуется найти выражение новых координат $(x’^<*>, y’^<*>)$ точки $M^<*>$ через новые координаты $(x’, y’)$ точки $M$. С этой целью подставим в равенства \eqref значения $x^<*>$ и $y^<*>$ из формул \eqref:
$$
\begin
& x’^<*>=\lambda_<1>(a_<1>x+b_<1>y+c_<1>)+\mu_<1>(a_<2>x+b_<2>y+c_<2>)+\nu_<1>,\\
& y’^<*>=\lambda_<2>(a_<1>x+b_<1>y+c_<1>)+\mu_<2>(a_<2>x+b_<2>y+c_<2>)+\nu_<2>.
\end\nonumber
$$

Для нас важно, что правые части этих равенств — многочлены степени не выше 1 относительно $x$ и $y$:
$$
x’^<*>=A_<1>x+B_<1>y+C_<1>,\ y’^<*>=A_<2>x+B_<2>y+C_<2>.\label
$$
Подставив сюда выражения $x$ и $y$ по формулам \eqref, мы найдем искомую зависимость:
$$
\begin
& x’^<*>=A_<1>(\alpha_<1>x’+\beta_<1>y’+\gamma_<1>)+B_<1>(\alpha_<2>x’+\beta_<2>y’+\gamma_<2>)+C_<1>,\\
& y’^<*>=A_<2>(\alpha_<1>x’+\beta_<1>y’+\gamma_<1>)+B_<2>(\alpha_<2>x’+\beta_<2>y’+\gamma_<2>)+C_<2>.
\end\nonumber
$$
Мы видим, что правые части этих равенств — многочлены степени не выше 1 относительно $x’$ и $y’$. Это нам и требовалось доказать.

Заметим, что аффинные преобразования выделяются из линейных требованием взаимной однозначности, которое не зависит от системы координат. Поэтому без дополнительных проверок мы можем быть уверены, что формулы, задающие аффинное преобразование в новой системе координат, удовлетворяют условию \eqref.

Произведение линейных преобразований.

Доказательство последнего утверждения было основано на том, что результат подстановки многочленов степени не выше 1 в многочлен степени не выше 1 оказывается таким же многочленом. Это же обстоятельство лежит в основе следующего утверждения.

Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием. Произведение аффинных преобразований — аффинное преобразование.

Пусть заданы линейные преобразования $f$ и $g$ и выбрана система координат. Тогда координаты точки $f(M)$ выражаются через координаты точки $M$ формулами
$$
x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\ y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>.\label
$$
а координаты точки $g(f(M))$ через координаты точки $f(M)$ формулами
$$
x^<**>=d_<1>x^<*>+e_<1>y^<*>+f_<1>,\ y^<**>=d_<2>x^<*>+e_<2>y^<*>+f_<2>.\label
$$
Подстановка равенств \eqref в \eqref выражает координаты g(f(M)) через координаты $M$. В результате подстановки мы получаем многочлены степени не выше 1, что и доказывает первую часть предложения.

Для доказательства второй части достаточно вспомнить, что по согласно ранее доказанного утверждения произведение двух взаимно однозначных преобразований взаимно однозначно.

Преобразование, обратное аффинному преобразованию, также является аффинным.

Если преобразование $f$ записано уравнениями \eqref, то координатная запись его обратного преобразования получается решением уравнений \eqref относительно $x$ и $y$. Для того чтобы решить эти уравнения, умножим первое из них на $b_<2>$, второе — на $b_<1>$ и вычтем одно уравнение из другого. Мы получим $(a_<1>b_<2>-a_<2>b_<1>)x=b_<2>(x^<*>-c_<1>)-b_<1>(y^<*>-c_<2>)$. Из условия \eqref следует, что $x$ — линейный многочлен от $x^<*>$ и $y^<*>$. Выражение для $y$ получается аналогично.

Образ вектора при линейном преобразовании.

Рассмотрим вектор $\overrightarrowM_<2>>$. Если координаты точек $M_<1>$ и $M_<2>$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$ обозначить соответственно $x_<1>, y_<1>$ и $x_<2>, y_<2>$, то компоненты вектора будут равны $x_<2>-x_<1>$ и $y_<2>-y_<1>$. Пусть формулы \eqref задают преобразование $f$ в выбранной системе координат. Тогда образы $M_<2>^<*>$ и $M_<1>^<*>$ точек $M_<2>$ и $M_<1>$ имеют абсциссы
$$
x_<2>^<*>=a_<1>x_<2>+b_<1>y_<2>+c_<1>,\ x_<1>^<*>=a_<1>x_<1>+b_<1>y_<1>+c_<1>.\nonumber
$$
Следовательно, первая компонента вектора $\overrightarrow^<*>M_<2>^<*>>$ равна
$$
x_<2>^<*>-x_<1>^<*>=a_<2>(x_<2>-x_<1>)+b_<1>(y_<2>-y_<1>).\nonumber
$$
Аналогично находим вторую компоненту этого вектора
$$
y_<2>^<*>-y_<1>^<*>=a_<2>(x_<2>-x_<1>)+b_<2>(y_<2>-y_<1>).\nonumber
$$

Обратим внимание на то, что компоненты $\overrightarrow^<*>M_<2>^<*>>$ выражаются только через компоненты $\overrightarrowM_<2>>$, а не через координаты точек $M_<1>$ и $M_<2>$ по отдельности. Два равных вектора имеют одинаковые компоненты и, следовательно, при линейном преобразовании перейдут в векторы, компоненты которых также одинаковы. Итак, мы получаем ещё одно утверждение.

При линейном преобразовании равные векторы переходят в равные векторы. Компоненты $\alpha_<1>^<*>$, $\alpha_<2>^<*>$ образа вектора выражаются через его компоненты $\alpha_<1>$, $\alpha_<2>$ формулами
$$
\begin
& \alpha_<1>^<*>=a_<1>\alpha_<1>+b_<1>\alpha_<2>,\\
& \alpha_<2>^<*>=a_<2>\alpha_<1>+b_<2>\alpha_<2>.
\end\label
$$

Если быть точным, говорить об образе вектора при преобразовании $f$ неправильно: преобразование отображает точки, а не векторы. Точнее было бы сказать, что $f$ порождает преобразование $\tilde$ множества векторов. Но ниже мы, тем не менее, будем придерживаться не совсем точной, но более удобной и общепринятой терминологии — говорить, что преобразование $f$ переводит вектор $\boldsymbol$ в вектор $\boldsymbol^<*>$ и обозначать последний через $f(\boldsymbol)$.

Из равенств \eqref следует, что при линейном преобразовании $f$ линейно зависимые векторы переходят в линейно зависимые. Действительно, как легко видеть, $f(\boldsymbol<0>)=\boldsymbol<0>$. Тогда любое соотношение вида $\lambda \boldsymbol+\mu \boldsymbol=\boldsymbol<0>$ влечет за собой $\lambda f(\boldsymbol)+\mu f(\boldsymbol)=\boldsymbol<0>$.

Следующее утверждение устанавливает геометрический смысл коэффициентов в формулах, задающих линейное преобразование.

Пусть преобразование $f$ записано в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$ формулами \eqref. Тогда $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты точки $f(O)$, a $a_ <1>a_<2>$ и $b_<1>, b_<2>$ — компоненты векторов $f(\boldsymbol_<1>)$ и $f(\boldsymbol_<2>)$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$.

Для доказательства подставим в формулы \eqref значения $x=0$ и $y=0$ координат точки $O$ и увидим, что координаты $f(O)$ равны $c_<1>$ и $c_<2>$.

Подставим в формулы \eqref координаты вектора $\boldsymbol_<1>$ $\alpha_<1>=1$, $\alpha_<2>=0$ и найдем $a_<1>^<*>=a_<1>$, $a_<2>^<*>=a_<2>$. Следовательно, $f(\boldsymbol_<1>)$ имеет компоненты $a_<1>$ и $a_<2>$. Так же доказывается, что компоненты $f(\boldsymbol_<2>)$ равны $b_<1>$ и $b_<2>$.

Каковы бы ни были три точки $L$, $M$, $N$, не лежащие на одной прямой, и три точки $L^<*>$, $M^<*>$ и $N^<*>$, существует единственное линейное преобразование $f$ такое, что $L^<*>=f(L)$, $M^<*>=f(M)$ и $N^<*>=f(N)$. Это преобразование аффинное тогда и только тогда, когда точки $L^<*>$, $M^<*>$ и $N^<*>$ также не лежат на одной прямой.

Векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ не коллинеарны. Следовательно, $L$, $\overrightarrow$, $\overrightarrow$ — декартова система координат. Пусть $c_<1>, c_<2>$ — координаты $L^<*>$, а $a_<1>, a_<2>$ и $b_<1>, b_<2>$ — компоненты векторов $\overrightarrowM^<*>>$ и $\overrightarrowN^<*>>$ в этой системе координат. Формулы
$$
x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\ y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>\nonumber
$$
определяют линейное преобразование $f$, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством. При этом согласно предложению 7, коэффициенты в формулах однозначно определены.

Условие \eqref, равносильное аффинности преобразования, необходимо и достаточно для того, чтобы векторы $\overrightarrowM^<*>>$ и $\overrightarrowN^<*>>$ были не коллинеарны, то есть $L^<*>$, $M^<*>$ и $N^<*>$ не лежали на одной прямой. Предложение доказано.

Заметим, что в том случае, когда преобразование $f$ аффинное, точка $f(O)$ и векторы $f(\boldsymbol_<1>)$ и $f(\boldsymbol_<2>)$ могут быть использованы как система координат. Для этой системы координат имеет место ещё одно утверждение.

При аффинном преобразовании $f$ образ $M^<*>$ точки $M$ в системе координат $f(O)$, $f(\boldsymbol_<1>)$, $f(\boldsymbol_<2>)$ имеет те же координаты, что и точка $M$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$.

Равенство $\overrightarrow=x \boldsymbol_<1>+y \boldsymbol_<2>$ означает, что $x$, $y$ — координаты $M$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Подействовав преобразованием $f$ на обе части этого равенства, мы получаем $\overrightarrow=x f(\boldsymbol_<1>)+y f(\boldsymbol_<2>)$, которое означает, что $x$ и $y$ — координаты $M^<*>$ в системе координат $f(O)$, $f(\boldsymbol_<1>)$, $f(\boldsymbol_<2>)$.

линейная-алгебра — Доказательство от противного

Докажите, что существует единственное линейное отображение А: R^5 -> R^3, переводящее векторы: a1=(2,2,-2,-1,1); a2=(-2,3,-1,2,0); a3=(-2,-1,3,0,2); a4=(-4,2,0,1,2); a5=(-1,2,-2,0,1); соответственно в векторы:b1=(6,12,-6); b2=(-12,14,-7); b3=(-12,-2,1); b4=(-21,20,-10); b5=(-6,18,-9)

задан 6 Мар ’16 10:53

Идея у меня такая: доказывать от противного, но где использовать координаты векторов в своем доказательстве я не понимаю.

@Den: нужно проверить, что система a1. a5 линейно независима. Это можно сделать при помощи определителей, или гауссовых преобразований. Из этого всё сразу следует: как существование, так и единственность. Векторы образуют базис в R^5, а на базисных векторах линейное отображение можно задать как угодно.

@falcao а как в этом примере найти базис ядра и базис образа этого линейного отображения?

Похожие публикации:

Как назначить диск системным windows 10

Как снять дефлектор воздуховода форд фокус 2

Как снять подушку безопасности с руля форд фокус 2 рестайлинг четыре спицы

На уроке все кто прочитал учебник