Точные квадраты и кубы
Из основной теоремы арифметики следует, что точный квадрат всегда имеет нечетное число делителей: если число $a=p_<1>^<\alpha_<1>>\times p_<2>^<\alpha_<2>>\times\ldots\times p_
Точно так же у точного куба число делителей имеет вид 3n+1, у четвертой степени — число вида 4n+11 и т.д.
При работе со степенями целых и натуральных чисел всегда следует иметь в виду, что степень с большим показателем также является и степенью с маленьким показателем: например, а 100 — это одновременно и квадрат пятидесятой степени, и четвертая степень двадцать пятой степени, и пятая степень двадцатой степени, и т.п. Ясно, что показатель степени таким образом можно уменьшить для любого составного числа n, а для простого n это ничего не даст.
При решении задач полезным может оказаться следующее свойство точных квадратов:
Квадрат числа при делении на любое число дает тот же остаток, что и квадрат его остатка.
Действительно, если r — остаток от деления k на b, то k 2 и r 2 дают при делении на b один и тот же остаток: $k^2-r^2=(k-r)(k+r)$, а k-r делится на b.
Например, число k при делении на 6 может давать остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, их квадраты — 0, 1, 4, 9, 16, 25, а остатки от деления квадратов на 6 — это 0, 1, 4, 3, 4, 1. Таким образом, квадрат числа при делении на 6 не может давать остатков 2 и 5.
Теми же рассуждениями легко получить, что возможные остатки при делении точного квадрата на 3 и на 4 — это 0 или 1.
Пример 1: Является ли число $123^2+345^2+567^2$ точным квадратом?
Ответ: Все три числа в заданной сумме нечетны, следовательно, их квадраты имеют вид 4п+1, так что их сумма имеет вид 4т+3 и поэтому не является точным квадратом.
Пример 2: Является ли число $[50\pi]^2+[100\pi]^2$ точным квадратом?
Ответ: Поскольку числа $[50\pi]$, $[100\pi]$ — это на самом деле 157 и 314, то оба они не делятся на 3, и поэтому их квадраты имеют вид Зn+1, а сама заданная сумма имеет вид 3m+2 и, следовательно, не является точным квадратом
Пример 3: Доказать, что если два числа оба не делятся на 3, то их сумма не является точным квадратом.
Ответ: Так как квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает остаток 1, то сумма любых двух таких чисел при делении на 3 дает остаток 2, а такое число не может быть точным квадратом.
математика — Точный квадрат
Это выражение означает квадрат целого числа. Точные квадраты — это в точности числа 0, 1, 4, 9, 16, 25, . и так далее. Иногда, если изначально речь идёт о натуральных числах, 0 сюда не включается. Это понятие очень часто встречается в теоретико-числовых задачах — в том числе олимпиадных. Иногда употребляется выражение «полный квадрат», означающее по отношению к числам то же самое.
отвечен 27 Апр ’13 19:38
Выражение типа $%(u+v)^2$%,где $%u$% и $%v$% некоторые выражения
отвечен 27 Апр ’13 19:31
Точный квадрат это целое неотрицательное число, которое является квадратом целого числа.
PS: а выражение вида $%(a+b)^2$% обычно называется полным квадратом.
отвечен 27 Апр ’13 19:39
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Что такое точный квадрат
ИДЕАЛЬНЫЙ КВАДРАТ: ЧТО ЭТО ТАКОЕ, КАК РАССЧИТАТЬ, ПРИМЕРЫ И ПРАВИЛА — МАТЕМАТИКА — 2022
Полный квадрат или полный квадрат — это натуральное число, которое, если оно корень, дает другое натуральное число.
То есть они являются результатом умножения числа на само себя.
- 1 × 1 = 1
- 2 × 2 = 4
- 3 × 3 = 9
- 4 × 4 = 16
Формула полного квадрата представлена следующим образом: n × n = a или n 2 = a. Таким образом, n — натуральное число, а a — точное квадратное число.
Что такое точные квадратные числа?
Определение полного квадратного числа можно понимать как положительное натуральное целое число, квадратный корень которого также является натуральным положительным целым числом.
Итак, мы имеем: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10.
Таблица умножения и вывески полных квадратных чисел до 15
Если мы возьмем за основу геометрию, мы можем думать, что квадрат — это фигура, стороны которой имеют одинаковую меру.
Таким образом, площадь квадрата равна l × l или l 2 .
Любой квадрат, стороны которого являются целыми числами, будет идеальным квадратом.
Примеры квадратов: 1 2 = 1 и 4 2 = 16
Как вычислить, является ли число полным квадратом?
Исходя из факторизации числа, если оно имеет точный квадратный корень и является результатом квадрата других чисел, мы можем сказать, что это полный квадрат.
Пример:
2704 — идеальный квадрат?
Чтобы ответить на вопрос, необходимо разложить 2704 на множитель, то есть вычислить
Следовательно, имеем: 2704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 × 13 = 2 4 × 13 2.
√2704 = √ (2 2 × 2 2 × 13 2) = 2 × 2 × 13 = 52
2704 — идеальное квадратное число 52.
Правила идеального квадрата
- Совершенное квадратное число — это число, имеющее точный корень.
- Нечетное совершенное квадратное число имеет нечетный корень, а четное — четное.
- Полные квадратные числа никогда не заканчиваются числами 2, 3, 7 и 8.
- У чисел, оканчивающихся на 0, есть квадраты, заканчивающиеся на 00.
- У чисел, оканчивающихся на 1 или 9, квадраты заканчиваются на 1.
- У чисел, оканчивающихся на 2 или 8, квадраты заканчиваются на 4.
- У чисел, заканчивающихся на 3 или 7, есть квадраты, заканчивающиеся на 9.
- У чисел, заканчивающихся на 4 или 6, есть квадраты, заканчивающиеся на 6.
- У чисел, заканчивающихся на 5, есть квадраты, заканчивающиеся на 25.
Другие отношения
Квадрат числа равен произведению его соседей плюс один. Например: квадрат семи (7 2 ) равен произведению смежных чисел (6 и 8) плюс один. 7 2 = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49. х 2 = (х-1). (х + 1) + 1.
Совершенные квадраты являются результатом математической последовательности между предыдущим точным квадратом и арифметической прогрессией.
математика — Точный квадрат
Это выражение означает квадрат целого числа. Точные квадраты — это в точности числа 0, 1, 4, 9, 16, 25, . и так далее. Иногда, если изначально речь идёт о натуральных числах, 0 сюда не включается. Это понятие очень часто встречается в теоретико-числовых задачах — в том числе олимпиадных. Иногда употребляется выражение «полный квадрат», означающее по отношению к числам то же самое.
отвечен 27 Апр ’13 19:38
Точный квадрат это целое неотрицательное число, которое является квадратом целого числа.
PS: а выражение вида $%(a+b)^2$% обычно называется полным квадратом.
отвечен 27 Апр ’13 19:39
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Свойства квадрата целого числа
Цель:формирование знаний, умений и навыков при решении в целых числах уравнений, содержащих квадрат целого числа; создание условий для преодоления у выпускников трудностей при решении заданий ( ) ЕГЭ по математике.
Задачи:
- помочь обучающимся сформулировать основные свойства квадрата целого числа;
- познакомить с различными подходами к решению задач, содержащих точный квадрат числа;
- показать на примерах олимпиадных задач и задач из ЕГЭ по математике ( ) применение свойств квадрата целого числа в решении задач на делимость.
Тип занятия: урок изучения нового материала.
Ход урока
I. Постановка цели
В 2009-2010 учебном году на ЕГЭ по математике задания в основном состояли из задач на делимость. Большинство выпускников 11-х классов даже не приступали к этим задачам, увидев в них нагромождение различных символов, функций и значков. Для решения таких задач необходимо знать некоторые свойства делимости целых чисел и овладеть приёмами применения этих свойств. Сегодня на занятии мы решим ряд задач на делимость, в которых используются простейшие свойства точного квадрата числа.
II. Актуализация опорных знаний
При решении задач нам пригодятся признаки делимости чисел, с которыми вы познакомились ещё в 6-ом и последующих классах, а также определение числа
Напомните, пожалуйста, признаки делимости:
- на «2» – (если число оканчивается чётной цифрой);
- на «3» – (если сумма цифр числа делится на 3);
- на «4» – (если две последние цифры в записи числа образуют двузначное число, кратное 4);
- на «5» – (если число оканчивается 0 или 5);
- на «8» – (если три последние цифры в записи числа образуют трёхзначное число, кратное 8);
- на «9» – (если сумма цифр числа делится на 9);
- на «10» – (если число оканчивается 0).
И ещё вопрос: что такое и как найти значения 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, … Посмотрите, как изменяется последняя цифра числа
n! = 1 2 3 4 5 6 … n– произведение первых n натуральных чисел.
1! = 1
2! = 1 2 = 2
3! = 1 2 3 = 6
4! = 1 2 3 4 = 24
5! = 1 2 3 4 5 = 120
6! =1 2 3 4 5 6 = 720 и т.д.
При n≥5 число n! всегда оканчивается нулём.
III. Ознакомление с новым материалом
Рассмотрим таблицу квадратов натуральных чисел. Все свойства точного квадрата числа спрятаны в этой таблице. Нам только надо проявить наблюдательность при анализе данных в таблице.
Обратите внимание на последние цифры квадратов чисел. Что вы заметили?
На какие натуральные числа может делиться точный квадрат числа?
Свойства квадрата целого числа
1. Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.
Первое свойство очевидное и доказательства не требует.
2. Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то = 4 – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то = ( = 4 + 4к + 1 = 4к (к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1.
3. Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда = ( = 9 — делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда = ( = 9 ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.
Вот мы и сформулировали свойства точного квадрата числа. Теперь вашему вниманию я предлагаю ряд задач, в решении которых используются вышеперечисленные свойства.
1. Найти все натуральныеn, при которых число является точным квадратом.
Решение:
Если n=1, то – не является точным квадратом.
Если n=2, то – не является точным квадратом.
Если n=3, то – не является точным квадратом.
Если n=4, то , значит, при n=4 число является точным квадратом числа.
Если , то оканчивается 0, тогда оканчивается 7, но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться цифрой 7. Значит, других натуральных чисел n, удовлетворяющих данному условию, не существует.
Ответ: при n=4.
Эта задача могла быть сформулирована иначе:
Решить в целых числах уравнение .
Способ решения тот же. Только надо помнить, что по определению
Ответ: .
2. Решить в целых числах уравнение: .
Решение:
Так как – произведение первых натуральных чисел, значит, , а целым может быть только k.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то
Но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться ни 3, ни 8, значит, других целых решений уравнение не имеет.
Ответ: .
3. Решить в целых числах уравнение: .
Решение:
В решении этого уравнения надо использовать тот же приём, что и в предыдущих. Его легко решить устно.
Но тогда оканчивается 8 или 3, а это противоречит свойству (1). Значит, при уравнение не имеет решений в целых числах. Поэтому решения уравнения следует искать для
Если n=1, то
Если n=2, то .
Если n=3, то .
Если n=4, то .
Как видим, ни при каком число не является точным квадратом.
Ответ:уравнение не имеет целых решений.
4. Решить уравнение в целых числах: .
Решение:
, и опираемся на свойство(1) квадрата целого числа.
Значит, оканчивается 7, но тогда и оканчивается 7.
Но квадрат целого числа не может оканчиваться 7, значит, целых решений нет.
Значит, решения уравнения следует искать при = 1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то
Ответ: .
5. Решить в натуральных числах уравнение .
Решение:
В этом уравнении должны быть натуральными числами, а в остальном – решение аналогично предыдущим.
Но квадрат целого числа не может оканчиваться 3, значит, при натуральных решений уравнение не имеет. Остаётся проверить наличие решений при =1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то
Ответ:
6. Решить уравнение в целых числах: 1!+2!+3!+…+
Решение:
Если =1, то 1! = , тогда
Если =2, то 1!+2! = – число не целое.
Если =3, то 1!+2!+3! =
Если =4, то 1!+2!+3!+4! = – число не целое.
Если , то 1!+2!+3!+4!+…+х! оканчивается цифрой 3, но квадрат целого числа не может оканчиваться 3.
Значит, при
Ответ: =1, 2) =3,
7. Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.
Доказательство:
если делится на 5, а это возможно, если оканчивается 0 или 5, тогда
Но квадрат целого числа не может оканчиваться ни цифрой 3, ни цифрой 8.
Значит, уравнение не имеет целых решений. Что и требовалось доказать.
8. Решить в целых числах уравнение .
Решение:
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то
Если уравнение целых решений не имеет, так как при чётном
1 2 3 4 … ( 1 2 3 4 … ( =
=1 2 3 4 … (
При нечётном
1 2 3 4 … ( 1 2 3 4 … ( =1 2 3 4 … ( – не делится на 4, а при делении на 8 даёт остаток 3, а не 1.
Ответ: 1)
9. Решить уравнение в целых числах: .
Решение:
Если =4, то
При (1 2 4 5 … +1) = – левая часть уравнения делится на 3, значит, число должно делиться на 9.
Но 1 2 4 5 … +1 на 3 не делится, поэтому левая часть уравнения не кратна 9 Значит, при уравнение не имеет целых решений.
10. Решить в целых числах уравнение:
Решение:
1) Если m – число чётное, то – числа нечётные и их произведение
– тоже число нечётное, но правая часть уравнения – чётное число. Значит, при чётном m уравнение не имеет решений.
2) Если m – число нечётное, то – числа чётные, причем, – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда , значит, , но квадрат целого числа делится на 4 или при делении на 8 даёт остаток 1. А лишь в единственном случае, если n=0. При n=0 уравнение примет вид:
Ответ: .
11. Решить в целых числах уравнение:
Решение:
1) Если n – число четное, то – числа нечётные, значит, – тоже нечетное число, а это возможно лишь тогда, когда , т.е. . При всех других чётных уравнение целых решений не имеет.
2) Если n – число нечётное, то – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда их произведение . Значит, и левая часть уравнения
, но – число нечётное, значит, только
. Это возможно, если . При .
При ,
.
Если же , то , а правая часть уравнения , значит, других решений уравнение не имеет.
Ответ: 1) 2)
12. Решить в целых числах уравнение:
Решение:
– имеет решение, если:
1) = 0, тогда
— число нечётное, . Тогда, ,
.
( ) – нечётное число при . Значит, тоже должно быть нечётным, а это возможно, если . Тогда при исходное уравнение примет вид .
Ответ: 1) ; 2)
13. Доказать, что число, оканчивающееся двумя одинаковыми цифрами, отличными от 0 и 4, не может быть точным квадратом.
Доказательство:
Так как квадрат любого числа может оканчиваться цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9, то кроме 0 и 4 последними цифрами могут быть: 11; 55; 66; 99.
Что такое точные квадраты
Точные квадраты – это числа, которые получаются в результате умножения целого числа на себя. Например, 9, 16, 25, 36 – это точные квадраты, так как они являются результатом умножения целого числа на себя (3*3, 4*4, 5*5, 6*6 соответственно). Точные квадраты имеют важное значение в математике и других науках, так как они являются природным способом описания определенных форм и структур.
Вычисление точных квадратов может показаться тривиальным заданием, но для больших чисел это может быть сложно. Существуют специальные методы для вычисления точных квадратов, которые могут существенно ускорить процесс и уменьшить вероятность ошибки.
Один из таких методов – это использование формулы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, где a и b – любые числа. Например, чтобы вычислить квадрат числа 75, можно воспользоваться формулой (70 + 5)^2 = 70^2 + 2*70*5 + 5^2 = 4900 + 700 + 25 = 5625. Таким образом, квадрат числа 75 равен 5625.
В этой статье мы рассмотрим подробнее что такое точные квадраты, как их вычислять и приведем несколько примеров, чтобы помочь вам лучше понять этот важный элемент математики.
Что такое точные квадраты?
Точным квадратом называется квадрат числа, то есть произведения числа на себя. Например, 3 * 3 = 9, поэтому число 9 является точным квадратом.
Другие примеры точных квадратов: 1, 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т.д.
Точные квадраты можно вычислять с помощью таблицы умножения или с помощью калькулятора. Например, чтобы вычислить квадрат числа 7, нужно умножить 7 на 7, что даст нам 49.
Точные квадраты часто встречаются в математике и на практике. Например, они используются для выражения площадей квадратов и прямоугольников, а также для нахождения расстояний в координатной плоскости.
Знание точных квадратов и умение их вычислять могут пригодиться при решении задач и в повседневной жизни.
Определение и особенности
Точные квадраты – это числа, которые имеют целочисленный корень, например, 1, 4, 9, 16 и т.д. Такие числа называются квадратами, потому что они являются результатом возведения некоторого числа в квадрат. Например, 4 – это квадрат числа 2, а 9 – это квадрат числа 3.
Основная особенность точных квадратов – это то, что они могут быть легко вычислены без использования калькулятора или других инструментов. Это происходит потому, что вычисление квадратного корня от таких чисел всегда дает целое число.
Для вычисления точных квадратов можно использовать различные методы. Один из них – это просто возвести натуральное число в квадрат. Например, 5 в квадрате будет равно 25, а 8 в квадрате – 64.
Другим методом является вычисление корня из числа и проверка, является ли результат целым числом. Например, для числа 36 мы можем вычислить квадратный корень, равный 6, и убедиться, что результат – целое число.
- Точные квадраты имеют целочисленный корень.
- Вычисление точных квадратов не требует калькулятора.
- Одним из методов вычисления может быть простое возвышение натурального числа в квадрат.
- Другим методом – вычисление корня из числа и проверка, является ли результат целым числом.
Как вычислять точные квадраты?
Точные квадраты — это числа, которые могут быть выражены в виде квадрата целого числа. Поймем, как их вычислять.
Первый способ — это умножение двух одинаковых чисел. Например, 3*3 = 9, следовательно, 9 — точный квадрат.
Второй способ — это использование формулы (а+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Например, чтобы вычислить 16, нужно использовать a=4 и b=4: (4+4)^2 = 4^2 + 2*4*4 + 4^2 = 16 + 32 + 16 = 64.
Третий способ — это использование таблицы квадратов. Таблица квадратов включает в себя квадраты всех целых чисел от 1 до 10. Если нужно вычислить квадрат числа, достаточно найти его в таблице. Например, чтобы вычислить 81, найдем 9 в таблице и умножим на себя: 9*9 = 81.
Наконец, квадратный корень может использоваться для определения точных квадратов. Если корень из числа целочисленный, то число является точным квадратом. Например, корень из 64 равен 8, следовательно, 64 — точный квадрат.
Методы вычисления точных квадратов
Вычисление точных квадратов является одним из основных заданий, которые сталкиваются с людьми в повседневной жизни. Для вычисления точных квадратов существует несколько методов, среди которых:
- Метод геометрического построения. Данный метод основан на использовании квадрата с нужной стороной. Для вычисления квадрата с нужной стороной, необходимо на ее концах построить равнобедренные треугольники. Затем, по линии, которая идет через центр квадрата и соединяет две вершины этих треугольников, можно провести прямую, пересекающую сторону квадрата в его середине. Полученный отрезок будет являться длиной стороны квадрата.
- Метод умножения. Этот метод основывается на следующем принципе: чтобы найти квадрат числа, необходимо это число умножить само на себя. Например, чтобы найти квадрат числа 7, нужно выполнить следующие действия: 7 x 7 = 49. Таким образом, квадрат числа 7 равен 49.
- Таблица квадратов. Для более быстрого и удобного вычисления квадратов чисел можно использовать таблицу квадратов. В такой таблице содержатся квадраты всех целых чисел от 1 до 10.
В зависимости от задачи, один из этих методов может оказаться более удобным и быстрым, чем другие.
Примеры вычислений
Чтобы вычислить точный квадрат числа, необходимо найти корень из этого числа и умножить его на само себя. Например:
- Для числа 9: √9 = 3, 3² = 9.
- Для числа 25: √25 = 5, 5² = 25.
- Для числа 144: √144 = 12, 12² = 144.
Точные квадраты могут быть использованы для более эффективных вычислений в алгебре и геометрии. Например, можно быстро найти площадь квадрата, если известно его сторона, за счет вычисления точного квадрата значения этой стороны.
Также, для нахождения точных квадратов чисел с большим количеством цифр перед запятой, можно использовать следующий метод. Например, для числа 7,2:
- Убрать запятую и записать его как 72.
- Поделить число на 2 и записать результат: 72 / 2 = 36.
- Найти квадрат этого числа: 36² = 1296.
- Вставить запятую между двумя последними цифрами числа: 12,96.
Таким образом, точный квадрат числа 7,2 равен 12,96.
Значение точных квадратов в математике и повседневной жизни
Точные квадраты – это числа, которые являются результатом умножения одного и того же числа на себя. Например, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В математике точные квадраты широко используются в алгебре и геометрии. Они помогают при решении уравнений, вычислении площадей фигур, а также находят применение в физических и инженерных задачах.
Одним из примеров использования точных квадратов в повседневной жизни может служить покупка плитки для пола. Площадь комнаты, в которой будет укладываться плитка, измеряется, а затем вычисляется, сколько квадратных метров плитки необходимо для покрытия данной площади. При этом, плитку продают упаковками, в которых указано количество квадратных метров в каждой упаковке. Используя точные квадраты, можно легко рассчитать, сколько упаковок необходимо купить, чтобы покрыть всю площадь.
Также, при проектировании будущего дома или ремонта в существующем доме, точные квадраты используются при расчёте площади стен, окон, дверей и т.д. Это помогает определить, сколько материалов будет потребовано для отделки комнаты или всего дома.
Кратко говоря, знание и умение работать с точными квадратами не только важно в математике, но и в повседневной жизни, помогая в решении различных задач и принятии важных решений.
Вопрос-ответ
Как определить, что число является точным квадратом?
Чтобы определить, является ли число точным квадратом, нужно извлечь из него корень и проверить, является ли полученный результат целым числом. Например, корень из 9 равен 3, а из 10 — нет, значит, 9 является точным квадратом, а 10 — нет.
Как вычислить квадрат числа?
Для того чтобы вычислить квадрат числа, нужно это число умножить на себя. Например, чтобы найти квадрат числа 5, нужно выполнить операцию 5 * 5 = 25. Таким образом, квадрат числа 5 равен 25.
Можно ли вычислить квадрат числа без умножения?
Да, можно вычислить квадрат числа без умножения, если известны основные формулы алгебры. Например, квадрат суммы двух чисел можно вычислить по формуле (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. Также существует формула для вычисления квадрата разности двух чисел: (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2. Благодаря этим формулам можно вычислить квадраты чисел, не прибегая к умножению.