Имеются два тонких проволочных кольца радиуса r каждое оси которых совпадают заряды колец равны

Экзаменационные задачи по электромагнетизму.(2020)

*. В трех вершинах квадрата со стороной находятся одинаковые заряды . С какой силой они будут действовать на отрицательный заряд , помещенный в четвертую вершину?

*. Сфера радиусом равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда . Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда из точки, находящейся на расстоянии от поверхности сферы, в точку, находящуюся на расстоянии от поверхности сферы.

*. Найти силу взаимодействия тонкого стержня длиной l, равномерно заряженного зарядом Q, и точечного заряда q, находящегося на продолжении оси стержня, на расстоянии a от его ближайшего конца.

*. Система состоит из тонкого заряженного кольца радиуса и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. Линейная плотность заряда нити . Найти силу взаимодействия кольца и нити.

*. Цилиндр радиуса имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния до его оси как , где постоянная. Найти модуль напряженности электрического поля внутри и вне цилиндра, как функцию . Построить график зависимости .

*. Четверть тонкого кольца радиусом R равномерно заряжена зарядом q. Определить модуль напряженности электрического поля в точке 0, совпадающей с центром кольца.

*. Потенциал электрического поля имеет вид , где постоянная. Найти проекцию напряженности электрического поля в точке на направление вектора .

*. Полый шар радиусами и равномерно заряжен по объему зарядом +q. Найти напряженность электрического поля как функцию расстояния r от центра шара. Построить график зависимости .

*. Шар радиуса имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния до его центра как , где постоянная. Найти модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию .

*. Найти емкость воздушного сферического конденсатора, если радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно и .

*. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны . Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние .

*. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины заряжен равномерно зарядом . Найти модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния от центра стержня до точки прямой, перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр.

*. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид квадрата со стороной а, при токе в контуре I.

*. Определить индукцию магнитного поля в точке, если проводник с током I имеет вид, показанный на рисунке. Радиус изогнутой части проводника R. Прямолинейные участки проводника бесконечно длинные.

*. Ток течет по тонкому замкнутому проводнику. Радиус изогнутой части проводника R, угол . Найти магнитную индукцию в точке 0.

*. Длинный провод с током изогнут под углом 2π/3. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, находящейся на расстоянии d от изгиба проводника. Прямолинейные участки проводника бесконечно длинные.

*. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током I имеет вид, показанный на рисунке. Радиус изогнутой части проводника R. Прямолинейные участки проводника бесконечно длинные.

*. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током имеет вид, показанный на рисунке. Параметры проводника указаны.

*. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов , влетел в однородное магнитное поле с индукцией и начал двигаться по окружности. Найти радиус R окружности.

*. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией , стал двигаться по окружности радиусом . Определить магнитный момент эквивалентного кругового тока.

*. Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью . Найти отношение сил магнитного и электрического взаимодействия данных протонов.

*. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи . Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее стороне.

*. Найти силу, действующую на единицу длины тонкого проводника с током в точке , если проводник изогнут, как показано на рисунке. Расстояние между длинными параллельными друг другу участками проводника .

*. По длинной трубе, внутренний и внешний радиусы которой и , идет ток, плотность которого , где – положительная постоянная; – расстояние до оси трубы. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния от оси трубы.

*. По бесконечно длинному проводнику радиусом R идет ток, плотность которого где – положительная постоянная; – расстояние до оси проводника. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния от оси проводника.

*. Квадратная рамка со стороной a и длинный прямой провод с током находятся в одной плоскости. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью . Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстояния x.

*. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки , число витков . При повороте катушки на 180 0 вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр протекает заряд . Найти модуль индукции магнитного поля между полюсами, если сопротивление электрической цепи .

*. По двум гладким медным шинам, установленным под углом к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массой . К концам шин подключен конденсатор емкостью . Расстояние между шинами . Система находится в однородном магнитном поле с индукцией , перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивлением шин и перемычки пренебречь. Найти ускорение перемычки.

*. Плоский контур, имеющий вид двух квадратов со сторонами и , находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к его плоскости. Индукция поля меняется во времени по закону где и . Найти амплитуду индукционного тока в контуре, если сопротивление единицы длины его .

*. Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением R изменяется в течение времени по закону . Найти количество тепла, выделенное в контуре за это время.

Имеются два тонких проволочных кольца радиуса r каждое оси которых совпадают заряды колец равны

Два одинаковых тонких проволочных кольца радиусом r

Находящиеся в вакууме два параллельных тонких кольца, радиусы которых r = 5 см, имеют общую ось. Расстояние между их центрами d = 12 см. На первом кольце равномерно распределен заряд q₁= 82 мкКл, на втором – заряд q₂ = 60 мкКл. Определить работу, необходимую для перемещения заряда q₃ = 3 нКл из центра одного кольца в центр другого.

Заряды на кольцах не являются точечными, поэтому непосредственно нельзя использовать для вычисления потенциала формулу Так как работа при перемещении заряда зависит от разности потенциалов точек
начала и конца перемещения (в нашем случае это центры колец). Для решения задачи вычислим потенциалы этих точек j₀₁ и j₀₂.

Условно разделим каждое из колец на n равных частей, тогда заряд каждой части можно считать точечным:

Потенциал, образованный точечным зарядом в центре первого кольца О₁, Весь заряд q₁образует в центре первого кольца потенциал j₁, равный алгебраической сумме потенциалов n точечных зарядов, или

Рассуждая подобным образом, найдем потенциал в центре первого кольца О_1, образованный зарядом q₂. Так как то Потенциал электрического поля в центре первого кольца, образованный зарядами q₁ и q₂

Повторяя все рассуждения, найдем выражение для потенциала в центре второго кольца О₂

Работа, совершаемая при перемещении заряда q из точки О₁ в точку О₂

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Имеются два тонких проволочных кольца радиусом R = 30 см каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и –q, соответственно. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящих друг от друга на расстоянии L= 52 см, если q = 0,4 мкКл.

• Статьи
• Новости
• Бесплатные программы
• Советы студенту
• Экономия
• Льготы и преимущества
• Новости ВУЗов
• Разное

• Разделы
• ВУЗы
• Общие файлы
• Лекции
• Правила сайта
• FAQ
• Правообладателям
• Ответы на тесты
• Теги
• Статистика
• Мобильная версия

• Архив
• Термины
• Нано-блог
• Обзоры
• Статьи
• Задачи
• Карта задач
• Досье на преподавателей
• Файловый архив

• Учебные материалы
• К экзамену/зачёту
• Книги и методические указания
• Контрольные работы и аттестации
• Курсовые/домашние работы
• Лабораторные работы
• Лекции и семинары
• Рефераты, доклады и презентации
• Диссертации
• Остальное

• 
• 

Для добавления файла нужно быть зарегистрированным пользователем. Зарегистрироваться и авторизоваться можно моментально через социальную сеть "ВКонтакте" по кнопке ниже:

Вы можете зарегистрироваться стандартным методом и авторизоваться по логину и паролю с помощью формы слева.

Закон Кулона. Потенциал С2-2

1. Электрон с некоторой начальной скоростью v₀ влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 300 В. Расстояние между пластинами d = 2 см, длина конденсатора l = 10 см. Какова должна быть предельная начальная скорость v₀ электрона, чтобы электрон не вылетел из конденсатора?

2. С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда 3×10 -8 Кл/см 2 ?

3. С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 3×10 -8 Кл/см, находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга? Какую работу (на единицу длины) надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстояния 1 см?

4. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 2 СГС_q. Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см, при этом совершается работа A = 50 эрг. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.

5. Определить потенциал точки поля, находящийся на расстоянии 10 см от центра заряженного шара радиусом 1 см. Задачу решить при следующих условиях: 1) задана поверхностная плотность заряда на шаре, равная 10 -11 Кл/см 2 , 2) задан потенциал шара, равный 300 В.

6. Найти: 1) соотношение между радиусом шара R и максимальным потенциалом U, до которого он может быть заряжен в воздухе, если при нормальном давлении разряд в воздухе наступает при напряженности электрического поля E₀ = 30 кВ/см; 2) максимальный потенциал шара, диаметр которого равен 1 м.

7. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и —q. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние l, если R = 30 см, l = 52 см и q = 0,40 мкКл.

8. На какое расстояние могут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу друг другу с относительной скоростью 10 8 см/с?

Проводники и диэлектрики в электрическом поле С2-3

1. Восемь заряженных капель радиусом 1 мм и зарядом 10 –10 Кл каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Найти потенциал большой капли.

2. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см 2 и расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом (e = 2,6). 1) Какова будет разность потенциалов между пласти­нами после заполнения? 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения? 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения?

3. Решить предыдущую задачу для случая, когда заполнение пространства между пластинами изолятором производится при включенном источнике напряжения.

4. Определить работу A, которую нужно затратить, чтобы увеличить на Dx = 0,2 мм расстояние x между пластинами плоского конденсатора, заряженными разноименными зарядами q = 0,2 мкКл. Площадь каждой пластины S = 400 см 2 . В зазоре между пластинами находится воздух.

5. Металлический шар радиуса 5 см окружен шаровым слоем диэлектрика (e = 7) толщиной 1 см и помещен концентрично в металлической сфере с внутренним радиусом 7 см. Чему равна емкость C такого конденсатора?

6. На поверхность тонкой сферы радиуса R и массы M наносится равномерно заряд. Когда полный заряд сферы достигает величины Q, сфера под действием электрических сил отталкивания разрывается на мелкие одинаковые части, летящие в разные стороны. Какой максимальной скорости может достигнуть осколок?

7. Найти индуцированный заряд проводящего шара радиуса R, на расстоянии r от центра которого расположен точечный заряд q, после того как шар заземлили длинной тонкой проволокой.

8. Плоский конденсатор состоит из двух пластин, находящихся друг от друга на расстоянии 0.5 мм. Как изменится емкость конденсатора, если его поместить в изолированную металлическую коробку (“экранировать”), стенки которой будут находиться на расстоянии 0,25 мм от пластин. Искажением поля у краев пластин пренебречь. Как изменится емкость помещенного в коробку конденсатора, если коробку соединить с одной из пластин?

26. Напряженность и потенциал. Энергия системы зарядов: задачи с ответами

(Все задачи по электростатике и ответы к ним находятся в zip-архиве (347 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

26.1. Два точечных заряда 0,6 мкКл и −0,3 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. В какой точке напряженность электрического поля равна нулю? [на расстоянии ≅25 см от второго заряда]

26.2. В точке A напряженность электрического поля точечного заряда равна Е_A, а в точке B — Е_B. Найти напряженность поля в точке C. Все три точки лежат на одной силовой линии. Точка C лежит посередине между точками A и B. [смотрите ответ в общем файле]

26.3. Две частицы массами m и M, имеющие заряды q и Q соответственно, движутся в однородном электрическом поле на неизменном расстоянии l друг от друга. Определить напряженность поля и ускорение частиц. Силу тяжести не учитывать. [смотрите ответ в общем файле]

26.4. Конический маятник состоит из легкой нити длиной 1 м, на конце которой находится шарик массой 10 г заряженный зарядом 2× −5 Кл. Маятник находится в вертикальном однородном электрическом поле с напряженностью 1 кВ/м. Определить угловую скорость движения шарика и силу натяжения нити, если угол между нитью и вертикалью равен 30°. [w₁ = 3.72 c −1 ; T₁ = 0.14 Н; w₂ = 3.03 c −1 ; T₂ = 0.092 H]

26.5. Конический маятник состоит из нити длиной l, на конце которой находится шарик массой m, заряженный зарядом q. Маятник помещен в однородное горизонтальное электрическое поле с напряженностью E. Определить период обращения шарика, если угол отклонения нити от положения равновесия равен α. [смотрите ответ в общем файле]

26.6. В точке A потенциал поля точечного заряда равен φ_A, а в точке B — φ_B. Найти потенциал в точке C, если все три точки лежат на одной силовой линии, а точка C лежит посередине между точками A и B. [смотрите ответ в общем файле]

26.7. Тонкое проволочное кольцо радиусом R = 0,5 м имеет вырез длиной d = 2 см. По кольцу равномерно распределен заряд q = 0,33 нКл. Определить напряженность поля и потенциал в центре кольца. [≅ 0.076 В/м; ≅ 5.94 В]

26.8. Горизонтальный металлический диск вращается с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. Определить зависимость напряженности электрического поля от расстояния до оси, а также разность потенциалов между центром диска и его крайними точками. Радиус диска R. [смотрите ответ в общем файле]

26.9. Два тонких проволочных кольца имеют общую ось и расположены на расстоянии l = 52 см друг от друга. Радиусы колец R = 30 см. Кольца заряжены зарядами q и −q, где q = 0,4 мкКл. Найти разность потенциалов между центрами колец. [≅ 12 кВ]

26.10. Тонкое кольцо радиусом R заряжено зарядом q. Найти напряженность электрического поля на оси кольца как функцию от расстояния до центра кольца x. Рассмотреть случай x >> R. При каком значении x напряженность максимальна? [смотрите ответ в общем файле]

26.11. Три одинаковых шарика массой m каждый заряжены одинаковыми зарядами q и связаны тремя одинаковыми нитями так, что образуют правильный треугольник со стороной a. Одну из нитей пережигают. Определить максимальную скорость среднего шарика. Внешними силами пренебречь. [смотрите ответ в общем файле]

26.12. В пространство, где одновременно действуют горизонтальное и вертикальное электрические поля с напряженностью E₁ = 0,04 В/м и E₂ = 0,03 В/м, вдоль силовой линии результирующего поля влетает электрон, скорость которого на длине пути l = 2,7 мм изменяется в 2 раза. Определить конечную скорость электрона. [4×10 5 м/с]

26.13. В двух вершинах прямоугольника со сторонами a и b находятся точечные заряды q₁ и q₂. Какую работу надо совершить, чтобы перевести заряд q из точки A в точку B (рис.). [смотрите ответ в общем файле]

26.14. Два одинаковых заряженных шарика подвешены на двух одинаковых нитях длиной l = 5 см и связаны третьей такой же нитью (рис.). В момент пережигания нижней нити ускорения шариков равны a = 40 м/с 2 . Определить скорость шариков в момент когда они будут находиться на одной высоте с точкой подвеса. [≅ 0.66 м/с, решение задачи обсуждалось здесь ]

26.15. Заряженный шарик массой m = 1,5 г подвешен на нити в однородном горизонтальном электрическом поле. При этом нить отклонена на угол α = 30°. Направление электрического поля мгновенно изменяется на противоположное. Найти силу натяжения нити в момент максимального отклонения от вертикали. [≅ 8.7 мН]

26.16. Восемь протонов находятся в вершинах куба с ребром l = 10 см. Какова будет их максимальная скорость, если предоставить им возможность свободно двигаться? [≅ 2.8 м/с]

26.17. Найти напряженность электрического поля в центре полусферы, создаваемую зарядами, равномерно распределенными с поверхностной плотностью σ по всей поверхности полусферы. [смотрите ответ в общем файле]

26.18. Два небольших шарика, имеющие одинаковые массы и заряды и находящиеся на одной вертикали на высотах h₁ и h₂, бросили в одну сторону в горизонтальном направлении со скоростями v. Нижний шарик коснулся земли на расстоянии l от точки бросания по горизонтали. На какой высоте в этот момент был второй шарик? Сопротивлением воздуха и влиянием индуцированных на поверхности зарядов пренебречь. [смотрите ответ в общем файле]

26.19. Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. При этом один электрон неподвижен, а второй движется на него со скоростью v. На какое наименьшее расстояние сблизятся электроны? [смотрите ответ в общем файле]

26.20. Квадрат составлен из четырех одинаково и равномерно заряженных стержней (рис.). Если убрать стержень AB, то напряженность электрического поля в центре квадрата станет равна E. Какой станет напряженность в центре квадрата, если убрать еще и стержень BC? [смотрите ответ в общем файле]

26.21. Три квадратные одинаково и равномерно заряженные пластины из диэлектрика сложены вместе (рис.). При этом в некоторой точке T, расположенной над общей точкой, напряженность электрического поля равна E₁. Когда пластину A убрали, напряженность в этой точке стала равна E₂. Какой станет напряженность в точке T, если убрать и пластину B? [смотрите ответ в общем файле]

26.22. В атоме водорода электрон вращается по круговой орбите вокруг неподвижного протона. Найти отношение потенциальной энергии электрона к его кинетической энергии. [смотрите ответ в общем файле]

26.23. Электрический диполь состоит из двух точечных зарядов q и −q, находящихся на расстоянии l друг от друга. Диполь находится в состоянии устойчивого равновесия в однородном электрическом поле с напряженностью E. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть диполь на 180°? [смотрите ответ в общем файле]

26.24. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R равномерно заряжены зарядами Q, 2Q и 3Q соответственно. Найти потенциалы и напряженности электрического поля на поверхностях сфер. [смотрите ответ в общем файле]

26.25. Протон и электрон одновременно начинают двигаться без начальной скорости от противоположно заряженных параллельных пластин навстречу друг другу. Через какое время они встретятся? Расстояние между пластинами d = 4 см, разность потенциалов между ними Δφ = 300 В. Взаимодействием протона и электрона пренебречь. [≅ 7.8×10 −9 c]

26.26. Заряженное тело сжали так, что все его размеры уменьшились в n раз. Во сколько раз изменилась энергия электрического поля этого тела? [смотрите ответ в общем файле]

26.27. Две сферы радиусом R имеют одинаковый заряд Q, равномерно распределенный по их поверхности. Какую минимальную энергию надо сообщить электрону на поверхности одной из сфер, чтобы он смог достичь второй сферы? Расстояние между центрами сфер L > 2R. [смотрите ответ в общем файле]

26.28. Заряженный шарик массой m висит на легкой нити. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы издалека медленно поднести другой заряженный шарик и поместить его в точку, где раньше находился первый шарик, если при этом первый шарик отклоняется, поднявшись на высоту h? [смотрите ответ в общем файле]

26.29. Пластины плоского конденсатора расположены вертикально и имеют длину l. Вдоль средней линии конденсатора из точки, расположенной на l выше пластин без начальной скорости падает шарик массой m, заряженный зарядом q (рис.). Какую разность потенциалов надо подать на пластины, чтобы шарик при падении не задел их? Расстояние между пластинами d, сопротивления нет. [смотрите ответ в общем файле]

26.30. Плоский конденсатор образован двумя одинаковыми пластинами площадью S = 100 см 2 . Пластины равномерно заряжены одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами q = 10 −8 Кл. Определить силу взаимодействия пластин. [≅ 5.65×10 −4 Н]

26.31. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью вдоль одной прямой, влетают в длинный плоский конденсатор параллельно его пластинам. Во сколько раз α-частица улетит дальше протона внутри конденсатора? [в √2 раз] 26.32. Электрон, ускоренный разностью потенциалов Δφ_o, влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами d, их длина l. Какую разность потенциалов надо подать на конденсатор, чтобы конденсатор не вылетел из него? [смотрите ответ в общем файле]

26.33. Пластины плоского воздушного конденсатора соединены непроводящей пружиной. Когда пластины зарядили зарядами +q и −q, расстояние между ними уменьшилось вдвое. Определить жесткость пружины, если площадь пластин S, начальное расстояние между ними d. [смотрите ответ в общем файле]

26.34. Пылинка массой m, заряженная зарядом q, равномерно падает вдоль осевой линии вертикального плоского конденсатора (рис.). Длина пластин — l, расстояние между ними — d. Какую разность потенциалов надо подать на пластины конденсатора, чтобы пылинка из него не вылетела? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. [смотрите ответ в общем файле]

26.35. Диполь, состоящий из двух точечных зарядов +q и −q, соединенных легким непроводящим стержнем длиной l, находится в однородном электрическом поле с напряженностью E. Угол между стержнем и силовыми линиями поля равен α (рис.). Найти потенциальную энергию диполя в электрическом поле. [смотрите ответ в общем файле]

26.36. Диполь, состоящий из двух точечных зарядов +q и −q массой m каждый, движется из бесконечности вдоль осевой линии плоского конденсатора (рис.). Расстояние между пластинами конденсатора d, расстояние между зарядами диполя l (l < d). Между пластинами конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов Δφ. Какова скорость диполя внутри конденсатора, если на бесконечности она равна v_o? [смотрите ответ в общем файле]

26.37. На рисунке изображены силовые линии электрического поля. Может ли существовать такое электрическое поле?

Имеются два тонких проволочных кольца радиуса r каждое оси которых совпадают заряды колец равны

,

откуда потенциал точечного заряда .
Потенциал — алгебраическая величина; его знак определяется только знаком заряда Q, создающего ЭСП. Потенциал системы точечных (квазиточечных) зарядов Q_i, каждый из которых создает в точке пространства потенциал , составит

.

Это, по сути, выражение принципа суперпозиции для потенциала: потенциал системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в точке каждым зарядом системы по отдельности.
Эти сведения справки позволяют обосновать весьма важный и универсальный подход к расчету параметров ЭСП реальных макроскопических заряженных тел. Такое тело разбивается на квазиточечные заряды dQ_i; потенциал поля, создаваемого каждым зарядом находится по известной формуле; далее используется принцип суперпозиции для потенциала. В задачах процедуру алгебраического суммирования заменяют операцией интегрирования по объему заряженного макроскопического тела.
Если точечный заряд Q силами ЭСП перемещается из точки 1 пространства в точку 2, то макроскопическая работа сил ЭСП по перемещению этого заряда в замкнутой системе может быть совершена только за счет уменьшения потенциальной энергии заряда Q в этом ЭСП:

,

где есть разность потенциалов. .

Пример 1.
Тонкое кольцо радиуса R несет заряд Q, равномерно распределенный по кольцу с линейной плотностью заряда. Определите потенциал ЭСП на оси х кольца на расстоянии а от кольца. Ось х перпендикулярна плоскости кольца и проходит через его центр.

Разбиваем распределенный заряд Q на кольце на квазиточечные заряды , где — элементарная длина кольца.
Тогда элементарный вклад в потенциал точки на оси кольца равен

.

Суммарный потенциал от всех квазиточечных зарядов составит
, где
Заметим на этом частном примере, что знак потенциала определяется только знаком заряда Q, который является источником ЭСП.

Пример 2.
В условии предыдущей задачи предположим, что силами ЭСП точечный заряд q = 10 мкКл перемещается по произвольному пути из центра кольца в точку А. Точка А расположена на оси кольца, на расстоянии а от центра кольца. Вычислите работу сил ЭСП при таком перемещении и разность потенциалов.

;
.

Пример 3.
В центре плоского кольца радиуса R, несущего равномерно распределенный заряд +Q, расположен отрицательный точечный заряд —Q. Определите напряженность и потенциал ЭСП такой системы зарядов в точке на оси х кольца на расстоянии а от плоскости кольца.

Используем здесь, принцип суперпозиции для напряженности и потенциала ЭСП системы зарядов (заряженного кольца и точечного заряда). Структура ЭСП заряженного кольца исследована ранее в примерах (1G3, пример 6).

;
;

Если а >> R, то .

Пример 4.
Два тонких проволочных кольца одинаковых радиусов R = 30 см расположены соосно на расстоянии d = 52 см друг от друга (рис.). Кольцам сообщены заряды +Q и — Q = 0,40 мкКл. Определите разность потенциалов между центрами колец.

Используя результаты решения предыдущих задач, имеем

;
.

Разность потенциалов ; .

Пример 5.
Тонкий диск радиуса R заряжен равномерно по поверхности плотностью заряда . Определите потенциал ЭСП диска в точке А на оси х, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, на расстоянии а от центра.

Разбиваем мысленно диск на концентрические кольцеобразные зоны радиусов r и толщиной dr, несущих элементарные заряды .
На оси каждой такой зоны элементарный потенциал в соответствии с решением предыдущей задачи (пример 1) равен

.

Интегрируя по переменной r в пределах от 0 до R, получаем ответ

.

В центре диска, т. е. при а = 0, потенциал .

Пример 6.
В центре плоского тонкого диска радиуса R₂ имеется круглое отверстие радиуса R₁. Оставшаяся часть диска заряжена равномерно по поверхности с поверхностной плотностью заряда. Определите напряженность и потенциал ЭСП диска с отверстием в любой точке А на оси диска на расстоянии а от его поверхности.

Диск с отверстием можно представить как сплошной диск радиуса R₂, заряженный с поверхностной плотностью заряда , и наложенным на него другим диском радиуса R₁, заряженным зарядом с плотностью . Структура параметров ЭСП заряженного диска известна из рассмотрения предыдущих задач. Используя принцип суперпозиции, получаем:

;
.

Частные случаи: если R₁ = 0 (отверстия нет), то

;
.

При R₁ = R₂ (диска нет) .

Пример 7.
На оси x тонкого диэлектрического диска радиуса R, заряженного равномерно с поверхностной плотностью заряда , расположен жесткий тонкий стержень длиной l, заряженный с линейной плотностью заряда. Левый конец стержня находится на расстоянии a от центра О диска. Определить:
1) силу взаимодействия стержня и диска;
2) потенциальную энергию стержня в ЭСП диска.

1) Силовую часть задачи будем решать следующим методом. Разобьем стержень на квазиточечные заряды , на каждый из которых со стороны ЭСП диска действует элементарная сила

.

Интегрируем элементарные силы по длине стержня в пределах от а до (a + l)

.

2) Потенциальную энергию dW квазиточечного заряда dQ на стержне в ЭСП диска найдем как , где — потенциал на оси заряженного диска на расстоянии x от центра (смотри пример выше). Тогда

.

Интегрируем, как и ранее, это выражение в тех же пределах и получаем

.

Подставьте самостоятельно в это выражение пределы интегрирования и скомпонуйте к удобному для вас виду окончательный результат. Поучителен, например, случай a>> l.

Пример 8.
В некоторой точке напряженность ЭСП двукратно ионизованного неподвижного атома гелия ( -частицы) равна . Протон, летящий к частице, имеет скорость . На какое расстояние r₀ протон может приблизиться к -частице?

Система -частица плюс протон является замкнутой и в ней действуют только консервативные силы (здесь кулоновские), поэтому полная энергия системы сохраняется. Следовательно, составляем соотношение энергетического баланса:

.

Подставляя в приведенное соотношение выражение для потенциала

, получаем
.

Откуда следует ; r₀ 4,9*10 -9 м.

Имеются два тонких проволочных кольца радиуса r каждое оси которых совпадают заряды колец равны

2.1 Найти отношение электрической и гравитационной сил взаимодействия между двумя электронами; двумя протонами. При каком значении удельного заряда q/m частицы эти силы будут равными?
→ Перейти к решению

2.2 Два одинаковых небольших металлических шарика с зарядами q1 и q2, находясь на расстоянии l = 200 мм друг от друга, притягиваются с силой F0 = 36 мН. После того, как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же рассстояние они стали отталкиваться с силой F = 64 мН. Найти q1 и q2.
→ Перейти к решению

2.3 Два положительных заряда q1 и q2 находятся в точках с радиусами-векторами r1 и r2. Найти отрицательный заряд q3 и радиус-вектор r3 точки, в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.
→ Перейти к решению

2.4 Три небольших одинаково заряженных шарика массы m = 9,0 г подвешены к одной точке на шелковых нитях длины l = 250 мм. Найти заряд каждого шарика, если углы между разошедшимися нитями равны 2а = 60°.
→ Перейти к решению

2.5 Два небольших одинаково заряженных шарика массы m = 5,0 г подвешены к одной точке на шелковых нитях, образующих между собой малый угол ф, и находятся на одном уровне. Найти скорость утечки заряда dq/dt с каждого шарика в момент, когда ф = 5,0°, если скорость сближения шариков постоянна и равна v = 0,55 мм/с.
→ Перейти к решению

2.6 Три небольших шарика, каждый массы m = 6,0 г и с зарядом q = 1,0 мкКл, соединены шелковыми нитями, образуя равносторонний треугольник со стороной l = 200 мм. Одну нить пережгли. Найти ускорение среднего шарика сразу после этого. Сил тяжести нет.
→ Перейти к решению

2.7 Тонкое проволочное кольцо радиуса R = 100 мм имеет электрический заряд q = 50 мкКл. Каково будет приращение силы, растягивающей проволоку, если в центре кольца поместить точечный заряд q0 = 7,0 мкКл?
→ Перейти к решению

2.8 Положительный точечный заряд 50 мкКл находится на плоскости xy в точке с радиусом-вектором r0 = 2i + 3j, где i и j — орты осей X и Y. Найти напряженность электрического поля и ее модуль в точке с радиусом-вектором r = 8i — 5j. Здесь r0 и r даны в метрах.
→ Перейти к решению

2.9 В вершинах квадрата с диагональю 2l = 100 мм находятся одинаковые по модулю (q = 2,5 мкКл) точечные заряды, знаки которых при обходе квадрата расположены в порядке +, +, -, -. Найти напряженность Е электрического поля в точке, отстоящей на расстояние x = 50 мм от центра квадрата и расположенной симметрично относительно его вершин.
→ Перейти к решению

2.10 Тонкий стержень АВ длины l = 100 см имеет заряд q = 37 нКл, распределенный так, что его линейная плотность пропорциональна квадрату расстояния от конца А. Найти напряженность электрического поля в точке А.
→ Перейти к решению

2.11 Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 0,70 нКл. Найти модуль напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.
→ Перейти к решению

2.12 Кольцо радиуса R из тонкой проволоки имеет заряд q. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния l до его центра. Исследовать E(l) при l >> R. Определить максимальное значение напряженности и соответствующее расстояние l. Изобразить примерный график функции Е(l).
→ Перейти к решению

2.13 Полубесконечный круглый цилиндр радиуса R заряжен равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд L. Найти напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.
→ Перейти к решению

2.14 Найти напряженность электрического поля в центре основания полусферы, заряженной равномерно с поверхностной плотностью s = 60 нКл/м2.
→ Перейти к решению

2.15 Плоскость с круглым отверстием радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью s. Найти напряженность Е электрического поля на оси отверстия как функцию расстояния l до его центра.
→ Перейти к решению

2.16 Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити приходится заряд L. Найти силу взаимодействия кольца и нити.
→ Перейти к решению

2.17 Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью L = L0cos ф, где L0 — постоянная, ф — азимутальный угол. Найти модуль напряженности электрического поля: а) в центре кольца; б) на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра. Исследовать полученное выражение при x >> R.
→ Перейти к решению

2.18 Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2a заряжен равномерно зарядом q. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра стержня до точки прямой, а) перпендикулярной стержню и проходящей через его центр; б) совпадающей с осью стержня, если r > а. Исследовать полученные выражения при r >> a.
→ Перейти к решению

2.19 Длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд L на единицу длины. Найти модуль и направление электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.
→ Перейти к решению

2.20 Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд L, имеет конфигурации, показанные на рис. Радиус закругления R значительно меньше длины нити. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти модуль напряженности электрического поля в точке О для конфигураций а и б.
→ Перейти к решению

2.21 Сфера радиуса r заряжена с поверхностной плотностью о = аr, где а — постоянный вектор, r — радиус-вектор точки сферы относительно ее центра. Найти напряженность электрического поля в центре сферы.
→ Перейти к решению

2.22 Поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ф как s = s0 cos ф, где s0 — положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига относительно друг друга двух равномерно заряженных шаров радиуса R, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти напряженность электрического поля внутри данной сферы.
→ Перейти к решению

2.23 Найти напряженность электрического поля в центре шара радиуса R, объемная плотность заряда которого р = аr, где а — постоянный вектор, r — радиус-вектор относительно центра шара.
→ Перейти к решению

2.24 Пространство между двумя плоскостями, отстоящими друг от друга на расстояние 2а, заполнено зарядом, объемная плотность которого зависит только от координаты х оси, перпендикулярной этим плоскостям, как р = ах, где а — постоянная. Начало координат (х = 0) находится посередине между этими плоскостями. Найти зависимость от х напряженности электрического поля, точнее Ех(х) и Е(х). Изобразить их примерные графики.
→ Перейти к решению

2.25 Две длинные параллельные нити равномерно заряжены, каждая с линейной плотностью L = 0,50 мкКл/м. Расстояние между нитями l = 45 см. Найти максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы.
→ Перейти к решению

2.26 Две скрещивающиеся взаимно перпендикулярные нити бесконечной длины заряжены равномерно с линейной плотностью L. Найти силу их взаимодействия.
→ Перейти к решению

2.27 Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью s = s0cos ф, где ф — полярный угол цилиндрической системы координат, ось Z которой совпадает с осью данной поверхности. Найти модуль и направление напряженности электрического поля на оси Z.
→ Перейти к решению

2.28 Грани полого куба заряжены равномерно с поверхностной плотностью s. Найти силу, которая действует на каждую грань со стороны: а) точечного заряда q, если его поместить в центр куба; б) остальных граней, если ребро куба равно l.
→ Перейти к решению

2.29 Имеется аксиально-симметричное электрическое поле, напряженность которого зависит от расстояния r до его оси как Е = ar/r2, где а — постоянная. Найти заряд внутри сферы радиуса R с центром на оси этого поля.
→ Перейти к решению

2.30 Напряженность электрического поля Е = arr, где а — постоянная, r — расстояние от центра поля. Найти плотность зарядов р®, создающих это поле.
→ Перейти к решению

2.31 Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра как р = р0(1 — r/R), где р0 — постоянная. Пренебрегая влиянием вещества шара, найти: а) модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r; б) максимальное значение модуля напряженности Eмакс и соответствующее ему значение rm.
→ Перейти к решению

2.32 Система состоит из шара радиуса R, заряженого сферически-симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью р = а/r, где a — постоянная, r — расстояние от центра шара. Пренебрегая влиянием вещества, найти заряд шара, при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от r. Чему равна эта напряженность?
→ Перейти к решению

2.33 Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью р, имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние а. Пренебрегая влиянием вещества шара, найти напряженность Е поля внутри полости.
→ Перейти к решению

2.34 Найти напряженность Е электрического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заполненных разноименными по знаку зарядами с объемной плотностью р и -р, если расстояние между центрами шаров равно а (рис. ).
→ Перейти к решению

2.35 Три одинаковых шарика, расположенные в вершинах равностороннего треугольника со стороной а, соединены друг с другом нитями. Заряд и масса каждого шарика равны q и т. Одну из нитей пережгли. Найти максимальную скорость среднего шарика. Сил тяжести нет.
→ Перейти к решению

2.36 Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и -q. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние l, если R = 30 см, l = 52 см и q = 0,40 мкКл.
→ Перейти к решению

2.37 Бесконечно длинная прямая нить заряжена равномерно с линейной плотностью L = 0,40 мкКл/м. Вычислить разность потенциалов точек 1 и 2, если точка 2 находится дальше от нити, чем точка 1, в h = 2,0 раза.
→ Перейти к решению

2.38 Тонкое кольцо радиуса R = 25 см имеет заряд q = 5,0 мкКл, неравномерно распределенный по кольцу. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда q’ = 1,0 мкКл из центра кольца по произвольному пути в точку, находящуюся на оси кольца на расстоянии l = 50 см от его центра.
→ Перейти к решению

2.39 Круглая тонкая пластинка радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью s. Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния l от ее центра. Рассмотреть также случаи l -> 0 и l >> R.
→ Перейти к решению

2.40 Коническая поверхность с основанием радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью s. Найти потенциал в вершине конуса.
→ Перейти к решению

2.41 Найти потенциал на краю тонкого диска радиуса R = 20 см, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью s = 0,25 мкКл/м2.
→ Перейти к решению

2.42 Заряд g распределен равномерно по объему шара радиуса R. Пренебрегая влиянием вещества шара, найти потенциал: а) в центре шара; б) внутри шара как функцию расстояния r от его центра.
→ Перейти к решению

2.43 Найти напряженность электрического поля, потенциал которого имеет вид ф = аr, где а — постоянный вектор, r — радиус-вектор точки поля.
→ Перейти к решению

2.44 Определить напряженность электрического поля, потенциал которого зависит от координат x, y по закону: а) ф = а(х2 — у2); б) ф = axy, где а — постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью линий вектора Е (в плоскости xy).
→ Перейти к решению

2.45 Потенциал электрического поля имеет вид Ф = а(ху — r2), где а — постоянная. Найти проекцию напряженности электрического поля в точке М <2, 1, -3>на направление вектора а = i + 3k.
→ Перейти к решению

2.46 Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом р (рис. ) может быть представлен как ф = рr/4пe0r3, где r — радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения модуль напряженности электрического поля диполя как функцию r и ф.
→ Перейти к решению

2.47 Точечный электрический диполь с моментом р находится во внешнем однородном электрическом поле, напряженность которого равна Е0, причем р||Е0. В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой. Найти ее радиус.
→ Перейти к решению

2.48 Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью L и -L. Расстояние между нитями l. Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на расстоянии r >> l под углом ф к вектору l (рис. ).
→ Перейти к решению

2.49 Найти электрический момент р тонкого стержня длины l, линейная плотность заряда которого зависит от расстояния х до одного из его концов как L = а(2х — l), где а— положительная постоянная.
→ Перейти к решению

2.50 Система состоит из заряда q > 0, равномерно распределенного по полуокружности радиуса а, в центре которой находится точечный заряд -q (рис. ). Найти: а) электрический дипольный момент этой системы; б) модуль напряженности электрического поля на оси X системы на расстоянии r >> а от нее.
→ Перейти к решению

2.51 Два коаксиальных кольца радиуса R из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии l друг от друга (l > R.
→ Перейти к решению

2.52 Какую работу против сил электрического поля надо совершить, чтобы перенести диполь с электрическим моментом р из положения 1, где напряженность поля равна E1, в положение 2 с напряженностью Е2 (рис. )?
→ Перейти к решению

2.53 Диполь с электрическим моментом р находится на расстоянии r от длинной прямой нити, заряженной равномерно с линейной плотностью L. Найти силу F, действующую на диполь, если вектор р ориентирован: а) вдоль нити; б) по радиусу-вектору r; в) перпендикулярно нити и радиусу-вектору r.
→ Перейти к решению

2.54 Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на l = 10 нм, если их электрические моменты расположены вдоль одной и той же прямой. Момент каждой молекулы р = 0,62*10^-29 Клм.
→ Перейти к решению

2.55 Найти потенциал следующих электрических полей: а) Е = a(yi + xj); б) Е = 2axyi + а(х2 — у2)j, в) Е = ayi + (ах + bz)j + byk. Здесь а и b — постоянные, i, j, k — орты осей X, У, Z.
→ Перейти к решению

2.56 Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от координаты x как ф = -ax3 + b, где a и b — некоторые постоянные. Найти распределение объемного заряда p(x).
→ Перейти к решению

2.57 Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстояние d, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность потенциалов пластин равна dф. При каком значении объемной плотности р заряда напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом напряженность поля у другой пластины?
→ Перейти к решению

2.58 Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра как ф = аr^2 + b, где а и b — постоянные. Найти распределение объемного заряда р® внутри шара.
→ Перейти к решению