На сколько нулей оканчивается произведение первых 2002 простых чисел?
Даже если возьмём 20000000000000002 простых чисел, то среди них только одно чётное и ещё только одно заканчивается на пятёрку. В связи с чем можно однозначно утверждать, что произведение любого количества подряд идущих простых чисел в количестве свыше двух заканчивается только на один ноль.
Чтобы получить ноль на конце результата умножения, для этого умножать следует либо на число, кратное десяти, либо на два числа, кратные пяти и двум. Во всех остальных случаях на конце произведения будем иметь все, что угодно, только не ноль.
А простые числа, они очень даже не простые. Потому что, по определению, делятся только на единицу и на себя. Следовательно, никаких чисел, кратных десяти, среди простых не имеется (поскольку даже число 10 делится не только на себя, но ещё и на 5 и на 2). Так что из всех вариантов нам остаются лишь два простых числа, которые пр перемножении могут дать ноль, это число 2 и число 5.
Таким образом, если перемножить последовательно хотя бы первые четыре простых числа, то получим в результате 30 — и один ноль на конце. Увеличение числа сомножителей на любое количество любых других простых чисел никак это положение не изменит, ноль по-прежнему будет в одиночестве.
Ответ: произведение первых 2002 простых чисел оканчивается на 1 (один) ноль.
На сколько нулей оканчивается произведение первых 2010 простых чисел
Answers & Comments
Verified answer
Простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и сами на себя.
Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .
Можно заметить, что почти все простые числа оканчиваются на нечетные цифры 1, 3, 7 или 9.
При умножении первых десяти простых чисел только произведение 2 и 5 (2 · 5 = 10) даст 0, другие числа в произведении 0 не дадут.
На сколько нулей оканчивается произведение первых 100 простых чисел?
Учитывая, что ноль на конце числа соответствует множителю 10, а , можно сформулировать правило: количество нулей на конце числа равно наименьшему из количеств двоек или пятерок, входящих в разложение этого числа на простые множители.
Рассмотрим произведение первых 100 простых чисел:
Учитывая, что это число уже представлено в виде разложения на простые множители и оно содержит только одну двойку и одну пятерку, то оно оканчивается на один ноль.
Ответ: на один ноль
Чтобы определить, на сколько нулей оканчивается произведение первых 100 простых чисел, необходимо посчитать максимальную степень числа 10, на которую делится это произведение. Поскольку 10 = 2 * 5, нам нужно найти, сколько раз встречается 2 и 5 в произведении.
Заметим, что каждое второе число является четным и содержит множитель 2. Таким образом, в произведении первых 100 простых чисел будет присутствовать 50 множителей 2.
Что касается множителя 5, в первых 100 простых числах встречаются следующие числа, являющиеся кратными 5: 5, 10, 15, . 95. Всего таких чисел будет 20.
Таким образом, у нас есть 50 множителей 2 и 20 множителей 5 в произведении первых 100 простых чисел.
Чтобы определить, сколько нулей оканчивается произведение, необходимо найти минимальное значение из количества множителей 2 и 5. В данном случае это 20.
Таким образом, произведение первых 100 простых чисел оканчивается на 20 нулей.
На сколько нулей оканчивается произведение первых 2010 простых чисел
Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел: от 1 до 10 включительно
442. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел: от 1 до 10 включительно
Ответ
1) от 1 до 10 включительно
Нам даны натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Выберем числа или пары чисел, при перемножении которых можно получить ноль:
- произведение 4 • 5 — даёт на конце 0 (можно выбрать число 5 и любое чётное число)
- умножение на 10 — даёт на конце 0
Значит произведение чисел от 1 до 10 включительно будет оканчиваться 2 нулями.
2) от 15 до 24 включительно
Нам даны натуральные числа: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24.
Выберем числа или пары чисел, при перемножении которых можно получить ноль:
- произведение 15 • 16 — даёт на конце 0, так как 5 • 6 на конце даёт 0 (можно выбрать число оканчивающееся на 5 и любое чётное число)
- умножение на 20 — даёт на конце 0
Значит произведение чисел от 15 до 24 включительно будет оканчиваться 2 нулями.
3) от 10 до 30 включительно
Выберем из указанного диапазона числа или пары чисел, при перемножении которых можно получить ноль:
- умножение на 10 — даёт на конце 0
- произведение 15 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 20 — даёт на конце 0
- произведение 25 и двух чётных чисел — даёт на конце 00, так как 25 = 5 • 5, то есть при каждом умножении чётного числа на 5 мы будем получать очередной 0 на конце
- умножение на 30 — даёт на конце 0
Значит произведение чисел от 15 до 24 включительно будет оканчиваться 6 нулями.
4) от 1 до 100 включительно?
- произведение 5 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 10 — даёт на конце 0
- произведение 15 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 20 — даёт на конце 0
- произведение 25 и двух чётных чисел — даёт на конце 00, так как 25 = 5 • 5, то есть при каждом умножении чётного числа на 5 мы будем получать очередной 0 на конце
- умножение на 30 — даёт на конце 0
- произведение 35 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 40 — даёт на конце 0
- произведение 45 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 50 — даёт на конце 00, так как 50 = 5 • 10, то есть при умножении чётного числа на 5 мы будем получать очередной 0 на конце, а также при умножении на 10 мы тоже получим 0
- произведение 55 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 60 — даёт на конце 0
- произведение 65 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 70 — даёт на конце 0
- произведение 75 и двух чётных чисел — даёт на конце 00, так как 75 = 25 • 3 = 5 • 5 • 3, то есть при каждом умножении чётного числа на 5 мы будем получать очередной 0 на конце
- умножение на 80 — даёт на конце 0
- произведение 85 и чётного числа — даёт на конце 0
- умножение на 90 — даёт на конце 0
- произведение 95 и чётного числа — даёт на конце 0
- произведение 100 — даёт на конце 00, так как 100 = 10 • 10, то есть при каждом умножении на 10 мы будем получать очередной 0 на конце
Значит произведение чисел от 1 до 100 включительно будет оканчиваться 24 нулями. Их нам дадут числа:
Ключ для определения количества нулей в конце произведения
Оценить 
776 0
Методическая разработка по теме
«Ключ для определения количества нулей в конце произведения»
Автор:Иванова Валентина Ивановна,
МБОУ «Тренькасинская СОШ»,
Чебоксарского района Чувашской Республики
Введение. В современном мире очень многие родители озадачены развитием творческих способностей своих детей наряду с развитием умственных способностей. Объяснить это достаточно просто — в ходе творческого процесса происходит осуществление интересного и плодотворного досуга, развивается стремление к созданию чего-либо. Мы, учителя, готовим детей к различным олимпиадам по математике и часто встречаем задачи на определение количества нулей в конце произведения. Например, задача такого типа: «Сколькими нулями оканчивается произведение от 1 до 50 включительно?». Ребята пытаются найти произведение этих чисел, но до конца дойти не всегда реально. И я решила показать рациональный способ решения таких задач.
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Определение количества нулей в конце произведения последовательных натуральных чисел», а с другой стороны, её недостаточной разработанностью.
Цель: Научить находить количество нулей в конце произведения последовательных натуральных чисел.
Задачи:— вспомнить свойства чисел;
— рассмотреть примеры для определения количества нулей в конце произведения;
— уметь раскладывать числа, кратных 5, на множители;
— найти «ключ» к решению таких задач.
2. По страницам толковых словарей. Свойства чисел и факториал……………………………..2
3. Разложение чисел кратных 5 на множители. ……………………………. ………………..…..2
4. Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа…………. 2-3
5. Составление и решение задач…………………………………………………………….…. 3-4
I . Основная часть.
По страницам толковых словарей.
Свойства чисел и факториал.
Во-первых, количество нулей в произведении зависит от количества 10 среди множителей произведения.
Во-вторых, при перемножении двух круглых чисел, т.е. тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число.
В-третьих, в произведении последовательных натуральных чисел половина четных чисел, половина – нечетных.
В-четвертых, можно умножить два числа, не заканчивающихся на нуль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей.
Например, 2 ∙ 5=10; 5∙8 =40; 6∙15=90; 8∙125=1000.
Я заметила, что один множитель четное число, а другой – делится на 5. Сомножители 2 и 5 при их перемножении дают десятку. Если умножить четное число на 5, то в полученном произведении так же последняя цифра ∙равна нулю.
Факториалом натурального числа называют произведение всех натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком «!». Примеры: 3! = 1∙2∙3; 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6. Таблица факториалов.
Разложение чисел кратных 5 на множители.
Разложим числа, которые делятся на 5, на множители и посчитаем, сколько раз встречается 5 в произведении этих чисел.
Число кратное 5
Разложение на простые множители
Из таблицы видно, что в числах, кратных 25 пятерка встречается по два раза, а в числах кратных 125 – по три, а в числах кратных 625 – четыре раза. Эти знания нам пригодятся при решении более сложных задач.
Рассмотрим пример. Определить количество нулей в произведении от 1 до 25.
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12∙13∙14∙15∙ 16∙17∙18∙19∙20∙21∙22∙23∙24∙25
Для ответа на вопрос задачи не обязательно находить результат умножения. Нужно определить число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для этого р азложим каждое число от 2 до 25 на простые множители и запишем произведение всех получившихся множителей. Нуль на конце произведения получается, когда умножаются двойка и пятерка. Составим из них пары (2;5) и перемножим их. Но двоек в получившемся произведении больше пятерок, так как множитель 2 имеет каждое второе число, а множитель 5 – только каждое пятое. Для каждой пятерки найдется пара. Пар всего будет 6, так как 25 дает две пятерки. Значит, всего получится 6 нулей.
Алгоритм для определения количества нулей в конце любого большого числа
Итак, для определения количества нулей в конце любого большого числа можно поступить так:
1. Выделить сомножители 2 и 5.
2. Составить из них пары (2; 5) и перемножить их.
Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце произведения.
Если количество пар (2;5) зависит от количества пятерок, то достаточно посчитать только количество пятерок в разложении. Итак, количество нулей в конце определяется только степенью числа 5 в разложении на простые множители
Такой способ решения мне нравится больше. Он короче и оригинальнее.
II . Практическая часть.
Составление и решение задач.
Пример 1. Определить количество нулей в произведении от 1 до 40, т. е. 40!
В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5. Поэтому вопрос можно сформулировать так: сколько раз 40! можно разделить без остатка на 5?
Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. В семи числах 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40 пятерка встречается 1 раз, а 25 дает 2 множителя, равных 5 (5∙5). Таким образом, в произведении от 1 до 40 7+2=9 пятерок, т.е. 9 нулей
Пример 2.
Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 17 до 40?
Решение. 20= 4∙5; 25=5∙5; 30=5∙6; 35=5∙7; 40=5∙8. Всего 6 нулей.
Пример 3. Определить количество нулей в произведении от 1 до 100.
Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на нуль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей. Следование только этому правилу иногда ведет к ошибке, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным.
От 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100 . Из них 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5∙5 ) , есть еще три числа, в состав которых входит 25. Это: 50, 75 и 100 . В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. Значит, мы получим 24 пары. Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.
Можно рассуждать таким образом.
Делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. От 1 до 100 имеется 10 чисел, которые оканчиваются на 5 и 9 чисел, оканчивающиеся на 0 и одно число 100, которое оканчивается двумя нулями. Итого: 10+9+2=21. Но 25, 50 и 75 делятся на 25, значит, они дают еще три пары из чисел 2 и 5. Итого мы получим 21+3=24 пары, т.е. 24 нуля.
Я попробовала усложнить задачу. Как же быть, если большое количество множителей?
Например,найти количество нулей в конце произведении от 1 до 2018.
Сначала находим количество чисел,кратных 5 от 1 до 100. Таких чисел встречается 20. Но среди этих чисел числа 25, 50, 75, 100 делятся еще на 25, поэтому они дают по две пятерки. В числе 2018 всего сотен 20. Значит, чисел, кратных 5 всего 400 (20∙20). Числа 2005, 2010, 2015 делятся на 5. Они дают еще три пятерки. Затем находим числа, которые кратны 25.
Кратных 25 всего 80. От 1 до 100 их 4. Тогда 4∙20=80.
Перечислим числа, которые кратны 125: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1000, 1125, 1250, 1375, 1500, 1625, 1750, 1875, 2000. Всего таких чисел 16. Они дают по три пятерки.
Три числа кратных 625: 625, 1250, 1875. Итак, всего пятерок 400+3+80+16+3=502. Следовательно, 502 нуля в конце произведения от 1 до 2018.
Заключение.Я нашла оптимальный, оригинальный способ решения. Данная работа предназначена для расширения кругозора обучающихся, она способствует развитию познавательного интереса к математике. Данный материал может быть использован во внеклассных мероприятиях по математике. Этот способ позволяет решать задачи такого типа быстрее, проще, легче.