Что такое выколотая точка на графике функции

Узнать ещё

Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.

Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x<b. В первом случае в самом знаке неравенства есть прямая подсказка, что точку надо заштриховать, уже и штриховать начали, первый штрих сделали: ≥ или ≤. Поэтому и на чертеже на числовой прямой в таких неравенствах — заштрихованная точка:

А в знаках > или < штриха дополнительного нет, значит, и закрашивать точку не надо. Получилась выколотая точка.

Что такое выколотая точка на графике функции 7 класс

Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.

Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x или Светлана Иванова, 27 Сен 2012

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

• — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: и т.д.;
• — это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: и т.д.

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

• В строгих неравенствах нас не интересуют концы отрезка, поэтому они отмечаются выколотыми точками. Такие точки никогда не входят в ответ, о чем говорят круглые скобки на первом ответе: x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞);
• И наоборот, в нестрогих неравенствах концы отрезка входят в ответ. На графике они отмечаются закрашенными точками, а в ответе указываются квадратными скобками: x ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Решение неравенств

Метод интервалов

Перенос знаков

Выбор точек

Система и совокупность

Точка знакопостоянства

Что нельзя делать в неравенстве, даже под пытками:

1) Домножать на знаменатель.

2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.

3) Убирать бездумно логарифм или основание.

Начнем с простого:

Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:

А само значение −4 нам подходит?

Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()

Разберемся со скобками:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие ( ≥, ≤ ), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:

Ответ: x ∈ ( 0; +oo).

Следующий пример уже с дробью:

Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:

к.ч. (корни числителя)

к.з. (корни знаменателя)

Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки:

Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем:

Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности:

Отметим на прямой решение каждого неравенства.

Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.

Мой любимый пример:

Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!

А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:

Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем:

В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».

Перейдем к квадратному уравнению:

Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак:

Нам требуются положительные значения:

Второй способ разложить на множители:

Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).

А теперь простой, но крайне показательный пример:

Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример:

Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:

Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).

В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».

Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!

Ответ: x ∈ R <0>или x ∈ ( − oo; 0) ∪ (0; +oo).

Переходим на новый уровень:

Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)

По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:

Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).

Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.

Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.

Ответ: (−oo; − 6) ∪ <0>∪ [ 3; +oo).

По той же схеме корни числителя и знаменателя:

Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10:

Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.

Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя?

Узнать ещё

Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.

Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x<b. В первом случае в самом знаке неравенства есть прямая подсказка, что точку надо заштриховать, уже и штриховать начали, первый штрих сделали: ≥ или ≤. Поэтому и на чертеже на числовой прямой в таких неравенствах — заштрихованная точка:

А в знаках > или < штриха дополнительного нет, значит, и закрашивать точку не надо. Получилась выколотая точка.

С3 ГИА – построение графиков функций.

Для того, чтобы хорошо решать это задание, нужно быть знакомым с построением различных графиков функций, в том числе содержащих модуль. Предлагаю тем, кто неуверенно себя чувствует при решении таких заданий, перейти по ссылкам и изучить (или повторить) данные разделы. Задание С3 связано как с исследованием расположения корней квадратного трехчлена, так и с определением области определения функции, и области ее значений. На конкретных примерах мы попробуем научиться решать различные типы таких заданий.

Задача 1. Построить график функции и определить, при каких значениях график функции имеет с графиком 1 общую точку. Построить все такие прямые.

Задача о касательных к параболе

Графиком предложенной функции является парабола, ветви которой направлены вверх и вершина, которую подняли вверх на 4 единицы, лежит на оси ординат. Ее координаты (0;4). Второй график – это прямая, проходящая через начало координат, причем ее наклон может меняться (его определяет коэффициент ). Такая прямая только в одном случае имеет с параболой одну общую точку – если является касательной. Причем, поскольку данная парабола симметрична относительно оси ординат, то к ней можно провести две касательных – с точками касания в первом и третьем квадрантах: Чтобы определить, в какой точке прямая коснется параболы, нужно приравнять обе функции:

Поскольку точка касания – единственная общая точка данных графиков, то дискриминант данного уравнения равен нулю: Откуда и и решить это уравнение: Тогда касание произойдет в точке и симметричной ей точке .

Задача 2. Построить график функции график функции имеет с графиком три или более общие точки.

График, который подвергнется преобразованиям

Строить этот график будем поэтапно: сначала построим график , затем – график функции » />: Парабола с ветвями, направленными вверх, стандартной формы, координаты вершины (2;-1) Теперь построим график

“Опрокидываем” преобразованный график

Осталось выяснить, в каком же случае прямая – а это прямая, параллельная оси абсцисс – будет иметь три (или же более) общие точки с графиком построенной нами функции. Прямая показана на рисунке зеленым цветом. Видно, что ниже указанного положения прямая будет иметь только две общие точки с графиком. Если , то прямая имеет три точки с графиком – пересекает две его ветви и касается вершины. Выше прямая будет иметь четыре точки пересечения с графиком, однако при точек пересечения уже снова две. Значит, ответ надо записать так: [-1;0)

Задача 3. Построить график функции график функции имеет с ним три и более общие точки.

Также построим график в два этапа: саму параболу (координаты ее вершины (-1;-9)), затем отразим всю часть, лежащую ниже оси х, вверх: Тогда три и более (а именно – четыре) общих точки графики будут иметь при (0;9]

Задача 4. Построить график функции и определить, при каких значениях график функции имеет с ним 2 общие точки.

Из условия ясно, что такой график состоит из двух кусочков. Один из них – прямая, второй – парабола. Первый существует в точке 1 и левее ее, второй – правее этой точки. Нарисуем эти графики:

Координаты вершины параболы:

Красным показаны прямые и – именно они, и только они, имеют две общие точки с построенным графиком. Ответ: , .

Задача 5. Построить график функции график функции не имеет с графиком общих точек.

Давайте сначала попробуем упростить данное выражение, кроме того, нужно, безусловно, определить область допустимых значений данной функции. ОДЗ: . Теперь попробуем упростить данное выражение:

Определение коэффициента наклона касательной

Полученная функция – квадратичная, ее графиком является парабола. Данная парабола симметрична относительно оси y, ее вершина имеет координаты (0; 25). Необходимо заметить, что точка с координатами (1; 26) – выколотая точка (по ОДЗ). Тогда прямая, проходящая через начало координат – а именно таким будет график функции , не будет иметь с параболой общих точек в трех случаях: если коэффициент меньше, чем у касательной, расположенной справа, или он больше, чем у касательной, расположенной слева, или искомая прямая проходит прямо через выколотую точку. Наверное, проще найти каков этот коэффициент именно в третьем случае: так как прямая проходит через начало координат, достаточно подставить координаты нашей выколотой точки в уравнение прямой и найти : , откуда . Проверим, не будет ли такая прямая иметь общих точек с параболой. Приравняем . По сумме коэффициентов это уравнение имеет корень 1, но и второй корень – 25, поэтому такая прямая будет иметь еще одну точку пересечения с параболой. В ответ эту прямую мы не включим. Теперь определим коэффициент наклона касательных, для этого приравняем оба уравнения: , и найдем дискриминант, который должен быть равен нулю при наличии единственной общей точки у двух этих графиков функций: Откуда и и решить это уравнение: Тогда касание произойдет в точке и симметричной ей точке . Ответ: , .

Задача 6. Построить график функции он не имеет общих точек с графиком функции .

Гипербола с выколотой точкой

Определим ОДЗ функции: , . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: – выколотая точка. В точке гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты (одна из них войдет в ответ). Тогда, если прямая пройдет через выколотую точку, графики не будут иметь общих точек. Найдем : для этого определим ординату выколотой точки: : Ответ: и .

Задача 7. Построить график функции график функции имеет с графиком 1 общую точку.

Подбор коэффициента наклона прямой

Определим ОДЗ функции: , . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: – выколота. В точке гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая пройдет через выколотую точку, графики будут иметь одну общую точку. Найдем : для этого подставим в уравнение прямой абсциссу и ординату выколотой точки: , : Ответ:

Задача 8. Построить график функции график функции имеет с ним 2 общие точки.

Построение функции с модулем

Эта функция – функция типа , то график коснется обеих вершинок нашей “дублированной” параболы, то есть – один из ответов. Также, если пересечет обе ветви параболы, то есть все нас устраивают. Ответ: ,.

Задача 9. Построить график функции график функции не имеет с ним общих точек.

Кубическая парабола с выколотой точкой

Определим ОДЗ исходной функции: . Теперь можно упростить выражение: пройдет именно через эту точку, она не будет иметь общих точек с полученным нами графиком. Ответ: с=4.

Задача 10. Построить график функции график функции имеет с ним одну общую точку.

Для того, чтобы построить данный график, необходимо раскрыть модули. С этой целью приравняем подмодульное выражение к нулю, чтобы узнать, в какой точке оно меняет знак: и Нанесем эти точки на числовую прямую и расставим знаки:

У нас получились три интервала, на каждом из которых можно теперь раскрыть модули: 1. 2. 3. Тогда наша функция – кусочно-линейная: .

Она выглядит так:

Зеленым цветом показано одно из возможных положений прямой . При таком расположении прямой , и может расти бесконечно. Заметим, что крайнее положение прямой – при k=1. При таком коэффициенте наклона она параллельна правой и левой частям графика, и имеет с ним одну точку пересечения – точку (0;0). Точно так же коэффициент наклона может быть и отрицательным. При этом коэффициент k=-1 – не войдет в ответ, так как в этом случае функция будет иметь общий отрезок с кусочно-линейной функцией, что не соответствует требованиям задачи. Таким образом,

Ответ: вершины парабол и расположены по одну сторону от оси х?

Обратим внимание на то, что у двух данных парабол ветви направлены в разные стороны: у первой старший коэффициент отрицателен, а у второй – положителен. Поэтому вершины будут лежать по одну сторону от оси, если одна из них будет иметь точки пересечения с осью х, а другая – нет. Иными словами, дискриминант одного квадратного уравнения должен быть положителен, а другого – отрицателен. Это приводит нас к двум системам неравенств:

Дискриминант и наличие пересечений параболы с осью х

.

Или же наоборот: . Эти два случая изображены на рисунке:

Определим дискриминанты обоих квадратных уравнений:

Тогда имеем систему неравенств:

– решений нет, так как квадрат числа – неотрицателен, и сумма квадрата числа с положительным числом не может быть меньше ноля.

– в этой системе второе неравенство всегда соблюдается, решение первого – , ,

Мы рассмотрели один способ решения – с использованием дискриминанта. Есть еще один способ решения такого задания – с помощью координат вершины параболы. Решим последнюю задачу вторым способом.

Нам потребуется определить координаты вершин обеих парабол:

1. 2m)^2+4m*2m-m=4m^2-m» />

2. m)^2-2m^2-2=-m^2-2″ />

Ординаты вершин должны иметь один знак по условию, тогда имеем систему неравенств:

– вторая система решений не имеет, а именно, нет решений у второго неравенства, поэтому решим первую. Второе неравенство первой системы справедливо всегда, осталось решить неравенство:

Решение этого неравенства и есть ответ задачи:

Построение графиков функций

В школе на математике мы чаще работаем с цифрами и формулами, чем с чертежами. Пора это исправлять! Чтобы подготовиться к ЕГЭ, нам точно пригодятся графики функции — об этом и поговорим.

24 декабря 2020

· Обновлено 9 декабря 2022

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Графический способ — наглядно.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).

Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Например, естественная область значений функции y = x 2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;

точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.

Найти область допустимых значений функции.

Проверить не является ли функция четной или нечетной.

Проверить не является ли функция периодической.

Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).

Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.

На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Задача 3. Построить графики функций:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

x	y
0	-1
1	2

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

x	y
0	2
1	1

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

x	y
0	0
0	2

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax 2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины

Ветви вверх, следовательно, a > 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.

Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).

y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;

y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;

y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;

y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.

Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.

Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Что такое выколотая точка на графике функции 7 класс

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Есть равнобедренный треугольник АВС и точка М в нем. Угол МАС 10 градусов, МСА 30 градусов, АВС 80 градусов. Нужен угол ВМС и решение. Заранее благодарен

Составить предложения в Present Cont о том, что ваша мама, папа, бабушка, дедушка и вы делаете в канун нового года. К каждому придумать по 3 предложения. Итого у вас должно получится 15 предложений! Использовать можно фразы только уч: стр 46 упр 1. Другие фразы использовать НЕЛЬЗЯ. Если вы не помните, какой глагол ставить впереди, то используйте словарь в конце учебника стр WL5. Пример: Mum is doing the dusting; Grandma is doing the washing-up. 2) Уч: стр 46 упр 2 — контрольное чтение письма. 3) Из письма выписать все предложения, где есть PRESENT Cont..

Что такое выколотая точка на графике функции 7 класс

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

Решение неравенств

А само значение −4 нам подходит?

Ответ: x ∈ ( 0; +oo).

Задача 1. Построить график функции и определить, при каких значениях график функции имеет с графиком 1 общую точку. Построить все такие прямые.

Графиком предложенной функции является парабола, ветви которой направлены вверх и вершина, которую подняли вверх на 4 единицы, лежит на оси ординат. Ее координаты (0;4). Второй график – это прямая, проходящая через начало координат, причем ее наклон может меняться (его определяет коэффициент ). Такая прямая только в одном случае имеет с параболой одну общую точку – если является касательной. Причем, поскольку данная парабола симметрична относительно оси ординат, то к ней можно провести две касательных – с точками касания в первом и третьем квадрантах: Чтобы определить, в какой точке прямая коснется параболы, нужно приравнять обе функции:

Поскольку точка касания – единственная общая точка данных графиков, то дискриминант данного уравнения равен нулю: Откуда и Тогда касание произойдет в точке и симметричной ей точке .

Задача 2. Построить график функции имеет с графиком три или более общие точки.

Строить этот график будем поэтапно: сначала построим график , затем – график функции

Осталось выяснить, в каком же случае прямая – а это прямая, параллельная оси абсцисс – будет иметь три (или же более) общие точки с графиком построенной нами функции. Прямая показана на рисунке зеленым цветом. Видно, что ниже указанного положения прямая будет иметь только две общие точки с графиком. Если , то прямая имеет три точки с графиком – пересекает две его ветви и касается вершины. Выше прямая будет иметь четыре точки пересечения с графиком, однако при точек пересечения уже снова две. Значит, ответ надо записать так: [-1;0)

Задача 3. Построить график функции имеет с ним три и более общие точки.

Также построим график в два этапа: саму параболу (координаты ее вершины (-1;-9)), затем отразим всю часть, лежащую ниже оси х, вверх: Тогда три и более (а именно – четыре) общих точки графики (0;9]

Задача 4. Построить график функции и определить, при каких значениях график функции имеет с ним 2 общие точки.

Координаты вершины параболы: и – именно они, и только они, имеют две общие точки с построенным графиком. Ответ: , .

Задача 5. Построить график функции не имеет с графиком общих точек.

Давайте сначала попробуем упростить данное выражение, кроме того, нужно, безусловно, определить область допустимых значений данной функции. ОДЗ: . Теперь попробуем упростить данное выражение:

Полученная функция – квадратичная, ее графиком является парабола. Данная парабола симметрична относительно оси y, ее вершина имеет координаты (0; 25). Необходимо заметить, что точка с координатами (1; 26) – выколотая точка (по ОДЗ). Тогда прямая, проходящая через начало координат – а именно таким будет график функции , не будет иметь с параболой общих точек в трех случаях: если коэффициент меньше, чем у касательной, расположенной справа, или он больше, чем у касательной, расположенной слева, или искомая прямая проходит прямо через выколотую точку. Наверное, проще найти каков этот коэффициент именно в третьем случае: так как прямая проходит через начало координат, достаточно подставить координаты нашей выколотой точки в уравнение прямой и найти : , откуда . Проверим, не будет ли такая прямая иметь общих точек с параболой. Приравняем . По сумме коэффициентов это уравнение имеет корень 1, но и второй корень – 25, поэтому такая прямая будет иметь еще одну точку пересечения с параболой. В ответ эту прямую мы не включим. Теперь определим коэффициент наклона касательных, для этого приравняем оба уравнения: , и найдем дискриминант, который должен быть равен нулю при наличии единственной общей точки у двух этих графиков функций: Откуда и Тогда касание произойдет в точке и симметричной ей точке . Ответ: , .

Задача 6. Построить график функции .

Определим ОДЗ функции: , . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты (одна из них войдет в ответ). Тогда, если прямая пройдет через выколотую точку, графики не будут иметь общих точек. Найдем : для этого определим ординату выколотой точки: : Ответ: и .

Задача 7. Построить график функции имеет с графиком 1 общую точку.

Определим ОДЗ функции: , . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая пройдет через выколотую точку, графики будут иметь одну общую точку. Найдем : для этого подставим в уравнение прямой абсциссу и ординату выколотой точки: , : Ответ:

Задача 8. Построить график функции имеет с ним 2 общие точки.

Эта функция – функция типа коснется обеих вершинок нашей “дублированной” параболы, то есть – один из ответов. Также, если пересечет обе ветви параболы, то есть все нас устраивают. Ответ: ,.

Задача 9. Построить график функции не имеет с ним общих точек.

Определим ОДЗ исходной функции: . Теперь можно упростить выражение: имеет с ним одну общую точку.

Для того, чтобы построить данный график, необходимо раскрыть модули. С этой целью приравняем подмодульное выражение к нулю, чтобы узнать, в какой точке оно меняет знак: и Нанесем эти точки на числовую прямую и расставим знаки:

У нас получились три интервала, на каждом из которых можно теперь раскрыть модули: 1. 2. 3. Тогда наша функция – кусочно-линейная: .

Зеленым цветом показано одно из возможных положений прямой . При таком расположении прямой , и может расти бесконечно. Заметим, что крайнее положение прямой – при k=1. При таком коэффициенте наклона она параллельна правой и левой частям графика, и имеет с ним одну точку пересечения – точку (0;0). Точно так же коэффициент наклона может быть и отрицательным. При этом коэффициент k=-1 – не войдет в ответ, так как в этом случае функция будет иметь общий отрезок с кусочно-линейной функцией, что не соответствует требованиям задачи. Таким образом,

Ответ: и расположены по одну сторону от оси х?

.

Или же наоборот: . Эти два случая изображены на рисунке:

– решений нет, так как квадрат числа – неотрицателен, и сумма квадрата числа с положительным числом не может быть меньше ноля.

– в этой системе второе неравенство всегда соблюдается, решение первого – , ,

1.

– вторая система решений не имеет, а именно, нет решений у второго неравенства, поэтому решим первую. Второе неравенство первой системы справедливо всегда, осталось решить неравенство:

Решение этого неравенства и есть ответ задачи:

Что такое выколотая точка на графике функции 7 класс

Задача 1. Построим график функции

при х ≠ -1.

Задача 2. Построим график функции

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

x	y
0	-1
1	2

x	y
0	2
1	1

x	y
0	0
0	2

Координата вершины

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

б)

г)

д)

а)

б)

г)

Преобразование в одно действие типа

д)

Закрашенная и незакрашенная точка

Эта ассоциация поможет легко запомнить, выколотая точка или закрашенная на числовой прямой.

Сравните неравенства, при которых точка заштрихована: x≥a или x≤b и неравенства, в которых точка выколотая: x>a, x или Светлана Иванова, 27 Сен 2012

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

• — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: и т.д.;
• — это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: и т.д.

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

• В строгих неравенствах нас не интересуют концы отрезка, поэтому они отмечаются выколотыми точками. Такие точки никогда не входят в ответ, о чем говорят круглые скобки на первом ответе: x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞);
• И наоборот, в нестрогих неравенствах концы отрезка входят в ответ. На графике они отмечаются закрашенными точками, а в ответе указываются квадратными скобками: x ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Решение неравенств

Метод интервалов

Перенос знаков

Выбор точек

Система и совокупность

Точка знакопостоянства

Что нельзя делать в неравенстве, даже под пытками:

1) Домножать на знаменатель.

2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.

3) Убирать бездумно логарифм или основание.

Начнем с простого:

Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:

А само значение −4 нам подходит?

Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()

Разберемся со скобками:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие ( ≥, ≤ ), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:

Ответ: x ∈ ( 0; +oo).

Следующий пример уже с дробью:

Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:

к.ч. (корни числителя)

к.з. (корни знаменателя)

Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки:

Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем:

Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>,

Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности:

Отметим на прямой решение каждого неравенства.

Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.

Мой любимый пример:

Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!

А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:

Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем:

В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».

Перейдем к квадратному уравнению:

Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак:

Нам требуются положительные значения:

Второй способ разложить на множители:

Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).

А теперь простой, но крайне показательный пример:

Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример:

Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:

Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).

В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».

Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!

Ответ: x ∈ R <0>или x ∈ ( − oo; 0) ∪ (0; +oo).

Переходим на новый уровень:

Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)

По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:

Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).

Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.

Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.

Ответ: (−oo; − 6) ∪ <0>∪ [ 3; +oo).

По той же схеме корни числителя и знаменателя:

Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10:

Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.

Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя?