Расчет треугольника по координатам вершин
Этот онлайн калькулятор по введенным координатам вершин вычисляет параметры треугольника: длины сторон, углы, периметр и площадь.
Этот онлайн калькулятор предназначен для быстрого вычисления ряда характеристик треугольника по координатам его вершин. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Калькулятор рассчитывает по координатам следующие величины:
Обозначения треугольника
- длину стороны a — стороны, противолежащей вершине А
- длину стороны b — стороны, противолежащей вершине B
- длину стороны c — стороны, противолежащей вершине C
- значение угла α при вершине A
- значение угла β при вершине B
- значение угла γ при вершине C
- периметр треугольника
- площадь треугольника
Если нужно что-то еще, пишите в комментариях, добавим. Формулы расчета значений треугольника описаны под калькулятором.
Найдите периметр треугольника QPR если известны координаты его вершин Q(-5;-3),P(-2;1),R(2;0)
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками А и B на координатной плоскости с координатами А(х1;у1) и B(х2;у2):
|AB| = √((х1 — х2)² + (у1 — у2)²).
Применяя данную формулу, находим длины сторон треугольника QPR:
|QP| = √((-5 — (-2))² + (-3 — 1)²) = √((-5 + 2)² + (-3 — 1)²) = √((-3)² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5;
|QR| = √((-5 — 2)² + (-3 — 0)²) = √((-7)² + (-3)²) = √(49 + 9) = √58;
|PR| = √((-2 — 2)² + (1 — 0)²) = √((-4)² + (1)²) = √(16 + 1) = √17.
Находим периметр треугольника QPR:
|QP| + |QR| + |PR| = 5 + √58 + √17.
Ответ: периметр треугольника QPR равен 5 + √58 + √17.
Известны координаты вершин треугольника QPR:
- Q (-5; 3),
- P (-2; 1),
- R (2; 0).
Требуется найти периметр треугольника QPR.
Расчетная формула
Периметром треугольника называется сумма длин его сторон. Запишем в виде формулы:
Для нахождения периметра, нужно найти длины сторон треугольника: QP, PR и QR. Т.к. вершины треугольника заданы в координатном виде, то сначала найдем координаты сторон треугольника.
Расчет координат сторон треугольника
Чтобы найти координаты вектора, нужно найти разность соответствующих координат точки конца вектора и начала.
Найдем координаты вектора QP:
- QP (хp – хq; уp – уq);
- QP (-2 – (-5); 1 – 3);
- QP (3; -2).
Найдем координаты вектора PR:
- PR (хr – хp; уr – уp);
- PR (2 – (-2); 0 – 1);
- PR (4; -1).
Найдем координаты вектора QR:
- QR (хr – хq; уr – уq);
- QR (2 – (-5); 0 – 3);
- QR (7; -3).
Расчет длин сторон треугольника
Длина вектора по его координатам вычисляется по формуле:
Найдем квадраты длин сторон треугольника:
- QP 2 = 3 2 + (-2) 2 = 9 + 4 = 13;
- PR 2 = 4 2 + (-1) 2 = 16 + 1 = 17;
- QR 2 = 7 2 + (-3) 2 = 49 + 9 = 58.
Найдем длины сторон треугольника:
- QP = √13;
- PR = √17;
- QR = √58.
Вычислим периметр треугольника
Подставим полученные значения длин сторон треугольника в формулу периметра:
Периметр геометрической фигуры по координатам вершин — как найти?
Как находить периметр геометрических фигур (треугольник, четырёхугольник, многоугольник) по известным координатам вершин?
Какая формула должна использоваться?
Формула для вычисления длины стороны АВ по известным координатам:
Аналогичным образом высчитываются остальные стороны, а затем полученные величины суммируются.
Периметр по координатам
Периметр фигуры — это сумма длин всех её сторон. Чтобы в нашем случае найти длины сторон, нужно воспользоваться формулой длины отрезка по заданным координатам (x1; y1) и (x2; y2):
Последовательно складываем все полученные значения и получаем периметр.
Если в задаче вид фигуры (квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник и т.п.) оговаривается заранее, то находить все длины может и не понадобиться.
Например, периметр квадрата ABCD будет равен 4 * AB, так как у этой фигуры все стороны равны. То есть будет достаточно вычислить, чему равна сторона AB и умножить её на 4.
Рассмотрим несколько примеров.
1) Треугольник ABC имеет координаты A(1,1); B(1,3); C(2,1).
P(ABC) = AB + AC + BC.
BC = √(1² + (-2)²) = √5 ≈ 2,24.
Таким образом, P(ABC) ≈ 2 + 1 + 2,24 = 5,24.
2) Прямоугольник ABCD имеет координаты A(2,1); B(2,4); C(3,4); C(3,1).
P(ABCD) = 2AB + 2BC (так как по определению прямоугольника AB = CD и BC = AD).
Таким образом, P(ABC) = 3 * 2 + 1 * 2 = 8.
Найти периметр по координатам можно и без использования формулы длины отрезка.
Порядок действий такой:
Нужно взять лист бумаги в клетку (или даже миллиметровую бумагу) и начертить систему координат.
Отмечаем на ней все точки и соединяем их линиями.
Затем с помощью линейки измеряем длину каждой линии и складываем все значения.
Как найти периметр треугольника координатами
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин
Периметр — это длина линии, ограничивающей занимаемую плоской геометрической фигурой площадь. Для , как и всех других многоугольников, это ломаная линия, составленная из его всех его сторон. Поэтому задача вычисления периметра треугольника, заданного координатами его вершин, сводится к вычислению длины каждой из сторон с последующим суммированием полученных величин.
Чтобы вычислить длину стороны, рассмотрите вспомогательный треугольник, составленный из самой стороны и двух ее проекций на оси абсцисс и ординат. В этой фигуре две проекции будут образовывать прямой угол — это вытекает из определения прямоугольных координат. Это означает, что они будут катетами в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой будет сама сторона. Ее длину можно вычислить по теореме Пифагора, надо лишь найти длины проекций (катетов). Каждая из проекций представляет собой отрезок, начальная точка которого определена меньшей координатой, конечная — большей, а их разница и будет длиной проекции.
Рассчитайте длину каждой стороны. Если обозначить координаты точек, определяющих треугольник, как A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) и C(X₃,Y₃), то для стороны АВ проекции на оси абсцисс и ординат будут иметь длины X₂-X₁ и Y₂-Y₁, а длина самой стороны в соответствии с теоремой Пифагора будет равна АВ = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²). Длины двух других сторон, рассчитанные через их проекции на оси координат, можно записать так: ВС = √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)²), СА = √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)²).
При использовании трехмерной системы координат в подкоренное выражение, полученное на предыдущем шаге, добавьте еще одно слагаемое, которое должно выражать квадрат длины проекции стороны на ось аппликат. В этом случае координаты точек можно записать так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). А формулы расчета длин сторон примут такой вид: АВ = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)² + (Z₂- Z₁)²), ВС = √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)² + (Z₃-Z₂)²) и СА = √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)² + (Z₃-Z₁)²).
Рассчитайте периметр (Р) треугольника, сложив полученные на предыдущих шагах длины сторон. Для плоской Декартовой системы координат формула в общем виде должна выглядеть так: Р = АВ + ВС + СА = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²) + √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)²) + √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)²). Для трехмерных координат эта же формула должна иметь такой вид: Р = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)² + (Z₂- Z₁)²) + √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)² + (Z₃-Z₂)²) + √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)² + (Z₃-Z₁)²).
Как найти периметр треугольника
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.
Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
В чем измеряется периметр:
Как узнать периметр треугольника
Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.
Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Если известна площадь и радиус вписанной окружности:
P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.
Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:
P = √ b 2 + с 2 — 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.
Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:
P = 3 * a, где a — длина стороны.
Все стороны в равносторонней фигуре равны.
Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.
Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.
Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.
Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.
Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:
P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.
Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.
Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:
P = √ c 2 — a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.
Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.