Как найти точку пересечения прямой и окружности

автор: admin
10.09.2023

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Пересечение прямой и окружности

Последний раз редактировалось Hrundel 02.01.2013, 18:55, всего редактировалось 3 раз(а).

будьте добры, объясните в чем я ошибаюсь. Наверняка глупейшая ошибка и поэтому получаемые результаты не соответствуют ожидаемым.
Задача простая. Даны окружность и прямая:

$K:x^2 + (y -1)^2 = 4$
$$G:\left( <\begin<array><*<20>c> < - 3>\\ 4 \\ \end <array>> \right);\lambda \in \mathbb <R>$» /> нужно: провести параллельно прямой две касательные к кругу (с противоположных сторон) и найти координаты точек касания. Я рассуждал так, что для начала необходимо найти пересечение нормали прямой с окружностью. Для нормали получаем нормированное уравнение прямой<div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

$$g:y = \frac<<4>><3>x + 1$» /> а потом подставить ее в уравнение окружности вместо y то есть <img decoding=$

Во второй формуле (начинающейся с $G:$ ) явно что-то пропущено. Там просто дробь в скобках, а не уравнение прямой. Поясните.

Последний раз редактировалось Hrundel 02.01.2013, 18:45, всего редактировалось 2 раз(а).

Данная запись теперь выглядит один в один как в задаче.
$$G:\left( <\begin<array><*<20>c> < - 3>\\ 4 \\ \end <array>> \right);\lambda \in \mathbb <R>$» /> Лямбда должна указываться для векторно-параметрических уравнений даже если она в данный момент равна 1 Полная запись выглядела бы так: <img decoding=$

Последний раз редактировалось Aritaborian 02.01.2013, 19:08, всего редактировалось 1 раз.

Так. У нас есть угловой коэффициент прямой, равный $\frac43$ (или $-\frac34$ ? Вас не понять). Уравнение семейства прямых с этим угловым коэффициентом — $y=\frac43x+b$ (или соответственно). Находим точки пересечения этой прямой с нашей окружностью. Смотрим, при каких $b$ (их будет две штуки) уравнение имеет кратный корень.

Последний раз редактировалось Hrundel 02.01.2013, 19:19, всего редактировалось 2 раз(а).

Так. У нас есть угловой коэффициент прямой, равный $\frac43$ (или $-\frac34$ ? Вас не понять).

Ну, почему же не понять. Так как мне нужны две касательные параллельные прямой, то не стоит особо мудрить — просто проведем перпендикулярную прямую через центр окружности и получим две точки сечения. Соответственно для перпендикулярной прямой воспользуемся нахождением углового коэффициента как для нормали вектора. То есть:

$\frac43$

И добавим + 1 чтобы поднять прямую до центра окружности.
Я не понимаю кто кому задачу объясняет 🙂 Вы же знакомы с аналитической геометрией? Или нет?

Угловой коэффициент прямой равен отношению ординаты к абсциссе. Угловой коэффициент нормали будет $$\frac<3><4>$» /> BVR , спасибо. Теперь получил <img decoding=$

Вы с самого начала как-то сильно мудрите с действительно простой задачей.
Во-первых, как Вам уже указали, определение прямой в первом сообщении какое-то совсем непонятное. И то, что Вы его написали «один в один как в задаче» не особо помогает. Возможно, задача ориентируется на конкретные лекции, на обозначения, не являющиеся общепринятыми.

Для нормали получаем нормированное уравнение прямой
$$g:y = \frac<<4>><3>x + 1$» /> Это не есть «нормированное уравнение прямой». И на кой Вам эта нормаль? Из Вашей картинки (и только из картинки, а не из странного определения прямой в условии) понятно, что искомые касательные имеют вид <img decoding=$ (где $b$ пока нам не известно). Пересекаем эту прямую с окружностью, как Вы уже делали с нормалью.
Только зачем это было делать с какой-то там нормалью — непонятно. А с касательной — понятно. Получаем уравнение для $x$ : $25x^2-24(b-1)x+9b^2-18b-27=0.$ Решаем его: $$x_<1,2>=\frac<\ldots\pm3\sqrt<-9b^2+18b+91>><25>.$» /> Чуть-чуть думаем: сколько получилось точек пересечения у прямой с окружностью? Может, ноль. Не подходит, это не будет касательная. (А при каком, кстати, условии их ноль?) Может, две. Не подходит, это секущая. (А при каком, кстати, условии их две?) Вот бы одна — это же точно будет касательная! А как сделать, чтобы точка пересечения была одна? Как сделать <img decoding=$ ? При каком условии их будет одна?

Проблема пожалуй только в том, что я учусь в немецком университете и наша программа соответствует Оксфорду. У нас и впрямь все по-другому. Запись матриксов тоже не в квадратных а в круглых скобках. Ну и вообще отличий много. Но в общем и главном — все равно одно и то же.

Тут действительно прошу прощения, так как русскую терминологию не изучал в вузе. Просто решил, что по аналогии должно называться так. Значит — нет.

Последний раз редактировалось Алексей К. 02.01.2013, 23:08, всего редактировалось 3 раз(а).

Это всё мелочи. Вы поняли предложенную мной логику решения задачи? Доделали то, что я не доделал?
(Конечно, не только мной предложенную; просто я уже вынужден был разжевать подробности).

— 03 янв 2013, 00:04:05 —

Про «нормированное уравнение» можно потом поговорить.

Да логику понял, спасибо.

Правда, вопрос о том, как найти расстояние от начала координат до прямой, так и остался открытым.
Будьте добры, если можно еще это объясните.

Пересечение окружности и прямой.Координаты.

Рассмотрим более подробно задачу пересечения окружности и прямой. В принципе само решение есть уже в общем виде Пересечение прямой и кривой второго порядка, но мы рассмотрим и выведем формулы точек пересечения этих двух геометрических объектов.

Уравнение прямой, как мы знаем из материала Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам могут быть заданы в нескольких видах:

— с угловым коэффициентом

— в нормальном виде

Что бы решить нашу первоначальную задачу, использовать будем уравнение прямой с угловым коэффициентом которое имеет вид

Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах

Например в общем виде оно имеет вид

Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой

Мы получили стандартное квадратное уравнение, решив котрое мы получим два значения, которые и будут являтся абсциссами точек пересечения прямой и окружности.

Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.

Таким образом решение найдено.

Для упрощения, для сверки результатов — калькулятор помогает Вам рассчитать эти точки. Интересная особенность состоит в том, что прямая может быть задана в любом виде, хоть виде двух точек.

А уравнение окружности может быть не только введено с помощью коэффицентов, но и в виде пары трех координат через которые, эта окружность будет проходить.

Взаимное расположение прямой и окружности

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на на этой прямой. На рисунке 1 прямая проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

Если прямая не проходит через центр О окружности радиуса , то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием от центра окружности до прямой .

1 случай

. На прямой от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны . Точки А и В по построению лежат на одной прямой (Рис.2).

Проверим, лежат ли точки А и В на окружности.

АНО и ВНО — прямоугольные (т.к. расстояние от точки О до прямой — это перпендикуляр) , следовательно, по теореме Пифагора: и , учитывая то, что ОН = , НА = НВ = , получим:

Поэтому точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой и данной окружности,.

Докажем, что прямая и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С, значит, ОС = (Рис.3).

Тогда медиана ОD равнобедренного ОАС (ОА = ОС = ), проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольникам (по свойству равнобедренного треугольника), поэтому OD . Отрезки ОD и ОН не совпадают, т.к. середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н — серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и ОD) к прямой , что невозможно (т.к. из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один). Следовательно, наше предположение неверно, т.е. точка С не является общей точкой прямой и данной окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (

), то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности (на рисунке 2 прямая — секущая).

2 случай

= . В этом случае ОН = , т.е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (Рис.4).

Прямая и окружность не имеют других общих точек, т.к. для любой точки М прямой , отличной от точки Н, ОМОН = (наклонная ОМ всегда больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (

), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности (на рисунке 4 прямая — касательная).

3 случай

. В этом случае, ОН , поэтому для любой точки М прямой ОМОН (Рис. 5). Следовательно, точка М не лежит на окружности.

Формулы точек пересечения прямой и окружности

— с угловым коэффициентом

— в нормальном виде

Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах

Например в общем виде оно имеет вид

Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой

Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.

Таким образом решение найдено.

Пересечение окружности и прямой формула

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x₀,y₀). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x₀, y₀) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x₀,y₀). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x₀, y₀) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x₀, y₀), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x₀,y₀) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Реализация

Как и было указано в начале описания, предполагается, что окружность расположена в начале координат.

Поэтому входные параметры — это радиус окружности и коэффициенты A,B,C уравнения прямой.

Пересечение окружности и прямой.Координаты.

— с угловым коэффициентом

— в нормальном виде

Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах

Например в общем виде оно имеет вид

Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой

Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.

Таким образом решение найдено.

Пересечение окружности и прямой формула

Найти точки пересечения окружности ( x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 4 и прямой y = 2x.

Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений