Какие числа могут быть сторонами треугольника

Могут ли числа быть сторонами треугольника

Задача 1.
Заданы 3 числа: a, d и с. Узнать могут ли они быть сторонами треугольника и , ясли да, узнать его тип: равнобедренный, односторонний или произвольный.

Определить, могут ли числа быть сторонами треугольника
Заданы числа a, b, c. Определить, могут ли они быть сторонами треугольника, и если да, то.

Определить могут ли три заданных положительных числа быть сторонами прямоугольного треугольника
Даны 3 положительных числа, определить могут ли они быть сторонами прямоугольного треугольника.

Могут ли значения быть сторонами треугольника?
Есть задача: А если они не равны нулю, то даже если каждая будет равна 1, они все равно.

По трем числам определить, могут ли они быть сторонами равностороннего треугольника
Дано три числа, если они могут быть сторонами равностороннего треугольника вычислить площадь

Сообщение от cactus09

6E3HOrNM
Извините, не удержался 🙂

Сообщение от MrGluck
Сообщение от cactus09

Разработать функцию, которая возвращает True, если полученные значения могут быть сторонами треугольника, False – в противном случае
Разработайте функцию, которая получает три вещественных параметра, возвращает в качестве своего.

Определить, могут ли введенные числа А, В, С являться сторонами прямоугольного треугольника
Помогите написать программу на C++ через switch или if Определить, могут ли введенные числа А, В.

Проверить могут ли 3 числа быть длинами сторон прямоугольного треугольника
Введите три числа. Если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, выведите их в.

Написать программу: могут ли три числа быть длинами сторон треугольника?
Решите эту задачу: даны три числа если они могут быть длинами сторон равнобедренного тупоугольного.

Проверить, могут ли три положительных числа a, b, c быть длинами сторон треугольника.
Проверить, могут ли три положительных числа a, b, c быть длинами сторон треугольника.То есть должно.

Введите три числа. Если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника
Добрый вечер, уважаемые фурумчане! У меня возникли кое какие проблемы в задаче. Прошу вас помочь с.

Какие числа могут быть сторонами треугольника

А если они не равны нулю, то даже если каждая будет равна 1, они все равно смогут быть сторонами треугольника. Только если отрицательными, тут вопрос.

Я знаю только теорему о том, что сумма углов треуг. должна быть 180 градусов. А насчет длин сторон не слышал.

во втором приближении могу сказать, что первое приближение — есть условие необходимое и достаточное по модулю. разве, что мы не будем работать с нуль-пространством шутка

. если серъезно, то в декартовой системе x,y могут быть отрицательными, но это не значит, что там треугольник нельзя построить — так что берем все величины по модулю (см. выше).

Автор, классически считается, что программисты очень умные люди, а тут незначие элементарщины из геометрии, стыдно!

По теме : Когда-то давно тоже давали такую задачу, только там еще нужно было проверить, является ли этот треугольник (условие со сторонами выполнено) отсроугольным. решается с помощью теоремы пифагора!

Автор, классически считается, что программисты очень умные люди, а тут незначие элементарщины из геометрии, стыдно!

Есть вариант — проинтегрировать координаты точек сторон, и если общий результат (т. е. площадь) получится положительным — значит есть треугольник.

А если серьёзно, то должен уточнить raxp-а (и согласиться с LeBron-ом): каждая сторона должна быть строго короче суммы других.

Какими могут быть стороны треугольника

Какими могут быть стороны треугольника? Могут ли стороны треугольника быть равными данным числам? Существует ли треугольник со сторонами той или иной длины? . Рассмотрим конкретные задачи.

1) Существует ли треугольник со сторонами

а) 1 см, 2 см, 3 см;

б) 7 см, 10 см, 12 см?

Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем, выполнено ли это условие для каждого отрезка. Для задачи а):

Третье неравенство неверно, следовательно, треугольника со сторонами 1 см, 2 см и 3 см не существует.

Все три условия выполнены, значит, треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 12 см существует.

2) Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 8 см?

Проверяем, выполняется ли неравенство треугольника для каждого из отрезков:

Последнее неравенство не выполнено, поэтому треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см построить нельзя.

3) Какими могут быть стороны треугольника:

б) 11 дм, 15 дм, 30 дм?

Проверяем выполнение неравенства треугольника для каждой тройки отрезков:

Все три неравенства верны, следовательно, стороны треугольника могут быть равными 5 м, 7 м и10 м.

Третье неравенство не является верным, значит, стороны треугольника не могут быть равными 11 дм, 15 дм и 30 дм.

Целочисленный треугольник

Треугольник с целыми длинами сторон Треугольник Герона со стороны c, e и b + d и высотой a, все целые числа.

Целочисленный треугольник или целочисленный треугольник — это треугольник, все стороны которого имеют целые числа. рациональный треугольник можно определить как треугольник, все стороны которого имеют соответствующую длину; такой рациональный треугольник можно целочисленно масштабировать (все стороны могут быть умножены на одно и то же целое число, а именно на общее кратное их знаменателя), чтобы получить этот целочисленный треугольник, поэтому в смысле нет существенной разницы между целочисленными треугольниками и рациональными треугольниками. Однако существуют и другие определения термина «рациональный треугольник»: в 1914 году Кармай употребил этот термин в том смысле, в каком мы сегодня употребляем термин треугольник Герона ; Сомос использует его для обозначения треугольников, соотношение сторон которых рационально; Концентрация рационального треугольника как треугольник с рациональными и рациональными углами, измеряемыми в градусах, и в этом случае рациональным треугольником является равносторонний треугольник с рациональными сторонами.

Существуют различные общие свойства целочисленного треугольника, в первом разделе ниже. Все остальные классы к классам целочисленных треугольников с определенными свойствами.

Содержание

• 1 Общие свойства целочисленного треугольника
  • 1.1очисленные треугольники с заданным периметром
  • 1.2 Целочисленные треугольники с заданной наибольшей стороной
  • 1.3 Площадь целочисленного треугольника
  • 1.4 Целочисленные углы треугольник
  • 1, 5 Разделение сторон по высоте
  • 1,6 Медианы
  • 1,7 Окружность и внутренний радиус
  • 2.1 Общая формула
  • 2.2 Пифагоровы треугольники
    • 2.2.1 Пифагоровы треугольники с целым номер высота от одного угла, равным удвоенному углу
    • 4.1 Целочисленные треугольники с рациональным углом угла
    • 4.2 Целочисленные треугольники с целыми n-секторами всех углов
    • 4.3 Целочисленные треугольники с одним углом и заданным рациональным косинусом
      • 4.3.1 Целочисленные треугольники с углом 60 ° (углы в арифметической прогрессии)
      • 4.3.2 Целочисленные треугольники с углом 120 °
      • 4.4.1 Целочисленные треугольники с одним углом, равным дважды другому
      • 4.4.2 Целочисленные треугольники с одним углом, равным 3/2 другого
      • 4.4.3 Целочисленные треугольники с одним углом, умноженным на три других

      Общие свойства целочисленного треугольника

      Целочисленные треугольники с заданным периметром

      Любая тройка натуральных чисел может служить длинами сторон целочисленного треугольника, если она удовлетворяет условию неравенство треугольника: самая длинная сторона короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка определяет целочисленный треугольник, уникальный с точностью до конгруэнтности. Таким образом, количество целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с периметром p равно количеству разбиений числа p на три положительные части, которые удовлетворяют неравенству треугольника. Это целое число, наиболее близкое к ⁄ 48, когда p четно, и к ⁄ 48, когда p нечетно. Это также означает, что количество целочисленных треугольников с четными периметрами p = 2n такое же, как количество целых треугольников с нечетными периметрами p = 2n — 3. Таким образом, не существует целочисленных треугольников с периметрами 1, 2 или 4, один с периметром 3, 5, 6 или 8 и два с периметром 7 или 10. Последовательность чисел целочисленных треугольников с периметром p, начиная с p = 1, равна:

      0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8. (последовательность A005044 в OEIS )

      Целочисленные треугольники с заданной наибольшей стороной

      Число целочисленных треугольников (с точностью до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой (a, b, c) — это количество целых троек таких, что a + b>c и a ≤ b ≤ c.. Потолок [⁄ 2 ] * Floor [⁄ 2 ]. В качестве альтернативы, для c даже это двойное треугольное число ​⁄2(⁄ 2 + 1), а для нечетного c это квадрат ​⁄4. же означает, что количество целых треугольников с наибольшей стороной c больше целочисленных треугольников сей стороной c — 2 на c. Последовательность количества несовпадающих целочисленных треугольников с наибольшей стороной c, начиная с c = 1, составляет:

      1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42., 49, 56, 64, 72, 81, 90. (последовательность A002620 в OEIS )

      Число целочисленных треугольников (до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целым числом тройка (a, b, c), лежащий на полукруге диаметра c или внутри него, — это количество целых троек таких, что a + b>c, a + b ≤ c и a ≤ b ≤ c. Это также количество целочисленных тупых или правых (неострых) треугольников с наибольшей стороной c. Последовательность, начинающаяся с c = 1, равная:

      0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48. (последовательность A236384 в OEIS )

      , следовательно, разница между двумя вышеуказанными последовательностями дает количество остро-целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c. ся с c = 1, равна:

      1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52. (nce A247588 в OEIS )

      Площадь целочисленного треугольника

      По формуле Герона, если T — площадь треугольника, стороны которого имеют длину a, b и c, то

      Время все термины под радикал в правой части формулы — целые числа, из этого, что все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение 16T, и T будет рациональным.

      Углы целочисленного треугольника

      Поу косинусов каждый угол целочисленного треугольника имеет рациональное косинус.

      Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, один из его углов должен составлять 60 °. Для целочисленных треугольников остальные могут иметь рациональные косинусы, и ниже метод создания таких треугольников. Однако, кроме тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целых треугольников, углы которых образуют геометрическую или гармоническую прогрессию. Это потому, что такие углы должны быть рациональными углами вида ⁄ q с рациональным 0 2 bcs (s — a) b + c <\ displaystyle <\ tfrac <2 <\ sqrt >> >> , где s — полупериметр (и аналогично для биссектрисы остальных углов).

      Сторона, разделенная по высоте

      Любая высота, выпадающая из вершины на противоположную сторону или ее продолжение, разделит эту сторону или ее продолжение на рациональные длины.

      Медианы

      Квадрат удвоения любого медианы целочисленного треугольника является целым числом, потому что общая формула для квадрата медианы m a к стороне a равно (2 b 2 + 2 c 2 — a 2) 4 <\ displaystyle <\ tfrac <(2b ^ <2>+ 2c ^ <2>-a ^ <2>)> <4>>> , что дает (2m a) = 2b + 2c — a (и то же самое для медиан с других сторон).

      Окружной радиус и внутренний радиус

      Форма квадратной площади целочисленный треугольника является рациональным, квадрат его описанного радиуса также является рациональным, как и квадрат inradius.

      Отношение Радиуса внутреннего к окружному радиусу целочисленный треугольник является рациональным и равно 4 T 2 sabc <\ displaystyle <\ tfrac <4T ^ <2>> >> для полупериметра s и площади T.

      Произведение внутреннего радиуса и описанного радиуса целочисленного треугольника рациональным, равным abc 2 (a + b + c). <\ displaystyle <\ tfrac <2 (a + b + c)>>.>

      Таким образом, квадратное расстояние между центром и описанной окружности целого числа треугольник, заданный теоремой Эйлера как R — 2Rr, является рациональным.

      Треугольники Герона

      Все треугольники Герона могут быть размещены на решетке с каждой вершиной в точке решетки.

      Общая формула

      Треугольник Герона, также известный как треугольник Герона или треугольник Героя, представляет собой треугольник с целыми сторонами и целой площадью. Каждый треугольник Герона имеет стороны, пропорциональные

      для целых чисел m, n и k с учетом ограничений:

      Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным pq <\ disp Laystyle <\ frac

      >> где q = gcd (a, b, c) <\ displaystyle q = \ gcd <(a, b, c)>> уменьшает сгенерированный треугольник Герона до его примитива, а p <\ displaystyle p>масштабирует этот примитив до необходимого размера.

      Треугольники Пифагора

      Треугольник Пифагора прямоугольный и геронический. Его три целые стороны известны как тройка Пифагора, тройка Пифагора или триада Пифагора . Все пифагоровы тройки (a, b, c) <\ displaystyle (a, b, c)>с гипотенузой c <\ displaystyle c>, которые являются примитив (стороны, не имеющие общего множителя) могут быть сгенерированы с помощью

      где m и n — взаимно простые целые числа, и одно из них четное с m>n.

      Каждое четное число больше 2 может быть катетом треугольника Пифагора (не обязательно примитивным), потому что, если катет задан как a = 2 m <\ displaystyle a = 2m>и выбираем b = (a / 2) 2-1 = m 2-1 <\ displaystyle b = (a / 2) ^ <2>-1 = m ^ <2>-1> в качестве другого отрезка гипотенуза равна c = m 2 + 1 <\ displaystyle c = m ^ <2>+1> . По сути, это формула генерации, приведенная выше, где n <\ displaystyle n>установлено в 1 и позволяет m <\ displaystyle m>изменить значение от 2 до бесконечности.

      Треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы

      Не существует примитивных треугольников Пифагора с целой высотой от гипотенузы. Это потому, что удвоенная площадь равна любому основанию, умноженному на соответствующую высоту: удвоенная площадь, равна как ab, так и cd, где d — высота от гипотенузы c. Три стороны примитивного треугольника взаимно просты, поэтому d = ⁄ c находится в полностью сокращенной форме; как c не может быть равно 1 для любого примитивного треугольника Пифагора, d не может быть целым числом.

      Однако любой треугольник Пифагора с катетами x, y и гипотенузой z может сгенерировать треугольник Пифагора с целочисленной высотой путем увеличения сторон на длину гипотенузы z. Если d — высота, то сгенерированный треугольник Пифагора с целой высотой задается как

      Следовательно, все треугольники Пифагора с катетами a и b, гипотенузой c и целой высотой d от гипотенузы, с НОД (a, b, c, d) = 1, которые обязательно имеют как a + b = c, так и 1 a 2 + 1 b 2 = 1 d 2 <\ displaystyle <\ tfrac <1>>> + <\ tfrac <1>>> = < \ tfrac <1>>>> , серия по

      a = (m 2 — n 2) (m 2 + n 2), <\ displaystyle a = (m ^ <2>-n ^ <2>) (m ^ <2>+ n ^ <2>), \,> b = 2 mn (m 2 + n 2), <\ displaystyle b = 2mn ( m ^ <2>+ n ^ <2>), \,> c = (m 2 + n 2) 2, <\ displaystyle c = (m ^ <2>+ n ^ <2>) ^ < 2>, \,> d = 2 мин (м 2 — n 2), <\ displaystyle d = 2mn (m ^ <2>-n ^ <2>), \,> Полупериметр = m (m + n) (m 2 + n 2) <\ displaystyle <\ text > знак равно m (m + n) (m ^ <2>+ n ^ <2>) \,> Площадь знак равно mn (m 2 — n 2) (m 2 + n 2) 2 <\ displaystyle <\ text > = mn (m ^ <2>-n ^ <2>) (m ^ <2>+ n ^ <2>) ^ <2>\,>

      для взаимно простых целых чисел m, n с m>п.

      Треугольники Герона со стороны арифметической прогрессии

      Треугольник с целыми сторонами и целой площадью имеет стороны в аметической прогрессии тогда и только тогда, когда стороны равны (b — d, b, b + d), где

      b = 2 (m 2 + 3 n 2) / g, <\ displaystyle b = 2 (m ^ <2>+ 3n ^ <2>) / g, \,> d = ( m 2 — 3 n 2) / g, <\ displaystyle d = (m ^ <2>-3n ^ <2>) / g, \,>

      и где g — наибольший общий делитель m 2– 3 n 2, <\ displaystyle m ^ <2>-3n ^ <2>,> 2 mn <\ displaystyle 2mn>и m 2 + 3 n 2. <\ displaystyle m ^ <2>+ 3n ^ <2>.>

      Треугольники Герона с одним углом, равным удвоенным углом

      Все треугольники Герона с B = 2A генерируются либо

      a = к 2 (s 2 + r 2) 2 4, <\ displaystyle a = <\ tfrac (s ^ <2>+ r ^ <2>) ^ <2>> <4>>, \,> б знак равно К 2 (s 4 — r 4) 2, <\ displaystyle b = <\ tfrac (s ^ <4>-r ^ <4>)> <2>>, \,> с = К 2 (3 s 4 — 10 s 2 r 2 + 3 r 4) 4 <\ displaystyle c = <\ tfrac (3s ^ <4>-10s ^ <2>r ^ <2>+ 3r ^ <4>)> <4>> \,> Площадь = k 2 csr (s 2 — r 2) 2 <\ displaystyle < \ text > = <\ tfrac csr (s ^ <2>-r ^ <2>)> <2>> \,>

      с целыми числами k, s, r такими, что s>3r или

      a = q 2 (u 2 + v 2) 2 4 <\ displaystyle a = <\ tfrac (u ^ <2>+ v ^ <2>) ^ <2>> <4>> \,> , b = q 2 uv (u 2 + v 2) <\ displaystyle b = q ^ <2>uv (u ^ <2>+ v ^ <2>) \,> , c = q 2 (14 u 2 v 2 — u 4 — v 4) 4 <\ displaystyle c = <\ tfrac (14u ^ <2>v ^ <2>— u ^ <4>-v ^ <4>)> <4>> \,> , Площадь = q 2 cuv (v 2 — u 2) 2 <\ displaystyle <\ text > = <\ tfrac cuv (v ^ <2>-u ^ <2>)> <2>> \,> ,

      с целыми числами q, u, v такие, что v>u и v a = 2 (u 2 — v 2), <\ displaystyle a = 2 (u ^ <2>-v ^ <2>),> б знак равно U 2 + v 2, <\ displaystyle b = u ^ <2>+ v ^ <2>,> c = u 2 + v 2, <\ displaystyle c = u ^ <2>+ v ^ < 2>,>

      . для взаимно простых целых чисел u и v с u>v и u + в странный.

      Треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого

      Было показано, что треугольник Герона, периметр которого в четыре раза больше простого числа, однозначно связано с простым числом, простое число имеет вид 1 или 3 по модулю 8 <\ displaystyle 1 <\ text <или>> 3 <\ text > 8> . Хорошо известно, что такое простое число p <\ displaystyle p>может быть однозначно разделено на целые числа m <\ displaystyle m>и n < \ displaystyle n>такая, что p = m 2 + 2 n 2 <\ displaystyle p = m ^ <2>+ 2n ^ <2>> (см. Идонеальные числа Эйлера ). Кроме того, было показано, что такие треугольники Герона примитивны, поскольку наименьшая сторона треугольника должна быть штриху, составляющему четверть его периметра.

      Следовательно, все примитивные треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого числа, могут быть сгенерированы с помощью

      a = m 2 + 2 n 2 <\ displaystyle a = m ^ <2>+ 2n ^ <2>> b = m 2 + 4 n 2 <\ displaystyle b = m ^ <2>+ 4n ^ <2>> c = 2 (m 2 + n 2) <\ displaystyle c = 2 (m ^ <2>+ n ^ <2>)> Полупериметр = 2 a = 2 (m 2 + 2 n 2) <\ displaystyle <\ text > = 2a = 2 (m ^ <2>+ 2n ^ <2>)> Площадь = 2 мин (м 2 + 2 n 2) <\ displaystyle <\ text > = 2 мин (m ^ <2>+ 2n ^ <2 >)>

      для целых чисел m <\ displaystyle m>и n <\ displaystyle n>таких, что m 2 + 2 n 2 <\ displaystyle m ^ <2>+ 2n ^ <2>> — простое число.

      Кроме того, факторизация площади равна 2 mnp <\ displaystyle 2mnp>, где p = m 2 + 2 n 2 <\ displaystyle p = m ^ <2 >+ 2n ^ <2>> простое число. Однако площадь треугольника Герона всегда делится на 6 <\ displaystyle 6>. Это дает результат, кроме случаев, когда m = 1 <\ displaystyle m = 1>и n = 1, <\ displaystyle n = 1,>который дает p = 3, <\ displaystyle p = 3,>все остальные сопряжения m <\ displaystyle m>и n <\ displaystyle n>должен иметь m <\ displaystyle m>нечетное, только один из них должен делиться на 3 <\ displaystyle 3>.

      треугольники Герона с целым числом inradius и exradii

      Существует бесконечно много разложимых и бесконечно много неразложимых примитивных треугольников Герона (непифагорова) с целыми радиусами для вписанной окружности и каждой вневписанной окружности. Семейство разложимых единиц задается формулой

      a = 4 n 2, b = (2 n + 1) (2 n 2 — 2 n + 1), c = (2 n — 1) (2 n 2 + 2 п + 1), <\ displaystyle a = 4n ^ <2>, \ quad \ quad b = (2n + 1) (2n ^ <2>-2n + 1), \ quad \ quad c = (2n-1) (2n ^ <2>+ 2n + 1),> r = 2 n — 1, ra = 2 n + 1, rb = 2 n 2, rc = Площадь = 2 n 2 (2 n — 1) ( 2 п + 1); <\ displaystyle r = 2n-1, \ quad \ quad r_ = 2n + 1, \ quad \ quad r_ = 2n ^ <2>, \ quad \ quad r_ = <\ text < Площадь>> = 2n ^ <2>(2n-1) (2n + 1);>

      , а набор неразложимых элементов задается формулой

      a = 5 (5 n 2 + n — 1), b Знак равно (5 n + 3) (5 n 2 — 4 n + 1), с = (5 n — 2) (5 n 2 + 6 n + 2), <\ displaystyle a = 5 (5n ^ <2>+ n-1), \ quad \ quad b = (5n + 3) (5n ^ <2>-4n + 1), \ quad \ quad c = (5n-2) (5n ^ <2>+ 6n + 2),> r = 5 n — 2, ra = 5 n + 3, rb = 5 n 2 + n — 1, rc = Area = (5 n — 2) (5 n + 3) (5 n 2 + п — 1). <\ displaystyle r = 5n-2, \ quad \ quad r_ = 5n + 3, \ quad \ quad r_ = 5n ^ <2>+ n-1, \ quad \ quad r_ = <\ text > = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ <2>+ n-1).>

      Треугольники Герона как грани тетраэдра

      Существуют тетраэдры, имеющие целочисленный объем и треугольники Герона в качестве граней. В одном примере одна кромка 896, противоположная кромка 190 и четыре других кромки 1073; две грани имеют площадь 436800, а две другие имеют площади 47120, а объем равен 62092800.

      треугольники Герона в двумерной решетке

      двумерная решетка представляет собой регулярный массив изолированных точек, где если какая-либо одна точка выбрана в качестве декартовой системы координат (0, 0), то все другие точки находятся в (x, y), где x и y изменяются по всем положительным и отрицательным целые числа. Решетчатый треугольник — это любой треугольник, нарисованный внутри двумерной решетки, все вершины которого лежат в точках решетки. Согласно теореме Пика решетчатый треугольник имеет рациональную площадь, которая либо является целым числом, либо имеет знаменатель 2. Если решетчатый треугольник имеет целые стороны, то он является Героновым с целой площадью.

      Кроме того,, было доказано, что все треугольники Герона можно нарисовать в виде решетчатых треугольников. Следовательно, целочисленный треугольник является героновским тогда и только тогда, когда его можно нарисовать как решетчатый треугольник.

      Существует бесконечно много примитивных треугольников Герона (непифагорова), которые могут быть размещены на целочисленной решетке со всеми вершинами, смещением и всеми тремя выходами в точки решетки. Два семейства таких треугольников — это те, параметризация которых дана выше в # Треугольники Эрона с целым inradius и exradii.

      Целочисленные автомедианные треугольники

      Автомедианный треугольник — это треугольник, медианы которого находятся в одинаковых пропорциях (в обратный порядок) в качестве сторон. Если x, y и z — три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания по размеру, и если 2x a = | м 2 — 2 м n — n 2 | <\ displaystyle a = | m ^ <2>-2mn-n ^ <2>|> b = m 2 + 2 mn — n 2 <\ displaystyle b = m ^ <2>+ 2mn-n ^ < 2>> c = m 2 + n 2 <\ displaystyle c = m ^ <2>+ n ^ <2>>

      с m <\ displaystyle m>и n <\ displaystyle n>взаимно простое и m + n <\ displaystyle m + n>нечетное и n (если количество внутри абсолютного значения знаки отрицательны) или m>(2 + 3) n <\ displaystyle m>(2 + <\ sqrt <3>>) n> (если это количество положительное) для удовлетворения неравенства треугольника .

      Важной характеристикой автомедианного треугольника является то, что квадраты его сторон образуют арифметическую прогрессию. В частности, c 2 — a 2 = b 2 — c 2 <\ displaystyle c ^ <2>-a ^ <2>= b ^ <2>-c ^ <2>> поэтому 2 c 2 = a 2 + b 2 < \ displaystyle 2c ^ <2>= a ^ <2>+ b ^ <2>> .

      Целочисленные треугольники с определенными угловыми свойствами

      Целочисленные треугольники с биссектрисой рационального угла

      Семейство треугольников с целыми сторонами a, b, c <\ displaystyle a, b, c>и с рациональная биссектриса d <\ displaystyle d>угла A определяется выражением

      Целочисленные треугольники с целыми n секторами всех углов

      Существует бесконечно много непохожих треугольников, в которых три стороны и биссектрисы каждого из трех углов являются целыми числами.

      Существует бесконечно много непохожих треугольников, в которых три стороны и два трисектора каждого из трех углов являются целыми числами.

      Однако для n>3 не существует треугольников, у которых три стороны и (n – 1) n-секторов каждого из трех углов являются целыми числами.

      Целочисленные треугольники с одним углом и данным рациональным косинусом

      Некоторые целочисленные треугольники с одним углом при вершине A с заданным рациональным косинусом h / k (h 0; k>0) задаются формулой

      a = p 2 — 2 pqh + q 2 k 2, <\ displaystyle a = p ^ <2>-2pqh + q ^ <2>k ^ <2>,> b = p 2 — q 2 k 2, <\ displaystyle b = p ^ <2>-q ^ <2>k ^ <2>,> c = 2 qk (p — qh),

      где p и q — любые взаимно простые положительные целые числа такие, что p>qk.

      Целочисленные треугольники с углом 60 ° (углы в арифметической прогрессии)

      Все целочисленные треугольники с углом 60 ° имеют свои углы в арифметической прогрессии. Все такие треугольники пропорциональны:

      с взаимно простыми целыми числами m, n и 1 ≤ n ≤ m или 3m ≤ n. Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a, b и c на их наибольший общий делитель.

      Целочисленные треугольники с углом 60 ° также могут быть созданы с помощью

      с взаимно простыми целыми числами m, n с 0 m = — n (mod 3) <\ displaystyle m = -n \ (mod \ 3)>, затем gcd (a, b, c) = 3 <\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3>, иначе gcd (a, b, в) знак равно 1 <\ Displaystyle НОД (а, Ь, с) = 1>. Две разные пары (m, n) <\ displaystyle (m, n)>и (m, m — n) <\ displaystyle (m, mn)>генерировать ту же тройку. К сожалению, обе пары могут иметь gcd = 3, поэтому мы не можем избежать дублирования, просто пропустив этот случай. Вместо этого дублирования можно избежать, если n <\ displaystyle n>пройти только до m / 2 <\ displaystyle m / 2>. Нам все равно нужно разделить на 3, если gcd = 3. Единственное решение для n = m / 2 <\ displaystyle n = m / 2>с указанными выше ограничениями — (3, 3, 3) ≡ (1, 1, 1) <\ displaystyle (3,3,3) \ Equiv (1,1,1)>для m = 2, n = 1 <\ displaystyle m = 2, n = 1>. С помощью этого дополнительного ограничения n ≤ m / 2 <\ displaystyle n \ leq m / 2>все тройки могут быть сгенерированы однозначно.

      Тройка Эйзенштейна — это набор целых чисел, которые представляют собой длины сторон треугольника, в котором один из углов равен 60 градусам.

      Целочисленные треугольники с углом 120 °

      Целочисленные треугольники с углом 120 ° могут быть созданы с помощью

      с взаимно простыми целыми числами m, n с 0 m = n (mod 3) <\ displaystyle m = n \ (mod \ 3)>, затем gcd (a, b, c) = 3 <\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3>, в противном случае gcd (a, b, c) = 1 <\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1>. Поскольку наибольшая сторона a может быть сгенерирована только с помощью одной пары (m, n) <\ displaystyle (m, n)>, каждая примитивная тройка может быть сгенерирована ровно двумя способами: один раз напрямую с НОД = 1 и один раз косвенно с НОД = 3. Следовательно, чтобы однозначно сгенерировать все примитивные тройки, можно просто добавить дополнительное условие m ≠ n (mod 3) <\ displaystyle m \ neq n \ (mod \ 3)>.

      Целочисленные треугольники с одним углом, равным произвольному рациональному числу, умноженному на другой угол

      Для положительных относительно простых целых чисел h и k треугольник со следующими сторонами имеет углы h α <\ displaystyle h \ альфа>, к α <\ displaystyle k \ alpha>и π — (h + k) α <\ displaystyle \ pi - (h + k) \ alpha>и, следовательно, два угла в отношении h: k, а его стороны — целые числа:

      a = qh + k — 1 sin ⁡ h α sin ⁡ α = qk ⋅ ∑ 0 ≤ i ≤ h — 1 2 (- 1) я (час 2 я + 1) ph — 2 i — 1 (q 2 — p 2) i, <\ displaystyle a = q ^ <\ frac <\ sin h \ alpha ><\ sin \ alpha>> = q ^ \ cdot \ sum _ <0 \ leq i \ leq <\ frac <2>>> (- 1) ^ <\ binom <2i + 1>> p ^ (q ^ <2>-p ^ <2>) ^ ,> b = qh + k — 1 sin ⁡ k α sin ⁡ α = qh ⋅ ∑ 0 ≤ i ≤ k — 1 2 (- 1) i (k 2 i + 1) pk — 2 i — 1 (q 2 — p 2) i, <\ displaystyle b = q ^ <\ frac <\ sin k \ alpha><\ sin \ alpha>> = q ^ \ cdot \ sum _ <0 \ leq i \ leq <\ frac <2>>> (- 1) ^ <\ binom <2i + 1>> p ^ (q ^ <2>-p ^ <2>) ^ ,> c = qh + k — 1 sin ⁡ (h + k) α sin ⁡ α = ∑ 0 ≤ i ≤ h + k — 1 2 (- 1) i ( час + К 2 я + 1) пн + К — 2 я — 1 (д 2 — п 2) я, <\ Displaystyle с = д ^ <ч + к-1> <\ гидроразрыва <\ грех (ч + к) \ alpha><\ sin \ alpha>> = \ sum _ <0 \ leq i \ leq <\ frac <2>>> (- 1) ^ <\ binom <2i + 1>> p ^ (q ^ <2>-p ^ <2>) ^ ,>

      где α = cos — 1 ⁡ pq <\ displaystyle \ alpha = \ cos ^ <- 1> <\ frac

      >> , а p и q — любые относительно простые целые числа, такие что cos ⁡ π h + k .

      Целочисленные треугольники с одним углом, равным дважды другому

      С углом A на противоположной стороне a <\ displaystyle a>и углом B на противоположной стороне b < \ displaystyle b>, некоторые треугольники с B = 2A генерируются с помощью

      с целыми числами m, n такими, что 0 a (a + c) = b 2 <\ displaystyle a (a + c) = b ^ <2>> .

      Целочисленные треугольники с одним углом, равным 3/2, умноженным на другой

      Класс эквивалентности подобных треугольников с B = 3 2 A <\ displaystyle \ B = <\ tfrac <3><2>> A> генерируются с помощью

      Все треугольники с B = 3 2 A <\ displaystyle \ B = <\ tfrac <3><2>> A> (с целыми сторонами или без) удовлетворяют (b 2 — a 2) (b 2 — a 2 + bc) = a 2 c 2 <\ displ aystyle \ (b ^ <2>-a ^ <2>) (b ^ <2>-a ^ <2>+ bc) = a ^ <2>c ^ <2>> .

      Целочисленные треугольники с одним углом трижды еще

      Мы можем сгенерировать полный класс эквивалентности аналогичных треугольников, удовлетворяющих B = 3A, используя формулы

      где m <\ displaystyle m>и n < \ displaystyle n>— целые числа такие, что 2 n .

      Все треугольники с B = 3A (независимо от того, имеют ли они целые стороны или нет) удовлетворяют ac 2 = (b — a) 2 ( b + a) <\displaystyle ac^<2>=(ba)^<2>(b+a)> .

      Integer triangles with three rational angles

      The only integer triangle with three rational angles ( rational numbers of degrees, or equivalently rational fractions of a full turn) is the equilateral triangle. This is because integer sides imply three rational cosines by the law of cosines, and by Niven’s theorem a rational cosine coincides with a rational angle if and only if the cosine equals 0, ±1/2, or ±1. The only ones of these giving an angle strictly between 0° and 180° are the cosine value 1/2 with the angle 60°, the cosine value –1/2 with the angle 120°, and the cosine value 0 with the angle 90°. The only combination of three of these, allowing multiple use of any of them and summing to 180°, is three 60° angles.

      Integer triangles with integer ratio of circumradius to inradius

      Conditions are known in terms of elliptic curves for an integer triangle to have an integer ratio N of the circumradius to the inradius. The smallest case, that of the equilateral triangle, has N=2. In every known case, N ≡ 2 (mod 8)—that is, N–2 is divisible by 8.

      5-Con triangle pairs

      Пара треугольников 5-Con — это пара треугольников, которые подобны, но не конгруэнтны и которые имеют три угла и две стороны. Примитивные целочисленные треугольники 5-Con, в которых четыре различных целочисленных стороны (две стороны, каждая из которых появляется в обоих треугольниках и одна другая сторона в каждом треугольнике) не имеют общего делителя, имеют тройки сторон

      для положительных взаимно простых целых чисел x и y. Самый маленький пример — пара (8, 12, 18), (12, 18, 27), порожденная x = 2, y = 3.

      Похожие публикации:

      1. Где в окне расположены полосы прокрутки
      2. Как из гугл фото перенести фото в галерею на андроид
      3. Как подписать документ на айфоне в ворде
      4. Чем открыть файл enc на компьютере