Как найти координаты вектора в новом базисе

Линейные (векторные) n — мерные пространства

n-мерный вектор и векторное пространство

Множество всех векторов, которые мы рассматривали на плоскости или в пространстве и для которых определены операции сложения векторов, умножение вектора на число являются простыми примерами векторного пространства.

Определение 1. Упорядоченное множество n действительных чисел, записанных в виде (a₁, a₂, a₃, . a_n) называется n- мерным вектором. Числа a₁, a₂, a₃, . a_n называются координатами вектора , то есть = (a₁, a₂, a₃, . a_n).
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором = (a₁, a₂, a₃, . a_n), а соответственно цены — вектором = (b₁, b₂, b₃, . b_n).

Если у n-мерного вектора одна координата равна единице, а все остальные равны нулю, то такой вектор называется единичным. Очевидно, что существует n различных единичных векторов

исходящих из начала координат — точки О. Все определения и действия для двумерных и трехмерных векторов, заданных в координатной форме, распространяются и на n-мерные векторы (n ≥ 4).

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие компоненты равны.

Вектор = (a₁, a₂, a₃, . a_n) и вектор = (b₁, b₂, b₃, . b_n) равны, когда a_i = b_i (i = 1, 2, 3, . n).

Суммой двух n-мерных векторов и есть третий n-мерный вектор , координаты которого равны сумме соответствующих одноименных координат векторов и , то есть с_i = a_i + b_i (i = 1, 2, 3, . n).

Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , координаты которого d_i равны произведению числа λ на соответствующие координаты вектора , то есть d_i = λa_i (i = 1, 2, 3, . n).
Вектор, у которого все координаты равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается

Операции над произвольными векторами удовлетворяют свойствам:
1. — переместительный закон;
2. — сочетательный закон;
3. — сочетательный закон, относительно числового множителя;
4. — распределительный закон относительно суммы векторов;
5. — распределительный закон относительно суммы числовых множителей.
6. Существует нулевой вектор , такой, что для произвольного вектора ;
7. Для произвольного вектора существует противоположный вектор , такой, что

8. , для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными координатами, в
котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие выше приведенным восьми свойствам, называется векторным пространством.

Замечания. Если под векторами и можно рассматривать элементы произвольной природы, то соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством, например, множество всех алгебраических многочленов, степени которых не превышают натуральное число n. Если множество всех многочленов точно равно натуральному числу n, то не будет линейным пространством, потому что сумма двух многочленов может оказаться многочленом, степень которого меньше n.

Линейные (векторные) n — мерные пространства

Линейные -мерные пространства: основные определения:

В школьном курсе математики понятие вектора обозначалось как направленный отрезок. Положение (расположение) вектора на прямой плоскости или в пространстве описывалось соответственно одним, двумя, тремя числами — координатами вектора.

Математический подход к изучению различных явлений (процессов) окружающего мира, в том, числе и экономических, требует обобщения понятия вектора, связано с увеличением количества его координат. Такое обобщение не подразумевает геометрической интерnретации, но является удобным для математического моделирования.

Вектором размерности , или -мерных вектором , называется совокупность вещественных чисел упорядоченных по номеру , а числа — его координатами. Обозначают п-мерные векторы маленькой буквой латинского алфавита с значком вектора — чертой — сверху, или выделяют ее жирным шрифтом, а координаты вектора записывают в круглых скобках в столбец или в строку:

Согласно определению -измеримый вектор можно рассматривать как матрицу-столбец размера , или как матрицу-строку размера и, наоборот названные матрицы — рассматривать как векторы. Итак, для -мерных векторов остаются в силе введенные для матриц определения и действия над матрицами.

Нулевым вектором , или ноль-вектором, называется -мерный вектор, все координаты которого равны нулю:

Два вектора и одной размерности называются равными, если совпадают их координаты с одинаковыми индексами:

Линейные операции над n — измеримыми векторами

1. Суммой -мерных векторов и называется вектор той самой размерности, каждая координата которого определяется как сумма координат векторов-слагаемых, имеющих одинаковые индексы:

Следовательно:

Следствие. Для любого вектора имеем:

2. Произведением вектора со скаляром называется вектор , каждая координата которого является произведением координаты вектора с постоянной :

Следствие. Если и скаляр Для любого вектора и скаляра имеем:

Векторы и называются противоположными друг другу, или взаимно противоположными, если иx соответствующие координаты отличаются множителем , то есть

Суммой взаимно противоположных векторов есть нулевой вектор той же размерности.

Разность векторов и рассматривают как сумму вектора и вектора , противоположного вектору

Векторы называются коллинеарными, если для любого выполняется равенство . Согласно определению координаты коллинеарных векторов, имеют одинаковые индексы, пропорциональные:

где или

Если то геометрически это означает, что векторы лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.

В частном случае, когда , получаем равные векторы. Результатом выполнения линейных операций над -мерными векторами являются векторы той же размерности, что и выходные векторы. Как и действия над матрицами, линейные операции над векторами подчиняются ассоциативном (связующем), коммутативной (переставной) и дистрибутивному (распределительном) законам:

где -мерные векторы; — стали.

Совокупность всех -мерных векторов с действительными координатами, для которых определены линейные операции (4.3) — (4.4), называется -мерных (линейными) векторным пространством и обозначается .

Скалярное произведение двух векторов

Аналогично тому, как рассматривался произведение матриц вводят понятие скалярного произведения векторов -мерного линейного пространства. Напомним, что условием существования произведения матриц является равенство количества столбцов первой матрицы и количества строк дpyгoй матрицы. Это требование выполняется, если рассматривать произведение вектора строки на вектор-столбец , принадлежащих пространству одной размерности.

Скалярным произведением двух -мерных векторов называется число, равное сумме произведений иx одинаковых по номеру координат, и обозначается символом

Действие умножения для получения скалярного произведения обозначают точкой между векторами:

Произведение называют скалярным квадратом вектора.

На основе скалярного произведения приведем определение понятий, которые вводились для векторов размерностью , а именно длина вектора и угол между двумя векторами.

Длиной или модулем, -мерного вектора называется арифметический квадратный корень из его скалярного квадрата:

Единичным -мерным вектором, или ортом, называется вектор , коллинеарной заданном вектора , длина которого равна единице:

Возведение любого ненулевого вектора к единичному называется его нормированием.

Среди единичных векторов выделяют векторы, для которых одна из координат равна единице, а все остальные — нулю. Такие векторы обозначают маленькой буквой с индексом, что указывает на номер координаты, равной единице. В пространстве существует различных -мерных единичных векторов:

В частности, в трехмерном пространстве эти векторы называются ортами координатных осей, они имеют собственные обозначения:

Кутом между двумя векторами и называется кут , который определяется соотношением:

Согласно (4.9) скалярное произведение можно рассматривать как общую числовую характеристику двух векторов.

Свойства скалярного произведения:

Линейное пространство, для которого определено скалярное произведение векторов со свойствами (4.10), называется евклидовым пространством.

В тeopии линейных пространств любое множество векторов одинаковой размерности называется системой векторов.

Пусть имеем систему, которая состоит из векторов, принадлежащих пространства . (Измеримость пространства обозначено через в отличие от обозначения через количества векторов системы.) Систему векторов, имеющих размерность , можно рассматривать как матрицу размером , столбцами которой являются -мерные векторы, и наоборот:

С помощью этой системы векторов систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными можно представить в вeктopний форме:

Действительно, если по правилам сложения векторов и умножения на скаляр умножить каждый вектор по координатам на а затем записать сумму результатов и приравнять координаты полученных векторов в левой и правой частях, то придем к системе линейных алгебраических уравнений ( 1.6). Решением такой системы будет -мерный вектор

Замечания. На основе тeopии -мерных линейных пространств можно построить всю теорию матриц, в частности матричную алгебру, теорию систем линейных алгебраических уравнений и др. Поэтому линейной алгеброй, основы которой мы рассматриваем, называют раздел математики, объектом изучения которого являются линейные (векторные) пространства, а предметом — разработка соответствующих алгебраических методов для установления свойств пространств в целом и иx элементов в частности.

Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется система векторов , принадлежащие пространству и действительные числа (скаляры) . Произвольное -мерный вектор , называют линейной комбинацией векторов системы, если его можно представить в виде суммы произведений чисел на вектор и :

Векторы называются линейно зависимыми, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других. В противном случае, когда в системе векторов нет ни одного, который был бы линейной комбинацией других, векторы называются линейно независимыми.

Теорема 4.1 (про линейную зависимость системы векторов). Если среди чисел , где , не все равны нулю, и выполняется равенство

то система векторов является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть в равенстве (4.14) среди чисел существуют числа, отличающиеся от нуля. Выберем одно из них, неважно какое. Пусть этим числом будет . Умножим левую и правую части равенства (4.14) на

а согласно (4.13) это означает, что система векторов является линейно зависимой, поскольку вектор является линейной комбинацией других векторов системы.

Последствие из теоремы 4.1 (о линейной независимости системы векторов).

Система векторов есть линейно независимой, если векторное равенство

выполняется только в случае (все числа равны нулю).

Доказательство. Предположим, что система векторов линейно независима, и при этом существуют , где . Тогда из теоремы 4.1 получим линейную зависимость системы векторов, которая противоречит условию.

Одной из основных задач теории линейных пространств является задача исследования системы векторов на линейную независимость, то есть выяснения вопрос о том, какова есть заданная система векторов — линейно зависимой или линейно независимой.

Решение этой задачи сводится к решению систем линейных уравнений.

Запишем равенство (4.14) в координатной форме:

выполним умножение векторов системы на скаляры найдем сумму полученных произведений и приравняем координаты векторов левой и правой частей равенства, что дает систему однородных линейных уравнений относительно постоянных :

По следствием из теоремы 4.1 система векторов линейно независимая, если система однородных уравнений (4.15) имеет только тривиальное решение: Если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных , то для этого необходимо и достаточно, чтобы ее определитель не равнялся нулю.

Проведем исследование на линейную независимость системы векторов:

Запишем векторное равенство:

Отсюда получаем систему уравнений:

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Поскольку , однородная система линейных уравнений относительно коэффициентов имеет множество решений.

Преобразование основной матрицы системы по методу Жордана-Гаусса позволяет определить количество линейно независимых векторов в заданной системе векторов:

Ранг матрицы системы меньше количества векторов, поэтому система содержит только два линейно независимых вектора. По последнему преобразованию имеем:

Подставляя найденные коэффициенты в векторное равенство (4.14), получим

Таким образом, векторы и является линейно зависимыми и любой из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Например, разделив последнее равенство на , определим вектор ; как линейную комбинацию векторов и :

В линейной алгебре широко применяется система п единичных векторов пространства , из которых согласно (4.11) можно образовать единичную матрицу -го порядка. Поскольку для любого определитель такой матрицы не равен нулю, то для пространства любой размерности система таких единичных векторов линейно независимой.

Рассмотрим питания о наибольшее количество векторов, которое может содержать линейно независимая система -мерных векторов.

Выберем из пространства произвольным образом систему векторов:

запишем векторное равенство

и соответствующую ей однородную линейную систему уравнений с неизвестными

Для ответа на поставленный вопрос будем исходить из сравнения количества векторов системы с размерностью пространства , учитывая иx соотношение с рангом матрицы.

1. Если количество векторов больше измеримости пространства , то ранг основной матрицы однородной системы уравнений не будет превышать количество строк, а значит и количество неизвестных . В этом случае система имеет множество решений, среди которых есть и нетривиальные, то есть среди чисел существуют отличающиеся от нуля. Итак, по теореме 4.1 такая система векторов линейно зависима.

2. Если количество векторов равно размерности пространства , то такой системе уравнений соответствует квадратная основная матрица -го порядка. Система векторов будет линейно независимой, если определитель системы уравнений отличается от нуля .

Из проведенного анализа следует, что наибольшее количество линейно независимых векторов равно размерности линейного пространства.

Базис n -мерного пространства. Разложение вектора по базису

Понятие базис (от греч. basis — основа) является одним из фундаментальных понятий теории векторных пространств. Любая система линейно независимых -мерных векторов называется базисом линейного пространства . Определитель, состоящий из координат векторов базиса отличается от нуля, так как совокупность векторов содержит линейно независимых векторов и любой другой вектор является линейной комбинацией базисных векторов.

Теорема 4.2 (о разложении -мерного вектора по базису).

Произвольный вектор с можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса и к тому же единственным способом.

Доказательство. Согласно определению линейной комбинации системы векторов (4.13) надо показать существование единого набора цифр , таких, что сумма произведений этих цифр с векторами базиса дает вектор :

Представим векторы и вектор через их координаты:

и запишем соответствующую систему линейных уравнений:

Поскольку определитель основной матрицы системы отличается от нуля (по условию векторы образуют базис пространства), то система уравнений совместима и имеет единственное решение, которым является набор чисел

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса (4 16) называется разложением вектора по базису, а числа коэффициентами разложения, или координатами вектора по этому базису.

Система -мерных единичных векторов называется единичным базисом . Единичный базис является частным случаем так называемых ортогональных базисов, то есть таких базисов, что скалярное произведение любых двух векторов с базиса равно нулю: Ортогональный базис из нормированных векторов называется ортонормированным.

Запись -мерного вектора в виде , то есть представление его в координатные форме, можно рассматривать как разложение вектора за ортонормированным базисом.

Определение базиса пространства и разложения вектора по базису можно выполнять одновременно, аналогично тому, как выбор базисных неизвестных и нахождения решений СЛАУ осуществляли при применении методов Гаусса и Жордана-Гаусса.

Осуществить разложение вектора по векторам

если они образуют базис.

Для решения задачи представим вектор как линейную комбинацию векторов и :

где неизвестные коэффициенты разложения, или координаты вектора при условии, что вектор и образуют базис.

Представим векторы и вектор через координаты и получим систему уравнений относительно координат вектора :

Проверку на линейную независимость векторов и отыскания координат вектора по базису можно проводить одновременно.
Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем ее преобразования по методу Жордана-Гаусса:

Поскольку элементарными преобразования на месте основной матрицы системы получено единичную матрицу третьего порядка, то определитель исходной матрицы отличен от нуля, и система векторов является линейно независимой, то есть она образует базис пространства . Вектор можно разложить по этому базису единственным способом:

Следовательно, координатами вектора в базисе будут

В другом базисе вектор будет иметь другие координаты. В ортонормированном базисе он выглядит так: то есть

Любой вектор с , заданный в координатной форме, можно рассматривать как его разложение по ортонормированному базису.

Переход к новому базису. Нахождение базисных решений системы линейных алгебраических уравнений

Представим произвольный вектор с в виде линейной комбинации векторов базиса

где координаты вектора в данном базисе.

Выясним, как можно осуществить переход от одного базиса линейного пространства к другому и найти координаты вектора в новом базисе за известными координатами вектора в начальном ортонормированном базисе.

Пусть в пространстве есть два базиса: начальный и новый Каждый из векторов нового базиса можно представить в линейную комбинацию векторов начального базиса:

Запишем систему (4.17) в матричном виде: где

Неособенная матрица называется матрицей пepexoда от начального базиса к новому . Переход от нового базиса к первоначальному осуществляется по формуле:

Можно показать, что зависимость между координатами вектора в разных базисах определяется формулами:

где вектор с координатами в новом базисе

Переход к новому базису широко используется в задачах линейного программирования и в других задачах математических методов в экономике.

Задан вектор в ортонормированном базисе векторов и Найдем координаты вектора в базисе из векторов и с помощью матрицы перехода.

В предыдущем примере было показано, что векторы образуют базис. Опишем связь между базисами с помощью системы векторных уравнений:

Матрица перехода от базиса и к базису и является основной матрицей системы векторных уравнений:

Транспонируем матрицу :

Для нее существует обратная матрица, поскольку Находим ее:

По соотношению (4.18) определяем координаты вектора в базисе векторов и

Рассмотрим разложение вектора по новому базису для нахождения базисных решений СЛАУ.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в векторной форме

где коэффициентами при неизвестных системы являются векторы которые образуют основную матрицу системы, вектор-столбец свободных членов, — неизвестные системы, или коэффициенты разложения вектора по векторам .

Система линейных уравнений называется сводной к единичному базису, если среди векторов есть единичный базис. Система имеет единственное решение только в случае, если количество неизвестных системы совпадает с размерностью векторов и все векторы системы образуют базис

В общем случае, если количество векторов, образующих базис, меньше количества векторов системы , то система линейных уравнений имеет множество решений, среди которых необходимо найти все базисные.

Таким образом, для нахождения всех базисных решений системы можно предложить такой алгоритм:
1) сводим систему линейных уравнений элементарными преобразованиями к единичному базису;
2) находим значения неизвестных, что соответствуют данном базису, то есть координаты вектора alt=»Линейные (векторные) n — мерные пространства» />в этом базисе (свободные неизвестные возлагаем равными нулю)
3) выполняем преобразование системы уравнений с целью введения в базис других векторов системы. Тогда координаты вектора alt=»Линейные (векторные) n — мерные пространства» />равны соответствующим неизвестным системы линейных уравнений в новом базисном решении и т. д.

Заметим, что максимальное количество базисных решений равно количеству сопряжений с векторов системы по , где — размерность пространства.

Найдем все базисные решения системы линейных уравнений

В векторной форме система уравнений имеет вид

где

Среди заданных векторов определим все возможные базисы и осуществим расписание вектора по каждому из этих базисов.

Есть четыре вектора двумерного пространства, среди которых необходимо определить базисные. Поскольку наибольшее количество линейно независимых векторов в этом пространстве равно двум, то все четыре вектора не могут быть линейно независимыми. Сводим систему линейных уравнений к единичному базису. Запишем матрицу коэффициентов системы в таблице 4.1 и выполним элементарные преобразования этой системы по методу Жордана-Гаусса.

Сведение системы уравнений к единичному базису Таблица 4.1

По результатам последней операции получено единичную матрицу.

Следовательно, векторы и образуют единичный базис пространства. Координаты вектора в этом базисе Для нахождения базисного решению системы положим тогда базисным решением системы будет По базису из векторов и можно разложить не только вектор , но и все другие векторы:

Количество базисов для данного примера определяется количеством соединений из четырех векторов по два , то есть равна шести. Преобразование системы по методу Жордана-Гаусса для нахождения других базисных решений приведены в таблице 4.2.

В таблице 4.2 первым из базисных решений системы приведено именно то, которое получили в таблице 4.1.

Нахождение базисных решений Таблица 4.2

Заметим, что среди шестерых базисных решений данной системы линейных уравнений только и имеют среди своих координат отрицательные, то есть эти решения не являются опорными.

В рамках учебной дисциплины Оптимизационные модели и методы изучается специальный алгоритм отбора только опорных решений системы, по которому в базис не вводятся векторы, которые в новом базисе превращают вектор на вектор, имеет отрицательное координаты.

Однородная система уравнений. Особенности решения

Рассмотрим векторный подход к нахождению общего решения систем линейных уравнений (1.9):

где основная матрица системы;

матрица-столбец неизвестных;

нулевая матрица-столбец.

В векторной форме система однородных линейных уравнений имеет вид:

где основная матрица системы;

-измеримые векторы (столбцы матрицы

вектор неизвестных;

нулевой вектор.

Если ранг основной матрицы меньше количества неизвестных то однородная система уравнений имеет множество решений.

Пусть коэффициенты при неизвестных составляют базисный минор, другие неизвестные свободны. Если систему (4.20) решить относительно базисных неизвестных, то общее решение (по аналогии с (3.7)) будет иметь вид:

где линейные функции, отражающие законы зависимости базисных неизвестных от свободных неизвестных

По свойству 3 (п. 3.2) любая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется такая линейно независимая система векторов ранг основной матрицы системы), их линейные комбинации определяют все бесконечное множество решений системы.

Теорема 4.3 (пpo фундаментальную систему решений). Однородная система уравнений (4.20) имеет фундаментальную систему решений, количество векторов которой равно , где — ранг системы уравнений

Доказательство. Предоставим свободным неизвестным последовательно значений, которые являются элементами столбцов единичной матрицы:

(Конечно, при получаем тривиальное решение.)

Выражения базисных неизвестных через свободные получим при равенстве (4.21), при этом получим частных решений системы: Эти решения линейно независимы, ведь матрица, составленная из координат всех векторов, включая единичную матриuю (4.22) порядка

Вектор

где как линейная комбинация решений системы (4.22) тоже будет и решением.

Если числа , брать равными координатам векторов , которые соответствуют свободным неизвестным системы уравнений, то этот вектор опишет (отобразит) общее решение системы.

Следовательно, для нахождения общего решения однородной системы уравнений выполняем следующее:

1. Выражает базисные неизвестные системы (4.20) через свободные.
2. Предоставляем значение свободным неизвестным системы согласно (4.21).
3. Подставляемые в (4.21) последовательно значение свободных неизвестных (4.22), находим базисные неизвестные, получая таким образом фундаментальную систему решений:
4. Записываем общее решение системы как линейную комбинацию фундаментальных решений (4.23).

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Чтобы выразить базисные неизвестные системы через свободные неизвестные, воспользуемся методом Жордана-Гаусса. Выполняем элементарные преобразования основной матрицы системы для получения в ней единичной матрицы:

Выбираем за базисные неизвестные , тогда и есть свободными. Общее решение системы (4.24) получим в виде:

Если свободным неизвестным последовательно предоставить значения а затем получим соответствующие частные решения системы и . Система векторов и является фундаментальной системой решений.

Общее решение системы уравнений в векторной форме находим как линейную комбинацию фундаментальных решений, а именно:

где

Тогда общее решение однородной системы уравнений, составленный из фундаментальных решений системы, имеет вид:

Замечания. Аналогично можно представить общее решение и неоднородной системы уравнений, которая имеет множество решений.

Пусть система неоднородных уравнений

совместима, но ранг матрицы системы меньше количества неизвестных . Тогда ее общее решение определяется формулой

где произвольное частичное решение неоднородной системы (4.25), а

— общее решение (4.22) соответствующей однородной системы уравнений (4.20).

Найдем общее решение неоднородной системы уравнений:

Если праве части всех уравнений положить равными нулю, то получим однородной систему уравнений (4.24), общее решение которой определен в предыдущем примере:

где

Найдем произвольный частное решение неоднородной системы. Например, возьмем свободные неизвестные равными нулю: , и найдем и , тогда . Таким образом, общим решением системы (4.27) является вектор:

где

Такое представление общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений обобщается на произвольные неоднородные системы, которые имеют множество решений.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Переход к новому базису и к новой системе координат

Эта небольшая статья появилась на свет значительно позже большинства моих уроков по аналитической геометрии, и предназначена она для более или менее подготовленных читателей, которые знакомы с векторами, матрицами и обладают навыками решения основных тематических задач. Впрочем, что означает «более или менее подготовленных»? …Если Вы понимаете, чем отличается базис от системы координат – тогда смело читайте дальше! Потому что будет очень интересно – сегодня мы станем очевидцами самой настоящей революции в мире векторов! Такие эпохальные события происходят не каждый день, и поэтому нет ничего удивительного в том, что задачи перехода к новому базису и перехода к новой системе координат заметно реже встречаются на практике. Однако, это как раз та тема, которая вызывает наибольшую путаницу и недопонимание у студентов. Дело осложняется ещё и тем, что в различных источниках информации используются разные схемы подачи материала и разные обозначения

Но сейчас пришло время окончательно вас запутать «расставить все точки над i» и расстановка этих точек начинается с «плоского» случая. Кстати, и буква нужная сразу вспомнилась. Рассмотрим привычный ортонормированный базис и два подопытных вектора:

Как вы прекрасно знаете, любой другой вектор плоскости тоже можно разложить по базисным векторам: (причём единственным образом) и записать коэффициенты этого разложения (координаты) в скобках:

И всё бы было тихо-спокойно, но мирную жизнь векторов нарушает появление другого базиса…. Почему он появляется? Так нужно в ряде задач высшей математики. И не только математики.

В качестве демонстрационного базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов, но для удобства объяснений я рассмотрю следующий ортогональный базис :

Обратите внимание, что новый базис не является ортонормированным – длины его векторов отличны от единицы:

Наверное, все понимают происходящие события – когда меняется власть, то все подстраиваются под эту власть. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти разложения тех же самых векторов по НОВОМУ базису.

На иллюстрации хорошо видно готовые результаты:
, то есть – это координаты вектора «а» в базисе ;
и – есть координаты вектора «бэ» в новом базисе.

Примечание: заметьте, что «условные единицы» нового базиса в и раз больше единицы исходного базиса.

Но всё хорошо видно лишь потому, что я подобрал простые базисы и удобные векторы, и поэтому нам нужно изучить аналитический метод перехода от одного базиса к другому. Очевидно, что для осуществления такого перехода необходимо как-то связать векторы старого и нового базиса. Первое, что приходит в голову – это разложить векторы «пришлой власти» по базису :

…если вам не понятно, откуда берутся все эти разложения – срочно изучать/повторять «школьные» действия с векторами!

Коэффициенты разложений напрашивается записать в матрицу: . Или так: . …В верном направлении движемся, товарищи! И ту, и другую матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису . По техническим причинам чаще встречается 2-й вариант – когда коэффициенты «укладывают» в столбцы.

Но от красивой записи толку мало, и сейчас нам предстоит разобраться, как связаны между собой координаты произвольного вектора в старом базисе с его соответствующими координатами в новом базисе .

! Штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным!

Для решения нашей задачи подставим разложения во 2-е равенство, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Таким образом, с одной стороны, в нашем распоряжении есть старое разложение , но с другой стороны мы получили . Поскольку разложение вектора по базису единственно, то справедливы следующие равенства:

С помощью полученных соотношений можно найти СТАРЫЕ координаты, если известны новые.

Запишем формулы в виде простейшего матричного уравнения:

и выполним проверку, тестируя наши подопытные векторы «а» и «бэ»:

Что и требовалось проверить. Надеюсь, ни у кого не возникло проблем с матричным умножением. Хотя, в случае аварийных недоразумений всегда можно подставить новые координаты в равенства и получить те же самые результаты.

Всё хорошо, всё правильно, но нам-то нужно наоборот – из старых координат получить новые. Давайте присмотримся к нашему матричному уравнению …. В его середине находится матрица с координатами векторов , которые записаны в столбцы. И, обозначив , перепишем уравнение в компактном виде:

Для того чтобы выразить новые координаты через старые, умножим обе части на слева:

В результате ситуация разрешилась самым благоприятным образом:

Теперь нужно найти обратную матрицу. Так как векторы базиса линейно независимы, то определитель и обратная матрица заведомо существует. Я не буду подробно расписывать процесс её нахождения (с которым можно ознакомиться по ссылке) и сразу приведу готовый результат:
– тот редкий случай, когда дробь целесообразно затолкать в матрицу.

Пользуясь уравнением , вычислим координаты векторов в базисе :
, то есть ;
, то есть .
Желающие могут протестировать другие «сподручные» векторы и свериться с чертежом.

Нетрудно догадаться, что в столбцах полученной матрицы находятся коэффициенты разложения векторов старого базиса по векторам нового базиса:

(убедитесь по чертежу в справедливости этих разложений)

и матрица называется (именно так!) матрицей перехода от базиса к базису .

Из статьи о линейных преобразованиях вы узнаете (или уже знаете), что любой квадратной матрице «два на два» соответствует определённое преобразование (грубо говоря, искажение) плоскости, и, как видите, невырожденная матрица «два на два» может иметь и другой геометрический смысл. Любопытные читатели непременно проанализируют, какие линейные преобразования задают рассмотренные матрицы.

Систематизируем алгоритм решения данной задачи: итак, заданы два произвольных базиса плоскости , при этом векторы 2-го базиса выражены через векторы 1-го:

! Обозначения: в данном контексте двойные подстрочные индексы имеют следующий смысл: 1-я цифра обозначает номер координаты, 2-я цифра – номер вектора:
– 1-я координата 1-го вектора (вектора ), – 2-я координата 1-го вектора;
– 1-я координата 2-го вектора (вектора ), – 2-я координата 2-го вектора.
Следует отметить, что в других источниках информации обозначения могут быть другими, я выбрал вариант, который мне показался наиболее понятным.

В базисе дан вектор . Требуется найти его координаты в базисе .

На первом шаге составляем матричное уравнение, при этом коэффициенты разложений «укладываем» в столбцы матрицы: (векторы следует «перебирать» строго по порядку!):

или, если компактнее:

Уравнение, кстати, легко преобразовать в формулы, выражающие старые координаты через новые. Выполняем матричное умножение:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

Читателям, углубленно изучающим математику, рекомендую вывести эти формулы самостоятельно (по аналогии конкретных рассуждений в разобранном примере).

Но возвращаемся к нашей задаче. Она элементарна! Находим обратную матрицу и, вычисляя произведение , получаем координаты вектора в базисе :

Простота простотой, но в действительности эта задача вызывает серьёзные затруднения у многих студентов. Связано это, видимо, с не наглядностью изложения материала. Как правило, в типовом источнике можно увидеть два «косых» базиса (если чертёж есть вообще), и вкупе со всеми этими штрихами (популярный стиль), непонятными индексами возникает только одно желание – захлопнуть книгу/закрыть окно. И в демонстрационном примере я специально рассмотрел два «хороших» базиса – чтобы не наглядный материал превратить в ненаглядный =)

…так чувствуется, вам уже не терпится что-нибудь порешать! Пространственный случай для самостоятельного изучения:

1) В трехмерном пространстве заданы базисы , причём:

Записать два матричных уравнения, которые связывают координаты вектора в базисе с его координатами в базисе .

2) .
Найти разложение вектора по базису

Краткое решение и ответы в конце урока.

Следует отметить, что формулировка этой задачи вовсе не подразумевает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Это могут быть векторы и другой природы. Я очень надеюсь, что на данный момент вы всё-таки почитали мои статьи по высшей алгебре и добрались до статьи о линейных преобразованиях, где я обобщил понятие вектора. Однако сейчас у нас на повестке дня аналитическая геометрия, и поэтому я перехожу к рассмотрению второго вопроса:

Переход к новой системе координат

Это не то же самое, что переход к новому базису! Хотя задача родственная.

Наверняка первый чертёж урока вызвал у вас мысль, что «чего-то здесь не хватает». И действительно, коль скоро, речь шла о базисах, то нам было вполне достаточно векторов. А вектор – это птица свободная, и на иллюстрации их вообще можно было расположить как угодно. Но во многих случаях существует потребность учесть преобразование координат точек, и по этой причине возникает необходимость «застолбить» начальную точку отсчёта (начало координат), которая в тандеме с базисными векторами порождает аффинную систему координат.

Рассмотрим две аффинные системы координат плоскости: . Первую систему по нестарой памяти назовём старой, вторую – новой, и, как водится, запишем традиционное разложение:

Не углубляясь в книжные рассуждения, я сразу приведу готовые формулы, позволяющие узнать старые координаты произвольной точки плоскости, если известны её новые координаты :
, где – координаты точки в старой системе координат.

Данные равенства называются формулами преобразования аффинной системы координат, и в них легко просматривается знакомая матрица .

Вернёмся к нашим ненаглядным базисам =), на основе которых построим две системы координат: . В качестве начала новой системы координат я выберу точку :

Теперь «укладываем» коэффициенты разложений в «столбцы» формул :

Подопытные точки опять же – синие и пушистые =) Пожалуйста, наклоните голову на 45 градусов влево и убедитесь, что в «оранжевой» системе координат точка имеет координаты , а точка – координаты (коричневые пунктирные линии). Вычислим координаты данных точек в исходном базисе :

В чём и требовалось убедиться.

Однако здесь опять всё «задом наперёд» – ведь в подавляющем большинстве случаев новые-то координаты нам как раз не известны. На очереди знакомая схема действий. Запишем формулы в виде матричного уравнения:

или, если компактнее:

И с помощью стандартных преобразований выражаем столбец новых координат:
, где – координаты точки в новом базисе. Данный столбец рассчитывается по формуле .

В нашем примере обратная матрица уже найдена в предыдущем параграфе и осталось как раз узнать этот столбец:

Пожалуйста, снова наклоните голову влево на и убедитесь, что в новой («оранжевой») системе координат точка обладает именно координатами .

Запишем рабочее матричное уравнение и рассчитаем координаты точек в новой системе координат:

Рассмотренные формулы работают для произвольных аффинных систем плоскости, однако в практических задачах особую важность имеет переход от прямоугольной декартовой системы координат к другой декартовой системе . Но перед тем, как приступить к изучению этого частного случая, я расскажу вам о том, о чём многие слышали, но стеснялись спросить:))

Ориентация плоскости

У плоскости может быть две ориентации. Левая. И правая. Первая ориентация задаётся левоориентированным базисом и, как следствие, левой системой координат, вторая – соответственно, правоориентированным базисом и правой системой.

По сложившейся традиции разбираться будем на пальцах: разверните ладони вверх и прижмите к ним все пальцы, кроме указательных и больших. Теперь совместите указательные пальцы. Большие пальцы при этом расположатся по разные стороны. Наоборот: совместите большие пальцы – тогда по разные от них стороны окажутся пальцы указательные. Это признак того, что символические базисы и порождаемые ими системы координат имеют разную ориентацию.

Если большой палец символизирует 1-й вектор базиса, а указательный палец – 2-й вектор базиса (ладони развёрнуты вверх),то базис правой руки принято считать правоориентированным, а базис левой руки – левоориентированным.

Так, например, наша «школьная» система координат является правой. Как в этом убедиться? Совместите большой палец правой руки с вектором (первым вектором базиса). Тогда указательный палец будет смотреть в сторону вектора , и это признак того, что базис правоориентирован.

Вообще, рассматриваемое понятие весьма удачно характеризует осевая (зеркальная) симметрия, которая меняет ориентацию плоскости. Изобразим в прямоугольной системе брата нашего меньшего и отобразим его симметрично относительно оси ординат:

Совершенно понятно, что как ни перемещай, как ни крути изображения – совместить их не удастся. Это и есть эффект разной ориентации. Обратите внимание, что 1-й координатный вектор тоже подвергся отражению, и левая система задала левую ориентацию плоскости – координатная ось «развернулась» в противоположную сторону и положительные значения стали отсчитываться справа налево. И, кстати, ничто не мешает вести отсчёт именно так! Но тут нас вряд ли поймут – не зря же ориентацию назвали левой =) Хотя чисто «технически» она ничем не хуже.

Если Тузика отобразить симметрично относительно оси , то получим другую левую систему , в которой единичный вектор смотрит вниз.

Взаимную ориентацию двух базисов (а значит и взаимную ориентацию порожденных ими систем координат) можно установить аналитически: если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые), в противном случае они имеют разную ориентацию. Так, в демонстрационном примере нашего урока , значит, базисы ориентированы одинаково. И поскольку «школьный» базис считается правым, то – тоже правый (впрочем, это и так очевидно). В Задаче 1 (пункт 2) определитель матрицы перехода отрицателен: , следовательно, базисы задают разную ориентацию трёхмерного пространства. С этим понятием можно ознакомиться в статье о векторном произведении векторов, ну а сейчас пришло время вернуться в основное русло урока:

Преобразование прямоугольных систем координат

На практике наиболее часто приходится осуществлять переход от одной правой декартовой системы координат к другой правой декартовой системе , и в этом случае общие формулы преобразования координат принимают следующий вид:

, где – угол между первыми координатными векторами (не важно, положительный или отрицательный).

Данные формулы, в частности используются в ходе приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. И, несмотря на то, что они выражают старые координаты точки через новые , равенства называют формулами перехода от старой системы координат к новой. Объяснение просто: если в какое-либо уравнение вместо «икса» и «игрека» подставить правые части этих равенств, то, собственно, именно такой переход и будет осуществлён.

В том случае если новая система координат построена на тех же базисных векторах: , то речь идёт лишь о параллельном переносе начала координат, и формулы донельзя упрощаются:

Пусть, например, – новое начало:

Тогда старые координаты точки легко получить из новых: ,
а новые – из старых:

Второй частный случай – это поворот осей с сохранением начала координат:

Так как новое начало координат совпадает со старым, то в формулах преобразования координат исчезают свободные члены:

Для самостоятельного решения:

Прямоугольная декартова система координат получена из системы поворотом на угол .

1) С помощью матричного исчисления вывести формулы, выражающие новые координаты точки через её старые координаты .

2) Найти новые координаты точки , если известно, что угол поворота .

На чертеже выше изображен именно этот легендарный угол, с синуса и косинуса которого начиналось наше знакомство с тригонометрией. Впрочем, если что – тригонометрические таблицы рядом.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В общем случае правая прямоугольная система координат получается из системы в два шага:

1) поворотом координатных осей;
2) параллельным переносом начала координат.

Ну, или в другом порядке.

Следует отметить, что для двух левых декартовых систем работают те же самые формулы

Но вот если одна из прямоугольных систем левая, а другая правая, то в двух местах следует поменять знаки:

Кстати, здесь уже нельзя рассуждать о «чистом повороте» координатных осей, поскольку с помощью него невозможно «совместить двух Тузиков». И как раз одна система координат получается из другой в том числе с помощью зеркальной симметрии.

Аналогичные формулы преобразования аффинных систем координат имеют место быть в трёхмерном пространстве:
, где:

где – координаты точки в аффинной системе ;
– её координаты в системе ;
– координаты начала в системе .

Грубо говоря, здесь прибавилась одна координата и принципиальная схема рассуждений не изменилась. Но разнообразия (тех же поворотов), стало, безусловно, больше.

И, разумеется, рассмотренный математический аппарат работает для векторов произвольной природы, в том числе векторов бОльшей размерности.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Задача 1 Решение:
1) Матричное уравнение , где позволяет найти координаты вектора в базисе , если известны его координаты в базисе . Матричное уравнение соотносит координаты в другом порядке

2) Запишем матрицу . Координаты вектора в базисе найдём с помощью матричного уравнения .
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом:

В результате:

Ответ:

Примечание: на самом деле такую задачу мы уже решали на уроке о линейной независимости и базисах (см. Примеры 8,9), но недостаток тех решений состоит в том, что метод Крамера позволяет найти новые координаты лишь отдельно взятого вектора.

Задача 2 Решение:
1) Запишем формулы в матричной форме:

Выразим новые координаты через старые: .
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом:

Осуществляя матричное умножение, получаем искомые формулы:

2) Поскольку угол поворота составляет , то формулы принимают вид:

Вычислим координаты точки в новой системе координат:

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f₁ , f₂ , f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Пример №1 . Даны векторы a<1;2;1>, b<2;-2;1>, c <1;-2;0>и d <0;3;1>. Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α,β,γ что имеет место равенство:

Запишем данное равенство в координатной форме:
(-3;5;4)=α(5;1;2) + β(3;4;-1) + γ(-4;2;1)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(-3;5;4) = (5α;α;2α) + (3β;4β;-β) + (-4γ;2γ;γ)
(-3;5;4) = (5α+3β-4γ;α+4β+2γ;2α-β+γ)
По свойству равенства векторов имеем:
Решая полученную систему уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных из уравнений системы), выберем в качестве ведущего уравнения второе уравнение системы:

Выразим из первого уравнения полученной системы α и подставим полученное выражение во второе и третье уравнения системы:

Разделим второе уравнение системы на -1 ,а третье уравнение системы на -3 и выразим из полученного равенства γ :

Подставим полученное выражение для γ в третье уравнение системы:

В итоге получим разложение вектора в базисе :

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e ₁= AB , e ₂= AC , e ₃= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e ₁, e ₂, e ₃)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Матрица перехода

Матрица перехода — это просто квадратная матрица, в столбцах которой записаны координаты новых базисных векторов. У такой матрицы много важных свойств, которые сформулированы и доказаны в первой части урока — теоретической. Этой теории хватит для любого экзамена или коллоквиума.

Вторая часть урока — практическая. В ней разобраны все типовые задачи, которые встречаются на контрольных, зачётах и экзаменах.

Если вы учитесь в серьёзном университете (МГУ, Бауманка и т.д.), то обязательно изучите первые три пункта. А если вам нужны только задачи, сразу переходите к пункта 4—6.

1. Определение матрицы перехода

Пусть дано $n$-мерное линейное пространство $L$. Пусть также $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — два базиса в $L$.

Определение. Матрица перехода $<_>$ от базиса $e=\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ к базису $f=\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — это квадратная матрица порядка $n$, где по столбцам записаны координаты нового базиса $f$ в старом базисе $e$:

\[<_>=\left[ \begin<_<1,1>> & <_<2,1>> & \cdots & <_> \\<_<1,2>> & <_<2,2>> & \cdots & <_> \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\<_<1,n>> & <_<2,n>> & \cdots & <_> \\\end \right]\]

Обратите внимание на нумерацию элементов $<_>$: первый индекс обозначает номер столбца, т.е. номер нового базисного вектора, а второй отвечает за координаты этого вектора в старом базисе. Так, во втором столбце записаны координаты вектора $<_<2>>$:

Или, что то же самое, разложение вектора $<_<2>>$ по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Да, такая нумерация не является обязательной. Но она очень распространена именно в записи матриц перехода: первый индекс отвечает за номер базисного вектора, второй — за номер координаты этого вектора.

Пример 1. В некотором базисе $e=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ векторного пространства $<<\mathbb>^<3>>$ даны три вектора:

\[<_<1>>=<<\left( 1,0,1 \right)>^>,\quad <_<2>>=<<\left( 2,1,0 \right)>^>,\quad <_<3>>=<<\left( 0,3,1 \right)>^>\]

\[\begin<_<1>> &=<<\left( 1,0,1 \right)>^>, \\ <_<2>> &=<<\left( 2,1,0 \right)>^>, \\ <_<3>> &=<<\left( 0,3,1 \right)>^> \\ \end\]

Убедитесь, что система векторов $f=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ образует базис в $<<\mathbb>^<3>>$, найдите матрицу перехода $<_>$.

Решение. Система векторов будет базисом, если эти векторы линейно независимы, а их количество совпадает с размерностью пространства. Поскольку у нас три вектора и $\dim<<\mathbb>^<3>>=3$, осталось проверить линейную независимость. Составим матрицу из столбцов с координатами векторов $<_<1>>$, $<_<2>>$ и $<_<3>>$:

\[\left[ \begin1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\]

Вообще-то это и есть матрица перехода $<_>$, но сначала надо установить линейную независимость. Поэтому выполним элементарные преобразования строк:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin \ \\ \ \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end\sim \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end \right]\begin -2\cdot \left[ 2 \right] \\ \ \\ +2\cdot \left[ 2 \right] \\ \end\sim \left[ \begin 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end \right]\]

\[\begin & \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin \ \\ \ \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end \\ & \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end \right]\begin -2\cdot \left[ 2 \right] \\ \ \\ +2\cdot \left[ 2 \right] \\ \end \\ & \left[ \begin 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end \right] \\ \end\]

Получили верхнетреугольную матрицу без нулей на главной диагонали. Ранг такой матрицы равен 3, поэтому система $\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ линейно независима и образует базис. Матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$ уже известна:

\[<_>=\left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\]

1.1. Зачем нужна матрица перехода

Матрица перехода нужна для того, чтобы компактно и наглядно выражать новый базис через старый. В самом деле, разложим векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ нового базиса по старому базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Получили систему из $n$ уравнений, которые в матричном виде можно представить так:

Обратите внимание: $<_<1>>,\ldots ,<_>$ и $<_<1>>,\ldots ,<_>$ — это именно векторы, а не числа. Такие наборы принято записывать строками — в отличие от вектор-столбцов, элементами которых как раз выступают обычные числа.

Последний множитель — это и есть матрица перехода $<_>$, поэтому всё произведение можно записать более компактно:

2. Свойства матрицы перехода

Мы разберём три простых свойства, а далее отдельным разделом будет ещё одно — уже более серьёзное.

2.1. Переход от базиса к этому же базису

Свойство 1. При переходе от базиса $e$ к этому же базису $e$ матрица перехода $<_>=E$.

Для доказательства достаточно рассмотреть формулы

Указанное выражение однозначно, поскольку $e$ — базис. Следовательно, матрица перехода равна

Итак, $<_>=E$, что и требовалось доказать.

2.2. Обратный переход

Свойство 2. Если $<_>$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$, то $<_>=<<\left( <_> \right)>^<-1>>$ матрица обратного перехода, от базиса $f$ к базису $e$.

В самом деле, базисы $e$ и $f$ связаны с матрицей перехода по формуле

Поскольку матрица $<_>$ невырожденная, существует обратная к ней матрица $<<\left( <_> \right)>^<-1>>$. Домножим на эту матрицу обе части формулы, связывающей базисы $e$ и $f$:

Упрощаем эту формулу и получаем

Итак, мы получили формулу перехода от базиса $f$ к базису $e$. Следовательно, $<<\left( <_> \right)>^<-1>>$ — матрица такого перехода, что и требовалось доказать.

2.3. Переход через транзитный базис

Пусть $<_>$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$ линейного пространства $L$, а $<_>$ — матрица перехода от базиса $f$ к базису $g$ того же линейного пространства $L$.

Тогда матрица перехода $<_>$ от базиса $e$ к базису $g$ находится по формуле

Для доказательства достаточно записать формулы для выражения базисов $f$ и $g$, а затем подставить одну формулу в другую. По условию теоремы, базис $f$ выражается через базис $e$ по формуле

Кроме того, базис $g$ выражается через базис $f$ по формуле

Подставим первое выражение во второе и получим

Мы получили прямое выражение базиса $g$ через базис $e$, причём матрица перехода равна

Это именно та формула, которую и требовалось доказать.

2.4. Невырожденные матрицы

И ещё одно важное свойство:

Иначе говоря, всякая квадратная невырожденная матрица $T$ является матрицей перехода от данного базиса $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ к некоторому новому базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ линейного пространства $L$.

Обратите внимание: поскольку изначально мы не знаем, что $T$ — матрица перехода, её элементы пронумерованы стандартным образом: первый индекс отвечает за строку, а второй — за столбец. Однако это нисколько не помешает нам доказать теорему.

Для доказательства того, что $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — базис линейного пространства $L$, нужно доказать два утверждения:

• 1.Система векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — линейно независима.
• 2.Ранг этой системы векторов совпадает с размерностью пространства $L$.

Поскольку количество векторов в системе $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ совпадает с количеством базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$, т.е. равно $n=\dim L$, достаточно лишь проверить линейную независимость.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и предположим, что она равна нулю:

В матричном виде это выглядит так:

По условию теоремы векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ раскладываются по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ с коэффициентами, записанными в столбцах матрицы $T$. В матричном виде это выглядит так:

Подставляем полученное выражение для $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ в предыдущее матричное уравнение и получаем

Поскольку $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — базис линейного пространства $L$, такое равенство возможно лишь при условии

Это матричное уравнение можно рассматривать как систему из $n$ однородных уравнений относительно переменных $<<\lambda >_<1>>,\ldots ,<<\lambda >_>$. И поскольку по условию теоремы матрица $T$ невырожденная, это СЛАУ имеет лишь одно решение — тривиальное:

Получаем, что система векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ линейно независима, а количество векторов совпадает с размерностью линейного пространства $L$. Следовательно, эта система — базис, что и требовалось доказать.

3. Замена координат в новом базисе

До сих пор мы рассуждали лишь о том, как координаты новых базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ выражаются через координаты старых базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$. Но что будет с координатами одного и того же вектора линейного пространства $L$ при переходе от одного базиса к другому?

Ответ даёт следующая теорема.

3.1. Формулировка теоремы

Ещё раз: если произвольный вектор $h\in L$ в новом базисе $f$ имеет координаты

то в старом базисе $e$ этот же вектор $h\in L$ имеет координаты

Т.е. для векторов всё наоборот: не новые координаты выражаются через старые, а старые — через новые. Впрочем, никто не мешает найти матрицу $T_^<-1>$ и записать

Но такая запись предполагает дополнительное действие — нахождение обратной матрицы.

3.2. Доказательство

Сначала «соберём» матрицу $<_>$. Для этого разложим векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

В матричной форме эту систему линейных уравнений можно записать так:

Транспонируем обе стороны равенства, учитывая, что произведение справа транспонируется по правилу $<<\left( A\cdot B \right)>^>=<^>\cdot <^>$:

Квадратная матрица справа — это и есть матрица перехода $<_>$. Поэтому матричное уравнение можно переписать так:

Теперь возьмём произвольный вектор $h\in L$ и разложим его по базисам $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Вновь перейдём к матричной форме. Сначала учтём, что координаты векторов принято записывать в виде вектор-столбцов:

Тогда левую и правую часть уравнения можно представить как произведение строк с базисными векторами и указанных вектор-столбцов с координатами:

Но выше мы выражали строку векторов $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$ через строку $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$ и матрицу перехода $<_>$. Подставим это выражение в наше матричное уравнение:

Уберём слева и справа первый множитель — строку $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$. Получим уравнение, связывающее координаты вектора в разных базисах:

Это именно та формула, которую и требовалось доказать.

Задача 1. Базисы трёхмерного пространства

Задача. Убедитесь, что системы векторов

являются базисами в векторном пространстве $<<\mathbb>^<3>>$. Найдите матрицу перехода $<_>$. Найдите координаты в базисе $a$ вектора $x$, который в базисе $b$ имеет координаты $<<\left( 0,3,2 \right)>^>$.

Решение

Чтобы доказать, что система векторов образует базис, достаточно составить матрицу $A$ из координат этих векторов, а затем вычислить её определитель $\det A$. И если $\det A\ne 0$, то векторы линейно независимы. А поскольку их количество совпадает с размерностью линейного пространства, такие векторы образуют базис.

Определитель этой матрицы отличен от нуля:

Теперь составим матрицу из векторов $b=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$. Получим матрицу перехода $<_>$:

Определитель этой матрицы вновь отличен от нуля:

Осталось найти матрицу перехода $<_>$. Заметим, что эту матрицу можно выразить так:

Мы внедрили «транзитный» базис $e$ и вместо прямого перехода $a\to b$ рассмотрели цепочку $a\to e\to b$. Это стандартный и очень распространённый приём, но из-за этого появился новый элемент $T_^<-1>$ — матрица, обратная к $<_>$. Найдём $T_^<-1>$ методом присоединённой матрицы:

\[\left[ <_>|E \right]\sim \ldots \sim \left[ E|T_^ <-1>\right]\]

Напомню, что элементарные преобразования в присоединённых матрицах выполняются только над строками. Если вы забыли, как всё это работает, см. урок «Обратная матрица». В нашем случае получим:

\[\left[ \begin1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \\\end \right]\begin \, \\ -2\cdot \left[ 1 \right] \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end\]

Мы «зачистили» первый столбец. Теперь «зачистим» последний:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin -1\cdot \left[ 3 \right] \\ +3\cdot \left[ 3 \right] \\ \, \\ \end\]

Остался лишь средний. Разберёмся и с ним:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -5 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin +2\cdot \left[ 2 \right] \\ |\cdot \left( -1 \right) \\ \, \\ \end\]

Получили единичную матрицу слева от вертикальной черты. Значит, справа стоит искомая матрица $T_^<-1>$:

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу перехода $<_>$:

После несложных вычислений получаем матрицу перехода от базиса $a$ к базису $b$:

Осталось найти координаты вектора $x$, который в базисе $b$ имеет координаты $<<\left( 0,3,2 \right)>^>$. Вспомним формулу, выражающую координаты в старом базисе через координаты в новом базисе:

Итак, вектор $x$ в базисе $a$ имеет координаты $<<\left( 1,1,4 \right)>^>$. Задача решена.

Альтернативное решение

Можно найти матрицу $<_>$ заметно быстрее, если использовать алгоритм решения матричных уравнений. Заметим, что нам требуется найти произведение

С другой стороны, для нахождения такого произведения достаточно составить присоединённую матрицу вида $\left[ A|B \right]$ и цепочкой элементарных преобразований свести её к виду

Другими словами, справа от вертикальной черты мы получим искомую матрицу перехода $<_>$!

На практике это выглядит так. Записываем присоединённую матрицу $\left[ A|B \right]$:

И после элементарных преобразований получим

Для экономии места я пропустил промежуточные шаги. Попробуйте сделать их самостоятельно — это очень полезная практика.

Если же вы хотите разобраться, как это работает (и почему вдруг справа возникает матрица вида $<^<-1>>\cdot B$), см. урок «Матричные уравнения». А мы идём дальше.

Задача 2. Базисы в поле вычетов

Найдите матрицу перехода от базиса

арифметического линейного пространства $\mathbb_<5>^<3>$.

Решение

Эта задача проще предыдущей, поскольку поле вычетов $<<\mathbb>_<5>>$ является конечным и состоит всего из пяти элементов — представителей смежных классов:

Аналогично, рассмотрим систему $b=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ и составим матрицу $<_>$:

Выразим искомую матрицу $<_>$ через «транзитный» базис $e$:

Найдём $T_^<-1>$ через присоединённую матрицу:

После цепочки элементарных преобразований над строками (попробуйте выполнить их самостоятельно!) получим

Итак, мы нашли матрицу $T_^<-1>$:

Осталось вычислить искомую матрицу перехода $<_>$:

По аналогии с предыдущей задачей, матрицу $<_>$ можно найти и через элементарные преобразования присоединённой матрицы $\left[ A|B \right]$. Результат будет точно такой же, но мы сэкономим пару строк вычислений и несколько минут времени.

Задача 3. Пространство многочленов

Убедитесь, что системы многочленов

являются базисами в пространстве $<

_<3>>$ многочленов степени не выше 2. Найдите матрицу перехода $<_>$. Разложите по степеням $\left( t-1 \right)$ многочлен $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$.

Решение

Стандартным базисом в пространстве многочленов является система многочленов $p=\left\< <

_<1>>,<

_<2>>,<

_<3>> \right\>$, где

Выразим через базис $p$ многочлены из системы $e$:

Следовательно, матрица перехода $<_>$ выглядит так:

Аналогично, выразим через базис $p$ многочлены из системы $f$:

Получим матрицу перехода $<_>$:

Обе матрицы оказались верхнетреугольными, их определители отличны от нуля:

Следовательно системы многочленов $e$ и $f$ действительно являются базисами пространства $<

_<3>>$.

Теперь найдём матрицу перехода $<_>$. Для этого нам даже не потребуется искать обратную матрицу. Достаточно заметить, что векторы $<_<1>>$ и $<_<2>>$ легко раскладываются по базису $e$:

С вектором $<_<3>>$ вычислений будет чуть больше:

Итого матрица перехода $<_>$ примет вид

Теперь разложим многочлен $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$ по базису $e$. Сначала перепишем этот многочлен так:

Следовательно, в базисе $f$ многочлен $h\left( t \right)$ имеет координаты $<<\left( 1,1,1 \right)>^>$. Но тогда по теореме о замене координат этот же многочлен в базисе $e$ имеет координаты

Другими словами, многочлен $h\left( t \right)$ имеет вид

Это и есть искомое разложение многочлена $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$ по степеням $\left( t-1 \right)$.

Альтернативное решение

Искомое разложение можно получить и без привлечения матриц перехода. Достаточно применить схему Горнера или выделить нужные степени напрямую:

Как видим, результат получился тем же самым, а времени потрачено меньше. Однако уже в пространстве $<

_<4>>$ многочленов степени не выше 4 сложность решения через матрицы и через выделение степеней будет сопоставимой. А дальше матрицы начнут выигрывать.

Смысл линейной алгебры — дать универсальные алгоритмы, которые работают с объектами любой природы, если эти объекты подчиняются аксиомам линейного пространства.

Задача 4. Матрица перехода при симметрии

Базис $b$получается из базиса

пространства $<_<3>>$ симметрией относительно плоскости $2x+y+3z=0$. Найти матрицу перехода $<_>$.

Решение

Из курса аналитической геометрии мы знаем, что если плоскость задана уравнением

то вектор-нормаль $n$ имеет координаты

Важное замечание. симметрия предполагает использование проекций и углов, что в конечном счёте сводится к скалярному произведению. Однако мы пока не знаем, что такое скалярное произведение в линейном пространстве.

Полноценное определение скалярного произведения будет намного позже — см. урок «Евклидово пространство». А пока будем считать, что скалярное произведение векторов $a$ и $b$ определено стандартным образом:

\[\left( a,b \right)=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot \cos \alpha \]

Геометрическая интерпретация

Симметрию на плоскости и в пространстве удобно представлять графически. Пусть $\alpha $ — плоскость, относительно которой выполняется симметрия. Тогда векторы $\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ будут выглядеть так:

Задача 5. Матрица поворота

Базис $e=\left\< i,j,k \right\>$ пространства $<_<3>>$ поворачивается на 180° вокруг прямой $l$, заданной системой

Затем полученный базис $f$ поворачивается на 90° в отрицательном направлении вокруг нового положения вектора $j$. В результате получается базис $g=\left\< <_<2>>,<_<2>>,<_<2>> \right\>$.

Найдите матрицу перехода $<_>$. Найдите в базисе $e$ координаты вектора $h$, который в новом базисе $g$ имеет координаты $\left( 1,1,1 \right)$.

Решение

Вращение базиса и матрица поворота — это очень важная тема, по которой есть отдельный урок — «Матрица поворота». Но сейчас вращение совсем простое, поэтому обойдёмся без специальных матриц.

Вновь обратимся к геометрической интерпретации. Рассмотрим исходный базис $e=\left\< i,j,k \right\>$ трёхмерного пространства:

Также на этом рисунке изображена прямая $l$, которая задаётся требованиями $z=0$ и $x=y$. Эта лежит в плоскости $Oxy$ и является биссектрисой первой координатной четверти.

Очевидно, что при повороте пространства на 180° относительно прямой $l$ базисные векторы $i$ и $j$ просто поменяются местами, а вектор $k$ перейдёт в противоположный:

Другими словами, $<_<1>>=j$, $<_<1>>=i$, $<_<1>>=-k$, поэтому матрица перехода от базиса $e=\left\< i,j,k \right\>$ к базису $f=\left\< <_<1>>,<_<1>>,<_<1>> \right\>$ примет вид

Далее поворот осуществляется вокруг нового положения вектора $j$, т.е. вокруг вектора $<_<1>>$. Вновь обратимся к чертежу. В этот раз нам уже не нужны координатные оси — нас интересуют лишь векторы $<_<1>>$, $<_<1>>$ и $<_<1>>$, а также ось вращения:

Обратите внимание: в задаче сказано, что базис вращается на 90° в отрицательном направлении. Если мы смотрим на плоскость, образованную векторами $<_<1>>$ и $<_<1>>$, с вершины вектора $<_<1>>$ (как на картинке), то отрицательное направление — это по часовой стрелке (отмечено зелёным), а положительное —против часовой стрелки (отмечено красным).

Все эти тонкости (положительное и отрицательное направление, правые и левые тройки векторов) детально описаны в уроке про матрицы поворота. Сейчас не будем подробно разбираться в них, а просто нарисуем результат:

Теперь мы можем найти матрицу $<_>$ через транзитный базис $f$:

Кроме того, нам известны координаты вектора $h$ в базисе $g$:

Тогда в базисе $e$ координаты этого же вектора равны

Итак, мы нашли матрицу перехода $<_>$ и координаты вектора $h$ в исходном базисе. Задача решена.

для квадратичных функций

Похожие публикации:

1. Как в фотошопе сделать квадратный ластик
2. Сколько существует возможных варианта налоговой политики предприятия
3. Средняя кнопка мыши как называется
4. Тусклый экран на телефоне что делать