Как построить фигуру относительно прямой

Осевая и центральная симметрии

Рассмотрим построение точки, симметричной данной точке А относительно данной прямой .

Пусть дана точка А и прямая .

Точку симметричную точке А относительно прямой , можно построить так. Проведем через точку А прямую , перпендикулярную прямой . Для этого используем чертежный угольник. Прикладываем чертежный угольник так, как показано на рисунке ниже и проводим прямую через точку А.

Пусть прямые и пересекаются в точке О. Отложим при помощи линейки на прямой отрезок ОА₁, равный отрезку ОА.

Получаем точки А и А₁, которые симметричны относительно прямой .

Также можно построить фигуры, симметричные относительно прямой.

Построим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно прямой .

Пусть дан треугольник АВС и прямая .

Далее строим точки А₁, В₁ и С₁, симметричные точкам А, В и С относительно прямой />(алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно прямой />.

Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Если фигура имеет ось симметрии (прямая ) то, все точки этой фигуры, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек.

Центральная симметрия

Точки М и М1 называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка ММ1 (смотри рисунок ниже).

Рассмотрим построение точки, симметричной данной точке М относительно данной точки О.

Пусть даны точки М и О. Точку, симметричную точке М относительно точки О, можно построит так. Проведем луч МО.

На луче МО отложим отрезок ОN , равный отрезку ОМ.

Точки М и М₁, которые симметричны относительно точки О.

Также можно построить фигуры, симметричные относительно точки.

Далее строим точки А₁, В₁ и С₁, симметричные точкам А, В и С относительно точки О (алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно точки О.

Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно точки, равны.

Рассмотрим окружность с центром в точке О. Все точки окружности можно разбить на пары точек, симметричных относительно точки О.

В таком случае говорят, что окружность имеет центр симметрии — точку О.

Также центр симметрии имеют такие фигуры, как отрезок, прямоугольник, эллипс.

Осевая и центральная симметрия

Осевая и центральная симметрия — тема для перфекционистов, любителей снимков в отражении и противников заваленного горизонта. Симметрично — значит красиво? Тогда давайте разберемся, что такое симметрия с точки зрения математики.

· Обновлено 9 марта 2023

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

На рисунках осевая симметрия: точки A и B симметричны относительно прямой a; точки R и F симметричны относительно прямой AB

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Осевая и центральная симметрия

Отображение плоскости называется движением плоскости, если при этом отображении сохраняются расстояния.

Существуют несколько теорем, связанных с этим понятием.

Отрезок, при движении, переходит в равный ему отрезок.

Треугольник, при движении, переходит в равный ему треугольник.

Любая фигура, при движении, переходит в равную ей фигуру.

Осевая и центральная симметрия являются примерами движения. Рассмотрим их более подробно.

Осевая симметрия

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая перпендикулярна к отрезку $_1$ и проходит через его центр (рис. 1).

Рассмотрим осевую симметрию на примере задачи.

Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно стороны $BC$. Сторона $BC$ при осевой симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ следующим образом: $_1\bot BC$, $_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре (рис. 3).

На рисунке $3$ изображен прямоугольник. Он обладает осевой симметрией относительно каждого своего диаметра, а также относительно двух прямых, которые проходят через центры противоположных сторон данного прямоугольника.

Центральная симметрия

Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является центром отрезка $_1$ (рис. 4).

Рассмотрим центральную симметрию на примере задачи.

Построить симметричный треугольник для данного треугольника какой-либо его вершины.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно вершины $A$. Вершина $A$ при центральной симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ следующим образом $_1$, а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ следующим образом: $_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $_1C_1$ (Рис. 5).

Фигура является симметричной относительно точки $O$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре(рис. 6).

На рисунке $6$ изображен параллелограмм. Он обладает центральной симметрией относительно точки пересечения его диагоналей.

Пусть нам дан отрезок $AB$. Построить его симметрию относительно прямой $l$, не пересекающий данный отрезок и относительно точки $C$, лежащей на прямой $l$.

Решение.

Изобразим схематически условие задачи.

Изобразим для начала осевую симметрию относительно прямой $l$. Так как осевая симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A’B’$. Для его построение сделаем следующее: проведем через точки $A\ и\ B$ прямые $m\ и\ n$, перпендикулярно прямой $l$. Пусть $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Далее проведем отрезки $A’X=AX$ и $B’Y=BY$.

Изобразим теперь центральную симметрию относительно точки $C$. Так как центральная симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A»B»$. Для его построения сделаем следующее: проведем прямые $AC\ и\ BC$. Далее проведем отрезки $A^<''>C=AC$ и $B^<''>C=BC$.

Как построить фигуру относительно прямой

На этом уроке мы узнаем, что такое осевая симметрия, научимся строить фигуры, симметричные относительно оси.

Симметрия (соразмерность) – это свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Также под симметрией понимают правильность во внутреннем строении геометрического тела или фигуры.

Виды геометрических симметрий:

·центральная – это симметрия относительно точки – центра симметрии;

·осевая симметрия – это симметрия относительно оси.

Осью в математике называют прямую.

Как на занятиях аппликацией вырезать бабочку, елочку или кленовый лист, чтобы обе половинки изделия были одинаковыми? Нужно свернуть цветную бумагу пополам, нарисовать половинку необходимой фигуры, вырезать и развернуть. Получится изделие, у которого обе половинки абсолютно одинаковы, каждая является зеркальным отражением другой. При разгибании одна половинка совершает поворот на 1800. В данном случае поворот совершается относительно линии сгиба, которая является осью. Таким образом, мы получили симметричные фигуры относительно оси. Говорят, что в этом случае имеет место осевая симметрия. А о фигурах, которые можно перегнуть так, что их половинки совпадут, говорят, что они имеют ось симметрии или что они симметричны относительно оси (линии сгиба).

Выполним практическое задание. Даны прямая m и точка А, не принадлежащая прямой m. Найдем точку А1, симметричную А относительно прямой m. Проведем перпендикуляр из точки А к прямой m, продолжим его по другую сторону прямой. С помощью линейки или циркуля измерим расстояние от точки А до прямой m и отложим на продолжении перпендикуляра такое же расстояние от точки его пересечения с прямой, отметим точку А1. Точка А1 будет симметрична точке А относительно прямой m. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой m, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Прямая m – ось симметрии. Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе.

Построим геометрическую фигуру симметричную данной относительно прямой. Для этого необходимо найти точки симметричные вершинам данной фигуры относительно этой прямой и потом соединить эти точки отрезками.

Например, построим треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно оси t. Из вершин треугольника АВС проведем перпендикуляры к прямой t. Отложим расстояния от вершин треугольника до прямой t по другую сторону от оси по перпендикулярным прямым, полученные точки соединим. Получится треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС. При сгибании плоскости чертежа по оси симметрии (прямой t) симметричные фигуры (треугольники) совместятся.

Симметричными могут быть не только две фигуры, но и части одной фигуры. Так в некоторых фигурах можно провести ось симметрии. Говорят, что такие фигуры имеют осевую симметрию. Осевой симметрией обладают равнобедренные треугольники, у прямоугольников – две оси симметрии, у квадрата – четыре, а у круга – множество осей симметрии.

Геометрические тела тоже могут иметь ось симметрии: цилиндр, параллелепипед, конус.

Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Симметрично практически все: транспортные средства, предметы домашнего обихода (мебель, посуда), некоторые музыкальные инструменты.

Законы природы, которые управляют картиной явлений, также подчиняются принципам симметрии. Основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия. Симметричны листья дерева, цветы, колосья пшеницы, снежинки. Осевую симметрию имеет внешнее строение тела животных. И красота человеческого тела обусловлена пропорциональностью и симметрией.

Нагляднее всего симметрия видна в архитектуре. В сознании архитекторов она стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты. Пирамида Хеопса в Египте, Собор Парижской Богоматери и Эйфелева башня во Франции, Биг Бен в Великобритании.

Архитектура русских православных храмов и соборов также говорит о том, что с древнейших времен архитекторы хорошо знали математическую пропорцию и симметрию и использовали их при строительстве архитектурных сооружений: Кремль в Москве, Казанский и Исаакиевский соборы в Санкт-Петербурге.

Таким образом, на этом уроке мы познакомились с понятием осевая симметрия, научились строить фигуры симметричные относительно оси, узнали о роли симметрии в повседневной жизни.