Сколько окружностей можно вписать в сегмент круга

автор: admin
10.09.2023

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Этот калькулятор оценивает число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R.

Этот калькулятор выводит максимальное число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R. Например это могут быть малые трубы внутри большой, провода в кабель канале, круги, вырезаемые из круговой же заготовки и так далее.

Вы можете подумать, что для решения такой задачи должна быть выведена формула, но на самом деле это не так — формулы нет. Эта задача относится к классу оптимизационных задач, а точнее, задач упаковки. Эта задача известна как Упаковка кругов в круге. Упаковка кругов в круге — это двумерная задача упаковки, целью которой является упаковка единичных кругов в как можно меньший круг. См. Упаковка кругов в круге.

Для этой задачи найденное решение еще и должно быть проанализировано на оптимальность. Статья в википедии по ссылке выше приводит первые 20 решений (иными словами, приводит минимальные радиусы больших окружностей вмещающих заданное число единичных окружностей. Между прочим, по умолчанию входные параметры калькулятора дают ответ 11 кругов, что соответствует следующей диаграмме:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Disk_pack11.svg

Хорошей новостью является то, что есть проект в интернете, целиком посвященный задачам упаковки — сайт Packomania. На сегодняшний день он содержит все найденные решения, автор сайта, Экард Спехт (Eckard Specht), сам участвует в поиске решений, и большинство решений, на самом деле найдены им. Оттуда можно взять соотношения r к R для решений, позволяющих упаковать от 1 до 2600 окружностей внутри большой, с графическими диаграммами решения.

Соотношения r/R, приведенные на сайте и использует калькулятор ниже для поиска оптимального решения. Если соотношение не попадает в диапазон известных решений, калькулятор выдает ошибку.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

сколько малых окружностей можно вписать в большую

Задача: сколько можно вписать одинаковых окружностей радиуса r в большую окружность радиуса R.

Решить в общем случае эту задачу никак не получается. Это вообще возможно ?
Я пока пришел к выводу что нет .
Тогда частный случай этой задачи: есть 30 ( +-10) окружностей радиуса r (пусть даже все численно известено). Вопрос: какого радиуса R нужно взять большую окружность, чтоб все эти маленькие в нее вписались?
Возникает вопрос а как компановать окружности? Я как ни размышлял, пришел к выводу что сначала заполнять с максимального удаления от центра и так кругами все ближе и ближе к центру. Но это хорошо если известен большой радиус и нужно посмотреть количество. А если радиус найти надо? Как будет правильно ?

Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. «Наука», Москва, 1974.

Эта задача рассматривается в книжке под номером 110. Там есть и ссылки на другую литературу. К моменту написания книги задача была решена для числа окружностей, не превосходящего 19.

Последний раз редактировалось age 21.08.2009, 18:34, всего редактировалось 1 раз.

Задача сводится к нахождению описанной окружности вокруг правильного n-угольника такого, что каждая его сторона будет равна двойному радиусу . Тогда радиус искомой окружности будет радиус описанной окружности вокруг данного n-угольника + r.
Пусть радиус данных окружностей $r$ . Тогда для количества окружностей равного $n$ получаем правильный n-угольник со стороной . Радиус описанной около него окружности будет:
$$R_n=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><n>>\right)$» /><br />Откуда радиус искомой окружности:<br /><img decoding=$ , когда расстояние между внутренними дугами двух вписанных противоположенных окружностей превысит , внутрь можно будет поместить еще окружность. Причем по тому же самому принципу. Поэтому можно рассчитать для любого $n$ .
Единственно, что надо потрудиться рассчитать сколько будет вложений. Тут согласен, что универсальная формула будет трудоемкой.
В частности, первую дополнительную окружность можно будет поместить начиная со значения $n$ такого, что $R\geq3r$ . Откуда
$R_n\geq2r$ или

$$\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><n>>\right)>\geq2r$» />. Откуда</p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

$$sin\left(\frac<\pi><n>>\right)\leq\frac12$» />. Откуда <img decoding=$ .

Таким образом, начиная с $n=6$ для заданного радиуса уже поместится внутрь не $6$ , а $7$ окружностей.
Далее принцип тот же. Две окружности внутрь первого кольца окружностей поместить нельзя, только три. Расчет аналогичен. Когда число внтутренних окружностей достигнет $6$ внутрь них снова можно будет поместить новую окружность и так далее! Количество вложений колец может расти до бесконечности.
Является ли данный алгоритм единственным, сказать не могу. Но скорее всего, да.

— Пт авг 21, 2009 19:05:34 —

Для сорока окружностей необходимо будет посчитать число колец и как следствие число окружностей, которое в данное число колец уместится. Если число окружностей в первом (внешнем) кольце будет $p$ , то радиус внутреннего кольца, образованного вписанной в это кольцо окружности будет:
$$R_1=R_n-r=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><p_1>>\right)>-r$» />.<br />В свою очередь, в эту окружность поместится кольцо из окружностей с количеством, не большим:<br /><img decoding=$ и окружности в каждом. Таким образом, искомый радиус составил:
$$R_<40>=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><20>>\right)>+r=7,392 r$» /></p> <h2>Окружности, вписанные в сегменты, и касательные</h2> <p>Задача 0.1 В окружности w проведена хорда AB , точка M — середина одной из дуг AB . В сегмент s окружности w , стягиваемый хордой AB и не содержащий точку M , вписана окружность w 1 , касающаяся хорды AB и окружности w в точках P и Q соответственно (рис.1). Докажите, что прямая PQ проходит через M .</p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Задача 0.2 Докажите, что в условиях задачи 0.1 точка M имеет одну и ту же степень относительно всевозможных окружностей w 1 , вписанных в сегмент s . Эта степень равна MA 2 .

Напомним, что степень точки относительно окружности — это произведение отрезков секущей от данной точки до двух точек пересечения с окружностью, взятое со знаком «+», если точка лежит вне окружности, и со знаком «-«, если внутри. Как известно, указанное произведение не зависит от выбора секущей. Далее, множество точек плоскости, имеющих одинаковые степени относительно двух различных окружностей есть прямая, перпендикулярная линии центров этих окружностей (докажите). Эта прямая называется радикальной осью двух данных окружностей. Если окружности пересекаются, то радикальная ось проходит через точки пересечения окружностей. Предыдущая задача утверждает, таким образом, что радикальная ось любой пары окружностей, вписанных в сегмент s , проходит через M .

1. Параллельные касательные.

Задача 1.1 Треугольник ABC вписан в окружность w . A 0 , B 0 — середины сторон BC и CA соответственно; A ‘, B ‘ — середины дуг BC и CA , не содержащих A и B соответственно. Построим на отрезках A 0 A ‘ и B 0 B ‘ как на диаметрах окружности w A и w B . Докажите, что общая касательная к окружностям w A , w B , «ближайшая» к AB , параллельна AB .

Задача 1.2 Задачу 1.1 можно обобщить следующим образом. Пусть треугольник ABC вписан в окружность w . A 0 , B 0 — точки на сторонах BC и CA соответственно, такие что прямая A 0 B 0 параллельна AB . В сегменты, стягиваемые хордами BC и CA окружности w , не содержащие A и B соответственно, вписаны окружности w A , w B , касающиеся хорд BC и CA в точках A 0 , B 0 . Докажите, что общая касательная к окружностям w A , w B , «ближайшая» к AB , параллельна AB (рис.2).

Задача 1.3 Пусть в обозначениях задачи 1.2 A ‘, B ‘ — точки касания окружностей w 1 , w 2 с окружностью w , C ‘ — середина дуги AB , не содержащей C . Обозначим K A , K B точки пересечения отрезков AC и B ‘ C ‘, CB и C ‘ A ‘ соответственно. Докажите, что прямая K A K B параллельна AB . Если точки A 0 , B 0 — середины сторон BC и CA , то прямая K A K B проходит через центр вписанной окружности D ABC .

2. Равные касательные.

Задача 2.1 Пусть треугольник ABC вписан в окружность w , точки A 0 , B 0 , C 0 — середины его сторон, точки A ‘, B ‘, C ‘ — середины дуг BC , CA , AB окружности w , не содержащих соответственно A , B , C . Построим на отрезках A 0 A ‘, B 0 B ‘ и C 0 C ‘ как на диаметрах окружности w A , w B и w C . Для каждой пары из этих трех окружностей проведем общую внешнюю касательную, «ближайшую» к соответствующей стороне D ABC . Обозначим эти касательные l A , l B , l C . Пусть прямая l A касается окружности w B в точке T AB . Аналогичным образом определим точки касания T BA , T BC , T CB , T CA , T AC . Докажите, что отрезки касательных T AB T AC , T BC T BA и T CA T CB равны (рис.3).

Задача 2.2 В обозначениях задачи 2.1 докажите, что точки T AB , T BA , T BC , T CB , T CA , T AC лежат на одной окружности. Какая точка является центром этой окружности?

Задача 2.3 В обозначениях задачи 2.1 пусть A » B » C » — треугольник, получающийся в пересечении прямых l A , l B , l C ( A » — точка пересечения l B и l C , и т. д.). Докажите, что T AC C »= T BC C »= A » B »= AB /4.

Таким образом, отрезки касательных T AB T AC , T BC T CB и T CA T AC равны «покусочно», а D A » B » C » всегда гомотетичен D ABC с коэффициентом -1/4. Длина каждого из отрезков T AB T AC , T BC T BA , T CA T CB равна четверти периметра D ABC .

Задача 2.4 В обозначениях задачи 2.1 пусть p A — прямая, проходящая через A ‘ перпендикулярно линии центров окружностей w B , w C . Аналогично определим прямые p B , p C . Докажите, что прямые p A , p B , p C проходят соответственно через точки A », B », C » и пересекаются в одной точке.

Задача 2.5 В окружность w вписан четырехугольник ABCD . В сегменты, стягиваемые хордами AB , BC , CD , DA вписываются окружности, касающиеся соответствующей хорды в ее середине. К парам окружностей, касающихся последовательных сторон четырехугольника, проведены внешние касательные, «ближайшие» к диагоналям (рис 4). Докажите, что в пересечении этих касательных получается ромб тогда и только тогда, когда ABCD — равнобокая трапеция.

3. Схема решения задач.

Приводим схему геометрического решения

Задачи 1.1-1.2 а) Пусть I 0 — центр вписанной окружности треугольника A 0 B 0 C . Если T CA — ближайшая к прямой AB точка окружности w A , то середина дуги AB (точка C ‘), T CA и A ‘ лежат на одной прямой (задача 0.1). Также T CA , A 0 и I 0 лежат на одной прямой.

б) Если A 0 , B 0 — середины сторон D ABC , то точки C ‘, T CB , T CA , I 0 лежат на одной окружности. Подсчет углов дает параллельность T CA T CB и AB

в) Пусть A 0 , B 0 таковы, что A 0 B 0 параллельна AB . A 0 A ‘ проходит через середину дуги BAC . Отсюда подсчетом углов получаем, что точки A 0 , A ‘, I 0 , C лежат на одной окружности.

г) Треугольники C ‘ I 0 T CA и C ‘ A ‘ I 0 подобны, и значит C ‘ T CA * C ‘ A ‘= ( C ‘ I 0 ) 2 . Следовательно, C ‘ имеет одну и ту же степень относительно окружностей w A , w B .

Задача 1.3 Применим теорему Дезарга к треугольникам I 0 A 0 B 0 и C ‘ K A K B . Если A 0 , B 0 — середины сторон D ABC , то K A K B проходит через центр вписанной окружности по теореме Паскаля (рис.5).

Задача 2.1 а) Точки B ‘, T CB , T BC , C ‘ лежат на одной прямой.

б) Из подсчета углов вытекает, что D A » T CB T BC равнобедренный: A » T CB = A » T BC .

Задача 2.2 Центр окружности совпадает с центром вписанной окружности D A » B » C ». Нетрудно показать, что он равноудален от всех точек касания.

Задача 2.3 Пусть O C — центр окружности w C . Тогда треугольники C » T AC O C и AC 0 C ‘ подобны с коэффициентом 1/2. Отсюда T AC C »= T BC C »= AB /4. Аналогично T BA A »= T CA A »= BC /4 и T CB B »= T AB B »= CA /4. Из задачи 2.1 следует, что A » B »=(1/4) AB + c , B » C »=(1/4) BC + c , C » A »=(1/4) CA + c , где c — некоторая константа. Но A » B »: AB = B » C »: BC = C » A »: CA из подобия, отсюда c =0 в случае неравностороннего D ABC . Случай равностороннего D ABC легко разобрать отдельно; также можно рассмотреть его как предел неравносторонних треугольников.

Задача 2.4 Прямые p A , p B , p C — радикальные оси пар окружностей из w A , w B , w C .

Задача 2.5 Из предыдущих задач следует, что указанный четырехугольник всегда параллелограмм. Если четырехугольник — ромб, то легко видеть (рис.4), что T AB T AD + T CB T CD — T BA T BC — T DA T DC =0 или (1/4)( p ABD + p CBD — p ABC — p DBC )=0, откуда следует равенство диагоналей AC и BD .

Сколько маленьких окружностей можно вписать в большую окружность?

Есть ли какая-то закономерность, формула для окружностей с меньшими радиусами R/2,R/3,R/4,R/5 и т.д, которая определяла, сколько поместится маленьких окружностей в одной большой окружности?

Теоретически бесконечное количество окружностей, ведь в каждой меньшей окружности, вписанной в более большую окружность, а также между самими мелкими окружностями можно вписывать окружности чуть более мелкого диаметра, заполняя таким образом большую окружность сплошными линиями и точками, а эти точки так же будут иметь форму окружности.

Если выбрать ряд 0. n. 1 с шагом 0,1, то можно построить 9 окружностей с радиусом R/n (естественно, что n=0. не входит в этот ряд). Если этот ряд сделать с шагом 0,01 то получится 99 окружностей, если с шагом 0,000001, то 999999 окружностей и т.д. до бесконечности. Значит в любую окружность можно вписать бесконечно большое число окружностей меньшего диаметра. Каких-либо закономерностей здесь нет.