Что такое квадратичная функция — школьные уроки
Что такое квадратичная функция — школьные уроки.
Что такое квадратичная функция — школьные уроки — видео урок алгебры, провел и подготовил Станислав Молчанов, multistas.
В алгебре квадратичная функция имеет вид уравнения: y = ax2 + bx + c.
Где «x» — неизвестное число, а «a», «b» и «c» — это коэффициенты, представляющие известные числа, но «a» не должно быть равно 0.
Коэффициент «a» принято называть старшим, «b» — вторым коэффициентом, а коэффициент c — свободным.
График квадратичной функции имеет U-образную фигуру, называемую параболой.
Функция y = x2 — частный случай квадратичной функции y = ax2 + bx + c, где a = 1, b = 0, c = 0.
Для функции y=x2 график выглядит как улыбка, График же функции y= — x2 похож на хмурый взгляд.
Запоминаем /Что такое квадратичная функция — школьные уроки/:
1) Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх;
2) Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.
У параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви — это вершина параболы.
Ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части.
Старший коэффициент a отвечает за «крутизну» параболы: чем больше a, тем парабола круче, а чем a меньше, тем парабола шире.
Другими словами, чем больше модуль коэффициента |a|, тем ближе к оси Oy расположены ветви параболы.
Коэффициент «c» указывает, в какой точке парабола пересекает ось Oy.
Коэффициент «b» отвечает за смещение параболы от центра координат. Чем больше «b», тем левее смещается вершина параболы.
Координаты вершины параболы находят по формулам: координата x=(-b)/2a, найденный «x» подставляем в уравнение параболы и находим координату «y», которая соответствует выражению у=4ас-в2/4а.
Нули функции — это точки пересечения параболы с осью ОХ, они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0: ax2+bx+c = 0.
Для построения параболы необходимо:
1) Найти координаты вершины;
2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы;
3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение;
4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение.
Что такое квадратичная функция — школьные уроки.
Квадратичные функции могут быть очень полезны при попытке решить любое количество значений, связанных с измерениями или величинами с неизвестными переменными.
Точки на графике представляют возможные решения уравнения на основе высоких и низких точек на параболе. Минимальные и максимальные значения точек можно использовать с известными числами и переменными, чтобы усреднить другие точки на графике в одно решение для каждой отсутствующей переменной в приведенной выше формуле.
Восемь характеристик квадратичных функций.
Независимо от того, что выражает квадратичная функция, будь то положительная или отрицательная параболическая кривая, каждая квадратичная формула имеет восемь основных характеристик.
Квадратичная функция и её график
Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.
Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.
Начнем, как всегда, с простого)
Стандартная парабола.
Рассмотрим функцию y = ax 2 . Она также является квадратичной, просто b = c = 0.
При а = 1, мы получим функцию y = x 2 . Ее график назовем стандартной параболой, или классической (можешь называть как угодно). Начертить её можно с помощью таблицы значений:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.
Вершина этой параболы находится в точке (0; 0). И не забудь про то, что ветви параболы бесконечно поднимаются ввысь и не ограничены точками с координатами (3; 9) и (3; -9).
Еще одна стандартная парабола задается функцией y = —x 2 (в этом случае а = -1). Для этого графика я тоже напишу табличку:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:
Сразу напрашивается вывод: если перед х 2 стоит положительное число, то ветви параболы направлены вверх, если отрицательное — то вниз.
Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя "на ура".
Параболы со смещенной вершиной.
Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.
Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.
Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x1; y1). Тогда найти эти координаты можно по формулам:
Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.
Координату хО находим по той же формуле, а координату уО можно найти подстановкой координаты хО в функцию.
Без примера не обойтись)
Дана функция y = x 2 — 4x + 4. Найдите вершину параболы и постройте график.
Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.
1 способ: по формулам.
2 способ: подстановкой.
Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.
Итак, получили, что О(2; 0) — вершина параболы. Отмечаем ее на координатной плоскости.
Перед х 2 стоит положительное число, значит ветви параболы направлены вверх. Наша задача: нарисовать стандартную параболу, представив, что точка О — начало координат. Если тебе это сложно сделать, то необходимо начертить таблицу значений и уже по ней рисовать параболу.
Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.
Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.
Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.
А если числовой коэффициент лежит в промежутке (-∞; -1) ∪ (1; +∞), то парабола будет прижиматься к оси Оу и занимать меньше места на плоскости.
Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:
К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.
Пусть вершиной первой параболы будет точка А(хА; уА), а вершиной второй параболы — точка B(хB; уB). Вершины буду находить по второму способу (см. выше).
Переходим к таблицам значений.
| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3 |
| x | -1,5 | -1 | -0,25 | 0 | 1 |
| y | -3 | 1 | 4,5 | 3 | -3 |
Чертим обе параболы по получившимся координатам.
Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.
А ты заметил, что свободный член в уравнении функции — это точка пересечения графика с осью Оу? В обеих функциях свободный член равен 3 и графики пересекают ось Оу в точке с координатами (0; 3).
Практикум по параболам.
Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.
Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.
Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Решение. Коэффициент а, стоящий перед х 2 , отвечает за направление ветвей параболы, а свободный член с — за пересечение графика с осью Оу.
А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.
Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.
В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.
Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.
Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с < 0. Подходит вариант под номером 1.
В) Ветви направлены вниз, значит а < 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 2.
Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.
График В отличается от остальных тем, что его ветви направлены вниз. За направление ветвей отвечает коэффициент перед х 2 — он отрицательный. Отрицательный коэффициент только в функции под номером 3. Значит В-3.
Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)
Итак, рассматриваем график А и выбираем на нем точку с красивыми координатами (красивые значит не дробные). Мне нравится тут вершина. Ее координаты (4; -3). Даже не спрашивайте почему не прорисованы оси; эти задания взяты с сайта ФИПИ)
Теперь эти координаты подставляем в оставшиеся функции: вместо у подставляем -3, а вместо х подставляем 4.
Подставляем в первую функцию: -3 = 2 · 4 2 — 16 · 4 + 29; -3 = -3 — верно. Значит, А-1.
Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.
Очевидно, что В-2.
На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!
Подставляем в функцию А: 1 = (-4) 2 + 4 · (-4) + 1; 1 = 1 — верно. Значит, А-1.
Если ты считаешь, что чего-то не хватает или у тебя есть ещё задания из первой части, связанные с параболами, — напиши мне в VK)
I. Сколько пересечений у $y=f\left(x\right)$ с $y=m$ или $y=kx$
Постройте график функции . Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Задача 1: Дан график функции $y=\frac
- $m$ какое то число. Поэтому, график функции $y=m$ горизонтальная линия, проходящая в точке $(0;m)$, на ординате $m$.
- Какая горизонтальная прямая пересекается с нашим графиком ровно один раз? Посмотрим график функции $y=\frac
- Визуально видно, что горизонтальная прямая $y=m$, не пересекающая наш график, должен «протиснуться» в выколотой точке $(5;0,1)$ или .
- $m=0$ тоже ни разу не персекает, т.к. она горизонтальная асимптота! Внимание: для всех остальных $y=m$ хотя бы раз пересекает.
- Понятно, что в выколотой точке $(5;0,1)$ проходит если только $m=0,1$. ответ: $m=0$ или $m=0,1$.
- Прямые $y=kx$ «крутятся» вокруг начала координат $(0;0)$. Если $k> 0$ то, эти прямые находятся в I-ой III-ей четвертях.
- Какой из них только раз пересекается с графиком $y=\frac
- Прямая $y=kx$, проходящая в точке $(5;0,1)$ должен иметь такое $k$, чтобы $0,1=k\cdot5$ $\Rightarrow$ ответ: $k=0,02$
Прямая линия $y=kx$ — вращается вокруг начало координат $(0;0)$. $k$ коэффициент наклона
Прямая линия $y=m$ — движется горизонтально, параллельно абсциссе, на уровне «ордината $= m$.»
- Когда, при каком значении параметра, прямая проходит точку $(-5;-3)$ ?
- вращающаяся $y=kx$: проходит $(-5;-3)$ ? $\Rightarrow$ $-3=k \cdot (-5)$ .
- горизонтальная $y=m$: проходит $(-5;-3)$ ? $\Rightarrow$ $-3=m$
- При каких значения параметра прямая пересекает график функции $y=f\left(x\right)$ два раза?
- $y=kx$ вращаем вокруг $(0;0)$ . Ищем ситуации «пересекает 2 раза». С учетом «дыр, выколотых точек».
- $y=m$ двигаем горизонтально и ищем «пересекает 2 раза». Уточняем значения параметров в нужных ситуациях.
Вопросы одинакового смысла — эквивалентные утверждения:
- При каком значении параметра $k$ графики $y=\frac<9-x^2><2x-5>$ и $y=kx$ имеют две общие точки?
- При каком значении параметра $k$ прямая $y=kx$ пересекает график $y=\frac<9-x^2><2x-5>$ два раза?
- При каком значении параметра $k$ уравнение $\frac<9-x^2><2x-5>=kx$ имеет два различных решения?
- Одно и то же: «Нет общих точек» = «Нет пересечений графиков» = «Нет решений уравнения»
Алгоритм: Квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$. Ее график — Парабола.
- 1-ая точка графика: Вершина параболы находится при $x=-\frac<2a>$. Там $min/ max$ ! Координаты вершины $\left(-\frac<2a>;\frac<4ac-b^2><4a>\right)$.
- Ось симметрии параболы — вертикальная линия через Вершину . Еще точка $(0;c)$ даст пересечение с осью $Y$.
- Вычислим функцию еще в двух-четырех точках, на одинаковом расстоянии от вершины $x=-\frac<2a>\pm3$ или $x=-\frac<2a>\pm4$ .
II. Кусочные функции, . параметры
Функция на 3-х интервалах: $y=x-0,5$ при $x<-2$ $y=-2x-6,5$ при $-2\le x\le-1$ $y=x-3,5$ при $x>-1$
- Особые точки сломов-склеиваний кусков функции:. $x=-2$ $x=-1$
- Строим график $y=x-0,5$. Оставляем ее часть на интервале $(-\infty;-2)$. остальное стираем за ненадобностью.
- Строим $y=-2x-6,5$ и оставляем из интервала $-2\le x\le-1$. Прямую $y=x-3,5$ оставляем лишь на $x>-1$.
- Склеиваем три куска , каждое на своем интервале. Получим график Кусочной функции.
- Двигаем горизонтальные $y=m$: Смотрим разные $m=-7$, $m=-4,5$, $m=-3$, $m=-2,5$, $m=-1$, $m=2$, $m=5$.
- При конктретном $m=?$ главный вопрос: сколько пересечений с графиком, сколько общих точек?
- 2-ая функция: склеивание в точке $(-2;-3)$. Слева кусок прямой, справо кусок — часть параболы.
- Парабола имеет вершину в точке $(-1;-2)$. Формула вершины параболы: $x=-\frac<2a>$
- 3-ая функция: слева гипербола и справа парабола склеиваются в «сломе» $(-1;5)$
- Два пересечения с $y=c$, два корня получаются лишь при прохождении «слома», т.е. $c=5$.
- 4-ая функция: имеет «сломы» при $\left|x\right|=1$. Т.е. при $x=-1$ и $x=1$
- На интервале $-1<x<1$ оставляем кусок параболы. Вне слева и справа куски гиперболы.
- При этом для $x=1$ надо брать значение от гиперболы, из-за условий функций. Поэтому, там разрыв!
- 4-ая функция: Из-за ОДЗ радикала выпадает интервал $(0;2)$. В нем функция не существует!
- Поэтому, часть гиперболы на интервале $(0;2)$ должно быть вычеркнуто. Там нет функции.
- Когда вращающаяся $y=kx$: пересекает один раз полученный график?
- Как раз там, где он пересекал бы вычеркнутый кусок гиперболы!:
- Надо понять где этом момент начинается: — при каком $k$ прямая $y=kx$ проходит точку $(2;0,5)?$
III. Графики функций с модулями, . параметры
Модуль $\left|A\right|=A$ выражения $A>0$ равен $\left|A\right|=A$ если $A\ge0$ ; $\left|A\right|=-A$ если $A<0$
- Т.е. модуль где-то равен «+» подмодульному , а в других местах «-» подмодульному
- В зависимости от знака подмодульного выражения . Поэтому важно узнать при каких $x=?$ подмодульное обнуляется
- Составить уравнение подмодульное = 0 ,решить его и получить интервалы для раскрытия модуля.
Как и на каких интервалах раскрывать модули для функции с модулями? По критическим точкам!
- Функция с модулями на одних интервалах равна одной функции, на других — другой. В зависмости где как раскрывается модуль.
- Для верного раскрытия модулей надо установить все критические точки функции (КТ):
- Для каждого модуля составляем уравнение подмодульное = 0 и его решения дадут КТ.
- Для каждой дроби составляем уравнение знаменатель = 0 и его решения будут КТ.
- Для каждого квадратного радикала составляем уравнение подрадикальное = 0 и его решения дадут КТ.
- Расположим все полученные критические точки в порядке возрастания. Получим разбиение числовой оси на интервалы.
- На каждом интервале путем вычисления пробной точки выясняем знак подмодульного и с этим знаком раскрываем модуль!
- Как построить график 2-ой функции: с модулем $y=x^2-\left|8x+3\right|$ ?
- Слом там, где подмодульное выражение обнуляется: $8x+3=0$ $\Rightarrow$ точка слома $x=-\frac<3><8>$.
- Левее от $x=-\frac<3><8>$ модуль раскрывается со знаком «-« , а правее от нее модуль = () со знаком «+»
- Функция с модулем превращается в кусочную из двух склеивающихся парабол.
- Важные, особые точки: слом и вершины парабол, $x=-\frac<3><8>$, $x=-4$, $x=-4$. Вычислим значения функции в них!
- 3-ая функция: имеет критическую точку $x=3$. Левее от нее модуль раскрывается с знаком «-«, т.е. $\left|x-3\right|=-(x-3)$
- Для 1-ой функции еще проще: модуль левее слома $x=0$ равен $-(x)$, а правее $+(x)$
- Для 4-ой функции: составляем критические уравнения: $\frac
<3,5>-\frac<3,5> =0$ и $x=0$. Получим точки $-3,5<0<3,5$ - На интервалах $(-\infty;-3,5)$ и $(0;3,5)$ подмодульное отрицательно, поэтому модуль раскрывается как «-«. Гипербола!
- На интервалах $(-3,5;0)$ и $(3,5;+\infty)$ подмодульное положительно, раскрытие «+». Итоговая функция — линейная.
- Строим графики: гиперболу $\frac<3,5>
$ и прямую $\frac <3,5>$. Но оставляем куски лишь «своих интервалов». - Важно: четко вычислить координаты всех особых точек! «слома», «склеивания», «переходов», «обнуления под . «
IV. Графики с выколотыми точками, сокращения, ОДЗ. . параметры
Как построить график дробной функции с сокращением, «выколотыми точками»
- Для 1-ой функции: $y=\frac
- Самое главное, ОДЗ: $x-3\ne0$, $x+2\ne0$. В функции, в уравнениях точки $x=3$, $x=-2$ под запретом!
- Для сокращений используем формулы разложения: Виета $ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ сокращенное умножение $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
- Биквадратное $x^4-13x^2+36=t^2-13t+36=(t-9)(t-4)=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)$.
- Теперь, видим в числителе и знаменателе одинаковые $(x-3)$ и $(x+2)$ , можем сократить . Помним ОДЗ!
- Наша функция стала новой $y=(x+3)(x-2)$, но без учета выколотых точек $x\ne3$, $x\ne-2$ из-за ОДЗ.
- Факт: Функции и $y=\frac
- При пересечении графика с прямыми типа $y=m$ или $y=kx$ учытиваем прохождение через выколотые точки!
- 2-ая функция: совпадает с простой $y=x-3$ всюду кроме . вычислим $x-3$ в них . получим выколотые $(-3;-6)$ и $(9;6)$.
- Вращающаяся $y=kx$ ни разу не пересекает график либо проскакивая через выколотые, либо когда параллельно! При каком $k$?
- 3-ая функция: после сокращения превращается в параболу $-x^2-2$ за исключением точек $0$ и $1$. Вычилислим в них!
- 4-ая функция: равна гиперболе с выколотыми! При каком $k$ прямая $y=kx$ пройдет через выколотое?
V. Прочие функции, задачи
Задача 2: Найдите $c$ и постройте график функции $y=x^2+c$ , если известно, что прямая $y=4x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- Графики имеют одну общую точку $\Leftrightarrow$ уравнение $x^2+c=4x$ имеет одно решение $\Leftrightarrow$ дискриминант = 0 ?
Задача 3: Найдите наименьшее значение выражения $\left(5x-4y+3\right)^2+\left(3x-y-1\right)^2$ и значения $x$ и $y$, при которых оно достигается.
- Сложение квадратов? наименьшее значение тогда, когда оба обнуляются! Решаем систему $5x-4y+3=0$ и $3x-y-1=0$.
Задача 4: При каких значениях p вершины парабол $y=x^2+4px-1$ и $y=-x^2+6px-p$ расположены по разные стороны от оси $x$?
- Вершина первой по формуле $x=-\frac<2a>$ $x=-\frac<4p><2>=-2p$. Значение в нем $y=(-2p)^2+4p(-2p)-1=-4p^2-1$
- Вершина второй параболы $x=-\frac<-6p><-2>=3p$ , значение $y=-(3p)^2+6p(3p)-p=9p^2-p$
- Вершины будут по разные стороны от оси $x$ $\Leftrightarrow$ эти значения разного знака $\Leftrightarrow$ $(-4p^2-1)(9p^2-p)>0$
- Решим неравенство. Учтем $-4p^2-1$ всегда отрицательно. Уберем. Получим $9p^2-p<0$ $\Rightarrow$ $9p\left(p-\frac<1><9>\right)>0$
Задача 5: Первая прямая проходит через точки $(0; 4,5)$ и $(3; 6)$. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(-4; 7)$. Найдите координаты общей точки этих двух прямых.
- 1-ая прямая, проходящая через точки $(0; 4,5)$ и $(3; 6)$ имеет уравнение $\frac
<3-0>$ - 2-ая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(-4; 7)$, ее уравнение $\frac
<7-2>=\frac <-4-1>$ - Упростим оба: $2y-9=x$ $y-2=1-x$ . Чтоб найти общую точку, надо решить систему из двух неизвестных.
Если прямая проходит через две точки с координатами $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$
то уравнение прямой составляется так: $\frac
Задача 6: Прямая $y = 2x + b$ касается окружности $x^2+y^2=5$ в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.
- В точка касания $(x;y)$ должна удовлетворять оба равенства, т.е. систему $y = 2x + b$ и $x^2+y^2=5$. При этом $x>0$
- Подставим первое во второе: $x^2+(2x+b)^2=5$. Полученное уравнение должно иметь единственное решение.
- Квадратное уравнение имеет единственное решение, если только дискриминант равен нулю!
- $5x^2+4xb+b^2-5=0$ его дискриминант $16b^2-4\cdot5\cdot\left(b^2-5\right)=0$ $\Rightarrow$ $-4b^2+100=0$ $\Rightarrow$ $b=5$ и $b=-5$
- При $b=5$ найдем $x$ из $5x^2+4xb+b^2-5=0$: $5x^2+20x+20=0$ $\Rightarrow$ $x=-2$. нет $x>0$ !
- При $b=-5$ найдем $x$ из $5x^2+4xb+b^2-5=0$: $5x^2-20x+20=0$ $\Rightarrow$ $x=2$. есть $x>0$ !
- Условию с положительной абсциссой $x>0$ удовлетворяет пара $b=-5$ и $x=2$. Тогда $y=2x + b=4-5$. Касание $(2;-1)$
VI. Сведения о графиках функций, свойства, построения
Прямоугольная система координат: положение точки определяется двумя её координатами — абcциссой и ординатой . (А) Система координат: Абсцисса — ось $x$. Ордината — ось $y$. (В) Точка $(2;-3)$: пересечение линий: горизонтальная линия $y = -3$ ; (С) вертикальная линия $x = 2$ (Д) Точка с координатами $(x;y)$ например, $(2;-3)$ : наносим точку, справа на 2 единицы, вниз на 3 единицы.
Алгоритм: детальное построение графика заданной функции: (А) вычислить значения функции: различные $x$ — числа подставить в выражение функции и найти свои $y$ — значения. (В) составить таблицу: список точек ($x$; $y$ ), пары соответствующих $x$ — чисел и его $y$ — значений абсциссы и ординаты. (С) нанести эти точки из списка на координатную плоскость в соответствии с координатами точек. (Д) построить график: линию, проходящую через все нанесенные точки. Аккуратно, красиво! (Е) при необходимости, дополнить список новыми точками: подобрать $x$ — числа для коррекции, уточнения графика.
Функция $y=f\left(x\right)$ — это правило, по которому $x$ — аргументам соответствуют у — значения. (А) переменная $x$ называется аргументом функции. (В) $y$ переменная — значение функции при определенном аргументе. (С) $f\left(x\right)$ — Правило, или закон функции — по которому вычисляются значения функции.
Линейная функция и ее график
Линейной функцией называется функция вида $y=kx+b$ , где коэффициенты $k$ и $b$ — заданные числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Т.к прямая определяется двумя её точками, то для построения графика функции достаточно построить две точки этого графика.
Пример 1: Построить график функции $y=-2x+7$
- правило функции $f\left(x\right)=-2x+7$. Вычислим несколько значений для различных $x$ — аргументов:
- $f\left(0\right)=7$ $f\left(1\right)=-2+7=5$ $f\left(2\right)=-4+7=3$ $f\left(6\right)=-12+7=-5$ Таблица значений: $(0;7)$ $(1;5)$ $(2;3)$ $(6;-5)$ $(5;-3)$ $(-3;13)$ $(-1;5)$
- Получили список точек, их координат. Таблица значений. Отметим точки на координатной плоскости. Проведем график.
Пример 2: Построить график функции $y=5x+10$
- правило функции $f\left(x\right)=5x+10$. $f\left(-2\right)=0$ $f\left(-1,5\right)=-7,5+10=2,5$ $f\left(0\right)=10$ $f\left(1\right)=5+10=15$
- Таблица значений: $(-2;0)$ $(-1,5;2,5)$ $(-1;5)$ $(0;10)$ $(1;15)$ . Проведем график.
Cвойства графика функции $y=kx + b$
- При $b=0$ линейная функция имеет вид $y=kx$. Прямая проходит через начало координат.
- вид $y=kx$. Прямая проходит через начало координат: $x=0$ ; $y=0$
- При $b=0$ линейная функция имеет вид $y=kx$. Прямая проходит через начало координат: $x=0$ ; $y=0$
- при $k > 0$ функция $y=kx$ возрастает на всей числовой оси. (наклон прямой вправо)
- при $k < 0$ функция $y=kx$ убывает на всей числовой оси. (наклон прямой влево)
- График функции $y=kx+b$ получается сдвигом графика функции $y=kx$ на $b$ единиц вдоль оси ординат.
- Графиками функций $y=kx+b$ и $y=kx$ являются параллельные прямые.
- Замечание: для построения графика удобно находить точки пересечения с осями координат.
- Наклон графика определяется $k$ — коэффициентом функции $y=kx+a$ при $x$. чем меньше $k$ — коэффициент, тем «горизонтальнее».
- Параллельность: линейные функции $y=kx+a$ и $y=kx+b$ имеют одинаковые $k$ — коэффициент наклона, то их графики — прямые параллельны.
- Перпендикулярность: графики прямых $y=kx+a$ и $y=-\frac<1>
x+b$ взаимоперпендикулярны, произведение коэффициентов наклона равен $-1$.
Графическое решение уравнений
Пример 3: Решить уравнение $-2x+7=0,5x-5,5$ графическим способом.
- Построим прямые $y=-2x+7$ и $y=0,5x-5,5$. По чертежу найдем точку пересечения графиков
- $\left(5;-3\right)$. абсцисса этой точки является корнем данного уравнения,
- потому что, именно для этого $x$ значения
- графиков, а значит и функций, значения левой и правой частей выравниваются. ответ: $x=5$.
Пример 4: Решить систему уравнений
- Преобразуем первое уравнение системы к виду $y=3-2x$, второе уравнение системы к виду $y=5x+10$
- по чертежу найдем точку пересечения графиков: $\left(-1;5\right)$. Координаты этой точки и являются решением системы.
- При таких $x$ и $y$ оба уравнения системы выравниваются, значит такое решение удовлетворяет уравнение.
- ответ: $x=-1$ ; $y=5$
Пример 5: Найти $b$, если известно, что график $y=\frac<7><9>x+b$ проходит через точку $\left(-9;-3\right)$
- Какое число $b=?$, если при аргументе $x=-9$ функция имеет значение $y=-3$ ? Запишем это в виде условия.
- Координаты заданной точки $x=-9$ , $y=-3$. Подставим в уравнение функции эти значения:
- $-3=\frac<7><9>\left(-9\right)+b$ получим $-3+7=b$ $\Rightarrow$ $b=4$ ответ: $b=4$ , линейная функция $y=\frac<7><9>x+4$.
Линейная функция и ее график. Правила.
Линейное уравнение имеет вид $ax + by + c = 0$ . Линейная функция имеет вид $y=kx+m$
- Например: $5x–4y+6=0$ . Выразим $y$: $4y=5x+6$ разделим на $4$ : $y=\frac<5x+6><4>$ $\Rightarrow$ $y=1,25x+1,5$ .
- Полученное уравнение, равносильно первому, имеет вид $y=kx+m$ , где: $k$ и $m$ — коэффициенты (параметры).
- $x$ — независимая переменная — аргумент функции; $y$ — зависимая переменная — значение функции;
График Дробной функции
Вертикальная асимптота: $x=5$, проходит в полюсе, точке разрыва функции. Точка обнуления знаменателя. Параллельно $OY$.
Горизонтальная асисмптота: $y=2$, линия, на которую «ложится» график при значениях $x$ около $+-\infty$. Параллельно $OX$.
Гипербола — график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы «зажаты — прижаты» к асимптотическим линиям .
Пример 6: Построить график функции $y=\frac
- Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
- Тождественное преобразование, сокращение $\frac
<(x+5)(x-5)>=\frac<1> - Не спеши! Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З — в исходной функции нет места $x=5$.
- Значит: можем строить гиперболу $y=\frac<1>
- Точка $x=5$ разрывает «гладкий» график гиперболы. Она называется выколотая точка с координатами $\left(5;0,1\right)$».
Важно уметь исследовать функцию — график около точек разрыва. + / — поблизости. Куда тянется?
- Исследуем около $x=-5$. Возьмем «близкие» точки $-5,01$ и $-4,99$. Вычислим приближенные значения.
- Чуть левее . $f\left(-5,01\right)=\frac<-5,01-5><(-5,01)^2-5^2>\approx -100$. Чуть правее . $f\left(-4,99\right)=\frac<-4,99-5><(-4,99)^2-5^2>\approx 100$.
- Прямая $x=-5$ — вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается «вниз», к $-\infty$ . А справа поднимается вверх к $+\infty$.
- Около $x=5$. Чуть левее $f\left(4,99\right)=\frac<4,99-5><4,99^2-5^2>\approx0,101$. $f\left(5,01\right)=\frac<5,01-5><5,01^2-5^2>\approx0,099$.
- Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике выколотая точка $\left(5;0,1\right)$. Т.к. в ней $y=\frac<1><5+5>=0,1$.
- «О нулях»: при $x=0$ $y=0,2$ . Но функция нигде не обнуляется, $y\ne0$. Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота.
Пример 7: Построить график функции $y=\frac
- О.Д.З функции $x\ne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим $y=\frac
- График нащей функции — прямая линия $y=x-4$ с выколотой точкой $\left(-4;-8\right)$ при $x=-4$.
- «Близко чуть левее»: $x=-4,01$ значение $f\left(-4,01\right)=\frac<(-4,01)^2-16><-4,01+4>=-8,01$. Ближе? . Предел $\approx-8$.
- «О нулях». при $x=0$ $y=-4$ . Обнуление функции $y=0$ при $x=4$ — пересечение с $x$ — осью.
График Дробно — Рациональной Функции.
- Определение: дробно-рациональной порядка $\left(n;m\right)$ называется функция вида $y=\frac
- Числитель — многочлен степени $n$ , знаменатель — многочлен степени $m$ . Общий вид: $y=\frac
- Нули функции — корни числителя $P\left(x\right)=0$ , Асимптоты (полюсы) — корни знаменателя $Q\left(x\right)=0$.
Система уравнений
Пример 8: Найти общие точки графиков $\left(x-3\right)^2+\left(2-y\right)^2=50$ и $y=3-2x$
Как решать задачи на квадратичную функцию
В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.
Как найти нули квадратичной функции
Запомните! 
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y » число ноль .
Найти нули квадратичной функции .
Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.
0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x1;2 =
| 0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| ± √ 12 |
| 2 |
x1;2 =
| ± √ 4 · 3 |
| 2 |
x1;2 =
| ± 2√ 3 |
| 2 |
x1;2 = ±√ 3
| x1 = √ 3 | x2 = − √ 3 |
Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение
Запомните!
Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:
- вместо « y » подставить в функцию заданное числовое значение;
- решить полученное квадратное уравнение относительно « x ».
При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».
Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».
Ответ: при « x = 0 » и « x = 1 » функция « y = x 2 − x − 3 » принимает значение .
Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой
Запомните!
Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:
- приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся « x »);
- решить полученное уравнение относительно « x »;
- подставить полученные числовые значения « x » в любую из функций и найти координаты точек по оси « Оy ».
Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».
Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».
Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.
2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.
Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.
Ответ: точки пересечения параболы и прямой
(·) A (−3; 9) и (·) B (1; 1) .
Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Не строя графика функции « y = x 2 », определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6) , .
Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) А(2; 6) .
Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции .
Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) B(−1; 1) .
Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции .
Как найти точки пересечения параболы с осями координат
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.
Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:
Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».
Запишем координаты точек пересечения графика с осью « Ox »: и .
Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».
Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.
Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».
y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2
Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)
Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.
Ответ: точки пересечения с осью « Ox »: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0) .
С осью « Oy »: (·)C (0; 2) .
Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения
Напоминаем, что когда в задании говорится « функция принимает значения» — речь идет о значениях « y » . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях « x », координата « y » положительна или отрицательна.
Запомните!
Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:
- провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось « Ox »;
- определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
- записать ответ для каждого промежутка относительно « x ».
С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.
Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.
Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.
Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.
Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.
Ваши комментарии
Важно! 
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».