Как найти потенциал в точке между двумя зарядами

4. Расчет потенциала электрического поля, созданного дискретными зарядами.

Электростатическое поле точечного заряда характеризуется не только вектором напряженности (см. (3.1)), но и потенциалом :

Из (4.1) видно, что потенциал – это скалярная величина, которая может быть как положительная, так и отрицательная в зависимости от знака заряда.

Используя принцип суперпозиции полей, можно найти потенциал результирующего электрического поля в заданной точке О как алгебраическую сумму потенциалов полей, созданных каждым зарядом независимо друг от друга (см. рис. 1):

Задача 5.

Используя условие задачи 4, найти потенциал  электрического поля в точке Р.

Решение:

Подставим данные из задачи 4 в формулу (4.2):

Ответ: _рез = 34,1 кВ

4.1 Заряд находится в вершине квадрата со стороной , а заряд – в центре. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся в другой вершине этого квадрата (см. рис.).

4.2 З аряды и находятся в соседних вершинах квадрата со стороной . Найти потенциал электрического поля в точке Р, делящей сторону квадрата на два равных отрезка (см. рис.).

4.3 З аряды и находятся в соседних вершинах квадрата со стороной . Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся на середине противоположной стороны квадрата (см. рис.).

4.4 Заряд находится в вершине квадрата со стороной , а заряд – на середине стороны. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся на середине противоположной стороны квадрата (см. рис.). мкКл, мкКл, м.

4.5 З аряд находится в вершине квадрата со стороной , а заряд – на середине стороны. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся на середине стороны квадрата (см. рис.).

4.6 З аряд находится в вершине квадрата со стороной , а заряд – на середине стороны. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся в противоположной вершине квадрата (см. рис.).

5. Расчет потенциала электрического поля, с озданного распределенным зарядом.

Электрическое поле часто создается не дискретными зарядами, а распределенными в пространстве с плотностью . Тогда необходимо разбить заряженную область на малые элементы с объемом и зарядом (см. рис.3). При расчете потенциала в некоторой точке пространства О принцип суперпозиции (4.2) для бесконечного числа таких элементов будет выглядеть следующим образом:

– где – расстояние от малого элемента с зарядом до точки О.

Часто заряд распределяется вдоль тонкой линии, тогда заряд малого элемента длины лучше выражать через линейную плотность заряда , и уравнение (5.1) преобразуется в

Положительный заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса R = 1 м с линейной плотностью , где 0< < ,

₀ = 1 мкКл/м. Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре полукольца.

Выделим элемент dl = Rd на полуокружности и, учитывая, что расстояние от элемента до точки О равно , по формуле (5.2) рассчитаем потенциал в точке О:

Ответ: 9,42 кВ

Тонкий стержень заряжен неравномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью , где х – координата точки на стержне, b = 1 м – длина стержня, ₀ = 1 мкКл/м. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?

Выделим элементарный заряд dq на стержне длиной dx на расстоянии х от начала координат О (см. рис.5). Учитывая, что r = x, а

dq = dx, найдем по формуле (5.2) потенциал в точке О:

Ответ: 4,5 кВ

5.1 Вдоль стержня длины равномерно распределен заряд . Найти потенциал в точке на продолжении стержня на расстоянии от его конца (см. рис.). м, м, мкКл.

5.2 Вдоль стержня длины равномерно распределен заряд с линейной плотностью . Найти потенциал в точке на продолжении стержня на расстоянии от его конца (см. рис.).

5.3 П оложительный заряд распределен по тонкому кольцу радиуса с линейной плотностью . Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре кольца.

R = 1 м, мкКл/м.

5.4. П оложительный заряд распределен по тонкому кольцу радиуса с линейной плотностью . Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре кольца.

R = 1 м, мкКл/м.

5.5 Положительный заряд распределен по тонкому кольцу радиуса с линейной плотностью . Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре кольца.

R = 1 м, мкКл/м.

5.6 Тонкий стержень заряжен неравномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью , где х — координата точки на стержне, b — длина стержня. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня? м, мкКл/м.

5.7 П оложительный заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса с линейной плотностью . Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре полукольца.

5.8 Положительный заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса с линейной плотностью . Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре полукольца.

R = 1 м, мкКл/м.

5 .9э. Электрон перемещается в кулоновском поле заряженной частицы из точки А в точку В в одном случае по траектории 1, в другом случае по траектории 2. Как соотносятся величины работ, совершаемых электрическим полем над электроном, в этих двух случаях?

6. Расчет напряженности электрического поля,

созданного распределенным зарядом.

Применение принципа суперпозиции (3.2) для нахождения напряженности электрического поля в векторной форме вызывает большие трудности из-за бесконечного числа элементарных зарядов dq, распределенных в пространстве. В этом случае необходимо воспользоваться не векторным сложением вкладов полей , а сложением их проекций:

З аряд распределен по тонкому полукольцу радиуса = 1 м с линейной плотностью

Определить проекцию на ось напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полукольца, если мкКл/м.

Как видно из рис.6, проекция на ось х напряженности электрического поля, созданного элементарным зарядом в точке О равна:

Учитывая, что , а , получим

Ответ: 4,5 кВ/м

6.1 Вдоль стержня длины равномерно распределен заряд . Найти величину напряженности электрического поля в точке на продолжении стержня на расстоянии от его конца (см. рис.). м, м, мкКл.

6.2 Вдоль стержня длины равномерно распределен заряд с линейной плотностью . Найти величину напряженности электрического поля в точке на продолжении стержня на расстоянии от его конца (см. рис.).

6.3 Заряд распределен по тонкому кольцу радиуса с линейной плотностью .

Определить величину проекции на ось напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре кольца, если

R = 1 м, мкКл/м.

6.4 Тонкий стержень заряжен неравномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью , где х — координата точки на стержне, b — длина стержня. Чему равна величина напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?

6.5 Тонкий стержень заряжен неравномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью , где х — координата точки на стержне, b — длина стержня. Чему равна величина напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня? м, мкКл/м.

6.6 Заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса с линейной плотностью .

Определить проекцию на ось напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полукольца, если R = 1 м, мкКл/м.

6.7 Заряд распределен по тонкому кольцу радиуса с линейной плотностью

Определить величину проекции на ось напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре кольца, если

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Если заряды одноименные, то потенциалы складывать надо, а если разноименные, то вычитать. Правильно думаю?

То есть в данном случае `phi=phi_1+phi_2=(kq)/r+(kq)/r=(2kq)/r` ?

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Если заряды одноименные, то потенциалы складывать надо, а если разноименные, то вычитать. Правильно думаю?

То есть в данном случае `phi=phi_1+phi_2=(kq)/r+(kq)/r=(2kq)/r` ?

Просто не очень понимаю откуда формула берется.
Работа по перемещению пробного заряда `q` в электрическом поле источником которого является положительный заряд `q_1` из точки 1 в точку 2 равна `A=(kqq_1)/r_1-(kqq_1)/r_2=W_(p_1)-W_(p_2)`, отсюда видно, что потенциальная энергия положительного заряда в какой-то точке `W_(p)=(kqq_1)/r_1` пусть за ноль взята бесконечно удаленная точка.
Работа по перемещению пробного заряда `q` в электрическом поле источником которого является отрицательный заряд `q_2` из точки 1 в точку 2 равна `A=-((kqq_2)/r_1-(kqq_2)/r_2)=-(W_(p_1)-W_(p_2))=W_(p_2)-W_(p_1)` т.к. как радиус вектор направлен против электрической силы, отсюда видно, что потенциальная энергия отрицательного заряда `W_(p)=-(kqq_2)/r_1`.
Потенциальная энергия системы из этих двух зарядов в данной точке равна их сумме
`W_(p)=(kqq_1)/r_1-(kqq_2)/r_1=(kq(q_1-q_2))/r_1`.
Потенциал поля системы двух зарядов
`phi=(kq(q_1-q_2))/(qr_1)=(k(q_1-q_2))/r_1`.

p.s. тут что-то отрицательный взял, забыл что у меня положительные, но не суть. Как-то так это олучается? А то в Пинском "Физика 10" что-то не очень понятно написано что и откуда берется.

А я прямо с Пинского брал, вот по такой логике как на рисунках.

То есть точку 1 принял за начальное положение пробного заряда, то есть в данной задаче `r_1=0,5`м, а точку 2 какую-то другую, в которую мы якобы желаем перенести заряд, т.е. исходя из рисунка `r_2>r_1`, а затем эту точку 2 переношу на бесконечность, то есть `r_2->infty`, следовательно второе слагаемое `(kqq_1)/r_2->0`. То же самое сделал и с отрицательным зарядом. Тем самым я подумал, что это и будет потенциальная энергия в данной точке.

Как найти потенциал в точке между двумя зарядами

Потенциал. Разность потенциалов. ЗАДАЧИ с решениями

Формулы, используемые на уроках «Решение задач на тему: Работа перемещения заряда в электрическом поле. Потенциал. Разность потенциалов» для подготовки к ЕГЭ.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1. Металлический шар диаметром d заряжен с поверхностной плотностью зарядов σ. Найти потенциал φ этого шара, если он окружен заземленной проводящей сферой, имеющей общий с шаром центр. Диаметр сферы D. Среда — воздух.

Задача № 2. Потенциал заряженного шара φ₁ = 300 В. Чему равен потенциал φ₂ электрического поля этого шара в точке, отстоящей на расстоянии l = 50 см от его поверхности, если радиус шара R = 25 см?

Задача № 3. Определить потенциал φ точки поля, находящейся на расстоянии а = 9 см от поверхности заряженного шара радиусом R = 1 см, если поверхностная плотность зарядов на шаре σ = 1 • 10 –11 Кл/см 2 . Среда — воздух.

Задача № 4. В точке 1 поля точечного заряда-источника потенциал φ₁ = 40 В, а в точке 2 φ₂ = 10 В. Найти потенциал φ в точке М, лежащей посередине между точками 1 и 2 (рис. 3-6).

Задача № 5. В трех вершинах квадрата со стороной а = 20 см находятся заряды q₁ = 1 • 10 –8 Кл, q₂ = 2 • 10 –8 Кл и q₃ = 2 • 10 –8 Кл (рис. 3-7). Определить потенциал φ электрического поля, созданного этими зарядами в четвертой вершине.

Задача № 6. Четыре одинаковых точечных заряда q расположены на одной прямой на расстоянии r друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы переместить эти заряды в вершины тетраэдра со стороной r? Среда — вакуум.

Задача № 7. Два одинаково заряженных шарика диаметрами d = 0,5 см каждый расположены на расстоянии l = 2 см между их поверхностями (рис. 3-14). До какого потенциала φ они заряжены, если сила их отталкивания друг от друга F = 2 мкН? Среда — воздух.

Задача № 8. В однородном электрическом поле напряженностью Е = 2 кВ/см переместили заряд q = –20 нКл в направлении силовой линии поля на расстояние d = 10 см. Найти работу поля А, изменение потенциальной энергии поля ΔW_п и напряжение (разность потенциалов) U между начальной и конечной точками перемещения.

Задача № 9. Между двумя горизонтальными плоскостями, заряженными разноименно и расположенными на расстоянии d = 5 мм друг от друга, находится в равновесии капелька масла массой 20 нг (нанограмм) (рис. 3-10). Найти число избыточных электронов N на этой капельке. Среда — воздух. Разность потенциалов между плоскостями U = 2 кВ.

Задача № 10. На пластине М поддерживается потенциал φ₁ = +80 В, а на пластине N – φ₂ = –80 В (рис. 3-11, а). Расстояние между пластинами d = 10 см. На расстоянии d₁ = 4 см от пластины М помещают заземленную пластину Р (рис. 3-11, б). Найти изменение напряженности ΔЕ₁ поля на участке МР и изменение напряженности поля ΔЕ₂ на участке PN при этом. Построить графики зависимостей напряженностей Е = Е(х) и потенциала φ = φ(х) от расстояния между точками поля и пластинами.

Это конспект по теме «Потенциал. Разность потенциалов. ЗАДАЧИ с решениями». Выберите дальнейшие действия:

Как найти потенциал в точке между двумя зарядами

Разность потенциалов (напряжение) между 2-мя точками поля равняется отношению работы поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к этому заряду:

Так как работа по перемещению заряда в потенциальном поле не зависит от формы траектории, то, зная напряжение между двумя точками, мы определим работу, которая совершается полем по перемещению единичного заряда.

Если есть несколько точечных зарядов, значит, потенциал поля в некоторой точке пространс­тва определяется как алгебраическая сумма потенциалов электрических полей каждого заряда в данной точке:

Эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью равного потенциала, является поверхность, для любых точек которой разность потенциалов равна нулю. Это означяет, что работа по перемещению заряда по такой поверхности равна нулю, следовательно, линии напряженности электрического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности однородного поля представляют собой плоскости, а точечного заряда — концентрические сферы.

Вектор напряженности (как и сила ) перпендикулярен эквипотенциальным поверхнос­тям. Эквипотенциальной является поверхность любого проводника в электростатическом поле, так как силовые линии перпендикулярны поверхности проводника. Внутри проводника разность потенциалов между любыми его точками равна нулю.

Напряжение и напряженность однородного поля .

В однородном электрическом поле напряженность E в каждой точке одинакова, и работа A по перемещению заряда q параллельно на расстояние d между двумя точками с потенциалами φ₁, и φ₂ равна:

Т.о., напряженность поля пропорциональна разности потенциалов и направлена в сторону уменьшения потенциала. Поэтому положительный заряд будет двигаться в сторону уменьшения потенциала, а отрицательный — в сторону его увеличения.

Единицей напряжения (разности потенциалов) является вольт. Исходя из формулы , , разность потенциалов между двумя точками равна одному вольту, если при перемещении заряда в 1 Кл между этими точками поле совершает работу в 1 Дж.

Электрический потенциал простыми словами: формулы, единица измерения

Электрический потенциал – это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля.

Если вы хотите расширить свои знания об электрическом потенциале или сначала узнать, что такое электрический потенциал, то вы пришли по адресу.

Простое объяснение

В классической механике рассмотрение проблемы с точки зрения энергии может значительно упростить ситуацию по сравнению с рассмотрением ее с точки зрения сил, действующих на систему. В частности, в этом контексте существенную роль играет тот факт, что энергия является сохраняющейся переменной.

Также в классической электродинамике рассмотрение на энергетическом уровне оказывается очень полезным. Поэтому электрический потенциал φ (также называемый электростатическим потенциалом) определяется как отношение потенциальной энергии E_пот пробного электрического заряда и его величины электрического заряда q: φ = E_пот / q .

Возможность определения такого электрического потенциала обусловлена тем, что электрическое поле E распределения заряда и результирующая электростатическая сила F_c на пробном электрическом заряде является консервативной силой, подобной гравитационной силе.

Электрический потенциал имеет единицу измерения вольт В или также джоуль на кулон Дж / Кл .

Формулы

В этом разделе мы познакомим вас с двумя важными формулами для электрического потенциала определенных распределений электрических зарядов. Мы также кратко обсудим аналогию между электрическим потенциалом и гравитацией.

Пластинчатый конденсатор

Мы рассматриваем ситуацию, когда две плоские пластины расположены параллельно на расстоянии d друг от друга. Кроме того, пусть одна из двух пластин заряжена положительно, а другая – отрицательно. Такая комбинация также называется пластинчатым конденсатором. Обозначим точку на положительной пластине через A, а точку на отрицательной пластине через B. Тогда для разности потенциалов между этими двумя точками получим:

Здесь E – величина электрического поля между двумя пластинами, которое предполагается однородным. Такая разность потенциалов также называется электрическим напряжением, которое существует между этими двумя точками.

Из этого уравнения видно, что электрический потенциал на положительно заряженной пластине (пластина A) выше, чем потенциал на отрицательно заряженной пластине (пластина B). Поэтому положительный заряд в пластинчатом конденсаторе перемещается к отрицательной пластине. В общем случае электрическое поле – а значит, и направление движения положительного заряда – направлено в ту сторону, в которой электрический потенциал убывает быстрее всего.

Рис. 1. Пластинчатый конденсатор

Аналогия с гравитационным полем

Если умножить уравнение (приведенное выше в статье) на величину электрического заряда q пробного электрического заряда и предположить, что отрицательно заряженная пластина имеет электрический потенциал, равный нулю, то электрическая потенциальная энергия на расстоянии h от пластины равна:

E_{пот. эл} = q * φ = q * E * h

Здесь φ обозначает электрический потенциал в точке пробного электрического заряда.

Сравним это уравнение с потенциальной энергией в однородном гравитационном поле:

E_{пот. гр} = m * g * h .

Мы определяем, что количество заряда электрического q играет роль массы m, а величина электрического поля E играет роль гравитационного ускорения g. Масса, находящаяся на высоте h над землей, ускоряется по направлению к земле под действием земного притяжения.

Таким образом, масса движется в том направлении, в котором уменьшается ее потенциальная энергия. Аналогично, положительный электрический заряд движется в направлении, в котором его электрическая потенциальная энергия будет уменьшаться. Поскольку электрическая потенциальная энергия и электрический потенциал линейно связаны, это наблюдение аналогично тому, что положительно заряженная частица движется в направлении уменьшения электрического потенциала.

Рис. 2. Аналогия с гравитационным полем

Подобно потенциальной энергии, только разность потенциалов имеет физический смысл, поскольку при определении электрического потенциала необходимо произвольно определить точку отсчета, от которой затем можно обозначить другие точки в пространстве. В этом смысле электрический потенциал сам по себе не имеет реального физического смысла, поскольку для данной точки в пространстве его значение можно изменить, выбрав другую точку отсчета. Таким образом, электрический потенциал ведет себя подобно высоте, потому что вы не можете говорить о высоте, пока у вас нет точки отсчета.

На топографической карте – пути, вдоль которых высота не меняется, называются изолиниями. Аналогично, пути, вдоль которых электрический потенциал постоянен, называются эквипотенциальными линиями.

Заряженные частицы

Предположим, что частица с зарядом q находится в начале выбранной нами системы координат. Пусть положение другой точки равно r и пусть r – расстояние между двумя точками. Для электрического потенциала в точке r действует следующее соотношение:

φ (r) = q / 4 * π * ε₀ * r ,

здесь ε₀ – электрическая постоянная.

В этом уравнении предполагается, что под действием электрического поля положительный пробный электрический заряд переносится из бесконечности в положение r.

Примеры задач

Наконец, давайте вместе рассчитаем небольшой пример. Предположим, что электрон ускоряется от отрицательно заряженной пластины к положительно заряженной через разность потенциалов 2000 В. Как изменяется потенциальная энергия электрона?

Для разности электрических потенциалов между двумя пластинами: φ_B – φ_A = ΔE_пот / q , преобразованной в искомое изменение потенциальной энергии, получаем:

Величина электрического заряда электрона равна q_e = e = – 1,6 * 10 -19 Кл и поэтому получаем:

ΔE_пот = e * ( φ_B – φ_A ) = – 1,6 * 10 -19 Кл * 2000 В = -3,2 * 10 -19 Дж.

Обратите внимание, что [ В ] = Дж / Кл. Кроме того, мы предположили, что пластина с точкой B заряжена положительно, поэтому перед 2000 В нет знака минус. Расчет показывает, что потенциальная энергия электрона уменьшается.

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Задача №6.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Решение задачи:

Так как заряды одинаковы, и они находятся на одинаковом расстоянии \(r\) от точки A, в которой нужно определить потенциал, значит потенциалы электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, также одинаковы. Это видно из формулы:

Здесь \(k\) – коэффициент пропорциональности, равный 9·10 9 Н·м 2 /Кл 2 .

Учитывая, что точка A находится посредине между двумя зарядами (\(r=\frac \)), то:

Искомый потенциал \(\varphi\) равен сумме потенциалов электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, поскольку потенциал – величина скалярная. Учитывая вышесказанное, имеем:

В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:

Ответ: 1,8 кВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.