Что значит def в математике

Лекции по математическому анализу I-го семестра для факультетов к, б.

Def.1 Множество–это наиболее общее понятие высшей математики – некоторый набор различных объектов.

Обозначаются большими буквами А,B,С,X. Элементы множеств -a,b,c,x..

Если А=B,то эти множества состоят из одинаковых элементов,

Операции над множествами.

1) Операция взятия подмножества (выделение):

AB — А является подмножеством множества В

аАаВ, (ABBA)  A=B (можно писать АА)

- пустое множество ,по определениюА

Операция объединения множеств:

(AB ):= (cA  cB) c AB

Операция пересечения множеств:

(AB) := (c  Ac B) c  A  B

Операция разности множеств:

A\B = те элементы в А которые в В не содержатся

Множества бывают конечные и бесконечные (с конечным и бесконечным количеством элементов).

Способы задания множества.

C помощью задания общего свойства

A = – в это мнножество входят те элементы а, которые обладают свойством

Отображение множества функции.

Def.1 Пусть заданы два множества А В и пусть заданы два правила f и пусть

каждому элементу хА ставится в соответствии элемент уВ (хАуВ)

Тогда говорят , что на множестве Азадана функцияпринимающая значение на множестве

В или функция f отображает множество А на множество В . При этом множество А называется областью определения функции.Элемент у соответствующий элементу х называетсяобразом элемента, а элемент х соответствующий у —прообразомэлемента.

Примеры : f:AB , f:xy , f:xf(y) илиx:f(y).

Элемент ух обозначается f(х) и называетса значением функции в т. х

Классификация функций.

Def1 Пусть САoбразоммножества С при отображении f:АВ называется

f(A) — область значений функции.

Def.2 Пусть заданоDB иf:AB . ПрообразоммножестваDпри отображении f называется f -1 (D):= .

Def.1 Отображение f:XY – сюръективное(отображениена) еслиY=f(x)

Def.3 f:xY – биективное,если f- сюрьективное и инъективное

f:XY — биекция,yY !x:y=f(x) xy , y=f(x) x=f -1 (y)

Пусть :y=f(x) f:XY , z=f(y) g:YZ g₀ f:XZ , g₀ f(x):=g(f(x)) , (x,y):y=f(x) — график функцииy=f(x).

Cравнение множеств.

A,B aA , bB A и B равномощны (AB),если для f:AB , является биекцией.

Th.: A, B — счетные множества AB — cчетно.

Cледствие: A₁ . A_n — счетные множества A₁ . A_n — cчетное множество.

Пусть k=1,тогдаA₁ — счетное множество,kk+1 (A₁ . A_k )=B — cчетно

A₁ . A_k  A_k+1 =BA_k+1 Итак,объединение любого кончного числа — счетное множество

A₁ =< a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ , .…, a_1n , …>

A₂ =< a₂₁ , a₂₂ , a₂₃ , . a_2n , …> будем вычеркивать повторяющиеся элементы

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?

Последний раз редактировалось Denis Russkih 20.09.2013, 23:37, всего редактировалось 2 раз(а).

Прошу извинить за бредовый вопрос, но вот начал читать Зорича и завис на этом моменте. 🙂

Скажем, там приводится такое равенство по определению:

$(A \subset B) := \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Так вот, как я ни старался, так и не смог постичь, зачем конкретно нужен выпендрёж с дополнительным значком присваивания. 🙂 Почему нельзя просто написать:

$(A \subset B) \Leftrightarrow \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Очевидно, специальный символ «равно по определению» использован не просто так, но какой именно глубокий смысл в этом сокрыт. Значок нарисовали просто для того, чтобы показать, в каких случаях его можно использовать. Или тут что-то большее?

Далее на той же странице написано:

$(A = B) \Leftrightarrow (A \subset B) \wedge (B \subset A)$

Здесь Зорич символом «равносильно» не побрезговал. 🙂 Но почему так? Почему бы не использовать и здесь «равенство по определению»?

Я долго пытался понять, что же такого есть в одном высказывании, чего нет в другом (придумал сразу несколько версий, одна другой причудливее), и в итоге понял, что мой мозг не справляется с обработкой этой задачи. 🙂

Такое впечатление, что это никак не объяснимо с логической точки зрения, а относится к чему-то сакральному, что называют «математической культурой» и передают в ходе живого общения.

Поскольку я математику пытаюсь изучать самостоятельно, по книгам, просто как хобби, то с «математической культурой» у меня напряг. 🙂

Может, кто-нибудь пояснит, в каких случаях используется символ «равно по определению», и почему там нельзя использовать «равносильно»? И в каких случаях, наоборот, можно использовать лишь «равносильно», а «равно по определению» — нельзя.

Я, конечно, пытался гуглить, но только ещё больше запутался. Оказалось, существует ещё и символ
$:\Leftrightarrow$
который означает «равносильно по определению»! Это слишком для моего разума! 🙂

Почему очень похожие высказывания в каких-то случаях «равны по определению», в каких-то — «равносильны», а где-то, оказывается, могут быть и «равносильны по определению».

Последний раз редактировалось venco 21.09.2013, 00:04, всего редактировалось 1 раз.

Равносильно — значит это равенство можно доказать.
Определение же вводит новое понятие, которого ранее не было. В данном случае — понятие подмножества. В принципе это некоторого рода аксиома, хотя аксиома не обязательно вводит новое понятие.
Используя это (и ранее введённые определения и аксиомы) можно доказать равносильность вашего равенства множеств.

Последний раз редактировалось provincialka 20.09.2013, 23:57, всего редактировалось 1 раз.

А что такое определение? Утверждение, придающее смысл некоему новому понятию. Каждое понятие когда-то вводится в первый раз. Например, мы дали определение синусу и косинусу. Можно ли теперь написать $$\frac<\sin x><\cos x>=\tg x$» />, если понятие «тангенс» еще не вводилось? Ведь такое равенство невозможно будет проверить! Нет, сначала задаем <img decoding=$ — то есть «по определению», но не смогла

А вот в вашем примере с равенством множеств, наоборот. Само равенство, видимо, задается (определяется) другим утверждением (например, через элементы множеств). Равносильность же показывает, что это определение можно записать и с помощью знака включения.

В общем первое упоминание нового понятия требует присвоения, а все последующие — равносильности (или, скажем, следования и т.п.)

Кстати, такой простой знак, как «равно» может иметь самый разный смысл. Например, постоянную функцию можно описать равенством $y = 2$ . Но равносильно ли оно равенству ?

Дифференциальный оператор

3) Предыдущие примеры могут быть перенесены на случай комплексного поля, локально компактного вполне несвязного поля и (по крайней мере в случае линейных дифференциальных операторов) даже в более общую ситуацию.

В определении дифференциального оператора и его обобщений (кроме обычных производных) часто используются не только обобщенные производные (естественно возникающие при рассмотрении расширений дифференциальных операторов, заданных на дифференцируемых функциях) и слабые производные (связанные с переходом к сопряженному оператору), но и производные дробного и отрицательного порядков. Более того, само дифференцирование заменяется преобразованием Фурье (или другим интегральным преобразованием), применяемым к области определения и значения такого обобщенного дифференциального оператора так, чтобы получить возможно более простое представление соответствующей дифференциальному оператору функции F <\displaystyle F>и достичь разумной общности постановки задач и хороших свойств рассматриваемых объектов, а также построить функциональное или операционное исчисление (продолжающее соответствие между оператором дифференцирования и оператором умножения на независимую переменную, осуществляемое преобразованием Фурье).

Такие вопросы теории дифференциальных уравнений, как существование, единственность, регулярность, непрерывная зависимость решений от начальных данных или правой части, явный вид решения дифференциального уравнения, определённого данным дифференциальным выражением, естественно интерпретируются в терминах теории операторов как задачи дифференциального оператора, определённого данным дифференциальным выражением в подходящих функциональных пространствах, а именно — как задачи о ядре, образе, изучении структуры области определения данного дифференциального оператора L <\displaystyle L>или его расширения, непрерывности обратного оператора к данному дифференциальному оператору и явного построения этого обратного оператора. Вопросы L <\displaystyle L>(при условии единственности решений) осуществлял гомеоморфизм области определения и области значений в этих топологиях (эта теория связана с теорией интерполяции и шкал функциональных пространств, особенно в случаях линейных и квазилинейных дифференциальных операторов), или в подборе дифференциальных операторов, близких к данному в том или ином смысле (что позволяет, используя различные топологии в множестве дифференциальных операторов, обосновывать методы аппроксимации уравнений, в том числе метод регуляризации, метод штрафа и некоторые итерационные методы регуляризации). Теория дифференциальных операторов позволяет применить классические методы теории операторов, например теорию вполне непрерывных операторов, метод сжатых отображений в различных теоремах существования и единственности решений дифференциальных уравнений, в теории бифуркации решений и в нелинейных задачах о собственных значениях. Часто оказывается возможным использовать наличие в функциональных пространствах, где определён дифференциальный оператор, естественной структуры порядка (в частности, применить теорию монотонных операторов), использовать методы линейного анализа (теорию двойственности, теорию выпуклых множеств, теорию сопряженных операторов, теорию диссипативных операторов), вариационные методы и теорию экстремальных задач, а также наличие некоторых дополнительных структур в области определения области значений (например, комплексной, симплектической и т. д.) для выяснения структуры области значений и ядра дифференциального оператора, то есть получения информации о классе решений соответствующих уравнений. Ряд задач, связанных с дифференциальными выражениями, приводит к необходимости изучения дифференциальных неравенств, естественно связанных с многозначными дифференциальными операторами.

Но теория дифференциальных операторов даст возможность поставить и решить и ряд принципиально новых задач по сравнению с классическими задачами теории дифференциальных уравнений. Так, для нелинейных операторов представляют интерес изучение структуры множества его неподвижных точек и действие оператора в их окрестности, а также классификация этих особых точек и вопрос об устойчивости типа особой точки при возмущении данного дифференциального оператора; для линейных дифференциальных операторов кроме указанных выше задач, представляют интерес задачи об описании и изучении спектра дифференциальных операторов, построения его резольвенты, вычислений индекса, описание структуры инвариантных подпространств данного дифференциального оператора, построение связанного с данным дифференциальным оператором гармонического анализа (в частности, разложения по собственным функциям, что требует предварительного изучения вопросов полноты системы собственных и присоединенных функций), изучения линейных и нелинейных возмущений данного дифференциального оператора. Эти задачи представляют особый интерес для эллиптических дифференциальных операторов, порожденных симметричными дифференциальными выражениями, в связи с теорией самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (в частности, со спектральной теоремой для таких операторов и теорией расширений симметричных операторов). Теория ряда задач гиперболических и параболических (не обязательно линейных) дифференциальных операторов связана с теорией групп и полугрупп преобразований локально выпуклых пространств.

Пожалуй, наиболее исследованный (помимо линейных) класс дифференциальных операторов, к тому же имеющий широкое практическое применение, — дифференциальные операторы, не изменяющиеся вообще или меняющиеся по вполне определённому закону при действии на область их определения и соответствующим образом на дифференциальное выражение некоторых преобразовании, составляющих группу G <\displaystyle G>(или полугруппу). Таковы, например, инвариантные дифференциальные операторы, тесно связанные с представлениями группы G <\displaystyle G>; G <\displaystyle G>группа всех дифферморфизмов), длинный ряд операторов теоретической физики и т. п. Функционально-геометрические методы полезны и при исследовании дифференциальных операторов с так называемой скрытой симметрией.

Теория дифференциальных операторов, являющаяся составной частью общей теории операторов, играет в последнее время все более значительную роль не только в теории дифференциальных уравнений, но и вообще в современном анализе, причём не только как важный конкретный пример неограниченных операторов (это в особенности касается теории линейных дифференциальных операторов), но и как аппарат представления и средство изучения объектов различной природы: так, например, любая обобщенная функция (и даже гиперфункция) получается действием некоторого обобщенного дифференциального оператора на непрерывную функцию. Наконец, непрерывно возрастает роль и влияние теории дифференциальных операторов в других разделах математики — например, одно из решений так называемой проблемы индекса связывает топологические харакеристики мпогообразия с наличием на нем определённого класса дифференциальных операторов, что позволяет сделать заключение о свойствах эллиптических комплексов на этом многообразии.

07. Предел функции

В математике вводится понятие e-окрестности точки М0 по аналогии с географической окрестностью. Белгород, Ахтырка, Красноград, Лозовая, Купянск, Изюм – все пункты попадают в 100-километровую окрестность г. Харькова, и еще много крупных и мелких населенных пунктов…

Def: –окрестностью точки М0 называется совокупность всех точек М, расстояние которых до точки М0 меньше : .

В одномерном пространстве e-окрестность точки М0 Охватывает на прямой точки внутри интервала , см. рис.1.

В пространстве это все точки в круге радиуса с центром в точке : .

В пространстве e-окрестность точки М0 захватывает все точки внутри шара с центром в точке М0 и радиусом : .

В N-мерном пространстве в e-окрестность точки М0 попадают точки, находящиеся внутри воображаемого N-мерного шара: c центром в точке и с радиусом .

Def: Постоянное число А называется пределом функции при условии, что (точка М стремится к точке М0), если для всех точек из e-окрестности точки М0, где a – бесконечно малая величина.

Это определение означает, что если взять много точек из e-окрестности точки М0, вычислить для каждой из них значение функции (это будет одно число для каждой точки), то все эти числа будут мало отличаться от числа А. Это можно будет увидеть на числовой прямой, взятой на отдельном листе бумаги. Значения функции, нанесенные на числовую ось в виде точек будут группироваться вблизи точки А. Чем меньше e, тем теснее точки, отвечающие значениям , будут сгущаться около точки А.

Рассмотрим это определение на примере из :

Рисунок 3 – Функция одной переменной имеет предел в точке и не имеет предела в точке . .

На этом рисунке приведен график функции одной переменной, имеющей разрыв в точке с абсциссой . На двух участках слева и справа от график представляет собой непрерывную кривую в некотором интервале изменения . Это означает, что при постепенном (непрерывном) изменении аргумента значения функции точки изменяются непрерывно, без скачков. Каждая точка такого графика (кроме на нашем рисунке) называется точкой непрерывности. Предел функции в точке непрерывности равен значению функции в этой точке. Например, если выбрать значение , вблизи него слева и справа выбрать другие точки и найти значение функции в каждой из этих точек, то все они будут мало отличаться от числа . Исходя из этого, получаем .

Если взять любую точку непрерывности, то аналогично: .

Это очень важное правило принимают за математическое определение непрерывности функции в точке.

В практической жизни все функции, изучавшиеся в школе, являются непрерывными в области их определения. Графики многих функций приводятся в приложении. Все они называются элементарными. Все функции, полученные из элементарных путем арифметических действий, путем суперпозиции (т. е. вложения одной в другую, скажем, ), путем нахождения обратных, также являются непрерывными всюду, где они определены.

В практической жизни для нахождения предела функции надо подставить предел аргумента в значение функции: .

Математически строго это правило звучит так: для непрерывной функции знак предела и функции можно поменять местами. Там, где предел таким образом не удается вычислить, т. е. получаются неопределенности вида , возникают трудности, которые часто удается преодолеть, опираясь на стандартные приемы и правила.

Точки, в которых отсутствует непрерывность называются точками разрыва. Они играют большую роль: вблизи них функция может испытывать резкие и неожиданные изменения.

Рассмотрим точку Х0 на рисунке 3. Если переменная величина будет приближаться к Х0 только слева: , то значения функции будут находиться на левой ветви графика и будут сгущаться около числа В. В этом случае говорят, что функция имеет левый предел в точке Х0 и записывают так: или еще короче .

Если переменная стремится к справа: , то значения функции располагаются на правой ветви графика и мало отличаются от числа С. В этом случае говорят, что функция имеет правый предел , или .

В нашем случае , в точке происходит конечный скачок графика функции или просто скачок функции. Точку называют точкой разрыва І рода. На рисунке 1.10 (В, г) в приложении I изображен график гиперболы . Точка так же является точкой разрыва функции, причем левый предел , а предел справа . Точка является точкой бесконечного разрыва, точкой разрыва ІІ рода.