Как найти радиус через хорду
Перейти к содержимому

Как найти радиус через хорду

  • автор:

Как найти радиус окружности по 2 хордами

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства хорд и дуг окружности
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Фигура Рисунок Определение и свойства
Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура Рисунок Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Фигура Рисунок Теорема
Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Все основные формулы для определения длины радиуса окружности

Радиус окружности — отрезок, соединяющий её центр и любую другую точку расположенную на линии окружности.
Окружность это замкнутая кривая линия, все точки которой, равноудалены от другой, определенной точки (центр окружности) на заданном расстоянии (радиус).

Как рассчитать радиус по длине хорды?

Радиус — одна из основных характеристик окружности. Он определяет расстояние от центра окружности до любой ее точки. Рассмотрим, как рассчитать радиус по известной длине хорды и другим известным параметрам.

Определение хорды и радиуса

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. Важно помнить, что радиус и хорда перпендикулярны друг другу, то есть их соединяющая линия образует прямой угол.

Формула для расчета радиуса по длине хорды

Для расчета радиуса по известной длине хорды нам понадобится дополнительная информация — длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности до хорды. Обозначим эту величину как "h" (от слова "высота").

Формула для расчета радиуса по известной длине хорды и длине высоты следующая:

где "l" — длина хорды.

Пример расчета радиуса

Представим следующую ситуацию: у нас есть окружность с длиной хорды, равной 10 единицам, и известна длина перпендикуляра, равная 6 единицам. Мы хотим расчитать радиус этой окружности.

Подставим значения в формулу:

Таким образом, радиус окружности составляет 2.83 единицы.

Сводка

Для расчета радиуса по длине хорды необходимо знать длину перпендикуляра, опущенного из центра окружности до хорды. С использованием формулы (h^2 + l^2) / (8h) , где h — длина перпендикуляра, а l — длина хорды, можно легко рассчитать радиус окружности.

Четкое понимание этого метода расчета позволяет не только определить радиус, но и провести множество других геометрических вычислений, связанных с окружностями. Знание основных характеристик окружности и методов их определения является важным для решения задач в различных областях, включая геометрию, физику и инженерию.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Вывод формулы радиуса сегмента

Возникла задача определить радиус сегмента по его высоте и хорде.
В моем карманном справочнике по математике были только формулы для вычисления высоты и хорды / радиуса.
Но в обеих формулах присутствует величина угла сегмента.
Графически задача эта решается элементарно
Изображение

Однако википедия предлагает вот такую формулу
$R=h/2+c^2/8h$

Казалось бы все прекрасно — формула есть — радуйся жизни.
Но википедия не предлагает (и не должна) вывода этой формулы.
Пробовал сам по треугольникам $GEF$, $DEC$, $GFC$
Не получается.

Если кто-то знает ресурс где показан вывод этой формулы поделитесь, пожалуйста, ссылкой.
Или надоумьте, с чего начинать вывод формулы.
Спасибо.

Запишите теорему Пифагора для треугольника $GDC$, подставив
$|GD|=R-h$
и так далее.

Последний раз редактировалось arseniiv 15.01.2016, 20:35, всего редактировалось 1 раз.

Просто понаписать уравнений для всех имеющихся треугольников и начать тащить оттуда интересующую величину. Хотя, в принципе, сейчас уже вижу стратегию: вот у нас известен треугольник $\triangle DEC$, а значит, известен и угол $\angle GEC$, и основание $CE$равнобедренного треугольника с боковой стороной, которая вас интересует. Это всё получается само собой «размоткой» того, что связано с начальными и конечными данными.

Нельзя сказать, что стратегия универсальная — нет, все задачи не решаются одинаково просто, но пробовать эту штуку стоит всегда, если только не уверены по каким-то признакам, что она не сработает.

timtam ,
а я сделал так. Обозначил половину угловой величины сегмента $\alpha$. Записал выражения для высоты сегмента
$h=R(1-\cos(\alpha))$
и его ширины
$c=2R\sin(\alpha)$.
Выразил из этих уравнений синус и косинус и подставил полученные выражения в основное тригонометрическое тождество.
После упрощения результата получилось как в Википедии.

Последний раз редактировалось gris 16.01.2016, 00:10, всего редактировалось 1 раз.

Предложу ещё вариант: $\triangle ECD\sim\triangle EGF$, т.к. вписанный угол равен половине центрального.

$R^2=(R-h)^2+(\frac c 2)^2$

$R^2=(R-h)^2+(\frac c 2)^2$

Запишите теорему Пифагора для треугольника $GDC$, подставив
$|GD|=R-h$
и так далее.

Сегмент круга

Данный калькулятор считает параметры сегмента круга, а именно:

  • длину дуги (L),
  • длину хорды (C),
  • площадь (S),
  • высоту (h),

Перед вами 2 калькулятора, чтобы рассчитать параметры сегмента:

1) сегмент круга решается с помощью радиуса (R) и угла (A).

2) сегмент круга находим с помощью высоты и длины хорды.

Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике hourто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:

Далее зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:

Остальные параметры сегмента, вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

Похожие публикации:
  1. Как рисовать на экране компьютера
  2. Как сбросить айфон через 3utools
  3. Как сбросить сервис пассат б6
  4. Файл образа диска чем открыть

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *