Как найти образ оператора заданного матрицей

Примеры

1. Обозначим e 1 , e 2 , e 3 базис пространства X 3 , в котором задана матрица, тогда в соответствии с определением матрицы оператора, ее столбцы — это координатные столбцы образов базисных векторов ^ A e 1 , ^ A e 2 , ^ A e 3 (для наглядности мы запишем эти векторы над верхней строкой матрицы A ). Приводим матрицу A к гауссову виду (вручную или с помощью компьютера):

1–й и 2–ой столбцы редуцированной матрицы линейно независимы, а 3–й является их линейной комбинацией. Следовательно, Rg A = 2 .

2. Находим ранг и образ оператора:

1–й и 2–ой столбцы исходной матрицы линейно независимы и, следовательно, векторы ^ A e 1 и ^ A e 2 образуют базис в Img ^ A (они линейно независимы, так как линейно независимы их координатные столбцы). Обозначим их g 1 , g 2 .

Rg ^ A = dim Img ^ A = Rg A = 2.

Следовательно, образ оператора можно описать так:

где α 1 и α 2 — произвольные числа.

Геометрическая интерпретация.

Поскольку X 3 – трехмерное пространство, то его можно интерпретировать как пространство геометрических векторов V 3 . Тогда Img ^ A — плоскость, натянутая на векторы → g 1 , → g 2 (рис. 1).

Известно, что для того, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать ее нормальный вектор и какую–либо точку, принадлежащую плоскости.

Находим нормальный вектор плоскости → n как векторное произведение векторов → g 1 и → g 2 :

или любой коллинеарный ему вектор, например, → n = <2, 0, −1>. В качестве точки, через которую проходит искомая плоскость, можно взять ( 0, 0, 0) , так как Img ^ A — линейное пространство и, следовательно, содержит нулевой элемент. Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:

2 x − z = 0.

3. Находим дефект и ядро оператора.

По теореме Def ^ A = n − Rg ^ A , где n — размерность пространства X n . В нашем случае Def ^ A = 3 − 2 = 1 , следовательно, нужно найти один вектор, принадлежащих ядру оператора. Воспользуемся линейными соотношениями между столбцами:

^ A e 3 = 3/7 · ^ A e 1 + 2/7 · ^ A e 2 .

Перенесем все слагаемые в одну сторону и воспользуемся линейностью оператора:

^ A ( −3/7 e 1 − 2/7 e 2 + e 3 ) = θ.

По определению Ker ^ A = < « x : ^ A x = θ>. Следовательно, вектор, стоящий в скобках h 1 = −3/7 e 1 − 2/7 e 2 + e 3 принадлежит ядру оператора и образует в нем базис:

Следовательно, ядро оператора можно описать так:

где β 1 — произвольное число.

Геометрическая интерпретация. Поскольку dim Ker ^ A = 1 , ядро оператора ^ A можно интерпретировать как прямую в трехмерном пространстве с направляющим вектором → a = → h 1 = < −3/7, −2/7, 1>(или любым ему коллинеарным, например → a = <3, 2, −7>), проходящую через начало координат.

Тогда уравнения этой прямой:

Пример 2. Найдем образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора ^ A : X 5 → Y 3 , заданного матрицей

1. Обозначим e 1 , e 2 , e 3 , e 3 , e 4 , e 5 базис пространства X 5 , тогда в соответствии с определением матрицы оператора, ее столбцы — это координатные столбцы образов базисных векторов ^ A e 1 , … , ^ A e 5 (для наглядности мы запишем эти векторы над верхней строкой матрицы A ). Приводим матрицу A к гауссову виду (вручную или с помощью компьютера):

1–й и 2–ой столбцы редуцированной матрицы линейно независимы, а остальные являются их линейной комбинацией. Следовательно, R g A = 2 .

2. Находим ранг и образ оператора.

1–й и 2–ой столбцы исходной матрицы линейно независимы и, следовательно, векторы ^ A e 1 , ^ A e 2 образуют базис в Img ^ A (они линейно независимы, так как линейно независимы их координатные столбцы). Обозначим их g 1 , g 2 .

Rg ^ A = dim Img ^ A = Rg A = 2.

Следовательно, образ оператора можно описать так:

где α 1 и α 2 — произвольные числа.

Геометрическая интерпретация. Поскольку Img ^ A М Y 3 , а Y 3 — трехмерное пространство, то Img ^ A можно интерпретировать как плоскость, натянутую на векторы → g 1 , → g 2 .

Находим нормальный вектор плоскости → n как векторное произведение векторов → g 1 и → g 2 :

или любой коллинеарный ему вектор, например, → n = < 1, 1, −1>. В качестве точки, через которую проходит искомая плоскость, можно взять (0, 0, 0) , так как Img ^ A — линейное пространство и, следовательно, содержит нулевой элемент. Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:

x + y − z = 0.

3. Находим дефект и ядро оператора.

По теореме Def ^ A = n − Rg ^ A , где n — размерность пространства X n . В нашем случае Def ^ A = 5 − 2 = 3 , следовательно, надо найти в исходном пространстве X 5 линейно независимую систему из трех векторов, таких, что ˜ A x = θ .

Воспользуемся линейными соотношениями между столбцами оператора ^ A , а также линейностью оператора ^ A :

^ A e 3 = (5/2) ^ A e 1 + 2 ^ A e 2 Ю

^ A ((5/2) e 1 + 2 e 2 − e 3 ) = θ Ю

Таким образом, мы нашли первый вектор ядра:

Так как Ker ^ A М X 5 , количество координат у базисных векторов ядра должно быть равно пяти!

Аналогично находим остальные векторы ядра:

h 2 = (3/2) e 1 + 3 e 2 + e 4 и h 3 = 2 e 1 − e 5 ,

Эти векторы линейно независимы (убедитесь в этом, составив матрицу из их координатных столбцов и вычислив ее ранг) и, следовательно, образуют базис в ядре оператора.

01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора

Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .

Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .

Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.

Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:

1) тогда и т. к то

и т. к. , то является подпространством пространства V.

является подпространством пространства V. #

Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.

1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI=<θ>

/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /

2) Нулевой оператор, тогда

3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:

, что не является случайным.

Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :

Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е.

Доказательство:

Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .

Рассмотрим ядро оператора А: .

В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (N—R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N—R. В результате получаем, что

Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу .

Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.

Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что .

Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .

Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):

Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.

Доказательство:

1) Пусть , т. к. то и поэтому , т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.

2) Пусть . Тогда, т. у. а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.

(Решено) как найти ядро линейного оператора, заданного матрицей…

Для начала, необходимо понимать, что линейный оператор это функция, которая отображает из одного векторного пространства в другое, сохраняя при этом линейную структуру. То есть, для любых двух векторов u и v, и любого скаляра a, должны выполняться следующие свойства:

1) оператор линеен — T(u+v) = T(u) + T(v), T(a * u) = a * T(u);
2) оператор сохраняет ноль — T(0) = 0.

Линейный оператор можно задать с помощью матрицы. Для этого необходимо выбрать базисы входного и выходного векторных пространств, и выразить каждый вектор из нового базиса через старый. То есть, к каждому вектору нового базиса можно описать его координаты в старом базисе.

Пусть дан линейный оператор T, заданный матрицей A относительно базисов и . Для того, чтобы найти ядро этого оператора, нужно решить уравнение T(x) = 0, где 0 — нулевой вектор в выходном пространстве.

Если T(x) = 0, то можно записать это как Ax = 0, где x — столбец координат вектора x в базисе . Это уравнение является системой линейных уравнений с матрицей A и нулевым вектором правой части.

Решение этой системы можно найти с помощью метода Гаусса. Преобразованиями строк системы можно довести ее к ступенчатому виду, и понять, какие переменные можно выразить через другие (все переменные, соответствующие нулевым столбцам матрицы A, можно выбрать произвольно). Они и образуют базис ядра линейного оператора.

Таким образом, чтобы найти ядро линейного оператора, заданного матрицей A, нужно решить систему уравнений Ax = 0 и выразить все свободные переменные через базовые. Это и будет ядром оператора.

Чтобы оставить комментарий, необходимо авторизоваться.

Задай любой вопрос нейросети!

Для того, чтобы задать вопрос нейросети, необходимо войти на сайт.

Последние вопросы

Искусственный интеллект ChatGPT на русском: полный обзор, возможности и использование

(Решено) где скачать photoshop с нейросетью?…

(Решено) Каковы перспективы развития безналичных расчетов в Российской федерации…

(Решено) эссе я первый (о движении рддм)…

(Решено) Пять задач по таможенным платежам с подакцизными товарами. В условиях код товара по ТН ВЭД, количество товара, таможенная стоимость, ставка ввозной та…

(Решено) Напиши пост для инстаграм для мастера реконструкции волос с ответами на часто задаваемые вопросы о реконструкции волос: как долго длится эффект, есть…

(Решено) Пользователь обратился в поддержку. По его словам, водитель ехал к нему очень долго, из-за чего пользователь опоздал в аэропорт и у него сгорели билет…

(Решено) Какие отели работают круглогодично:Пансионат Феодора (Алушта)welcome (Геленджик, Криница )Экодом адлер (Сочи)…

(Решено) Обзор основных пробел осуществления наличных и безналичных расчетов в российской федерации…

Хотите задать любой вопрос нейросети?

Нажимая «Регистрация» или «Войти через Google», вы соглашаетесь с Публичной офертой, даете Согласие на обработку персональных данных, а также подтверждаете что вам есть 18 лет»

Форма репорта неправомерного контента.

Обратная связь с администрацией проекта

Уведомление об использовании cookie файлов

Наш сайт, как и большинство других, использует файлы cookie и другие похожие технологии (пиксельные тэги и т. п.), чтобы предоставлять услуги, наиболее отвечающие Вашим интересам и потребностям, а также собирать статистическую и маркетинговую информацию для анализа и совершенствования наших услуг и сайтов.

При использовании данного сайта, вы подтверждаете свое согласие на использование файлов cookie и других похожих технологий в соответствии с настоящим Уведомлением.

Если Вы не согласны, чтобы мы использовали данный тип файлов, Вы должны соответствующим образом установить настройки Вашего браузера или не использовать наш сайт.

Обращаем Ваше внимание на то, что при блокировании или удалении cookie файлов, мы не можем гарантировать корректную работу нашего сайта в Вашем браузере.

Cookie файлы, которые сохраняются через веб-сайт, не содержат сведений, на основании которых можно Вас идентифицировать.

Что такое файл cookie и другие похожие технологии

Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.

Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.

Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).

Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).

Cookie файлы бывают различных типов:

Необходимые. Эти файлы нужны для обеспечения правильной работы сайта, использования его функций. Отключение использования таких файлов приведет к падению производительности сайта, невозможности использовать его компоненты и сервисы.

Файлы cookie, относящиеся к производительности, эффективности и аналитике. Данные файлы позволяют анализировать взаимодействие посетителей с сайтом, оптимизировать содержание сайта, измерять эффективность рекламных кампаний, предоставляя информацию о количестве посетителей сайта, времени его использования, возникающих ошибках.

Функциональные файлы cookie запоминают пользователей, которые уже заходили на наш сайт, их индивидуальные параметры (такие как язык и регион, например) и предпочтения, и помогают индивидуализировать содержание сайта.

Рекламные файлы cookie определяют, какие сайты Вы посещали и как часто, какие ссылки Вы выбирали, что позволяет показывать Вам рекламные объявления, которые заинтересуют именно Вас.

Электронная почта. Мы также можем использовать технологии, позволяющие отслеживать, открывали ли вы, прочитали или переадресовывали определенные сообщения, отправленные нами на вашу электронную почту. Это необходимо, чтобы сделать наши средства коммуникации более полезными для пользователя. Если вы не желаете, чтобы мы получали сведения об этом, вам нужно аннулировать подписку посредством ссылки «Отписаться» («Unsubscribe»), находящейся внизу соответствующей электронной рассылки.

Кнопки доступа к социальным сетям. Они используются для того, чтобы пользователи могли поделиться ссылкой на страницу в социальных сетях или сделать электронную закладку. Данные кнопки являются ссылками на веб-сайты социальных сетей, принадлежащих третьим лицам, которые, в свою, очередь могут фиксировать информацию о вашей активности в интернете, в том числе на нашем сайте. Пожалуйста, ознакомьтесь с соответствующими условиями использования и политикой конфиденциальности таких сайтов для понимания того, как они используют ваши данные, и того, как можно отказаться от использования ими ваших данных или удалить их.

Сторонние веб-сервисы. Иногда на данном сайте мы используем сторонние веб-сервисы. Например, для отображения тех или иных элементов (изображения, видео, презентации и т. п.), организации опросов и т. п. Как и в случае с кнопками доступа к социальным сетям, мы не можем препятствовать сбору этими сайтами или внешними доменами информации о том, как вы используете содержание сайта.

Как управлять файлами cookie?

Большинство интернет-браузеров изначально настроены на автоматический прием файлов cookie.

В любое время Вы можете изменить настройки вашего браузера таким образом, чтобы блокировать файлы cookie или предупреждать вас о том, когда они будут отправляться к вам на устройство (обратитесь к руководству использования конкретного браузера). Отключение файлов cookie может повлиять на Вашу работу в интернете.

Если вы используете несколько устройств и (или) браузеров для доступа в интернет, соответствующие настройки должны быть изменены в каждом из них.

Заключительные положения

По собственному усмотрению мы можем периодически изменять настоящее Уведомление.

По возникающим вопросам с нами можно связаться, используя контакты, размещенные на нашем сайте.

Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 8

Постановка задачи. Задан оператор 0,16 Kb , осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов 0,17 Kb . Доказать линейность, найти матрицу, образ и ядро оператора 0,16 Kb .

1. По определению доказываем линейность оператора 0,16 Kb , используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что 0,26 Kb и 0,24 Kb