Как доказать что трапеции равны

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Равенство трапеций по четырём сторонам

Последний раз редактировалось AKM 14.10.2011, 10:53, всего редактировалось 1 раз.

Ваш вопрос эквивалентен следующей задаче № 2.156 из заданика Гордина:

Существуют ли две трапеции, основания первой из
которых соответственно равны боковым сторонам второй, а основания второй боковым сторонам первой?

Автор дает ответ: НЕТ.

Но все же пока непонятно как доказать равенство трапеций по четырем сторонам.

— Пт сен 24, 2010 23:06:36 —

А вообще, если приглядеться повнимательней, действительно этот параллельный перенос срабатывает, получаем два трегольника, равных по трем сторонам AB=A’B’, BE=B’E’ и AE=A’E’, так как AE=AD-BC и A’E’=A’D’-B’C’.

Вот пример: прямоугольная трапеция с основаниями 7 и 4, боковами сторонами 4 и 5. То есть (7;4;4;5) и
равнобокая трапеция с основаниями 7 и 5, боковами сторонами 4 и 5. То есть (7;4;5;4). Они не равны, конечно.

Вообще, Ваша тема очень интересна и вполне может быть дискуссионной. Вместе с темой о построении треугольников.
Я бы сказал, что речь идёт о некотором наборе условий, однозначно определяющих фигуру. У треугольников это три стороны, две стороны и угол между ними и так далее. Интересно было бы одно из условий сформулировать не в терминах равенства ряда параметров каким-то значениям, а в виде некоторой связи между параметрами.
Что Вы, собственно, и делаете. Оказалось, что задание 4-х длин сторон трапеции в указанном порядке однозначно определяет её (или говорит о несуществовании или вырожденности), а без указания порядка не определяет. В общем, трапецевидность четырёхугольника можно описать через связь его внутренних углов. Например, что ровно две непересекающиеся пары углов в сумме дают 180 градусов. Ну и тому подобное.
Было бы интересно, какие ещё условия в добавлению к равенству сторон однозначно определяют четырёхугольник.

Трапеция

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$ .

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

1) Т.к. $AD\parallel BC$ , то углы $\angle BAD$ и $\angle ABC$ – односторонние при этих прямых и секущей $AB$ , следовательно, $\angle BAD +\angle ABC=180^\circ$ .

2) Т.к. $AD\parallel BC$ и $BD$ – секущая, то $\angle DBC=\angle BDA$ как накрест лежащие.
Также $\angle BOC=\angle AOD$ как вертикальные.
Следовательно, по двум углам $\triangle BOC \sim \triangle AOD$ .

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку $M$ прямую $MN'\parallel AD$ ( $N'\in CD$ ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. $MN'\parallel AD\parallel BC, AM=MB$ ) точка $N'$ — середина отрезка $CD$ . Значит, точки $N$ и $N'$ совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем $BB'\perp AD, CC'\perp AD$ . Пусть $BB'\cap MN=M', CC'\cap MN=N'$ .

Тогда по теореме Фалеса $M'$ и $N'$ — середины отрезков $BB'$ и $CC'$ соответственно. Значит, $MM'$ – средняя линия $\triangle ABB'$ , $NN'$ — средняя линия $\triangle DCC'$ . Поэтому: \[MM'=\dfrac12 AB', \quad NN'=\dfrac12 DC'\]

Т.к. $MN\parallel AD\parallel BC$ и $BB', CC'\perp AD$ , то $B'M'N'C'$ и $BM'N'C$ – прямоугольники. По теореме Фалеса из $MN\parallel AD$ и $AM=MB$ следует, что $B'M'=M'B$ . Значит, $B'M'N'C'$ и $BM'N'C$ – равные прямоугольники, следовательно, $M'N'=B'C'=BC$ .

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

1) Докажем, что точки $P$ , $N$ и $M$ лежат на одной прямой.

Проведем прямую $PN$ ( $P$ – точка пересечения продолжений боковых сторон, $N$ – середина $BC$ ). Пусть она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

Рассмотрим $\triangle BPN$ и $\triangle APM$ . Они подобны по двум углам ( $\angle APM$ – общий, $\angle PAM=\angle PBN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $AB$ секущей). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Рассмотрим $\triangle CPN$ и $\triangle DPM$ . Они подобны по двум углам ( $\angle DPM$ – общий, $\angle PDM=\angle PCN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $CD$ секущей). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Отсюда $\dfrac=\dfrac$ . Но $BN=NC$ , следовательно, $AM=DM$ .

2) Докажем, что точки $N, O, M$ лежат на одной прямой.

Пусть $N$ – середина $BC$ , $O$ – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую $NO$ , она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

$\triangle BNO\sim \triangle DMO$ по двум углам ( $\angle OBN=\angle ODM$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и $BD$ секущей; $\angle BON=\angle DOM$ как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Аналогично $\triangle CON\sim \triangle AOM$ . Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Отсюда $\dfrac=\dfrac$ . Но $BN=CN$ , следовательно, $AM=MD$ .

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ .

Из вершин $B$ и $C$ опустим на сторону $AD$ перпендикуляры $BM$ и $CN$ соответственно. Так как $BM\perp AD$ и $CN\perp AD$ , то $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , тогда $MBCN$ – параллелограмм, следовательно, $BM = CN$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABM$ и $CDN$ . Так как у них равны гипотенузы и катет $BM$ равен катету $CN$ , то эти треугольники равны, следовательно, $\angle DAB = \angle CDA$ .

Т.к. $AB=CD, \angle A=\angle D, AD$ – общая, то по первому признаку $\triangle ABD=\triangle ACD$ . Следовательно, $AC=BD$ .

3) Т.к. $\triangle ABD=\triangle ACD$ , то $\angle BDA=\angle CAD$ . Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и $\triangle BOC$ – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ , такую что $\angle A = \angle D$ .

Достроим трапецию до треугольника $AED$ как показано на рисунке. Так как $\angle 1 = \angle 2$ , то треугольник $AED$ равнобедренный и $AE = ED$ . Углы $1$ и $3$ равны как соответственные при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ . Аналогично равны углы $2$ и $4$ , но $\angle 1 = \angle 2$ , тогда $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4$ , следовательно, треугольник $BEC$ тоже равнобедренный и $BE = EC$ .

В итоге $AB = AE — BE = DE — CE = CD$ , то есть $AB = CD$ , что и требовалось доказать.

2) Пусть $AC=BD$ . Т.к. $\triangle AOD\sim \triangle BOC$ , то обозначим их коэффициент подобия за $k$ . Тогда если $BO=x$ , то $OD=kx$ . Аналогично $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Т.к. $AC=BD$ , то $x+kx=y+ky \Rightarrow x=y$ . Значит $\triangle AOD$ – равнобедренный и $\angle OAD=\angle ODA$ .

Таким образом, по первому признаку $\triangle ABD=\triangle ACD$ ( $AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD$ – общая). Значит, $AB=CD$ , чтд.

Как доказать что трапеции равны

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

AD∥BC, AB∦CD.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями (BC и AD) , а две другие стороны – боковыми сторонами (AB и CD) .

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

∠BAD=∠ABC=90°.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

AE=EB, CF=FD, EF – средняя линия.

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

EF∥BC, EF∥AD.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

BE – биссектриса, AB=AE.

3. Треугольники образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

AC и BD – диагонали, k – коэффициент подобия, ΔBOC

Площади этих треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия.

4. Треугольники образованные

отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

BH=HD, CG=GA, EF – средняя линия.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

BD∩CA=E, BH – продолжение стороны AB, CH – продолжение стороны DC, AH∩DH=H, BG=GC, AF=FD, H, G, E, F ∈ FH.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

BG=GC, AH=HD, ∠BAD+∠CDA=90°.

9. Если в трапецию вписана окружность

и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка, то радиус равен корню из произведения этих двух отрезков.

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Д ругие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники $AOD$ и $COB$, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – $k=\frac.$

Отношение площадей этих треугольников есть $k^2$.

4. Треугольники $ABO$ и $DCO$, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если в трапецию вписана окружность с радиусом $r$ и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — $a$ и $b$, то $r=\sqrt.$

$\colorS=\frac<2>\cdot h$ или $\colorS=lh,$ где $l$ – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Похожие публикации:

Как восстановить загрузку windows xp после установки windows 7

Как снять пароль с телефона самсунг а51

Как удалить страницу в wps office

Комбинация из 4 цифр сколько вариантов