Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение

Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение

Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение​

Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.

По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

Какое уравнение называют биквадратным уравнением? Как решают биквадратное уравнение? б) Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Конспект открытого урока по алгебре в 8-м классе на тему "Биквадратные уравнения"

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

Оборудование: учебник «Алгебра, 8» авторов Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А. Бунимович и др., компьютер.

Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office.

План урока:

1. Организационный момент. Слайд 1.
2. Актуализация знаний. Слайд 2, 3, 4.
3. Открытие детьми темы урока. Слайд 5, 6.
4. Постановка детьми целей урока. Слайд 7.
5. Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 8.
6. Работа в парах – исследование. Слайд 9.
7. Итоги исследования. Слайд 10.
8. Итог урока. Слайд 11.
9. Задание на дом. Слайд 12.

Ход урока

1. Организационный момент.

Начало урока — организационный момент, готовность, приветствие.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь. Представится.

-Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого. Слайд 1.

2. Актуализация знаний.

Обратите внимание на уравнение: 10х 2 + 12х + 2019 = 0.

— Назовите вид данного уравнения.

— Назовите коэффициенты данного уравнения (10.12.2019)

— О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата занятия) Слайд 2.

— Повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Для этого продолжите предложения или ответьте на вопросы письменно в тетради. Далее выйдет желающий представитель с каждого ряда оформит на доске, получившиеся ответы. Слайд 3.

Проверка у доски.

— Решите устно квадратные уравнения, они нам пригодятся далее при решении. Как называются эти уравнения? Слайд 4.

+ Неполные квадратные уравнения.

+ 1) нет корней;
2) x=3 и x= -3;
3) x=0 и x= -5;
4) x=2 и x= -2;
5) нет корней;
6) x=√5 и x= -√5.

3. Открытие темы урока.

— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем что же у нас тут зашифровано? Слайд 5.

+ Приставка «Би» обозначает два, т.е. «дважды квадратное».

— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?

+ Оно относится к слову «уравнение».

— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.

+ Тема урока «Решение биквадратных уравнений». Слайд 6.

4. Постановка целей урока.

— Каковы для вас цели урока?

+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.

— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?

+ Как найти его корни.

Слайд 7.

+ Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0, где а ≠ 0.

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

+ Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным).

— Хорошо. Приведите пример биквадратного уравнения.

+ Например, 10х 4 + 5х 2 + 3 = 0 (Дети приводят примеры биквадратных уравнений).

5. Пример решения биквадратного уравнения.

— Давайте разберем способ решения биквадратного уравнения х 4 + 3х 2 – 28= 0.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:

Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаюсь к прежней переменной, для этого подставим вместо переменной t полученные числа:

— Алгоритм решения биквадратного уравнения следующий:

Слайд 8.

1. Ввести замену переменной: пусть х 2 = t;
2. Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 + bt + c=0;
3. Решить новое квадратное уравнение;
4. Вернуться к замене переменной;
5. Решить получившиеся квадратные уравнения;
6. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения;
7. Записать ответ.

6. Работа в парах – исследование (совместное выполнение заданий на решение биквадратных уравнений).

— Сейчас вам необходимо поработать в парах и исследовать: сколько корней может иметь биквадратное уравнение. Возьмите карточку №1, котороя лежит у вас на столе. Алгоритм работы задан на карточках. Внимательно прочитайте и следуйте по алгоритму.

— По окончанию данного этапа работы, вам необходимо образовать новую пару. Для этого ученик, сидящий за II вариантом должен пересесть на одно место назад, так как показано на схеме слайда, а последний ученик пройдет за первую парту. Слайд 9.

— Тем ребятам, кому не хватило пары и тем, кто сидит на последней (нечетной) парте, необходимо выполнить индивидуальное задание.

— После того как произошла смена напарников, организуйте работу в новых парах в соответствии с инструкцией на Карточке №2.

7. Итоги исследования.

— Сейчас мы сделаем выводы о том, от чего зависит количество корней биквадратного уравнения.

+ Фронтальный опрос по заполнению таблицы.

Сопоставления результатов предположениям, выдвинутым в ходе работы над первым биквадратным уравнением (Карточка №1)

-Итоги исследования мы поместим в таблицу.

— Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 10. — заполнение таблицы

8. Итог урока.

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог.

— Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ладошки. Задача группы – написать о том:

1. Какие у вас были затруднения на уроке?
2. Нашли ли вы выход из затруднения?
3. Остались ли у вас затруднения после окончания урока?
4. Что понравилось на уроке?
5. Что не понравилось на уроке? Слайд 11.

+После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются.

9. Задание на дом.

-Решить 2 уравнения и заполнить последние 2 строки таблицы. Слайд 12.

Какое уравнение называют биквадратным уравнением? Как решают биквадратное уравнение? б) Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,441
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение

Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение​

Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.

По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

может иметь четыре корня

Новые вопросы в Алгебра

Этот сайт использует cookies Политика Cookies . Вы можете указать условия хранения и доступ к cookies в своем браузере.

Как решать биквадратное уравнение: видео

В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».

Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.

Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:

1)вводим новую переменную $ ^ >=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим

3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные $ _ >$ и $ _ >$, если корней будет два.

4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: $ ^ >= _ >$ и $ ^ >= _ >$.

5)решаем полученные уравнения и находим иксы.

Реальные задачи

Пример № 1

Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.

Решаем первую задачу:

Вводим новую переменную и переписываем:

Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:

Это хорошее число. Корень равен 3.

Теперь находим значение $t$:

Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:

Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:

Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру:

Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.

Тогда у нас выйдет:

Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:

Вспоминаем, что такое $t$:

Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.

Пример № 3

Переходим к последнему биквадратному уравнению:

Опять же вводим замену:

Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

Корень из дискриминанта равен трем:

Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:

Второй вариант чуть посложнее:

Мы получили снова четыре корня:

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Биквадратное уравнение как решать: Решение биквадратных уравнений

видео. Биквадратное уравнение, решение биквадратных уравнений

Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.

Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!

Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.

Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4

Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя

• — линейное уравнение с двумя переменными;
• — второе уравнение или дополнительные условия.

Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.

Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.

Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если

• как решить уравнение с одной переменной

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

• — система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.

Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов.

• решений уравнений с тремя неизвестными

Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.

Самый распространенный метод решения системы уравнений — это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.

Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.

Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.

Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.

Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.

Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z — после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.

Всем еще со школы известно такое понятие, как уравнения. Уравнение — это равенство, содержащее одну или несколько переменных. Зная то, что одна из частей данного равенства равна другой, можно вычленять отдельные части уравнения, перенося те или иные его составляющие за знак равенства по четко оговоренным правилам. Можно упростить уравнение до необходимого логического завершения в виде х=n, где n — это любое число.

С начальной школы все дети проходят курс изучения различной сложности. Позже в программе появляются более сложные линейные уравнения — квадратные, затем идут кубические уравнения. Каждый последующий вид уравнений имеет новые методики решения, становится труднее в изучении и повторении.

Однако после этого возникает вопрос о решении такого вида уравнений, как биквадратные уравнения. Данный вид, несмотря на кажущуюся сложность, решается достаточно просто: главное — уметь привести такие уравнения в должный вид. Их решение изучается за один-два урока вместе с практическими заданиями, если у учащихся имеются базовые знания о решении квадратных уравнений.

Что необходимо знать человеку, столкнувшемуся с этим типом уравнений? Для начала то, что они включают в себя только четные степени переменной «икс»: четвертая и, соответственно, вторая. Чтобы биквадратное уравнение было решаемо, необходимо привести его к виду Как это сделать? Достаточно просто! Нужно всего лишь заменить «икс» в квадрате на «игрек». Тогда устрашающий для многих школьников «икс» в четвертой степени превратится в «игрек» в квадрате, а уравнение примет вид обычного квадратного.

Далее оно решается как обычное квадратное уравнение: раскладывается на множители, после чего находится значение таинственного «игрека». Чтобы решить биквадратное уравнение до конца, нужно найти из числа «игрек» — это и будет искомая величина «икс», после нахождения значений которого можно будет поздравить себя с успешным завершением расчетов.

Что же следует помнить, решая уравнения данного вида? Первое и самое главное: игрек не может быть отрицательным числом! Само условие, что игрек — это квадрат числа икс, исключает подобный вариант решения. Поэтому если при первичном решении биквадратного уравнения одно из значений «игрек» получается у вас положительным, а второе — отрицательным, необходимо взять только его положительный вариант, иначе биквадратное уравнение будет решено неверно. Лучше сразу ввести правило, что переменная «игрек» больше либо равна нулю.

Второй немаловажный нюанс: число «икс», являясь квадратным корнем числа «игрек», может быть как положительным, так и отрицательным. Допустим, если «игрек» равен четырем, то биквадратное уравнение будет иметь два решения: два и минус два. Это происходит по той причине, что отрицательное число, возведенное в четную степень, равно числу того же модуля, но отличного знака, возведенному в ту же степень. Поэтому всегда стоит помнить об этом немаловажном моменте, иначе можно попросту потерять один или несколько ответов уравнения. Лучше всего сразу писать, что «икс» равен плюс-минус квадратному корню от «игрек».

В общем и целом, решение биквадратных уравнений — это достаточно просто и не требует больших временных затрат. >=\frac \\& \left[ \begin& x=\frac \\& x=-\frac \\\end \right. \\\end\]

Мы получили снова четыре корня:

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Перед тем, как решать биквадратные уравнения, необходимо разобраться, что собой являет данное выражение. Итак, это уравнение четвертой степени, которое можно записать в таком виде: «(ах 4) + (bx 2) + с = 0 ». Его общий вид можно записать в виде «ах ». Чтобы решить уравнение подобного рода, необходимо применить метод под названием «подстановка неизвестных». Согласно ему, выражение «х 2 » необходимо заменить другой переменной. После такой подстановки получается простое квадратное уравнение, решение которого в дальнейшем не составляет особого труда.

Необходимо:

— чистый лист бумаги;
— пишущая ручка;
— элементарные математические навыки.

Инструкция:

• Итак, необходимо изначально записать выражение на листке бумаги. Первый этап его решения состоит в простой процедуре замены выражения «х 2» на простую переменную (например «к »). После того, как Вы это сделали, у Вас должно получиться новое уравнение: «(ак 2) – (bк) + с = 0 ».
• Далее, чтобы правильно решить биквадратное уравнение, нужно вначале найти корни для «(ак 2 ) – (bк) + с = 0 », которое у Вас получилось после замены. Чтобы это сделать, необходимо будет посчитать значение дискриминанта по известной формуле: «D = (b2) − 4*ас ». При этом все эти переменные (а , b и с ) являются коэффициентами вышеприведенного уравнения.
• В ходе расчета дискриминанта мы можем узнать, имеет ли решение наше биквадратное уравнение, ведь если в итоге данное значение получится со знаком минус, то оно просто-напросто может не иметь решения в дальнейшем. В случае же если дискриминант будет равняться нулю, тогда у нас будет одно единственное решение, определенное такой формулой: «к = — (b / 2 * а) ». Ну и в случае, если наш дискриминант окажется больше нуля, тогда у нас получится два решения. Для нахождения двух решений необходимо будет взять квадратный корень от «D » (то есть с дискриминанта). Полученное значение нужно будет записать в виде переменной «QD ».
• Следующий шаг – непосредственное решение квадратного уравнения, которое у Вас получилось. Для этого Вам необходимо будет подставить в формулу уже известные значения. Для одного из решений: «к1 = (-b + QD) / 2 * а », а для другого: «к2 = (-b — QD) / 2 * а ».
• И, наконец, завершающий этап – нахождение корней биквадратного уравнения. Для этого необходимо будет взять квадратный корень из полученных до этого решений обычного квадратного уравнения. Если же дискриминант был равен нулю, и у нас было только одно решение, тогда в этом случае корней получится два (с отрицательным и с положительным значением квадратного корня). Соответственно, если дискриминант был больше нуля, то наше биквадратное уравнение будет иметь целых четыре корня.

Конспект урока по Алгебре «Биквадратное уравнение и его корни» 8 класс

Учитель математики Апенькина Наталья Александровна

Конспект урока

Тема – «Биквадратное уравнение и его корни».

образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать число корней биквадратного уравнения;

воспитательная: формировать умение работать в парах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;

развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

Оборудование: учебник «Алгебра, 8 кл. компьютер, плакат с кроссвордом.

Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office.

1. Организационный момент. Слайд 1.

2. Актуализация знаний.

3. Открытие детьми темы урока (кроссворд). Слайд 2.

4. Постановка детьми целей урока.

5. Самостоятельная работа. Слайд 3.

6. Итог самостоятельной работы. Слайды 4, 5.

7. Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 6.

9. Итоги исследования. Слайд 7.

11. Задание на дом. Слайд 8. Слайд 9.

1. Организационный момент.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого. Слайд 1.

2. Актуализация знаний.

— В начале для разминки выполним устные упражнения (на доске записаны упражнения) и повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения.

(х 2 ) 2 = …; (у 2 ) 2 = …; выполните обратную задачу: а 4 = …; решить уравнения: х 2 = 9, а 2 = 16, у 2 = 1, в 2 = 0, с 2 = 17, р 2 = — 25, к 2 = — 6, х 2 = ¼. Придумайте уравнение такого же вида (х 2 = а), которое имеет 2 корня, 1 корень и не имеет корней.

— Какой общий вид имеет квадратное уравнение? По какой формуле находим дискриминант? Корни уравнения?

+ Отвечают дети.

3. Открытие темы урока.

— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем кроссворд.

Третья степень числа. (Куб)

Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)

Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)

Равенство с переменной. (Уравнение)

Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. (Приведенное)

Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен)

Равенство, содержащее числа и переменные. (Формула)

Французский математик. (Виет)

Числовой множитель — в произведении. (Коэффициент)

Один из видов квадратного уравнения. (Неполное)

Множество корней уравнения. (Решения)

— Прочитайте слово, которое получилось в выделенной горизонтальной строке.

— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?

+ Оно относится к слову «уравнение».

— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.

+ Тема урока «Биквадратное уравнение». Слайд 2.

4. Постановка целей урока.

— Каковы для вас цели урока?

+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.

— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?

+ Как найти его корни.

5. Самостоятельная работа.

— Всё это вы будете узнавать самостоятельно. Посмотрите, по какому плану вы будете работать. Слайд 4.

Тому, кто закончит быстрее всех, предложить решить биквадратное уравнение.(№ 278, д) Ответ: ±√1/3, ±√2/3.

6. Итог самостоятельной работы.

— Итак, что же вы узнали?

+ Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0, где а ≠ 0.

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

+ Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным).

— Хорошо. Приведите пример биквадратного уравнения. Дети приводят примеры биквадратных уравнений).

— Какой алгоритм решения биквадратного уравнения вы записали?

1) Ввести замену переменной: пусть х 2 = t.

2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 + bt + c=0.

3) Решить новое квадратное уравнение.

4) Вернуться к замене переменной.

5) Решить получившиеся квадратные уравнения.

6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

7) Записать ответ.

— Молодцы! Посмотрите слайд 6.

У кого что-то не так – исправьте.

7. Пример решения биквадратного уравнения.

Прокомментируйте устно пример решения биквадратного уравнения

8.Исследование.

— Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение. Каждая пара получит своё уравнение и решит его. (Учитель раздаёт уравнения: х 4 -10х 2 +9=0, 2х 4 –х 2 -1=0, х 4 +5х 2 +4=0, 2х 4 +5х 2 +4=0,

х 4 -8х 2 +16=0, х 4 +8х 2 +16=0. )

А потом мы сделаем выводы о том, сколько корней имеют биквадратные уравнения.

— Итак, что получилось? Рассказывает 1 пара.

+ х 4 -10х 2 +9=0. У нас получился дискриминант положительный, значит, квадратное уравнение имеет 2 корня, корни тоже положительные, значит всего 4 корня.

-Хорошо. Вторая пара.

+ 2х 4 –х 2 -1=0. Дискриминант положительный, один корень положительный, а другой отрицательный, значит, биквадратное уравнение имеет 2 корня.

+ х 4 +5х 2 +4=0. Дискриминант квадратного уравнения положительный, но корни отрицательные, значит, биквадратное уравнение не имеет корней.

+ 2х 4 +5х 2 +4=0. А у нас дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет корней.

— Молодцы! Следующая пара.

+ Уравнение х 4 -8х 2 +16=0 имеет 2 корня, т.к. квадратное уравнение имеет 1 корень (Д=0).

— И последняя пара.

+ Уравнение х 4 +8х 2 +16=0 не имеет корней, т.к. хотя и Д=0, но корень-то отрицательный.

9. Итог исследования.

Итоги исследования мы поместим в таблицу.

Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 8.

+ Ученики комментируют по цепочке.

10. Итог урока.

— Подведём итог урока. Чем пополнился ваш багаж знаний?

Скажите, что понравилось на уроке? А что не понравилось? Чем отличается квадратное уравнение от биквадратного? Что означает приставка «би»? Зачем нам нужно изучать биквадратные уравнения?

+ Дети отвечают.

11. Задание на дом (дифференцированное). Слайд 9.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

Трёхчленные уравнения

Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Трехчленные уравнения

Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида

a f 2 (x)+ b f (x) + c = 0,

(1)

а также уравнения вида

где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.

Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим

тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :

ay 2 + by + c = 0 .

(4)

Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .

Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.

Покажем, как это осуществляется на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

(x 2 – 2x) 2 – – 2(x 2 – 2x) – 3 = 0 .

(5)

Решение. Если обозначить

y = x 2 – 2x ,

(6)

то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение

y 2 – 2y – 3 = 0 .

(7)

Решим уравнение (7):

В первом случае из равенства (6) получаем:

Во втором случае из равенства (6) получаем:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Если обозначить

то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение

которое эквивалентно уравнению

2y 2 – 3 y – 2 = 0 .

(10)

Решим уравнение (10):

В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

Во втором случае из равенства (9) получаем:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Если обозначить

то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение

которое эквивалентно уравнению

y 2 – 5y – 6 = 0 .

(13)

Решим уравнение (13):

y₁ = – 1, y₂ = 6 .

В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

Во втором случае из равенства (12) получаем:

Пример 4. Решить биквадратное уравнение

x 4 – x 2 – 12 = 0 .

(14)

Решение. Если обозначить

y = x 2 ,

(15)

то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение

y 2 – y – 12 = 0 .

(16)

Решим уравнение (16):

В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (15) получаем:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Если обозначить

y = x 2 – 3x,

(18)

уравнение (17) превращается в уравнение

которое при умножении на y принимает вид

y 2 + 2y – 8 = 0 .

(19)

Решим уравнение (19):

В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (18) получаем:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Если обозначить

уравнение (20) превращается в уравнение

которое при умножении на y принимает вид

3y 2 – 2y – 1 = 0 .

(22)

Решим уравнение (22):

В первом случае из равенства (21) получаем уравнение

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

Во втором случае из равенства (21) получаем:

Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

(ax + b)(ax + b + + c)(ax + + b + 2c)(ax + + b + 3c) = d ,

(23)

где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b, а разность равна c.

Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.

y = ax + b.

(24)

Тогда уравнение (23) примет вид:

y (y + c)(y + + 2c)(y + 3c) = d .

(25)

Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:

[y (y + 3c)][(y + + c)(y + 2c)] = d .

(26)

Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:

[y 2 + 3cy][y 2 + + 3cy + 2c 2 ] = d .

(27)

Если теперь в уравнении (27) обозначить

z = y 2 + 3cy ,

(28)

то уравнение (27) станеи квадратным уравнением

z 2 + 2c 2 z – d = 0 .

(29)

Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .

Пример 7 . Решить уравнение

(2x + 3)(2x + 5)(2x + + 7)(2x + 9) = 384 .

(30)

y = 2x + 3,

(31)

уравнение (30) превращается в уравнение

y (y + 2)(y + + 4)(y + 6) = 384 .

(32)

Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):

[y (y + 6)][(y + + 2)(y + 4)] = 384 .

(33)

Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:

[y 2 + 6y][y 2 + + 6y + 8] = 384 .

(34)

Если теперь обозначить

z = y 2 + 6y ,

(35)

то уравнение (34) станет квадратным уравнением

z 2 + 8 z – 384 = 0 .

(36)

Решим уравнение (36):

В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:

которое корней не имеет.

Во втором случае из равенства (35) получаем:

В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:

Во втором случае из равенства (31) получаем:

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Модульные технологии на уроке математики по теме: «Биквадратные уравнения». 9-й класс

«Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил.»
Л.Н. Толстой.

Тип урока: изучение новых знаний.

• познакомить учащихся с новым видом уравнения с одной переменной;
• изучить и закрепить способ решения биквадратных уравнений;
• продолжать работу по развитию речи учащихся;
• учить составлять алгоритм решения задания по образцу;
• развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания.

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

II. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы: “ Квадратные уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с новым видом уравнения, приводимого к квадратному, поэтому повторим изученное, вспомнив основные определения, формулы и теоремы.Проведем экскурс в тему. Задача отвечающего ученика у доски, донести до слушателей логичный рассказ по изученным вопросам темы, задача остальных учащихся внимательно слушать и дополнить рассказ.
Ученик: (у доски рассказывает о «квадратных» уравнениях).
Перед учащимися демонстрируются формулы, рассказывается об истории вопроса, напоминается прямая и обратная теорема Виета, ее применение для нахождения и проверки корней квадратного уравнения.
На доске помещена тематическая газета. Ученик сопровождает свой рассказ с опорой на готовый материал.
Учитель: Дополнения (к классу)…
Вопросы к учащимся:

• Устно решите уравнения, назовите корни этих уравнений, если они есть:
  (Демонстрирует карточки с условиями уравнений).

Учитель оценивает устную работу учащихся на уроке. Акцентирует внимание учащихся на том, что они должны уметь решать неполные и полные квадратные уравнения на “ отлично” для успешного усвоения новой темы.

III. Мотивация обучения. (3 мин, кроссворды лежат на партах у всех учащихся)

Учитель: Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, который научимся решать на уроке. Работаем по цепочке. Учащиеся читают вопрос вслух по цепочке, допускаются хоровые ответы. Записывает ответ учащийся I варианта, учащиеся II варианта — читают вопрос вслух.
Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “ биквадратные”.
Учитель: Вам предстоит изучить эту тему самостоятельно с опорой на учебник и учебный модуль. Время на изучение темы отводится один урок. Цели и задачи по теме вы прочитаете в учебном модуле.
Запишем тему урока в тетрадях. ( Учитель пишет тему на доске, учащиеся в тетрадях).

IV. Самостоятельное изучение новой темы по модульной программе.

Учитель: Приступайте к изучению новой темы по учебному модулю.

1. УЭ -0 — 1 мин.
2. УЭ- 1 — 4 мин.
3. Защита составленного алгоритма решения биквадратного уравнения.
   (3 мин коллективная работа)

Учитель (после сигнала учащихся о готовности к работе) во фронтальной беседе с учащимися проговаривают определение биквадратного уравнения, составленный алгоритм решения нового вида уравнения.
Затем, сверяют составленный самостоятельно «алгоритм», с алгоритмом записан ном заранее на срытой части доски. Еще раз читают его по пунктам. Идет вторичное осмысление алгоритма.
Учитель: Проверьте составленный алгоритм.
Кто сможет решить сам биквадратное уравнение по этому алгоритму?
Ученик решает у доски, комментируя свои действия по алгоритму.
Закрепление действий учащихся по алгоритму. Показ образца решения.

• Задача учителя: дать образец записи решения нового упражнения через ученика.
• Задача ученика: используя алгоритм по шагам дойти до конца, решив новое упражнение.

Остальные учащиеся работают в тетрадях.
Учитель: (классу после решения уравнения)
Обратите внимание на форму записи на доске нового типа уравнения.
Есть ли затруднения при его решении?

Учитель: Учимся применять полученные знания. Выполните следующий учебный элемент. Работайте парами. УЭ-2— 15 мин.
Учащиеся работают самостоятельно над решением биквадратных уравнений по вариантам, решая по 3 уравнения. Примеры уравнений подобраны так, чтобы охватить разные случаи решения. В учебном элементе 2 перед учащимися стоят задачи:

1. Применять полученные знания по алгоритму;
2. Провести взаимоконтроль с соседним вариантом;
3. Заполнить таблицу по результатам решенных уравнений из двух вариантов;
4. Сделать вывод о числе решения биквадратных уравнений;
5. Провести исследование по новой теме.

Во время самостоятельной работы учитель помогает в случае необходимости учащемуся индивидуально, контролирует ход работы, оценивает отдельных учащихся за работу на уроке по новой теме.
По мере решения уравнений, после проверки учителем работы ученика, ученики записывают результат, заполняя таблицу. 15 минут класс работает самостоятельно.

Результаты работы постепенно появляются в таблице на доске и на партах учащихся.
Учитель: Заполните таблицу. Обсудите полученные данные в парах. Выполните УЭ -3 (6 мин).
Подготовьтесь для обобщения проведенного исследования.
Учитель: Подведем итоги самостоятельной работы над новыми уравнениями. Поговорим о числе решений биквадратных уравнений.
Ученики: (анализируют данные таблицы) — фронтальный метод.

Учитель: Оцените, достигли ли вы намеченных целей и задач урока? (УЭ -0)
Ученики читают п. 1-3, отвечая на вопросы.
Учитель:

1. Какие же уравнения называются биквадратными? (Определение)
2. Алгоритм решения биквадратного уравнения?
3. От чего зависит число решений биквадратного уравнения?

VIII. Домашнее задания.

Запишем д/з. Стр. 123-124, № 468 ( 2,4), 469 (2,4). Дополнительно 474*(2)

Учитель: Домашние упражнения аналогичны классным, кроме одного, № 474*(2).
Это упражнение для тех ребят, кто хочет углубить свои знания по изученной теме, работает над своим образованием.
Мы разберем приемы решения подобных упражнений на следующем уроке.
Сегодня на уроке выполнены все задачи. В оставшееся время — выполняйте УЭ – 4.
УЭ – 4 дан для тех учащихся, кто быстро выполняет задания в классе, легко понимает и применяет алгоритм решения.

Оцените свою работу на уроке в листе самоконтроля

Ф. И. ученика

Какое наибольшее число корней может иметь биквадратное уравнение

Ответ:

Биквадратное уравнение умеет один корень тогда,когда дискриминант равен нулю!Вот пример: x² + 6x + 9 =0 D(дискриминант) = b² — 4ac = 6² — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 =0 x = -b -√D ÷ 2a = -6-0 ÷ 2·1 = -6 ÷2 = -3 (Там где поделить желательно писать дробом)

Биквадратные уравнения и его корни

развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Открытие детьми темы урока (кроссворд).

4. Постановка детьми целей урока.

5. Самостоятельная работа.

6. Итог самостоятельной работы.

7. Пример решения биквадратного уравнения.

10. Итоги исследования.

11. Задание на дом.

Ход урока.

1. Организационный момент.

— Здравствуйте, ребята! Начинаем урок. Сегодня на уроке вы будете исследователями, свои исследования будете проводить в группах. Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого «Ум человеческий только тогда понимает общения, когда он сам его сделал или проверил».

2. Актуализация знаний.

— В начале для разминки выполним устные упражнения:

1) Решить уравнения: х 2 = 81, а 2 = 16, у 2 = 1, в 2 = 0, с 2 = 23, р 2 = — 25, к 2 = — 16, х 2 = . 2) Что записано на доске? (уравнения)

6 – х = 0

— Какое уравнение лишнее? (лишнее уравнение . 1, 2 и 4 уравнения – квадратные)

-Как называется первое уравнение? (неполное квадратное)

-Назовите способ решения (вынесение общего множителя)

— Как называется второе и четвертое уравнения ( приведенное квадратное уравнение)

-Назовите способ решения (по теореме Виета). Сформулируйте теорему.

3. Открытие темы урока.

— Для того чтобы узнать как называется третье уравнение, давайте разгадаем кроссворд.

1. Третья степень числа. (Куб)

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)

4. Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)

5. Равенство с переменной. (Уравнение)

6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. (Приведенное)

7. Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен)

8. Равенство, содержащее числа и переменные. (Формула)

9. Французский математик. (Виет)

10. Числовой множитель — в произведении. (Коэффициент)

11. Один из видов квадратного уравнения. (Неполное)

12. Множество корней уравнения. (Решения)

— Прочитайте слово, которое получилось в выделенной горизонтальной строке.

(Биквадратное). Третье уравнение называется биквадратным.

— Теперь вы можете сказать, какова тема нашего урока.

( Тема урока «Биквадратное уравнение»). Открываем тетради, записываем число, тему урока.

4. Постановка целей урока.

— Какие цели мы можем поставить перед собой на урок? У вас на столах есть цветные треугольники, на них вы напишите цели, какие вы определяете для своей группы на данный урок и в этом вам поможет список целей для любого урока.

Каждая группа озвучивает свои цели, прикрепляет на доске.

5. Самостоятельная работа.

— Переходим к работе, работа с учебником по определенному плану.

План самостоятельной работы:

1. Прочитайте определение БУ (учебник № 435, стр. 110)

2. Запишите определение в тетрадь

3. Существенно ли замечание, что а не равно нулю

4. Разберите решенное уравнение

5. На листе А-3 распишите алгоритм решения биквадратного уравнения.

6. Обсудите составленный алгоритм в группе

7. Дайте сигнал о готовности.

Тому, кто закончит быстрее всех, предложить решить биквадратное уравнение.(№ 435, б)

6. Итог самостоятельной работы.

— Итак, что же вы узнали?

(Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0, где а ≠ 0).

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

( Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным)).

— Какой алгоритм решения биквадратного уравнения вы записали?

(Каждая группа проговаривает что они записали и вывешивает на доску).

Для проверки ребятам раздаются правильный вариант АЛГОРИТМА решения уравнения.

Алгоритм решения биквадратного уравнения.

· Ввести замену переменной: пусть у 2 =х

· Составить квадратное уравнение с новой переменной:

· Решить новое квадратное уравнение.

· Вернуться к замене переменной.

· Решить получившиеся квадратные уравнения

· Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

8. Разминка.

— Вы, наверное устали, взбодримся. Группы учащихся становятся друг перед другом в цепочку, взявшись за руки возле доски. В начале цепи, на равном расстоянии стоит ведущий (учитель) и держит за руку участника из каждой цепи.

Все играют молча. Ведущий одновременно сжимает руку каждого участника (подает сигнал). Получив сигнал, он должен сжать руку своему соседу. Таким образом, сигнал передается по всей цепи. Задача, чтобы сигнал быстрее был передан и загорелась лампочка, последний в цепи (поднимает руку).

9. Исследование.

— Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение. Каждая группа получит по три уравнение и решает их. А потом мы сделаем выводы о том, сколько корней имеют биквадратные уравнения.(Учитель раздаёт уравнения: х 4 -10х 2 +9=0, 2х 4 –х 2 -1=0, х 4 +5х 2 +4=0, 2х 4 +5х 2 +4=0, х 4 -8х 2 +16=0, х 4 +8х 2 +16=0.)

— Итак, что получилось?

1группа показывает решение у доски.

— х 4 -10х 2 +9=0. У нас получился дискриминант положительный, значит, квадратное уравнение имеет 2 корня, корни тоже положительные, значит всего 4 корня.

— х 4 +5х 2 +4=0. Дискриминант квадратного уравнения положительный, но корни отрицательные, значит, биквадратное уравнение не имеет корней.

— Уравнение х 4 +8х 2 +16=0 не имеет корней, т.к. хотя и Д=0, но корень-то отрицательный.

+ 2х 4 –х 2 -1=0. Дискриминант положительный, один корень положительный, а другой отрицательный, значит, биквадратное уравнение имеет 2 корня.

+ 2х 4 +5х 2 +4=0. А у нас дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет корней.

+ Уравнение х 4 -8х 2 +16=0 имеет 2 корня, т.к. квадратное уравнение имеет 1 корень (Д=0).

9. Итог исследования. Из рассмотренных примеров видно, что биквадратное уравнение может иметь четыре, три, два, один действительный корень, но может и не иметь корней. (Биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений)

Итоги исследования оформляем в таблицу.

10. Итог урока. Метод «Какой путь прошли?»

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог. ( Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ступни. Задача группы – написать о том, что понравилось, что не понравилось на уроке, достигли ли поставленных целей на урок? После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются).

11. Задание на дом.

-Провести исследование может ли БУ иметь ровно 3 корня? 1 корень?

— Почему уравнения такого вида называются биквадратными? Что означает приставка «би» к известному термину «квадратное уравнение»?

1) Кроссворд

1. Третья степень числа.

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения.

3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.

4. Уравнения, имеющие одинаковые корни.

5. Равенство с переменной.

6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю.

7. Многочлен в правой части квадратного уравнения.

8. Равенство, содержащее числа и переменные.

9. Французский математик.

10. Числовой множитель — в произведении.

11. Один из видов квадратного уравнения.

12. Множество корней уравнения.

Список целей урока

1. Изучить материал модулей.

2. Составить собственное представление о предлагаемом объекте.

3. Усвоить основные понятия темы.

4. Выполнить самостоятельно исследование по данной теме.

5. Проявить и развить свои способности (назвать их).

6. Научиться аргументированно спорить, доказывать и опровергать утверждения педагога.