Начертательная геометрия
Найти точку, равноудаленную от вершин треуголньника
Найти точку, равноудаленную от вершин треуголньника
Сообщение sanek9865 » 11 фев 2018, 00:31
Найти точку, равноудаленную от вершин данного А, треугольника АВС, пожалуйста с объяснением того что и как делали, очень нужно, последний предмет остался
Найти точку, равноудаленную от вершин треуголньника
Сообщение Admin » 12 фев 2018, 00:38
Сперва получаете проекцию с плоскостью параллельной плоскости треугольника. Пересечение серединных перпендикуляров к сторонам треугольника определяют искомую точку.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 0 гостей
Четыре замечательные точки треугольника
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным.
Определение
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае называется вписанным в данную окружность.
Определение
Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс.
Замечение
Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме.
Теорема о биссектрисе, как ГМТ
Биссектриса неразвернутого угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.
Доказательство
Рассмотрим угол $\angle A$.
Докажем, что любая точка, принадлежащая биссектрисе равноудалена от сторон этого угла.
Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны данного угла.
Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и следовательно, точка $M$ равноудалена от сторон угла.
Обратно: докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе.
Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$.
Докажем, что точка $M$ принадлежит биссектрисе.
Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету, следовательно, $\angle BAM=\angle CAM$, то есть $AM$ – биссектриса угла $\angle A$.
Теорема
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство
Первый способ.
Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
Перемножая эти равенства, получим: $\dfrac
Второй способ.
Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
Докажем, что все биссектрисы пересекаются в одной точке.
Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$.
Тогда по теореме $\rho(I;AB)=\rho(I;AC)$, так как $I\in AA_1$, и $\rho(I;BA)=\rho(I;BC)$, так как $I\in BB_1$.
Тогда $\rho(I;CA)=\rho(I;CB)$, что означает, что $I\in CC_1$, то есть все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Следствие
В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой будет являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность единственна.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$ точку пересечения его биссектрис.
Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно.
Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника, то $IK=IL=IM$.
Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$.
Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$.
Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$.
Докажем, что такая окружность единственна.
В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности.
Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки $I$ до сторон треугольника.
Следовательно, эти окружности совпадают.
Следствие
Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность, центром которой будет точка пересечения биссектрис.
Доказательство
Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех её сторон, то есть перпендикуляры к сторонам многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до стороны, будет касаться всех сторон.
Теорема о серединном перпендикуляре, как ГМТ
Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.
Доказательство
Рассмотрим отрезок $AB$.
Середину отрезка обозначим $C$.
Докажем, что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру, равноудалена от сторон.
Действительно, возьмём произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре.
Если $M=C$, то очевидно, что $MA=MB$.
Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум катетам, следовательно $AM=MB$.
Обратно, докажем, что любая точка равноудалённая от сторон, принадлежит серединному перпендикуляру.
Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$.
Если $M=C$, то очевидно, $M$ принадлежит серединному перпендикуляру.
Если $M C$, то треугольник $AMB$ – равнобедренный, и, следовательно, медиана $MC$ является высотой, то есть $MC$ – серединный перпендикуляр.
Следствие
Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и $P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$.
Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m, n, p$.
Докажем, что эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Если предположить, что $m\parallel n$, то получится, что $n\perp BA$, так как $m\perp BA$.
Но тогда получится, что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$, перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, следовательно, прямые $m$ и $n$ пересекаются.
Пусть они пересекаются в точке $O$.
Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как $O\in n$.
Тогда $OA=OC$, и, следовательно, $O\in p$.
Следствие
Около любого треугольника можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Такая окружность единственна.
Доказательство
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в точке $O$.
Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$.
Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного треугольника.
Докажем, что такая окружность единственна.
Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности.
Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника.
Но такая точка только одна – это точка пересечения серединных перпендикуляров.
Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают.
Следствие
Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно описать окружность, центром которой будет точка пересечения серединных перпендикуляров.
Доказательство
Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех его вершин, и, следовательно, окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным расстоянию от этой точки до какой-либо из его вершин, будет описанной около этого многоугольника.
Теорема
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены высоты $AA_1, BB_1, CC_1$.
Докажем, что все высоты пересекаются в одной точке.
Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, через точку $C$ – прямую, параллельную $AB$, а через точку $A$ – прямую, параллельную $BC$.
Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник $MNP$.
Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$).
Аналогично, $ABNC$ – параллелограмм.
Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма.
Следовательно, $B$ – середина $MN$, а $BB_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MN$.
Аналогично, $AA_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $MP$, $CC_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $PN$.
Получается, что $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, как серединные перпендикуляры треугольника $MNP$.
Следствие
Если через вершины треугольника провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то пересекаясь, они образуют треугольник подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного треугольника являются серединами сторон образовавшегося треугольника.
Следствие
Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного треугольника. Следовательно, ортоцентр серединного треугольника является центром окружности, описанной около исходного треугольника.
Доказательство
Утверждение полностью следует из доказательства теоремы.
Определение
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром треугольника.
Математика
С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.
Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр – обозначим его за р. Таким образом, р – серединный перпендикуляр.
Теорема (основное свойство серединного перпендикуляра): любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.
МОА и ⊿ МОВ . Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть АМ = МВ, что и требовалось доказать.
Справедлива обратная теорема.
Теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка.
Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.
Рассмотрим треугольник АВМ. Он равнобедренный, так как АМ = МВ по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О – середина основания АВ, ОМ – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что ОМ⟂АВ. Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.
Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.
Говорят, что серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.
Треугольник состоит из трех отрезков. Проведем к двум из них серединные перпендикуляры и получим точку О их пересечения.
Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС треугольника, значит, она равноудалена от его вершин В и С, обозначим это расстояние за R, то есть ОВ = ОС = R.
Кроме того, точка О находится на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, т.е. OA = OB, вместе с тем OB = R, отсюда OA = R.
Таким образом, точка О пересечения двух серединных перпендикуляров треугольника равноудалена от его вершин, а значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре.
Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.
ВАС , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.
АМК и ⊿ АМР . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы ∠ КАМ и ∠ РАМ равны, так как AL – биссектриса угла ∠ ВАС . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что МК = МР = d, что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Справедлива обратная теорема.
Теорема. Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.
Задан неразвернутый угол ∠ ВАС , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое. Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.
Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.
Рассмотрим треугольники ⊿ АМК и ⊿ АМР . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, ∠ КАМ и ∠ РАМ равны , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.
Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центры вписанных окружностей лежат на биссектрисе данного угла.
Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения.
Точка О лежит на биссектрисе угла ∠ В , значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: ρ(О,АВ) = ρ(О,ВС) = r. Также точка О лежит на биссектрисе угла ∠ C , значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС, то есть ρ(О,АC) = ρ(О,ВС), ρ(О,ВС) = r, отсюда ρ(О,АC) = r.
Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на биссектрисе угла ∠ A . Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Итак, мы рассмотрели вторую замечательную точку треугольника – точку пересечения биссектрис.
Аналогичным свойством обладают высоты и медианы.
Высоты треугольника (или их продолжение) пересекаются в одной точке.
199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.
1. ΔASB — равнобедренный, SM — медиана, поэтому SM ⊥ AB (это высота).
2. Проведем отрезок СМ. в пл. SCM проведем SO L СМ. Точку О соединим с вершинами А, В и С.
AS, BS, CS — равный наклонные, поэтому их проекции также равны, то есть ОА = ОВ= ОС = R, R — радиус описанной окружности около ΔАВС.
Итак, SM ⊥ пл. АВС.
Что и требовалось доказать.
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №199
к главе «Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.».