Как решать задачи на отношение

Напомните моей светлой головушке, как решать задачи на отношение.

Если вы часто забываете, как решать задачи на отношение, не стоит паниковать. В данной статье мы рассмотрим основные принципы решения задач на отношение.

Что такое отношение?

Отношение — это связь между элементами двух множеств. В математике отношения рассматриваются как подмножества декартова произведения двух множеств.

Как решать задачи на отношение?

Найти декартово произведение двух множеств.
Определить отношение между элементами двух множеств.
Определить свойства отношения, такие как: рефлексивность, симметричность, транзитивность и т.д.
Построить матрицу отношения.
Определить классы эквивалентности.

Пример решения задачи на отношение:

Даны два множества: А = <1, 2, 3>, В = <3, 4, 5>. Определить отношение между элементами этих множеств и построить матрицу отношения.

Найдем декартово произведение двух множеств. A x B =

Определим отношение между элементами двух множеств. R =

Определим свойства отношения. a. Рефлексивность. Рефлексивно только отношение (3, 3). b. Симметричность. Отношение (1, 3) не симметрично, т.к. (3, 1) не принадлежит R. Отношение (3, 3) симметрично. c. Транзитивность. Отношение (1, 3) и (3, 5) не транзитивно, т.к. (1,5) не принадлежит R. Отношение (3, 3) транзитивно.

Построим матрицу отношения.

Определим классы эквивалентности. [<1>], [<2>], [<3>, <5>].

Итак, основные шаги решения задач на отношение очень простые и логичные. Главное — не забыть провести все необходимые операции. С практикой эти шаги станут для вас еще более естественными, и вас не будет пугать сложность задач на отношение.

Что нужно знать об отношении двух чисел в математике за 6 класс

Отношение чисел является частным данных чисел.

Запись отношения принято обозначать с помощью арифметического действия деления. Также допускается представление отношения в виде обыкновенной дроби:

Запись отношения пары чисел таких, как 75 и 25, имеет вид:

Вычислить процентное отношение пары чисел можно путем деления одного числа на второе, а полученный результат следует умножить на 100.

Даны два числа: 52 и 400. Требуется определить, сколько процентов составляет первое число от второго числа. Воспользуемся правилом вычисления процентного соотношения и запишем:

Подобные отношения можно найти в заданиях, где по условию определены некие величины, и требуется вычислить их процентное соотношение. Знание определенных правил вычисления поможет значительно упростить решение. Среди вопросов могут быть такие:

на сколько процентов была перевыполнена работа;
на сколько процентов готов результат;
указать повышение или снижение цены товара в процентах

и другие вопросы, в которых присутствует понятие «процент».

Свойства отношения чисел

В том случае, когда имеется пара чисел или значений одинаковой величины, обозначенных как a и b, справедливы следующие соотношения:

отношение a к b является результатом частного a и b;
когда a>b, отношение a:b говорит о том, во сколько раз число a больше по сравнению с b;
когда a<b, отношение a:b говорит о том, что a является некой частью от b;
процентное отношение a к b представляет собой отношение a:b, которое умножили на 100%.

Ключевое свойство частного: частное сохраняется без изменений в том случае, когда делимое и делитель умножают или делят на одинаковое число.

Основное свойство частного позволяет вывести главное свойство отношения.

Основное свойство отношения: при умножении или делении членов какого-то отношения на одинаковое число, которое не равно нулю, данное отношение сохранится без изменений.

Примеры решения задач с пояснениями

Месячный план производства равен 1200 изделий. В результате предприятие произвело 2300 изделий. Требуется определить процент превышения плана.

Данную задачу можно решить двумя способами. Рассмотрим их по отдельности.

Способ 1. Запишем, что 1200 изделий являются планом, то есть составляют 100 %. Определим, количество изделий, изготовленных больше плана:

Вычислим разницу между фактом и планом в процентах:

Попробуем выполнить вычисления другим методом.

Способ 2. Сначала найдем разницу между планом и фактом в процентах:

Поставлена задача вспахать землю на участке поля площадью 500 га. В течение первого дня было обработано 150 га почвы. Требуется вычислить, сколько процентов удалось вспахать от общего запланированного объема.

Найдем отношение обработанной земли к общей площади поля и запишем результат в процентном выражении:

Производительность мастера составила 45 деталей, а по плану требовалось изготовить 36 деталей. Нужно найти процент фактически проделанной работы от планируемого объема.

Здесь вычислим отношения чисел и запишем результат в процентном выражении:

Должность председателя желали занять два претендента. Явка на голосовании составила 120 человек. Распределение голосов соответствует пропорции 3:5. Требуется определить количество голосов, которые получил победитель.

Отношение количества хвойных деревьев к лиственным в лесу можно выразить как 1:4. Нужно вычислить процент лиственных деревьев.

Сельскохозяйственные растения высаживают на площади 24 Га. Зерновые культуры и овощные распределены в соответствии с отношением 5:3. Необходимо вычислить площадь в Га, которую занимают овощные культуры.

Задачи на пропорции с решением и оформлением

Кратко пробежимся по теории.

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Отношение – это частное двух чисел. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.

Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Задачи на пропорции из учебников

Основная сложность в задачах такого типа — составить пропорцию и определить, прямо или обратно пропорциональны величины.

В шестом классе условие задач на пропорции записывают таблицей, а пропорциональность обозначают стрелкам в одном либо противоположных направлениях.

Решите с помощью пропорции задачи:

1) Для изготовления 8 одинаковых приборов необходимо 18 кг металла. Сколько таких приборов можно изготовить из 27 кг металла?

Пусть из 27 кг металла возможно изготовить x приборов.
К-во приборов Масса металла
↓ 8 18 кг ↓
х 27 кг
$\frac8x=\frac<18><27>$
18x = 8 * 27
$x=\frac<8\ast27><18>$
$x=\frac<4\ast3>1$
x = 12
Значит, 12 приборов можно изготовить из 27 кг металла
Ответ: 12 приборов.

2) За 5 ч турист прошел 24 км. Какое расстояние он пройдет за 8 ч с той же скоростью?

Пусть x км пройдет турист за 8 ч.
Время Путь
↓ 5 ч 24 км ↓
8 ч х км
$\frac58=\frac<24>x$
5x = 8 * 24
$x=\frac<8\ast24>5$
$x=\frac<192>5$
$x=38\frac25=38,4$
Значит, 38,4 км пройдет турист за 8 ч с той же скоростью
Ответ: 38,4 км.

3) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушеных. Сколько килограммов сушеных вишен получится из 160 кг свежих? Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушеных?

Пусть из 160 кг свежих вишен возможно получить x кг сухих вишен.
Масса свеж. Масса сух
↓ 140 кг 21 кг ↓
160 кг х кг
$\frac<21>x=\frac<140><160>$
140x = 160 * 21
$x=\frac<160\ast21><140>$
$x=\frac<8\ast3>1$
x = 24
Значит, 24 кг сушеных вишен получится из 160 кг свежих

Пусть из x кг свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сухих вишен.

$\frac<21><31,5>=\frac<140>x$
21x = 31,5 * 140
$x=\frac<31,5\ast140><21>$
$x=\frac<1,5\ast140>1$
x = 210
Значит, 210 кг свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сухих вишен
Ответ: 24 кг; 210 кг.

4) Объем бруска, изготовленного из древесины вишни, равен 800 см 3 , а его масса − 528 г. Какова масса бруска, изготовленного из этого же материала, если его объем равен 1500 см 3 ?

Пусть x г масса бруска, если его объем равен 1500 см 3 .

$\frac<800><1500>=\frac<528>x$
800x = 1500 * 528
$x=\frac<1500\ast528><800>$
$x=\frac<15\ast66>1$
x = 990
Значит, 990 г масса бруска, если его объем равен 1500 см 3 .
Ответ: 990 г .

5) Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько требуется тонн руды, чтобы выплавить 10 т железа?

Пусть x т руды требуется, чтобы выплавить 10 т железа.

$\frac<45>x=\frac<25><10>$
25x = 45 * 10
$x=\frac<45\ast10><25>$
$x=\frac<9\ast2>1$
x = 18
Значит, 18 т руды требуется, чтобы выплавить 10 т железа.
Ответ: 18 т руды.

6) Площадь поля 480 га. Пшеницей засеяли 24% площади поля. Сколько гектаров земли засеяли пшеницей?

Пусть x га земли засеяли пшеницей.

7) За первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14% всего пути. Сколько километров составляет весь путь?

Пусть x км составляет весь путь.

8) Сплав содержит 12% цинка. Сколько килограммов цинка содержится в 80 кг сплава?

8) Пусть x кг цинка содержится в 80 кг сплава.

9) На пошив 14 одинаковых костюмов израсходовали 49 м ткани. Сколько таких костюмов можно сшить из 84 м ткани?

Пусть x костюмов можно сшить из 84 м ткани.

$\frac<14>x=\frac<49><84>$
4x = 14 * 84
$x=\frac<14\ast84><49>$
$x=\frac<2\ast12>1$
x = 24
Значит, 24 костюма можно сшить из 84 м ткани.
Ответ: 24 костюма.

10) За 7 ч в бассейн налилось 224 л воды. За какое время в него нальется 288 л воды?

Пусть за x часов в бассейн нальется 288 л воды.

$\frac7x=\frac<224><288>$
224x = 7 * 288
$x=\frac<7\ast288><224>$
$x=\frac<1\ast72>8$
x = 9
Значит, 9 часов в бассейн будет наливаться 288 л воды.
Ответ: 9 часов.

11) Из 150 кг картофеля получают 27 кг крахмала. Сколько килограммов крахмала получат из 420 кг картофеля? Сколько килограммов картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала?

Пусть x кг крахмала получат из 420 кг картофеля.

$\frac<27>x=\frac<150><420>$
150x = 27 * 420
$x=\frac<27\ast420><150>$
$x=\frac<27\ast14>5$
$x=\frac<378>5$
$x=\frac<756><10>=75,6$
Значит, 75,6 кг крахмала получат из 420 кг картофеля.
Ответ: 75,6 кг крахмала.

Пусть x кг картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала.

$\frac<27><30,6>=\frac<150>x$
27x = 30,6 * 150
$x=\frac<30,6\ast150><27>$
$x=\frac<3,4\ast50>1$
x = 170
Значит, 170 кг картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала.
Ответ: 170 кг картофеля.

12) В саду растет 320 деревьев, из которых 40% составляют яблони. Сколько яблонь растет в саду?

Пусть x яблонь растет в саду.
К-во деревьев Проценты
320 д 100 %
х д 40 %
$\frac<320>x=\frac<100><40>$
100x = 320 * 40
$x=\frac<320\ast40><100>$
$x=\frac<32\ast4>1$
x = 128
Значит, 128 яблонь растет в саду
Ответ: 128 яблонь.

13) Масса соли составляет 24% массы раствора. Сколько килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли?

Пусть x килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли.

$\frac<100><24>=\frac x<96>$
24x = 100 * 96
$x=\frac<100\ast96><24>$
$x=\frac<100\ast4>1$
x = 400
Значит, 400 килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли.
Ответ: 400 кг.

14) На изготовление 3,5 кг ржаного хлеба требуется 2,5 кг муки. Сколько хлеба можно испечь из 17,5 т ржаной муки?

Пусть х кг хлеба можно испечь из 17,5 т муки.
17,5 т = 17500 кг
Масса хлеба Масса муки
↓ 3,5 кг 2,5 кг ↓
х кг 17500 кг
3,5 кг − 2,5 кг
x кг − 17500 кг
$\frac<3,5><2,5>=\frac х<17500>$
$х=\frac<3,5\ast17500><2,5>$ умножим по 1 числу в числ. и знам. на 10
$х=\frac<35\ast17500><25>$
x = 24500
Значит, 24500 кг = 24,5 т хлеба можно испечь из 17,5 т ржаной муки.
Ответ: 24,5 т

В задачах выше зависимость между величинами была прямо пропорциональная, но бывают задачи и с обратно пропорциональной зависимостью.

1) Самолет со скоростью 200 км/ч преодолевает расстояние от Москвы до Тюмени за 2 часа, за сколько он преодолеет это же расстояние со скоростью 150 км/ч?

Пусть за х часов самолет преодолеет то же расстояние со скоростью 150 км/ч
Скорость Время
↑ 200 км/ч 2 ч ↓
150 км/ч х ч
Зависимость обратно пропорциональная, исходя из этого составляем пропорцию:
$\frac<200><150>=\frac х2$
150 х = 200 * 2
$х=\frac<200\ast2><150>$
$х=2\frac23$
Значит, за $2\frac23$ часа он преодолеет это же расстояние со скоростью 150 км/ч.
Ответ: за $2\frac23$ часа.

2) Три трактора вспахали поле за 7 часов. Сколько нужно тракторов, чтобы вспахать такое же поле за 5 часов?

Пусть нужно х тракторов, чтобы вспахать поле за 5 часов.
К-во тракторов Время
↓3 7 ч ↑
х 5 ч
$\frac3х=\frac57$
5 х = 3 * 7
х = 4,2
Так как количество тракторов не может быть дробным числом, округлим до большей величины.
х ≈ 5
Значит, 5 тракторов нужно, чтобы вспахать такое же поле за 5 часов.
Ответ: 5 тракторов.

3) Для покрытия пола требуется 45 м линолеума шириной 2,2 м. Сколько потребуется линолеума шириной 1,5 м для покрытия пола той же площади?

Пусть х м линолеума шириной 1,5 м потребуется для покрытия пола той же площади.
Длина лин. Ширина лин.
↓ 45 м 2,2 м ↑
x м 1,5 м
$\frac<45>х=\frac<1,5><2,2>$
$\frac<45>х=\frac<15><22>$
15 х = 22 * 45
$х=\frac<22\ast45><15>$
x = 66
Значит, 66 м линолеума шириной 1,5 м потребуется для покрытия пола той же площади..
Ответ: 66 метров.

Нестандартные задачи на пропорции

Задача 1. Поп нанял работника Балду на год, обещал ему 120 рублей и красный кафтан. Однако, проработав 7 месяцев, Балда стал просить у попа расчет и получил за работу 50 рублей и красный кафтан. Сколько стоит кафтан у Балды?

Эту задачу можно решить, не прибегая к уравнению и пропорции, однако можно и пропорцией.

Пусть x – цена кафтана. Тогда за 12 месяцев Балда мог получить 120 руб. и кафтан, т.е. 120 + x. Но за 7 месяцев он получил 50 + x. Запишем в привычном для шестиклассника виде:

| 12 120 + х |
↓ 7 50 + х ↓

Применяя основное свойство пропорции, получаем уравнение:

7 * (120 + х) = 12 * (50 + х)
840 + 7 х = 600 + 12 х
12 х — 7 х = 840 — 600
5 х = 240
х = 48

Ответ: 48 рублей стоил кафтан у Балды.

Гораздо сложнее ученикам даются задачи на пропорциональную зависимость трёх и более величин. Причем настолько, что когда в 7 классе в учебнике геометрии (например, в учебнике Погорелова) встречается задача, где в условии говорится, что углы треугольника пропорциональны числам 2, 3, 4 (т.е. относятся как 2:3:4), некоторые ученики приходят в замешательство и утверждают, что не понимают условие.

В последнее время задачи на пропорциональное деление стали встречаться в некоторых сборниках по занимательной, нестандартной и олимпиадной математике. Рассмотрим задачу такого плана.

Задача 2 на деление в данном отношении. Три предпринимателя — Давыдов, Петров и Максимов вложили в совместную организацию предприятия по производству мебели деньги. Первый вложил 60 тыс. руб., второй — 90 тыс. руб., а третий — 150 тыс. руб. Они получили прибыль в размере 117 тыс. руб. Сколько денег из прибыли получит каждый из предпринимателей при условии распределения ее пропорционально их вкладам?

Найдём, каким числам пропорциональны вклады предпринимателей. Все числа запишем в тыс. руб.
60 : 90 : 150, т.е. 2 : 3 : 5.
Исходя из этого, можно записать, что 2x + 3x + 5x = 117, где 2x — часть прибыли, которую должен получить Давыдов, 3x – часть прибыли, которую должен получить Петров, 5x — часть прибыли, которую должен получить Максимов, исходя из пропорциональности вкладов. Отсюда x = 11,7 тыс. руб., т.е. Давыдов получит 23,4 тыс. руб., Петров – 35,1 тыс. руб., а Максимов – 58,5 тыс. руб.
Задачу можно решить и немного иначе:
1) 60 + 90 + 150 = 300 тыс. руб.
2) 117 : 300 x 60 = 23,4 тыс. руб.
3) 117 : 300 x 90 = 35,1 тыс. руб.
4) 117 : 300 x 150 = 58,5 тыс. руб.
Ответ: 23, 4 тыс. руб., 35,1 тыс., руб., 58,5 тыс. руб.

Классика нестандартных задач на пропорциональность трёх и более величин:

Задача 3. Три курицы за 3 дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

И сразу аналогичная, коих может быть бесконечное множество, а решаются они одинаково:

Задача 4. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько потребуется землекопов, чтобы за 100 часов выкопать 100 м канавы?

Напрашивается ответ 12 в задаче про куриц и 100 в задаче с канавой, но это не верно. В задаче про куриц правильный ответ 48, а в задаче про землекопов правильный ответ – 5.

Если дней в 4 раза больше, а кур также в 4 раза больше, то яиц они снесут 3 х 4 х 4 = 48.

Что касается задачи про землекопов, то решение еще проще. Так как за 5 часов землекопы выкапывают 5 метров канавы, то за 1 час – 1 метр канавы. И значит, за 100 часов 100 м канавы выкопают те же 5 землекопов.

Задача 5. 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер. Сколько компьютеров соберут 10 роботов за 12 часов?

Иногда условия таких задач выписывают примерно также как обычную пропорцию и делают стрелочки. Например:

Роботы Часы Компьютеры
| 2 | 3 | 1
↓10 ↓12 ↓ х

Если 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер, то сколько компьютеров соберут те же два робота за 12 часов?
12 : 3 = в 4 (раза) — больше будет времени у 2х роботов на сборку компьютеров
Если у двух роботов будет времени в 4 раза больше, то и соберут они в 4 раза больше компьютеров, т.е.
1 * 4 = 4 (компьютера) — собирают 2 робота за 12 часов.

Если роботов будет 10, то сколько компьютеров они соберут за 12 часов?
10 : 2 = в 5 (раз) — больше роботов
Так как роботов будет в 5 раз больше, то и соберут они за 12 часов в 5 раз больше компьютеров.
4 * 5 = 20 (компьютера) — соберут 10 роботов за 12 часов.

Ответ: 20 компьютеров.

Задача 6. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

60 : 3 = 20 (окон) — может покрасить 1 маляр за 5 дней,
20 : 5 = 4 (окна) — маляр покрасит за 1 день
4 * 4 = 16 (окон) — он покрасит за 4 дня.
А если таких маляров будет 5, то окон будет покрашено
5 : 16 = 80 (окон) — покрасят 5 маляров за 4 дня
Ответ: 80 окон.

Лишь только тогда, когда ученик приобретает опыт в решении таких задач поэтапно, можно показать ему решение подобной задачи пропорцией.

3 маляра за 5 дней выполнят работу, которую можно измерить как 3 х 5 человеко-дней. Можно пояснить, что человеко-дни – единица, с помощью которой учитывается рабочее время на производстве. И по условию эта работа выражается в 60-ти окнах. В задаче требуется узнать, чему равна работа, которая измеряется как 4 х 5 человеко-дней.
Значит, можно составить пропорцию:

К-во окон К-во человеко-дней
60 окон 3*5 человеко-дней
х окон 4*5 человеко-дней

$х=\frac<4\ast5\ast60><3\ast5>=80$ (окон) — покрасят 5 маляров за 4 дня

Однако надо быть внимательным. В некоторых задачах имеет место быть и обратно пропорциональная зависимость. Если, например, количество рабочих увеличивается, то количество дней, за которые им надо выполнить заданную работу, уменьшается.

Задача 7. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. За сколько дней 5 маляров смогут покрасить 80 окон?

За 1 день один маляр покрасит 4 окна, а 5 маляров за 1 день – 20 окон. А 80 окон 5 маляров смогут покрасить за 4 дня (80 : 20 = 4).

Кол-во маляров Скорость покраски
3 м. 60/5 окон/день
5 м. 80/х окон/день

В заключение обзора сложных задач на пропорцию и методов их решения рассмотрим задачу, с четырьмя величинами. Такие задачи сегодня могут встречаться на олимпиадах. Но было время, когда они входили в курс школьной математики (учебник Киселева).

Задача 8. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 часов ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день?

С тем, чтобы не запутаться в условии, выпишем все данные в виде таблички. В учебнике Киселева таблицы отсутствуют, а условие записано двумя строчками. Последуем его примеру:

5 керосинок 24 дня по 6 часов — 120 л
9 керосинок x дней по 8 часов — 216 л

Далее, если следовать логике решений задач, приведённых на этой странице, а также логике Киселева, решим задачу поэтапно. Сначала решим такую задачу: На сколько дней хватит 216 л керосина, если те же 5 керосинок будут гореть по 6 часов в день? То есть:

120 л — на 24 дня
216 л – на y дней

То есть 216 л керосина хватит на 43,2 дня, если будет работать 5 керосинок.

Теперь найдём, на сколько дней хватит 216 л керосина, если керосинок будет не 5, а 9. То есть, если 5 керосинок могут работать 43,2 дня, то 9 керосинок меньше в 1,8 раза (9 : 5 = 1,8). То есть 9 керосинок, работая по 6 часов в день при запасе в 216 литров, проработают 24 дня.

Осталось найти, на сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день. То есть:

24 дня — по 6 часов в день
х дней — по 8 часов в день

Все выполненные действия можно записать одной дробью и сократить ее:

Надеемся, что способы решения задач на пропорцию, изложенные в этой статье, помогут пятиклассникам и шестиклассникам, стремящимся изучить школьный материал, в том числе и тот, который выходит за рамки программы обычной школы, но который может быть полезен при подготовке к олимпиадам.

Математика

1. Обозначать количество. Пять яблок. Три автомобиля.

2. Задавать порядок. Пятый дом идет после третьего, но раньше девятого.

3. Давать имя. Номер на футболке спортсмена, номер телефона – это аналог имени.

Точно так же и дробь имеет разное назначение.

1. Обозначать количество. Пол-литра молока, четверть часа, две трети пути.

2. Сравнивать два числа. Брату 5 лет, а сестре 3 года. Брат старше в раза. Эта дробь не обозначает никакого количества. Она сравнивает одно число с другим. Такое сравнение называется отношением. Во сколько раз одно число больше другого (или меньше).

Рассмотрим такую ситуацию. Художник, глядя на дом, нарисовал его на бумаге. Мы понимаем, что это тот самый дом. Но ведь на бумаге он во много раз меньше. Что же осталось неизменным? Без изменения осталось отношение высоты дома к его ширине. То есть, если у реального дома высота в три раза больше ширины, то и на картинке то же самое. Если у дома высота 15 метров, а ширина 5 метров, то на картинке высота и ширина могут быть 15 и 5 см, или 30 и 10 см, но не могут быть 10 и 5, иначе изображенный дом будет не похож на настоящий (см. Рис. 1).

Рис. 1. Отношения сторон дома

Если разделить высоту на ширину дома, то мы получим их отношение.

Отношение везде было одинаковым.

Отношение может рассматриваться не только для двух, но и для любого количества величин.

Пример 1

Лотерейный билет стоил 100 рублей. Маша внесла 10 рублей, Петя – 20 рублей, Вася – 30 рублей и Вика – 40 рублей. Всего 100 рублей. Билет выиграл. Выигрыш 1000 рублей. Как справедливо разделить выигрыш?

Справедливо будет разделить в таком же отношении. Запишем отношения взносов.

В таком отношении у нас разделено 100 рублей.

Понятно, что, чтобы в таком же отношении разделить 1000 рублей, нужно все увеличить в 10 раз.

Это и будет справедливым.

В случае отношения двух чисел можно использовать и двоеточие, и дробную черту:

В случае трех и более чисел используем только двоеточие:

Отношение двух чисел

Обычно отношение двух чисел используют в двух случаях:

1. Отношение двух различных величин

Отношение высоты дома к его ширине.

Отношение роста или возраста двух человек.

2. Отношение частей или части и целого

Высота основной части дома 5 метров, крыши – 3 метра (см. Рис. 2).

Рис. 2. Отношение частей или части целого на примере дома

Можем записать различные отношения частей или частей и целого.

Крыша к основной части: 3:5

Крыша ко всему дому: 3:8

Основная часть ко всему дому: 5:8

Задача 1

Масса слона – 5 т, масса кита – 80 т. Найти отношение их масс.

Чтобы найти отношение, нужно одну величину разделить на другую. Отношение массы слона к массе кита составляет 5:80. В принципе, задача уже решена. Но это отношение можно упростить. Разделим обе части на 5. Получим отношение 1:16.

То же самое можно записать в виде дроби.

Можно было поступить наоборот: разделить массу кита на массу слона.

1:16 – отношение массы слона к массе кита

16:1 – отношение массы кита к массе слона

Такие отношения называют взаимно-обратными.

Оба отношения показывают нам одно и то же. Кит в 16 раз тяжелее слона.

Задача 2

Весь путь составляет 30 км. Пройдено 6 км.

Каково отношение пройденного пути ко всему пути; к оставшемуся? (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Разделим пройденный путь на весь путь.

Отношение 1:5. Это означает, что пройденный путь в 5 раз меньше всего пути. Чаще мы в такой ситуации говорим, что пройденный путь составляет от всего пути, и используем дробь.

Отношение пройденного пути к оставшемуся говорит нам, что осталось в 4 раза больше, чем пройдено.

Ответ: , .

Задача 3

Сколько процентов составляет 3 минуты от 1 часа?

Задачи на проценты тоже являются задачами на отношение двух величин.

Найдем отношение 3 минут к часу.

Переведем часы в минуты, чтобы у нас были одинаковые единицы измерения (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Так как единицы измерения одинаковые, то различие только в количестве, значит, можно рассмотреть только отношение чисел.

Сократим на 3. Получаем:

1 : 20 или

Мы можем сказать, что 3 мин относятся к 1 ч, как 1 : 20.

Или: 1 час в 20 раз больше, чем 3 мин.

Или: 3 минуты составляет от часа.

Так как в условии просили дать ответ в процентах, то надо дробь перевести в проценты. Проценты – это сотые. Переведем нашу дробь в сотые. Домножим числитель и знаменатель на 5. Получим .

Три минуты – это 5 % часа

Нахождение отношения без точного значения величин

Не обязательно знать, чему равны две величины, чтобы найти их отношение.

В самом деле, если пройдена пути, то каково отношение пройденного пути к оставшемуся?

Пройдена , осталась . Оставшийся путь в два раза больше.

То есть отношение пройденного к оставшемуся равно 1:2.

Технически это получить не сложно.

Разделим на .

Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

После сокращения получаем или отношение 1:2.

Заключение

Итак, подведем итог.

Чтобы найти отношение двух величин, нужно одну разделить на другую. Это можно записать с помощью знака деления или дробной черты.

Отношение к :

Величины должны быть выражены в одних единицах

Величины сами могут быть дробями или процентами

Отношения трех и более чисел

Треугольник, у которого стороны относятся как 3:4:5, обязательно имеет прямой угол. Его использовали древние египтяне, чтобы начертить на земле прямой угол. Треугольник так и называется – египетский.

Размеры могут быть разные, но отношение одно и то же (см. Рис. 5).

Рис. 5. Египетский треугольник

Коробка имеет размеры: 1,2 м, 60 см, 90 см.

Дом имеет размеры: 8 м, 4 м, 6 м.

Можно ли сказать, что у коробки и дома одинаковая форма (или, еще говорят, одинаковые пропорции)?

Запишем отношения размеров:

Кажется, что они разные.

Но для отношений выполняется такое же свойство, как и для дробей: все числа можно умножить или разделить на одно и то же число.

Разделим в первом отношении все на 10:

Дальше не упрощается.

Теперь второе соотношение:

Разделим все на два.

Соотношения оказались одинаковыми.

Ответ: коробка и дом имеют одинаковую форму, одинаковые пропорции.

Отношения возрастов сестры, брата, мамы и папы составляет: 2:5:18:19.

Сестре 4 года. Сколько лет всем остальным?

Все члены отношения можно умножить или разделить на любое число. Чтобы первый член отношения стал 4, умножим все члены отношения на 2.

Все, мы решили задачу.

Сестре – 4 года, брату – 10 лет, маме – 36 лет, папе – 38 лет.

В бригаде первый рабочий работал 3 дня, второй – 5 дней, третий – 6. Бригада получила оплату 35 000 рублей. Необходимо разделить деньги между рабочими в отношении потраченного времени.

Отношение потраченных дней равно 3:5:6. Значит, и гонорар нужно разделить в таком же отношении. Справедливо, если каждый работник получает одинаковую плату за один день работы.

Обозначим ее . Тогда первый получит , второй , а третий . В сумме это должно быть 35 000.

Тогда дневная оплата одному рабочему составляет 2500 рублей.

Осталось посчитать для каждого:

Ответ: 7500 рублей, 125 00 рублей, 15 000 рублей.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я. Жохов В.И.Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт »Школьная математика» (Источник)

2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

3. Интернет-сайт matematika-na.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Найдите отношение:

а) 340 к 2; б) 91 к 0,7; в) 8 к 30; г) к 0,3; д) к 0,6; е) 1,4 к ; ж) к ; з) 18 к 0,5; и) к 12;

2. Трубу разрезали на два куска. Длина первого куска равна 0,8 метра, а длина второго равна 2,4. Найдите, какую часть всей трубы составляет первый кусок и какую часть всей трубы составляет вторая часть. Какую часть от длины второй части составляет длина куска первой части?

3. В 3-литровую банку налили 2 литра воды и положили 40 граммов соли. Найдите процентное содержание соли в воде. Как она изменилась, если через два дня из банки испарилось 300 граммов воды? (Считайте, что 1 литр воды имеет массу 1 кг.)