Представьте матрицу в виде суммы r матриц ранга 1 где rka

Калькулятор матриц — действия с матрицами онлайн

С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.

Матричный калькулятор

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T _ij = a_ji

Как пользоваться калькулятором матриц

1. Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ( )
2. Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей ( × )
3. Заполните элементы (нулевые элементы можно не заполнять.)
4. Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
5. Нажмите кнопку .
6. Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2

Ввод данных и функционал

• В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби ( 1/2 , 29/7 , -1/125 ), десятичные дроби ( 12 , -0.01 , 3.14 ), а также числа в экспоненциальной форме ( 2.5e3 , 1e-2 ).
• Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
• Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
• Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
• Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
• Используйте стрелки ( ← , ↑ , → , ↓ ) для перемещения по элементам

Что умеет наш калькулятор матриц?

• Транспонировать;
• Вычислять определитель;
• Находить ранг и след;
• Возводить в степень;
• Умножать на число;
• Вычислять обратную матрицу;
• Приводить к треугольному и ступенчатому вид;
• Находить LU-разложение;
• Выполнять элементарные преобразования;
• Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.

• Складывать;
• Вычитать;
• Умножать;
• Решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX=B;
• Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.

Вычисление выражений с матрицами

Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.

Из чего могут состоять выражения?

• Целые и дробные числа
• Матрицы A, B
• Знаки арифметических действий: + — * /
• Круглые скобки для изменения приоритета операций: ( )
• Транспонирование: ^T
• Возведение в целую степень: ^

Примеры корректных выражений

• Cложение двух матриц: A+B , (A)+(B) , ((A) + B)
• Возведение линейной комбинации матриц в степень: (3A — 0.5B)^5
• Произведение транспонированной матрицы на исходную: A^TA
• Обратная матрица в квадрате для B: B^-2

Что такое матрица?

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: A_n×m .

Примеры матриц

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

2	-1	0	0
-3	2	0	0
31	-19	3	-4
-23	14	-2	3

Элементы матрицы

Элементы A обозначаются a_ij , где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T _ij = a_ji

Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — a_ii

Единичная матрица E_n×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)

След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)

Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: A n

Обратная матрица A −1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A -1 ×A = A×A -1 = E

Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U

Сложение матриц A_n×m и B_n×m — матрица C_n×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: с_ij=a_ij+b_ij

Разность матриц A_n×m и B_n×m — матрица C_n×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: с_ij=a_ij-b_ij

Умножение матриц A_n×k и B_k×m — матрица C_n×m, у которой элемент (c_ij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: c_ij = a_i1·b_1j + a_i2·b_2j + . + a_ik·b_kj

Нахождение ранга матрицы — примеры решения

Что такое ранг матрицы — понятие, для чего используется

Возьмем случайную матрицу \(\undersetA\) и натуральное число k, меньшее или равное числам m и n. Вычеркивая в ней произвольным образом (m — k) строк и (n — k) столбцов, мы получим квадратные подматрицы меньше размера исходной, k-го порядка. Определители таких подматриц будут минорами k-го порядка матрицы \(\undersetA.\)

Минор k-го порядка матрицы A — это определитель k-го порядка с элементами, которые расположены на пересечении любых k строк и любых k столбцов.

Всего из матрицы \(\undersetA\) получится выделить \(C_m^kC_n^k\) миноров k-го порядка.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Например, из \(\underset<3\times 4>A\) мы получим 12 миноров 1-го порядка, 18 — 2-го и 4 — 3-го.
Если среди матричных элементов \(a_\) (i = 1, 2 . m; j = 1, 2 . n) есть отличные от нуля, то существует натуральное число r, которое обладает следующими свойствами:

1. У матрицы А есть ненулевой минор r-го порядка.
2. Любой из миноров этой матрицы порядка r + 1 или выше будет нулевым.

Число r с такими характеристиками — ранг матрицы A.

Ранг матрицы — это наивысший порядок ее ненулевых миноров.

Устоявшегося обозначения ранга не существует, чаще всего его записывают как \(r (A)\) или rang A, где А — обозначение матрицы. Понятие ранга обычно используют в ситуациях, когда необходима проверка совместимости системы линейных уравнений.

В случае, когда базисный минор матрицы \(\underset<3\times 4>A\) имеет порядок r < m, то как минимум одна ее строка будет не базисной. Согласно теореме о базисном миноре, в таком случае строки рассматриваемой матрицы \(\underset<3\times 4>A\) линейно зависимы. В случае, когда r = m, все строки являются базисными и линейно независимыми.

Из этого можно сделать следующие выводы:

1. Когда ранг матрицы A меньше числа ее строк, они линейно зависимы. В случае, когда он равен числу строк, все они линейно независимы.
2. Всякие r + 1 строк матрицы A ранга r линейно зависимы.
3. Ранг любой матрицы равняется максимальному числу ее линейно независимых строк.

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному количеству ее линейно независимых строк и равно ее рангу.

Ранг не меняется при транспонировании.

Как определить ранг матрицы, примеры

Нахождение ранга матрицы по определению

Определить ранг можно, перебрав все миноры.

Если из элементов матрицы можно составить ненулевой минор n-го порядка, то ранг равен n.

С учетом данной теоремы перебор производится по следующему алгоритму:

1. Перебрать миноры 1-го порядка. Если наличествует хоть один ненулевой минор 1-го порядка, ранг как минимум равен 1.
2. Перебрать миноры 2-го порядка. Если все они нулевые, ранг — единичный. В противном случае переходим к пункту 3.
3. Перебрать миноры 3-го порядка. Если все они нулевые, ранг — два. В противном случае переходим к минорам 4-го, 5-го порядков и т. д.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Этот метод дает возможность сократить вычисления.

Окаймляющий минор — минор (n+1)-го порядка матрицы А. Он окаймляет минор n-го порядка, если матрица, соответствующая минору (n+1)-го порядка, содержит матрицу, которая соответствует упомянутому минору n-го порядка. Таким образом, чтобы получить окаймляемый минор, надо взять окаймляющий его и вычеркнуть одну строку и один столбец.

Вычислить ранг матрицы

В матрице есть элементы, отличные от нуля, значит, ее ранг больше единицы.

Раз ранг больше двух, нужно рассмотреть миноры 3-го порядка, содержащие вышеприведенный минор \(М_2.\)

Как мы видим, все миноры 3-го порядка нулевые, значит, наибольший ненулевой минор относится ко 2-му порядку.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

В большинстве случаев нахождение ранга перебором миноров требует долгих вычислений. Более простой способ решения этой задачи базируется на элементарных преобразованиях по методу Гаусса, сохраняющих ранг исходной матрицы A и приводящих ее к ступенчатому виду. К таким преобразованиям относятся:

1. Вычеркивание нулевой строки или столбца. Нулевая строка не может быть базисной строкой, ведь в таком случае базисные строки были бы линейно зависимы, а это противоречит теореме о базисном миноре.
2. Перестановка двух строк между собой. Другие строки в этом случае не меняются. Это утверждение непосредственно следует из теоремы о базисном миноре, согласно которой ранг равняется максимальному числу линейно независимых строк.
3. Умножение любой строки на число \( \lambda \neq 0\) .
4. Вычеркивание строки, которая является линейной комбинацией других строк.
5. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число \(\lambda \neq 0\) .
6. Транспонирование.

Проведем подробный разбор пункта 5. Представим, что к q-й строке прибавлена p-я строка, умноженная на \(\lambda \neq 0\) . В итоге появится новая матрица A′. Если q-я и p-я строки — базисные, это преобразование не изменит значения базисного минора. В случае, когда только p-я строка — базисная, q-я строка является их линейной комбинацией. Умножение на \(\lambda\) это не изменит, и такую строку допустимо удалить при преобразовании.

Если q-я строка — базисная, а p-я — нет, то после преобразования \(r_ \rightarrow r_ + \lambda r_

\) базисный минор \(\triangle_\) перейдет в минор \(\triangle’_\) матрицы A′, который отличается от \(\triangle_\) тем, что вместо элементов строки \(r_\) содержит элементы строки \( r_ + \lambda r_

\) . Согласно т еореме о линейности, \(\triangle’_r=\triangle_r+\lambda\;\triangle_r^<(1)>.\)

Определитель r-го порядка \(\triangle_r^<(1)>\) в этом выражении отличается от \(\triangle_r\) тем, что вместо элементов q-й строки содержит соответствующие элементы строки \( r_

.\)
Так как p-я строка — не базисная, она может быть представлена в виде линейной комбинации r базисных строк, то \(\triangle_r^ <(1)>= 0\) и \(\triangle_r^ <(1)>= \triangle_r.\)
Как мы видим, при преобразовании \( r_ \rightarrow r_ + \lambda r_

\) базисный минор ни при каких условиях не изменяется. Из этого делаем вывод, что r (A) = r (A′).

Матрицы A и B эквивалентны по рангу и обозначаются A ∼ B в том случае, когда B можно получить из A путем элементарных преобразований, перечисленных выше.

Вычислить ранг матрицы

Прибавим первую строку матрицы B, умноженную на -1, к ее третьей строке. После произведения необходимых расчетов получим:

Умножим вторую строку получившейся матрицы на -2 и прибавим результат умножения к третьей строке:

Итак, исходная матрица 3-го порядка является невырожденной, поскольку ее определитель равен

Ранг матрицы

Пусть в матрице A существует линейно независимая система из r строк, и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы A равен r . Нулевая матрица не содержит никакой линейно независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю.

Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен r_ <1>, если есть линейно независимая система из r_ <1>столбцов, и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.

Система из r строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка r .

1^ <\circ>. Пусть r строк линейно зависимы. Рассмотрим произвольную подматрицу порядка r , расположенную в этих строках. Если строки линейно зависимы, то также линейно зависимы (с теми же коэффициентами) и отрезки этих строк, составляющие подматрицу, и подматрица является вырожденной.

2^ <\circ>. Обратное утверждение докажем по индукции. Одна строка линейно независима, если она не нулевая. В этом случае она содержит ненулевой элемент, составляющий невырожденную подматрицу порядка 1.

Пусть теперь даны r линейно независимых строк. Первые r-1 из них также линейно независимы, и по предположению индукции содержат невырожденную подматрицу порядка r-1 . Пусть j_<1>. j_ — номера столбцов этой подматрицы. Рассмотрим отрезок r -й строки, расположенный под подматрицей, то есть составленный из элементов с номерами j_<1>. j_ . По следствию из ранее доказанной теоремы этот отрезок раскладывается в линейную комбинацию строк подматрицы. Коэффициенты этой линейной комбинации обозначим \alpha_<1>. \alpha_ .

Теперь будем рассматривать полные строки. Вычтем из последней строки линейную комбинацию предыдущих с теми же коэффициентами \alpha_<1>. \alpha_ . Это обратит в нуль j_<1>. j_ -й элементы r -й строки, но не всю строку, так как строки линейно независимы. Таким образом, в преобразованной r -й строке есть ненулевой элемент a_^ , и его номер j отличен от номеров j_<1>. j_ .

Невырождена соответствующая подматрица и в непреобразованной матрице, так как элементарными преобразованиями мы превратили ее в невырожденную матрицу. Это заканчивает доказательство.

В матрице A размеров m \times n подматрица порядка r называется базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены.

Столбцы и строки матрицы A , на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисными столбцами и строками A .

В силу утверждения 1 базисные столбцы и строки линейно независимы.

Рангом матрицы называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырожденные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем.

Отметим два очевидных свойства ранга.

Основные теоремы.

Из утверждения 1 прямо следует теорема о ранге матрицы:

Таким образом, мы видим, что все три определения на самом деле определяют одно и то же число, и впредь не будем их различать. Будем говорить ранг матрицы и обозначать его \mathbf\,A .

Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном миноре, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово “минор” означает “детерминант подматрицы”. В частности, базисный минор — это детерминант базисной подматрицы. О детерминантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы.

Каждый из базисных столбцов, разумеется, раскладывается по базисным: для этого достаточно взять его самого с коэффициентом 1, а остальные с нулевыми коэффициентами.

Ранг произведения матриц.

Согласно ранее доказанным утверждениям элементарные преобразования не меняют столбцового ранга. Таким образом, справедливо

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Если матрица A невырождена и определены произведения AB и CA , то \mathbf\,AB=\mathbf\,B и \mathbf\,CA=\mathbf\,C .

В общем случае имеет место

Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей.

Пусть определено произведение AB . Рассмотрим матрицу D , составленную из всех столбцов матриц A и AB . Так как AB — подматрица, \mathbf\,AB \leq \mathbf\,D .

По утверждению о том, что столбцы AB — линейные комбинации столбцов A . Легко видеть, что приписывание к матрице линейной комбинации ее столбцов не меняет ранга матрицы. Действительно, не меняя ранга, элементарными преобразованиями столбцов мы можем обратить приписанный столбец в нулевой, а добавление нулевого столбца не создает новых невырожденных подматриц. Отсюда следует, что \mathbf\,D=\mathbf\,A . Итак, \mathbf\,AB \leq\mathbf\,A .

Аналогично доказывается, что \mathbf\,AB \leq\mathbf\,B . Для этого надо составить матрицу D’ из всех строк матриц B и AB .

Нахождение ранга матрицы.

Матрица размеров m \times n называется упрощенной (или имеет упрощенный вид), если некоторые r ее столбцов являются первыми r столбцами единичной матрицы порядка m и, в случае m > r , ее последние (m-r) строк — нулевые.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно превратить в упрощенную матрицу.

Если матрица нулевая, то она уже упрощенная (r=0) . В общем случае применим метод Гаусса. В ранее доказанном утверждении мы превратили квадратную невырожденную матрицу элементарными преобразованиями строк в единичную матрицу. Это — частный случай доказываемого утверждения. То обстоятельство, что матрица невырождена, использовалось, когда мы в очередной строке преобразованной матрицы находили ненулевой элемент.

В общем случае ненулевой элемент может не найтись, то есть очередная строка окажется нулевой. Все встречающиеся нулевые строки будем переставлять на последние места и будем продолжать преобразования так, как при доказательстве утверждения, на которое ссылались выше.

Преобразования закончатся, когда либо будут исчерпаны все строки, либо останутся только нулевые строки. При этом не существенно, квадратная матрица или нет. Конечно, может случиться, что некоторые столбцы не будут превращены в столбцы единичной матрицы, но это нам и не требуется. Пусть всего в столбцы единичной матрицы преобразовано r столбцов. Если остались строки ниже r -й, они нулевые, иначе преобразования можно продолжить. Предложение доказано.

Рассмотрим упрощенную матрицу A’ . В ней есть невырожденная подматрица порядка r , а невырожденных подматриц большего порядка, очевидно, нет. Следовательно, ранг матрицы равен r , а подматрица базисная.

Из этого следует, что \mathbf\,A=r , так как ранг не изменился при элементарных преобразованиях. За базисную подматрицу в A можно принять подматрицу, расположенную в столбцах с номерами j_<1>. j_ и строках, которые после перестановок попали на места 1. r в упрощенной матрице. Это видно из того, что, преобразуя матрицу, мы не прибавляли к пересекающим ее строкам никаких строк, которые ее не пересекают.

Таким образом, если мы не знали ранга матрицы и ее базисной подматрицы, то приведя ее к упрощенному виду, мы их определим. С другой стороны, имеет место

Какова бы ни была базисная подматрица матрицы A , элементарными преобразованиями строк можно привести A к такому упрощенному виду, в котором базисные столбцы будут первыми столбцами единичной матрицы.

Действительно, небазисные строки можно обратить в нулевые, вычитая из них подходящие линейные комбинации базисных. После этого можно превратить базисную подматрицу в единичную так, как это было сделано здесь. (Элементарные преобразования производятся, конечно, над полными строками.)

Понятие о ранге матрицы

Определение . Пусть дана матрица ранга r . Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.

Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).

Пример 1 . Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?
Решение. Минор M₁=0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M₂=-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц A или / и B при условии, что они имеют ранги, равные 2 . Поскольку detB=0 (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M₂ можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-27≠0 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M₂ не является базисным для матрицы A . Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A .

1. Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
2. Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
3. Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
4. Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
5. Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
6. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
7. Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

Пример 2 . Найти ранг матрицы .
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей:

Пример 3 . Привести данную матрицу к ступенчатому виду и определить её ранг. .
Решение. Получим нули в первом столбце, оперируя первой строкой .
Третью строку вычеркиваем, поскольку она получается умножением второй строки на 2, а в последней строке отбросим общий множитель: