Троичная система счисления числа
Троичная система счисления числа — это система счисления, основанная на целом числе три и позиционном задании разрядов.
Общие сведения
Базой для большинства вычислений, как несложных житейских, так и очень сложных математических, считается десятичная система счисления. Популярность троичной системы гораздо ниже, поскольку используется она в очень редких случаях. Большинство людей почти никогда не сталкивается с другими системами счисления, и им поначалу непросто абстрагироваться от обычных терминов типа, десятки, сотни и тому подобное.
Есть некоторое количество характеристик, которые присущи любой системе счисления. Это:
- Её основание.
- Алфавитные показатели.
- Цифры разрядов.
- Слагаемые разрядов.
В название всех систем счисления заложено их основание, то есть в троичной системе основанием является тройка, а в десятичной десять (справедливо и обратное утверждение, в названии системы счисления заложено её основание).
Алфавит системы счисления — это символьный комплект, который в нашем конкретном случае применяется для отображения чисел. К примеру, десятичная система использует десять цифровых символов (учитывая ноль), двоичная всего два (ноль и единицу), а троичная — три (ноль, один и два).
Разрядная цифра — это самое маленькое число, которое возможно прибавить в разряде, а разрядное слагаемое — это цифра, которая записана в конкретном разряде и с требуемым числом нолей.
Самое большое допустимое число разрядного слагаемого определяется системой счисления. Если взять восьмеричную систему, то второй её разряд может быть максимум 70, в двоичной системе это будет 10, в десятичной 90, а в троичной 20. Например, при разложении десятичного числа 256 на слагаемые разрядов, получим такое выражение: 200+50+8 (три разряда).
Троичная система счисления
Троичная система счисления может использовать обычные цифры 0,1,2, и в этом случае она позиционируется как несимметричная. В симметричной троичной системе применяются знаки «плюс» и «минус», то есть в обозначениях применяется число «-1». Другие его обозначения, это единица и сверху или снизу черта, или в виде буквы латинского алфавита i. Кроме того, цифры троичной системы, возможно представить в виде кодов с помощью трёх разных символов, к примеру «А, Б, В», но прежде надо указать их достоинство (например, А меньше чем Б, а Б меньше чем В).
Для перевода любого числа из десятичной системы счисления в троичную, можно использовать обобщённый алгоритм. Надо выполнять операцию деления десятичного числа на основание нужной нам системы (в нашем случае три) и писать остатки с правой стороны на левую. В качестве примера берём число тридцать. Сначала делим его на три и получаем в результате десять без остатка. Значит пишем ноль. Далее десять делим на три, получаем три и один в остатке, пишем один. И наконец три делим на три, после чего пишем в результат сначала остаток (ноль), а затем итог деления (единицу). Получилось следующее число в троичной системе счисления 1010.
Арифметические действия
Электронная вычислительная машина быстро и просто выполняет вычислительные процедуры в удобной для неё двоичной системе счисления, а человеку непросто переориентировать свой образ мысли, поскольку для людей базовой является десятичная система счисления.
Троичная система счисления более ёмкая в сравнении с двоичной, и процесс вычислений в ней более сложный, но в любой позиционной системе счисления может быть использована таблица сложения. Наверное, всем известен принцип организации сетки в игре «морской бой». По вертикали в левом столбике пишутся цифры, а вверху в горизонтальном столбике пишутся буквенные символы.
Составить сетку для операции сложения в троичной системе возможно на этом же принципе. К примеру, если взять несимметричную троичную систему, состоящую всего из трёх символов, то необходимо построить четыре столбца, в каждом из которых будет вписана последовательная цепочка цифр. Например, запишем нижний столбец по горизонтали в виде 0, 00, 01, 02. Второй столбец 1, 01, 02, 10, а третий будет 2, 02, 10, 11. Возможно расширение таблицы, если есть необходимость в числах других разрядов (к примеру, 001 и так далее). Рассмотрим умножение. При использовании троичного счисления таблица умножения получается более лаконичной и короткой, по сравнению с десятичной, а сама операция не очень сложная, поскольку перемножаются числа не более цифры два. Для умножения в столбик, нужно расположить два числа в троичном коде одно над другим, а далее поочерёдно умножать первый множитель на числа каждого разряда другого, не учитывая ноль. То есть получается перемножение чисел 102 на 101 можно представить как 2 • 1 = 2, 0 • 1 = 0,1 • 1 = 1. Пишем число 102. Затем опускаем ноль и перемножаем на один (это старший разряд второго множителя).
Впрочем, сложение в троичной системе счисления возможно выполнить без применения таблиц. Необходимо только освежить в памяти несложное правило, которое гласит, если результат сложения больше разряда, надо разделить второе число на два. Для примера выполним простую операцию сложения 6+8. Результат операции больше данной разрядности, значит надо разделить восемь пополам, что даёт в итоге 4. В итоге все выполненные действия можно представить в следующем виде: 6 + 8 = (6 + 4) + 4 =10 + 4 =14.
У троичной системы нечётное основание, поэтому присутствует симметричное положение цифр по отношению к нолю (-1, 0, 1), что даёт некоторые интересные особенности. В частности, отрицательные числа в троичной системе имеют более естественную форму и нет проблемы округления.
Экскурс в историю
Следует отметить, что даже обычные бытовые расчёты не всегда делались в десятичной системе счисления. Троичной системой иногда пользовались ещё древние шумеры. У них применялись меры весов и денег кратные трём. Ещё с древнего времени и по сей день рычажные весы оснащены подобием троичной системы. Знаменитый итальянский учёный Фибоначчи ещё в своё время предложил целочисленную симметричную троичную систему счисления. Как отметил известный французский учёный О.Л. Коши, таблица умножения в этой системе получилась короче примерно в четыре раза, если сравнивать с десятичной системой.
Замена двоичной логики — увеличит ли это производительность?
Однажды я прочитал в интернете про троичную систему счисления и заинтересовался. Меня мучил вопрос, а нельзя использовать в основе компьютера симметричную троичную систему счисления (СС), и даже вдруг это увеличит производительность компьютера? Мне казалось, что это возможно, и я жаждал это проверить.
Информация:
Троичная система счисления — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры <0,1,2>, а в симметричной троичной системе счисления знаки <−,0,+>, <−1,0,+1>.
У некоторых людей эта логика вызывает затруднения. Они говорят, например, приведите пример подобной логики в жизни.
Человек, немного подумавший над этой логикой поймет, что она более жизненна чем двоичная. Обычный пример троичной логики в жизни связан с постоянным током: ток движется в одну сторону, в другую сторону, его нет.
Оказалось, что симметричная троичная система счисления использовалась давным-давно для решения «задачи о гирях», использовалась в компьютере Сетунь, построенном в 50-е годы в МГУ. С 2008 года в университете « California Polytechnic State University of San Luis Obispo» функционирует цифровая компьютерная система TCA2, основанная на троичной системе счисления. 
В чем же плюсы троичной СС над двоичной? Рассмотрим эти плюсы:
Меньше разрядов
Емкость
Экономичность системы счисления
Экономичность системы счисления — запас чисел, который можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. Чем больше запас тем экономичнее система. По затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. Обозначим p основание системы счисления, n количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел которое при этом можно записать будет равно pn/p.
Мы рассмотрели троичную арифметику, теперь затронем логику:
В чем же проблемы двоичной логики?
1.Мощности компьютера, основанного на двоичной логике, не всегда хватает. Приведем пример. Одна из наиболее сложных систем защиты – криптосистема RSA. Вскрытие шифра RSA с длиной ключа 1024 бита (такая длина часто используется в информационных системах) займет в лучшем случае — при проведении распределенных вычислений на тысячах мощных ПК — не менее пятнадцати лет, а к тому времени данная система шифровки перестанет быть востребованной.
Докажем математически какая система счисления будет наилучшей для максимальной мощности и емкости памяти. Для этого рассмотрим функцию f(p)=p^(n/p), в которой p – основание системы счисления, а n – количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел, которое при этом можно записать, будет равно pn/p
f(p)=p^(n/p)
Для того, чтобы определить максимальное значение функции, найдем ее производную:
ln f = ln p^(n/p)
ln f =n/p* ln p
. (Я не буду приводить здесь всю математику)
n*p^(n/p-2) никогда не будет равно 0 => (1 — ln p)=0, ln p = 1, p = e
e = 2,71, а ближайшее целое число к нему – это три.
Значит, в этом плане лучшая система с целочисленным основанием — троичная.
Самое вкусненькое — рассмотрим троичные логические операции:
1.Отрицание 
2.Конъюнкция — логическое И 
3.Дизъюнкция — логическое ИЛИ 
4.Операция Выбора. Эта операция существует только для троичной логики. Таблица истинности каждой из этих трёх операций содержит везде „-“, кроме единственного значения, которое ею можно выбрать. 
5.Модификация. Полное название этих одноместных операций: увеличение на единицу по модулю три (INC) и уменьшение на единицу по модулю три (DEC). Увеличение на единицу по модулю три – это циклическое прибавление единицы. 
Здесь видны и прежде знакомые вам логические операции из двоичной логики, но добавились и новые…
Квантовые компьютеры
Квантовый компьютер — вычислительное устройство, работающее на основе квантовой механики. Квантовый компьютер принципиально отличается от классических компьютеров, работающих на основе классической механики.
Благодаря огромной скорости разложения на простые множители, квантовый компьютер позволит расшифровывать сообщения, зашифрованные при помощи популярного асимметричного криптографического алгоритма RSA. До сих пор этот алгоритм считается сравнительно надёжным, так как эффективный способ разложения чисел на простые множители для классического компьютера в настоящее время неизвестен. Для того, например, чтобы получить доступ к кредитной карте, нужно разложить на два простых множителя число длиной в сотни цифр. Даже для самых быстрых современных компьютеров выполнение этой задачи заняло бы больше времени, чем возраст Вселенной, в сотни раз. Благодаря алгоритму Шора эта задача становится вполне осуществимой, если квантовый компьютер будет построен.
Канадская компания D-Wave заявила в феврале 2007 года о создании образца квантового компьютера, состоящего из 16 кубит. Это устройство работает на кубитах — квантовых аналогах битов.
Но можно построить компьютеры не на битах, а на кутритах — аналогах трита в квантовом компьютере.
Кутрит (квантовый трит) — квантовая ячейка, имеющая три возможных состояния.
Подлинное новаторство метода Ланьона в том, что, используя в универсальных квантовых вентилях кутриты вместо кубитов, исследователи могут существенно снизить количество необходимых вентилей.
Ланьон утверждает, что компьютер, который в обычном случае использовал бы 50 традиционных квантовых вентилей, сможет обойтись всего девятью, если будет основан на троичном представлении.
Также, согласно некоторым исследованиям, использование кутритов вместо кубитов позволит упростить реализацию квантовых алгоритмов и компьютеров.
Итог:
В конечном итоге видно, что троичная симметричная система лучше двоичной системы в некоторых показателях, но не сильно выигрывает. Но с пришествием квантовых компьютеров троичные вычисления получили новую жизнь. Универсальные квантовые логические вентили — краеугольный камень новорожденных квантовых вычислительных систем — требует сотни вентилей для завершения одной полезной операции. Квантовый компьютер канадской компании D-Wave, анонсированный в прошлом году, состоит всего из 16 квантовых битов — кубитов — минимум, необходимый для управляемого вентиля «NOT». Использование в квантовом компьютере кутритов нужно было бы намного меньше вентилей для завершения одной операции. Я думаю, если бы началось производство и тестирование таких компьютеров, то результаты были бы лучше, чем у обычных компьютеров, вскоре началось бы массовое их производство, и про двоичные компьютеры все бы забыли…
Система счисления троичная: определение, свойства, примеры
Основой многих расчетов, как простых бытовых, так и сложнейших математических, является десятичная система счисления. Троичная же известна гораздо меньшему кругу людей, ведь применяется она весьма редко.
Всего три цифры
Некоторые из нас редко сталкиваются с иными системами счисления, поэтому вначале может быть трудно отстраниться от привычных понятий — десятков, сотен, тысяч и так далее. Существует несколько параметров, которыми обладает любая из систем: основание, алфавит, разрядные цифры и разрядные слагаемые.
По основанию мы можем понять, как называется система счисления: троичная система имеет основание три, а десятичная — десять (работает и обратное правило — по названию сразу видно основание).
Алфавитом в системах счисления называется набор символов, которые в данном случае используются для записи чисел. Например, в десятичной системе используется десять цифр (считая ноль), а вот в двоичной их всего две, ноль и единица. В троичной же могут применяться 0, 1 и 2. К тому, почему основанием является тройка, а символов в алфавите — четыре, вернемся позже.
Разрядной цифрой называется наименьшее число, которое можно добавить в разряде, а разрядным слагаемым является цифра, записанная в каком-либо определенном разряде с добавлением нужного количества нолей. Максимально возможное значение разрядного слагаемого всегда зависит от системы счисления. Восьмеричная система счисления во втором разряде имеет разрядное слагаемое 70, в двоичной оно будет равно 10, в троичной — 20, а в десятичной — 90.
К примеру, если разложить десятичное число 158 на разрядные слагаемые, получится такой пример: 100+50+8 (третий разряд). А второразрядное число 98 предстанет в виде 90+8.
Алфавит
Числа в троичной системе счисления могут обозначаться как всем привычными цифрами 0, 1 и 2. Тогда это несимметричная троичная система. В симметричной же используются знаки «минус» и «плюс», таким образом, в записях используется число «-1». Оно так же может обозначаться как единица с чертой вверху или внизу, как латинская буква i.
Троичные цифры можно закодировать тремя любыми знаками, например «А,Б,В», однако предварительно необходимо указывать их старшинство (к примеру, А меньше Б, Б меньше В).
Простая формула
Чтобы перевести число из десятичной в троичную систему счисления, нужно воспользоваться общей формулой. Необходимо делить десятичное число на основание необходимой системы и записывать остатки справа налево. Возьмем для примера число 30. Первым действием делим его на 3. Получаем 10 без остатка, поэтому записываем 0. Десять делится на 3 с остатком 1, поэтому записываем 1. В третьем действии 3 делим на основание системы и записываем сначала остаток, затем результат деления. В итоге получаем троичное число 1010.
Арифметические действия
Если, например, компьютеры легко проводят математические операции в своей «родной» бинарной системе, то людям бывает трудно перестроить мышление, ведь для нас основной является десятичная система счисления. Троичная система обладает большей емкостью по сравнению с бинарной, и вычисления в ней несколько сложнее, однако во всех позиционных системах применяется таблица сложения.
Пожалуй, все помнят, по какому принципу составляется сетка в игре «Морской бой»: в левом вертикальном столбце записываются цифры, а в верхнем горизонтальном — буквы. Сетку сложения можно составить по тому же принципу. Например, в несимметричной троичной системе всего три символа, таким образом столбцов будет четыре, в каждый из них следует вписать последовательную цепочку цифр. На примере: нижний горизонтальный столбец будет таков: 0, 00, 01, 02. Второй столбец: 1, 01, 02, 10. Третий: 2, 02, 10, 11. Можно расширить таблицу, если требуются числа из других разрядов (например, 001 и т. д.).
Умножение
В троичной системе счисления таблица умножения выглядит короче и лаконичнее, нежели в десятичной, и само действие — не намного сложнее, ведь перемножать придется числа не больше двойки. Чтобы умножить в столбик, необходимо записать два троичных числа друг над другом, затем последовательно умножать первый множитель на разрядные числа второго, пропуская ноль. Таким образом, умножение цифры 102 на 101 будет выглядеть так: 2*1=2, 0*1=0, 1*1=1. Записываем 102. Далее пропускаем ноль и умножаем на единицу (старшее число второго множителя).
Однако сложение в троичной системе счисления можно произвести и без всякой таблицы. Для этого нужно вспомнить простое правило, гласящее: если результат сложения превышает разряд, следует разделить второе число пополам. Разберем пример: допустим, необходимо сложить 6 и 8. Результатом сложения превышает данную разрядность, поэтому делим 8 на 2, получаем 4. Окончательный пример выглядит так: 6+8=(6+4)+4=10+4=14.
Немного истории
Даже для бытовых расчетов не всегда использовалась десятичная система счисления. Троичная система частично использовалась еще у древних шумеров: их меры денег и весов были кратны трем. С древних времен и до наших дней на рычажных весах используется подобие троичной системы. Знаменитым Фибоначчи, итальянский ученым и математиком (настоящее имя — Леонардо Пизанский) была предложена целочисленная симметричная троичная система счисления. Таблица умножения в ней, как заметил французский математик О.Л. Коши, почти в четыре раза короче, по сравнению с десятичной.
Нечетная система счисления
Троичная система имеет нечетное основание, поэтому реализуется симметричное расположение цифр относительно нуля (-1, 0, 1), с чем связано несколько свойств.
Отрицательные числа представляются в троичной системе более естественно, а также отсутствует проблема округления, ведь младшие цифры, отбрасываемые при округлении, в троичной системе никогда не превосходят по абсолютной величине часть числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего разряда. То есть в троичной системе следует только отбросить младшие цифры, и получится наиболее точное приближение.
Отрицательные числа
Довольно интересно представление отрицательных цифр в симметричной троичной системе счисления. Так как одним из знаков в алфавите является «-1» или единица с чертой сверху, то отпадает надобность в отдельном разряде знака, а выполнение арифметических операций не нуждаются в использовании обратного кода, так как любые действия с симметричным троичным числом выполняются по обычному правилу, но с учетом знака числа. Положительность или отрицательность числа определяется по тому, какой знак имеет старшее число в последовательности. Чтобы сменить знак числа, нужно инвертировать знаки всех присутствующих в коде чисел.
Взаимодействие с другими системами
Некоторые системы счисления стали знаменитыми благодаря использованию их в компьютерных технологиях. Например двоичная система, или бинарный код — эти слова часто используются в СМИ и кинематографе, так что знакомы они практически всем. А вот восьмеричная система счисления мало у кого на слуху, хотя используется в сфере IT-технологий из-за того, что легко переводится в двоичную и наоборот, но гораздо более емкая.
Для троичной системы таким емким аналогом является девятеричная.
Замена двоичной логики
Основой всех электронно-вычислительных машин нашего времени является двоичная логика, хотя троичная считается более перспективной. Удивительно, но еще в пятидесятые годы прошлого века в компьютере «Сетунь», построенном в МГУ, уже использовался симметричный троичный код. С 2008 года же в калифорнийском университете повторили опыт более чем полувековой давности, построив компьютерную систему ТСА2, также основанную на троичной логике.
Ее преимущества перед бинарной в том, что используется меньше разрядов. Например, число 10 десятичной системы в двоичной системе предстает как 1010, а в троичной несимметричной — как 101, или как +0+ в симметричной. Емкость также играет роль в том случае, если должна быть выбрана определенная система счисления. Троичная логика экономична и может вместить больший диапазон чисел при том же количестве знаков.
У тех, кто не знаком с бинарным кодом, может возникнуть вопрос: а зачем тогда вообще использовать такие системы счисления, если десятичная — емкая и понятная? Дело в том, что понимание компьютером двоичного кода основано на простой логике: есть сигнал, нет сигнала. Наличие сигнала означает единицу, а его отсутствие — ноль, только и всего. Машина не воспринимает код как цифры. При использовании десятичного кода специалистам пришлось бы придумать, какой вариант будет соответствовать каждой из цифр, но это только усложнило бы задачу, а вот понимание троичного кода реализовывается достаточно просто: отсутствие сигнала, слабый сигнал, сильный сигнал.
Квантовый компьютер и троичный код
Квантовая механика может показаться чем-то фантастическим. Ее законы продолжают удивлять всех, кто впервые с ней сталкивается, однако люди уже давно задумались об использовании ее для создания компьютера нового поколения, более мощного и очень быстрого. Однако это потребует и новых алгоритмов защиты. Например, чтобы получить доступ к кредитной карте, необходимо разложить на простые множители огромное число, имеющее сотни знаков. Самый быстрый современный компьютер сможет сделать это за время, равно возрасту нашей Вселенной, однако квантовый компьютер, основанный на троичной логике, вполне справится с этой задачей.
Кубит — квантовый бит — основан на неопределенности спина электрона. Он может вращаться как по часовой стрелке (примем это за единицу), так и против (ноль), однако есть и третий вариант — неопределенность, что вполне может быть третьим «символом» в алфавите, и тогда троичная логика отлично укладывается.
Комплексная работа
Да, использование троичного кода в среднем ускоряет работу компьютера на 50 %, но если «перевод» в троичную систему счисления всех устройств все же произойдет, то как же будут работать старые приложения и программы? Неужели придется менять все и сразу? Нет. Троичная логика как стоящая на разряд выше включает в себя все возможности двоичного кода, и, сверх этого, еще и целый ряд преимуществ. Однако программы должны быть оптимизированы под троичный код, иначе будут работать по-старому.
Системы счисления
Материал взят из Википедии — свободной энциклопедии.
Троичная система счисления — позиционная система счисления с целочисленным основанием равным 3.
Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками
В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду (тр.р.) в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.
Представление чисел в троичных системах счисления
Сдвоенные комбинированные системы счисления
В сдвоенных (спаренных, комбинированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы счисления:
1. внутриразрядная система счисления с основанием a, числа которой используются для записи цифр и 2. приписная межразрядная система счисления с основанием b.
Целое число в сдвоенной показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — \ a_k на k-тые степени числа b: 
, где
Каждое произведение 
в такой записи называется (a, b)-ичным разрядом
При b=a образуются (a, a)-ичные системы счисления с произведением — akak и суммой 
, которые при a=3 превращаются в обычную (3,3)-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.
Весовой коэффициент разряда — bk — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений ak более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, ak могут быть тоже необязательно из троичного множества a= , но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. Так как ak-тые ближе к аппаратной части и по ak— тым из множества a= или из множества a= , а не по bk мы определяем и относим число x(a, b) к троичным системам кодирования, то есть большие основания считать a основным основанием системы счисления, b в таком случае называется основанием вспомогательной системы счисления. Но и это весьма относительно, так как запись числа может быть в одной системе кодирования, а само число может быть в другой системе счисления. Пример: двоично-десятичное кодирование (BCD), в котором числа записываются в двоичном коде, а система счисления — десятичная.
Сдвоенные комбинированные троичные системы счисления
Целое число x в сдвоенной (спаренной) позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:
В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты bk, в записи они опускаются, но подразумевается, что k-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный bk.
Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x3,b величин, и равно числу размещений с повторениями:
, где:
a=3 — 3-х элементное множество a= из которого берутся цифры ak, n — число элементов (цифр) в числе x3,b.
Дробное число записывается и представляется в виде: , где m — число разрядов дробной части сдвоенного (спаренного) позиционного числа справа от запятой,
при m=0 дробная часть отсутствует, число — целое,
при ak из троичного множества a= и b=1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1k=1,
при ak из двоичного множества a= и b=3 в сумме будут только целые степени — 3k,
при ak из троичного множества a= и b=3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, ak удовлетворяют неравенству 0<=ak<=(b-1)<b, т.е. 0<=ak<=2<3,
при ak из десятичного множества a= и b=3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.
Строенные комбинированные троичные системы счисления
В строенных (комтринированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются три системы счисления. В вес разряда вводится дополнительный член в третьей системе счисления. Например, сомножитель (b/с):
В общем случае c≠3. При ak из a= , b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления. При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5. При других значениях a, b и c образуются другие строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно. Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.
Кодирование троичных цифр
Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.
1. Трёхуровневое однопроводное кодирование:
2. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование
1 (Binary Coded Ternary, BCT representation):
0 — (0,0). 3. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 2
(Binary Coded Ternary, BCT representation):
3. Трёхразрядное одноединичное трёхпроводное кодирование 1:
4. Трёхразрядное однонулевое трёхпроводное кодирование 2:
5. Трёхразрядное единичное (унарное) трёхпроводное кодирование 3:
6. Двухуровневое нулевое трёхпроводное кодирование 4:
Сравнение с двоичной системой счисления
При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления. При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость 29 = 512 чисел, а троичный код имеет ёмкость 39 = 19683 числа, то есть в 39 / 29 = 38,4 раза больше. При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость 227 = 134217728 чисел, а троичный код имеет ёмкость 327 = 7625597484987 чисел, то есть в 327 / 227 = 56815,13 раз больше. При восьмидесяти одном разряде двоичный код имеет ёмкость 281 = 2417851693229258349412352 числа, а троичный код имеет ёмкость 381 = 4,434e + 38 чисел, то есть в 381 / 281 = 183396897083556,95 раз больше.
Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. А. Кушнеров приписывает эту теорему Джону фон Нейману.
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную
Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа. Пример: десятичное целое число 4810,10 переведём в несимметричное троичное целое число: число = 4810,10 делим на 3, частное = 16, остаток a0 = 0 частное = 1610,10 делим на 3, частное = 5, остаток a1 = 1 частное = 510,10 делим на 3, частное = 1, остаток a2 = 2 частное = 110,10 делим на 3, частное = 0, остаток a3 = 1 Частное не больше нуля, деление закончено. Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 4810,10 = (a3a2a1a0)3,3 = 12103,3.
Симметричная троичная система счисления
Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях». Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в XVII веке в 1612 г. Русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге в 1877 г. Позже этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, интересовался Д. И. Менделеев.
Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров, в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.
Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой 1 (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой 1 (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц. Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления.
Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: −1, 0, 1, с которым связано пять ценных свойств:
- Естественность представления отрицательных чисел;
- Отсутствие проблемы округления.
- Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши, примерно в четыре раза короче.(стр.34).
- Для изменения знака у представляемого числа нужно изменять знаки у всех его цифр. Это свойство увеличивает число операций при перемене знака (в несимметричных системах изменяется только один знаковый разряд), но повышает надёжность при сбоях в одном или более разрядах.
- При суммировании большого количества чисел значение для переноса в следующий разряд растёт с увеличением количества слагаемых не линейно, а пропорционально квадратному корню числа слагаемых.
- По затратам числа знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.
Представление отрицательных чисел
Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, выполняются естественно с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:
Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.
Перевод чисел из десятичной системы в троичную
Перевод чисел из десятичной системы в троичную и соответствующий ему вопрос о гирях подробно изложены в книгах [16][17]. Там же рассказано о применении троичной системы гирь в русской практике.
Перевод в другие системы счисления
Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой
— целая часть числа,
— дробная часть числа,
причём коэффициенты K могут принимать значения .
Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.