Как понять линейная функция или нет

Как определить является ли функция линейной?

Линейную функцию всегда можно определить по степени переменной.

В линейной функции переменная х будет всегда в первой степени.

График линейной функции — прямая.

Уравнение линейной функции у=kх+b, где k-коэффициент, определяющий угол наклона прямой к оси OX.

k и b — некоторые числа, x — переменная.

График линейной функции, описываемый уравнением у=kх+b, всегда будет пересекаться с осью OY в точке с координатами (0;b)

Если угловые коэффициенты k двух прямых совпадают, то эти прямые пройдут параллельно.

Если угловые коэффициенты двух прямых разные, то эти прямые обязательно будут иметь точку пересечения.

Линейная функция

Линейная функция — функция, которая задана формулой y=kx+b.
Графиком данной функции является прямая.

Где k и b — произвольные действительные числа.

k — угловой коэфицент, отвечающий за угол наклона прямой:
1. Если k>0, то угол между прямой y=kx+b и положительным направлением оси абцисс – острый;
2. Если k<0, то угол между прямой y=kx+b и положительным направлением оси абцисс – тупой;
3. Если k=0, то получаем постоянную функцию y=b, параллельную оси абцисс;

b — отвечает за точку пересечения с осью y:
Если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx;

Так как графиком линейной функции является прямая, то для его построения достаточно знать координаты двух точек. Например, если x=0, то y=b; и если x=1, то y=k+b.

Линейная функция

Линейная функция – это функция вида . Ее график – прямая линия.
Вспомним, что такое функция.

Функция — это зависимость одной переменной от другой по определенному закону, или правилу.

Возьмем пример из жизни. У Маши есть кот Барсик, который каждый день съедает 2 пакетика кошачьего корма. Конечно, у Барсика и другие замечательные способности, и о нем можно написать целый рассказ. Но математики в своих задачах все упрощают, строят, как говорят, математические модели. Какого цвета Барсик, какие у него привычки, — для решения задачи неважно, и об этом не говорится. Важно то, что он ест 2 пакетика корма в день.

Если Маша покупает Барсику корм на 2 дня, ей надо купить 4 пакетика.

На 3 дня – 6 пакетиков.

На х дней Барсику нужно пакетиков корма.

Зависимость – это пример функции. Ее можно назвать прямой пропорциональностью. Чем больше дней, тем больше пакетиков корма для Барсика.

Еще раз повторим определение:

Функция — это зависимость одной переменной от другой по определенному закону, или правилу.

В нашем примере количество купленных пакетиков корма зависит от количества дней.

Другой пример: грузовик едет по шоссе с постоянной скоростью из одного города в другой.

Расстояние, которое он проедет за время , выражается формулой: . Такое движение в физике называется равномерным. Чем больше время, тем больше расстояние. Расстояние зависит от времени. Можно сказать, что здесь расстояние — функция от времени.

Мы начнем с таких функций, как в наших примерах. или – это линейные функции.

Зависимость, которую они выражают, — это прямая пропорциональность. Чем больше одна величина, тем больше другая.

Линейная функция – функция вида . График линейной функции – прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек – потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.

Угловой коэффициент прямой

Величина в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом прямой. Он отвечает за угол наклона прямой.

Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше , тем больше , и график идет вправо и вверх.

Если k < 0, линейная функция убывает. Чем больше , тем меньше , и график идет вправо и вниз.

Пусть k > 0. Чем больше , тем круче вверх идет график функции.

А число в формуле отвечает за точку пересечения графика с осью ординат, то есть с вертикальной осью Y.

Например, прямая пересекает ось Y в точке (0; 4).

Прямая пересекает ось ординат в точке (0; -2). Прямая пересекает ось ординат в точке (0; 10).

Можно сказать, что – это значение линейной функции при .

Рассмотрим частные случаи:

1. Если , то , прямая параллельна оси абсцисс (оси Х):

2. Если , то (такая функция называется прямой пропорциональностью).

Ее график проходит через начало координат:

3. Если для двух прямых , прямые параллельны.

При этом, чем больше , тем выше расположен на координатной плоскости график функции.

Например, прямые и параллельны. Их угловые коэффициенты равны.

Перечислим свойства линейной функции :

1. Область определения функции – от минус бесконечности до плюс бесконечности. Это значит, что любое х можно подставить в формулу функции .

Напомним, что область определения функции — это множество всех значений , для которых функция определена. Другими словами, те , которые можно подставить в формулу.

2. Область значений функции – тоже от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область значений — это те значения, которые может принимать .

3. Линейная функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

4. График функции пересекает ось Ох в точке ( ; 0), ось Оу – в точке ( ).

Разберем задачи на линейную функцию из ОГЭ по математике.

1. На рисунке изображен график функции вида . Установите соответствие между графиками функции и знаками коэффициентов и .

Графики

Коэффициенты

1)k < 0, b > 0;2) k > 0, > 0; 3) k < 0, b < 0 4) k > 0, b < 0. Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

А) Видим, что функция возрастает, значит, k > 0.

Точка пересечения графика функции с осью Oy расположена выше нуля, поэтому b > 0. Из предложенных вариантов подходит номер 2.

Функция убывает, значит, k < 0. Точка пересечения с Oy находится выше нуля, следовательно, b > 0. Подходит вариант 1.

Функция возрастает, k > 0.

Точка пересечения графика с осью Oy ниже нуля, а значит, b < 0.
Выбираем вариант 4.

В этом задании ответ: 214

2. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

Графики

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

k=-2 < 0, следовательно, функция убывает. , точка пересечения прямой с осью Oy выше нуля. Подходит вариант под цифрой 4.

> 0, следовательно, функция возрастает.

, значит, точка пересечения прямой с осью Oy ниже нуля.

Подходит график под номером 3.

> 0, функция возрастает.

, точка пересечения прямой с осью Oy выше нуля.

Подходит график под номером 2.

В ответе запишем набор цифр: 432

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

Формулы

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

А) Прямая параллельна оси абсцисс и проходит через точку (0;2), значит, это функция . Вариант под номером 4.

Б) Прямая проходит через начало координат – подходят здесь два варианта: 1 и 2. Но функция на рисунке возрастает, для нее k > 0, выбираем вариант 1.

В) Функция возрастает, и точка пересечения графика с осью Oy находится выше нуля. Подходит единственный вариант 3.

В ответе пишем набор цифр: 413

4. Найти координаты точки пересечения графиков функций
и .

Можно построить два графика и увидеть координаты точки пересечения на координатной плоскости. Это графический метод.

Есть второй способ. Он называется аналитический. Если мы решаем этим способом, можно ничего не рисовать. Мы просто решаем уравнения.

Точка пересечения лежит и на одной, и на другой прямой. Значит, ее координаты можно подставить в формулы для обеих функций и получить верные равенства.

Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков, мы просто приравниваем правые части в формулах функций:

И решаем линейное уравнение:

, подставив это значение в формулу любой из функций, получаем:

5. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

1) Точка пересечения с осью Ox: .

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты (-6;0).

2) Точка пересечения с осью Oy: .

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;3).

6. Проходит ли график функции через точки (3;-13) и (-5;-4)?

Подставим по очереди координаты каждой из точек в уравнение прямой и проверим, верно ли равенство:

Равенство верно, следовательно, прямая проходит через точку или, другими словами, точка принадлежит графику функции.

2) Проверим вторую точку. Ее координаты

, неверно, значит, прямая через вторую точку не проходит.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Линейная функция» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

График линейной функции, его свойства и формулы

Ножки стула похожи на параллельные прямые на графике, а линии паутины — на перекрещенные. Эти ассоциации пригодятся нам, чтобы разобраться с линейной функцией. Поехали!

· Обновлено 28 октября 2022

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х	0	2	4
y	-2	-1	0

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k < 0.

При k > 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k < 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−b/k; +∞) и положительные значения на промежутке (−∞; −b/k).

Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением OX. Поэтому k называют угловым коэффициентом.

Если k > 0, то этот угол острый, если k < 0 — тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью OX.

Есть два частных случая линейной функции:

Если b = 0, то уравнение примет вид y = kx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. График — прямая, которая проходит через начало координат.

• Если k = 0, то уравнение примет вид y = b. График — прямая, которая параллельна оси OX и проходит через точку (0; b).

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k < 0, то график наклонен влево.

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

если b > 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b < 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

Начертим три графика функции:

y = 2x + 3;

y = 1/2x + 3;

y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций:

y = −2x + 3;

y = −1/2x + 3;

y = −x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций:

y = 2x + 3;

y = 2x;

y = 2x − 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);

график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);

график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b. В этом случае ординаты всех точек графика функции равны b. А график выглядит так:

Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Так выглядит график прямой пропорциональности:

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.