КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Для достаточно сложных алгебраических и трансцендентных уравнений не всегда можно найти точное решение, поэтому очень часто приходится применять приближенные (численные) методы нахождения корней таких уравнений.
Пусть дано нелинейное уравнение
Где f ( x ) – функция определённая и непрерывная на некотором (даже бесконечном) интервале a < x < b . В некоторых случаях на функцию f ( x ) могут
быть наложены дополнительные ограничения, например, непрерывность первой и второй производных, что специально оговаривается.
Требуется найти корни уравнения (1.1), т.е. Числа x * 1 , x * 2 . , которые путем подстановки их в (1.1) превращают уравнение в тождество. Числа x * 1 , x * 2 . также называются нулями функции f ( x ) .
Определение 1 корнем уравнения (1.1) называется значение x = x * , обращающее функцию f ( x ) в ноль, т.е. f ( x * ) ≡ 0 .
Определение 2 изолированный корень – это значение x , удовлетворяющее (1.1) и не содержащее других корней в своей окрестности.
Условие существования корня уравнения (1.1) следует из теоремы Больца- но-Коши:
Если непрерывная функция f ( x ) принимает значения разных знаков на концах отрезка [ a ,b ] , т.е. f ( a ) f ( b ) < 0 , то внутри этого отрезка содержится, по крайней мере, один корень уравнения f ( x ) = 0 .
Следовательно, найдется хотя бы одно число x * ( a ,b ) такое, что f ( x * ) = 0 . Если же f ( x ) непрерывна и дифференцируема и ее первая производная сохраняет знак внутри отрезка [ a ,b ] , то на данном отрезке находится
только один (изолированный) корень x = x * уравнения.
Таким образом, при нахождении корней уравнения (1.1) численным методом, кроме непрерывности f ( x ) предполагается:
1. Функция принимает на концах отрезка разные знаки;
2. Производные f ‘ ( x ) и f » ( x ) непрерывны на отрезке;
3. Производные на отрезке не меняют знака.
Геометрически последнее условие означает, что предполагается одна из четырех схем (рис. 1.1).
Численные методы. Тесты численные методы с ответами
d) суммой векторов e) сходимостью векторного пространства
59) Максимальное число линейно независимых векторов n-мерного пространства Еn в точности равно a) размерности этого пространства b) соразмерности векторов c) сумме линейных векторов d) совокупности единичных векторов e) сумме n векторов
60) Название любой совокупности n линейно независимых векторов n-мерного пространства a) базис b) орт c) вектор d) координата e) скаляр
61) Как иначе называют метод бисекций?
a) Метод половинного деления b) Метод хорд c) Метод пропорциональных частей d) Метод «начального отрезка»
e) Метод коллокации
62) Методы решения уравнений делятся на:
a) Прямые и итеративные b) Прямые и косвенные
c) Начальные и конечные d) Определенные и неопределенные e) Простые и сложные
63) Кто опубликовал формулу для решения кубического уравнения?
a) Кардано b) Галуа c) Абеле d) Дарбу e) Фредгольм
64) Основная теорема алгебры:
a) Уравнение вида α0xn + α1xn-1 + …+ αn-1x + αn=0 имеет ровно n корней, вещественных или комплексных, если k- кратный корень считать за k корней b) Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [α;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на[α;b] содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0
c) Если функция f(x) монотонна на отрезке [α;b], то она интегрируема на этом отрезке d) Если функция f(x) монотонна на отрезке [α;b], то она дифференцируема на этом отрезке e) Определитель D=|αij| n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения
65) Отделение корней можно выполнить двумя способами:
a) аналитическим и графическим b) приближением и отделением c) аналитическим и систематическим d) систематическим и графическим e) приближением последовательным и параллельным
b) Частный случай метода коллокации c) Частный случай метода прогонки d) Частный случай метода квадратных корней e) Частный случай метода Гаусса
75) Свойство самоисправляемости:
a) Усиливает надежность метода b) Не влияет на конечный результат c) Влияет на конечный результат d) Не учитывается e) Считается ошибочным
76) Как иначе называют метод Ньютона?
a) Метод касательных b) Метод коллокации c) Метод прогонки d) Метод итераций e) Метод хорд
77) Как иначе называют метод хорд?
a) Метод пропорциональных частей b) Метод касательных c) Метод коллокации d) Метод бисекций e) Метод квадратных корней
78) Метод хорд имеет еще одно имя:
a) Метод пропорциональных частей b) Метод касательных c) Метод бисекций d) Метод коллокации e) Метод прогонки
79) Что общего у метода хорд и метода итераций?
a) Общая скорость и свойство самоисправляемости b) Свойство самоисправляемости c) Общая скорость d) Легкость при решении e) Требуется нахождение производной
80) Метод Ньютона- a) обладает свойством самоисправляемости и имеет высокую скорость сходимости b) дает большой выигрыш во времени c) занимает очень много времени d) предельно прост e) надежен
81) Методом хорд уточнить корень уравнения х3 – 2х – 3=0, ξ[1;2]; ε=10-3
a) ξ=1.8933±0.0001
b) ξ=0.0001±1
c) ξ=0.0033±0.0001
d) ξ=±1
e) ξ=±3.3
Как иначе называют метод Бисекций?
Наиболее широко численные методы используются в вычислительных экспериментах – исследовании естественнонаучных проблем, средствами вычислительной математики. Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, т. е. решение вопросов о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь.
Как по другому называется дисциплина численные методы?
Численные (вычислительные) методы — методы решения математических задач в численном виде. Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.
Что такое численное?
ЧИ́СЛЕННЫЙ, численная, численное (книжн.). прил. к число в 1 знач.; по числу, в отношении числа. Численный состав армии.
Как иначе называют метод Ньютона для решения нелинейных уравнений?
Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727).
Как иначе называют метод Бисекций? Ответы пользователей
61) Как иначе называют метод бисекций? a) Метод половинного деления b) Метод хорд c) Метод пропорциональных частей d) Метод «начального .
Задачи изучения дисциплины «Численные методы в геотехнике»: — изучение основные виды расчетов применяемых при . 61) Как иначе называют метод бисекций?
В начале урока ставиться цель ознакомиться с двоичным поиском и узнать, как можно решить любое уравнение. При этом сразу предупреждаем, что .
Как иначе называют метод хорд. . что при отыскании корня метод хорд нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.
Уточнение корней: метод бисекции (деления отрезка пополам). . погрешности к приближенному числу называют граничной относительной . Иначе говоря,.
Величину ε также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему . Метод секущих (метод хорд); Метод половинного деления (метод дихотомии) .
Метод дихотомии или метод половинного деления . Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только . иначе 5 – ю;; И так далее.
Следует заметить, что метод бисекции довольно медлителен, но зато наде- . Итерационный метод (5) называют еще методом секущих, а метод.
Метод половинного деления (метод бисекции, метод дихотомии). . Как правило, Относительной погрешностью называют некоторую величину δ(А), для погрешность .
Метод половинного деления (метод дихотомии или метод бисекции)
Сходимость метода дихотомии линейная с коэффициентом α=0,5. Покажем это.
Если в качестве xn брать an, то из формулы (6) мы можем записать , . Отсюда следует .
Отметим, что за 10 итераций (n=10) интервал уменьшается в 2 10 = 1024 ≈ 10 3 раз. За 20 итераций (n=2) уменьшается в 2 20 ≈ 10 6 раз.
Пример №3 . Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке [a,b] с точностью ε = 10 -2 . Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε = 10 -4 . Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
sqrt(t)+x 2 = 10, a = 2.6, b = 3
Найдем корни уравнения: 
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b) 1 /2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| 1 /2 n (b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1 /2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 1 /2(an+bn).
Решение.
Поскольку F(2.6)*F(3) 0, то a=2.8
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (2.8 + 3)/2 = 2.9
F(x) = 0.113
F(c) = -0.487
Поскольку F(c)•F(x) 0, то a=2.825
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | c | a | b | f(c) | f(x) |
| 1 | 2.6 | 3 | 2.8 | -1.6275 | -0.4867 |
| 2 | 2.8 | 3 | 2.9 | -0.4867 | 0.1129 |
| 3 | 2.8 | 2.9 | 2.85 | 0.1129 | -0.1893 |
| 4 | 2.8 | 2.85 | 2.825 | -0.1893 | -0.3386 |
| 5 | 2.825 | 2.85 | 2.8375 | -0.3386 | -0.2641 |
| 6 | 2.8375 | 2.85 | 2.8438 | -0.2641 | -0.2267 |
Ответ: x = 2.8438; F(x) = -0.2267
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса Метод Ньютона онлайн
Пример №2 . Локализовать корень нелинейного уравнения f(x) = 0 и найти его методом бисекции с точностью ε1 = 0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε2 = 0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций.