Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности
На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей — задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например «Симметричную монету бросают дважды. » или «Бросают 3 монеты . «, но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.
Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).
Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один — по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй — по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.
1. Классическое определение вероятности
Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.
Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.
Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.
Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).
Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.
Взяли разгон и переходим к 4 монетам.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.
Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.
Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.
2. Комбинаторика + классическая вероятность
Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет — 32, для 6 монет — 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.
Один из способов решения этой проблемы — остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.
Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза — $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций: $$ m=C_4^2+C_4^3=\frac<4!><2!2!>+\frac<4!><3!1!>=\frac<3\cdot 4><1\cdot 2>+4=6+4=10. $$ Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.
Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.
Например, если рассмотреть подобную задачу:
Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза
Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (. ), просто по аналогии с примером выше: $$ n=2^8=256;\\ m=C_8^4=\frac<8!><4!4!>=\frac<5\cdot 6\cdot 7 \cdot 8><1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4>=70;\\ P=\frac
Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).
Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).
Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек — 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 — РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.
Способ 3. Формула Бернулли
Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.
Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=1/2=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^
То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n=\frac
А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 \cdot \left(1/2\right)^2=2 \cdot \frac<1><4>=\frac<1><2>=0.5.$
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 \cdot \left(1/2\right)^4+C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^4=(6+4) \cdot \frac<1><16>=\frac<10><16>=0.625.$$
Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 \cdot \left(1/2\right)^3=1 \cdot \frac<1><8>=\frac<1><8>=0.125.$
Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.
Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 \cdot \left(1/2\right)^8+ C_8^7 \cdot \left(1/2\right)^8=(1+8) \cdot \frac<1><256>=\frac<9><256>=0.035.$$
Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.
Полезные ссылки
Решебник по вероятности
А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
Сколько элементарных событий при 4 бросаний одной монеты
Элементарных событий 4. так как бросают монету 4 раза.
Также наши пользователи интересуются:
⭐⭐⭐⭐⭐ Лучший ответ на вопрос «Сколько элементарных событий при 4 бросаний одной монеты» от пользователя ольга кузенская в разделе Алгебра. Задавайте вопросы и делитесь своими знаниями.
Сколько элементарных событий при 4 бросаний одной монеты?
Сколько элементарных событий при 4 бросаний одной монеты.
Элементарных событий — 4.
Возможных исходов — 8.
По два (орел / решка) в каждом событии.
Назовите событие противоположное данному событию : а) при стрельбе по летающим тарелкам стрелок попал по мишени ; б) при бросании монеты выпал орел ; в) куплен неисправный телевизор ; г) по результата?
Назовите событие противоположное данному событию : а) при стрельбе по летающим тарелкам стрелок попал по мишени ; б) при бросании монеты выпал орел ; в) куплен неисправный телевизор ; г) по результатам забега спортсмен вышел в финал ; д) при бросании кубика выпало три очка.
В каком из случаев эти два события равновероятны?
Помогите плиииииз((((( какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты орел выпадет ровно пять раз?
Помогите плиииииз((((( какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты орел выпадет ровно пять раз?
Монету подбрасывают 2 раза?
Монету подбрасывают 2 раза.
Событие А — «в первый раз выпал орел» Событие В — «Во второй раз выпал орел».
Выберите событие В + А Варианты ответов : 1)Появление решки только во втором бросании 2)Появление хотя бы одной решки 3)Непоявление герба только при первом бросании 4)Появление 2 — х гербов 5)Появление 2 — х решек 6)Появление хотя бы одного герба 7)Появление одной решки 8)Появление решки только в первом бросании.
№1. В случайном эксперименте 20 элементарных событий?
№1. В случайном эксперименте 20 элементарных событий.
Событию А благоприприятствуют 12 из них.
Сколько элементарных событий благоприятствуют событию не А (А с чертой)?
№2. В некотором случайном опыте может произойти событие К.
Найдите Вероятность события не К (К с чертой), если известно, что вероятность события К равна : 0, 4 ; 0, 85 ; 0, 13 ; 1 / 2.
№3. а) Докажите, что события А и В не могут быть противоположными, если Р(А) = 0, 7, а Р(В) = 0, 44.
Б) вероятность события А равна 0, 3, а вероятность события В равна 0, 7.
Обязательно ли события А и В взаимно противоположные?
Монету бросают 2 раза?
Монету бросают 2 раза.
Выпишите всё элементарные события этого эксперемента.
События А — первый выпал орёл.
Событие Б — второй раз выпала решка.
Найдите вероятность каждого из этих событий и вероятность их пересечения .
Являются ли эти события независимыми?
Помогите пожалуста сколько возможных элементарных событий у испытания бернулли?
Помогите пожалуста сколько возможных элементарных событий у испытания бернулли?
Как они называются?
Все элементарные события случайного опыта равновозможны?
Все элементарные события случайного опыта равновозможны.
Сколько элементарных событий в этом опыте, если вероятность одного из них равна : 1 / 3.
Имеется две монеты?
Имеется две монеты.
Можно ли напи — сать на каждой стороне каждой монеты по одному числу так, чтобы сумма выпавших чисел при бросании этих монет принимала значения 1, 2, 3 и 4 с равными вероятностями 0, 25?
Помогите ?
Игральный кубик бросают дважды.
Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 6».
Алгебра 8 Теория вероятности я в ней ни бум бум сколько элементарных событий при десяти бросках монеты?
Алгебра 8 Теория вероятности я в ней ни бум бум сколько элементарных событий при десяти бросках монеты?
На странице вопроса Сколько элементарных событий при 4 бросаний одной монеты? из категории Алгебра вы найдете ответ для уровня учащихся 10 — 11 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.
Сколько элементарных событий при четырех подбрасываниях игральной кости
Теория вероятностей — это раздел математики, посвященный изучению математических моделей случайных экспериментов, то есть таких экспериментов, результаты которых заранее неизвестны.
Например, одним из случайных экспериментов, часто используемых в теории вероятностей, является подбрасывание игральной кости. Результатом этого случайного эксперимента будет количество выпавших очков.
Напомним, что игральная кость – это кубик из однородного материала, грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 при помощи нанесенных на грани кубика точек.
Множество всех возможных результатов случайного эксперимента называют множеством элементарных событий. Это множество принято обозначать заглавной греческой буквой Ω . Элементы множества Ω называют элементарными событиями.
Элементарные события часто называют элементарными исходами или, просто, исходами, а множество всех элементарных событий называют пространством элементарных событий, множеством элементарных исходов или пространством элементарных исходов.
В теории вероятностей случайными событиями являются подмножества множества элементарных исходов Ω . Например, в классическом определении вероятности событием является каждое подмножество множества элементарных событий Ω. В более сложных вероятностных моделях событиями являются не все подмножества Ω, а только часть из них.
Случайные события часто для простоты называют событиями.
Классическое определение вероятности
Если в результате случайного эксперимента может реализоваться один из нескольких равновозможных вариантов, то используют классическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности является краеугольным камнем теории вероятностей и вводится в соответствии со следующей схемой.
Определяется множество элементарных событий (результаты случайного эксперимента).
В классическом определении вероятности в качестве множества элементарных событий Ω используют произвольное множество, состоящее из конечного числа элементов. Элементы множества Ω (элементарные события) обозначают
где N – число элементов множества Ω .
Вероятность каждого элементарного события полагают равной
и обозначают буквой P . Таким образом,
Определяются случайные события.
Пустым множеством называют множество, в котором нет ни одного элемента. Пустое множество содержится в любом множестве, то есть является подмножеством любого множества.
В классическом определении вероятности в качестве случайных событий используются всевозможные подмножества множества Ω , включая пустое множество и все множество Ω .
Случайные события принято обозначать буквами A , B , C , .
Определяется вероятность каждого случайного события.
Если A – случайное событие, то вероятность события A полагают равной числу
где через m обозначено количество элементарных событий, входящих в множество A .
Вероятность случайного события A принято обозначать P (A).
Таким образом, справедливо равенство
причем, поскольку числитель в правой части формулы (1) не превосходит знаменателя, то вероятность любого случайного события A заключена в пределах
В частности, если или A = Ω , то справедливы равенства
ЗАМЕЧАНИЕ . При вычислении вероятности события A элементарные события, входящие в событие A , называют благоприятными исходами и формулу (1) записывают в виде
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1 . Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости один раз. Описать схему введения классического определения вероятности для этого эксперимента.
РЕШЕНИЕ . Обозначим через ωk событие, состоящее в том, что при подбрасывании игральной кости выпадает число k . Тогда элементарные события
| ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 | (5) |
составляют множество элементарных событий Ω :
Поскольку множество Ω состоит из 6 элементов, то вероятность каждого элементарного события равна :
Каждое случайное событие является подмножеством Ω и состоит из нескольких элементарных событий. Так, например, случайное событие
состоит из трех элементарных событий
В силу формулы (4) справедливо равенство
ПРИМЕР 2 . Эксперимент состоит в подбрасывании монеты один раз. Описать схему введения классического определения вероятности для этого эксперимента.
РЕШЕНИЕ . Обозначим русскими буквами Г и Ч элементарные события, состоящие в том, что при подбрасывании монеты выпадают герб ( Г ) или число ( Ч ) соответственно. Тогда
ПРИМЕР 3 . Найти вероятность того, что при однократном подбрасывании двух игральных костей сумма выпавших чисел будет больше, чем 8 .
РЕШЕНИЕ . Сформируем следующую таблицу, в которой записаны всевозможные суммы чисел, выпавших при подбрасывании двух игральных костей. Первая строка таблицы – это числа, выпавшие при бросании первой кости, а первый столбец таблицы – это числа, выпавшие при бросании второй кости. На пересечении строки и столбца указана сумма чисел, выпавших на двух костях.
В этой таблице все возможные результаты эксперимента представлены в 36 клетках. При этом в 10 клетках, выделенных в таблице желтым цветом, результаты превышают число 8 . Поэтому искомая вероятность
Сколько элементарных событий при четырех подбрасываниях игральной кости?
Результат подбрасывания игральной кости – случайная величина, имеющая 6 возможных реализаций:
Реализации эти и есть элементарные события.
Меньше 5 очков выпадает в реализациях:
Так что ответ на Ваш вопрос: при подбрасывании игральной кости один раз существует 4 элементарных события, при которых выпадает менее 5 очков.
Пространство элементарных исходов.
Любая современная математическая дисциплина основывается на некоторых исходных понятиях (аксиомах). В теории вероятностей такой аксиоматический подход был введен сравнительно недавно (в 30-х гг.) А.Н. Колмогоровым.
Аксиомы, лежащие в основе этого подхода, отражают и сообщают те свойства понятия вероятности случайных событий, которые использовались на интуитивном уровне с давних времен – с момента зарождения теории вероятностей как теории «азартных игр».
В этой и следующих главах будет показано, что основные понятия и аксиомы теории вероятностей представляют собой математические отражения понятий, хорошо известных любому человеку, наблюдавшему опыты со случайными исходами. Одним из таких понятий является пространство элементарных исходов, введение которого позволяет при решении конкретных практических задач оперировать общим для современной математики аппаратом теории множеств.
Пространство элементарных исходов.
Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.
Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:
— в результате опыта один из исходов обязательно происходит;
— появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;
— в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.
В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой Ω, а сами элементарные исходы – строчной буквой , снабженной при необходимости индексами. То, что элемент принадлежит Ω, записывают в виде Ω, а тот факт, что множество Ω состоит из элементов и только из них, записывают в виде
В частности, может содержать конечное число элементарных исходов.
Рассмотрим примеры, поясняющие понятие пространства элементарных исходов.
Пример 1.1.Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением «герба» (можно обозначить этот исход Г, или ) и выпадением «цифры» (Ц, или ). Таким образом, или .
При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет, очевидно содержать 4 элемента, т.е.
где — появление «герба» и при первом, и при втором подбрасываниях, и т.д.
Пример 1.2. При однократном бросании игральной кости возможен любой из шести элементарных исходов , …, , где , означает появление i очков на верхней грани кости, т.е.
При двукратном бросании игральной кости каждый из шести возможных исходов при первом бросании может сочетаться с каждым из шести исходов при втором бросании, т.е.
где — исход опыта, при котором сначала выпало i, а затем j очков.
Нетрудно подсчитать, что пространство элементарных исходов содержит 36 элементарных исходов.
Пример 1.3. Пусть опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию в течение заданного промежутка времени. Разумеется, реально это число не превышает некоторого значения (определяемого, в частности, пропускной способностью линии связи), но, поскольку это значение может быть достаточно большим, в качестве пространства элементарных исходов можно принять множество целых неотрицательных чисел, т.е.
Пример 1.4. Предположим, что стрелок производит единственный выстрел по плоской мишени. В этом случае естественно отождествить с множеством точек на плоскости или множеством пар (x;y) действительных чисел, где x – абсцисса, а y – ордината точки попадания пули в мишень в некоторой системе координат. Таким образом,
Задачи.
В задачах 1.1 – 1.10 построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.
1.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События А= , В= , С= , D= .
1.2. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События А= , В= , С= , D= .
1.3. Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат – общее число подбрасываний. События А= , В= .
1.4. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События А= , В= , С= .
1.5. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: . Наблюдаемый результат — координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События А= , В= , С= . Выявить пары совместных событий.
1.6. На отрезке наудачу ставится точка. Пусть х – координата этой точки. Затем на отрезке наудачу ставится еще одна точка с координатой у. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у). События А= , В= , С= . Выявить пары несовместных событий.
1.7.Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у), где х – время прихода Петра, у – время прихода Ивана (время исчисляется в минутах, начиная от 11 часов). Событие А= .
1.8. (продолжение). В условиях эксперимента задачи 1.7 рассмотреть следующие события: >, В= , С= .
1.10*.Проводится матч на первенство страны по футболу между командами «Динамо» и «Спартак». Интересующие нас события А= , В= , С= , D= .
1.11*.С помощью специального прибора регистрируется направление и скорость ветра в данном месте Земли. Прибор устроен таким образом, что позволяет определять скорость ветра сколь угодно точно, а регистрация направления ветра возможна лишь с точностью до 2 о . Установить, наблюдаемы ли в данном эксперименте события А= ,
1.12. Относительно событий, перечисленных в каждом примере,
указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий (да,
нет).
1) Опыт—бросание монеты; события: А1= ; А2 = .
2) Опыт — бросание двух монет; события: В1 = ; В2 = .
3) Опыт — бросание двух игральных костей; события:
4) Опыт — передача двух сигналов по каналу связи; события:
D1 = ;
5) Опыт — передача трех сообщений по каналу связи; события:
1.13. Относительно каждой группы событий ответить на вопрос,
являются ли они в данном опыте несовместными (да, нет).
1) Опыт — бросание монеты; события: А1 = ; А2 = .
2) Опыт — бросание двух монет; события:
3) Опыт — два выстрела по цели; события:
С0 = ;
4) Тот же опыт; события:
5) Опыт — вынимание двух карт из колоды; события:
Е1 = ;
6) Опыт — передача трех сообщений по радио; события:
F1 = ;
1.14. Относительно каждой из групп событий ответить на вопрос, равновозможны ли они в данном опыте (да, нет).
1) Опыт — бросание монеты; события:
А1 = ; А2 = .
2) Опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; те же со
бытия А1; А2.
3) Опыт — выстрел по мишени; события:
4) Опыт — бросание двух монет; события:
5) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды; события:
6) Опыт — бросание игральной кости; события:
7) Опыт — по каналу связи передаются в одинаковых условиях три сообщения одинаковой длины; события:
1.15. Относительно каждой из групп событий ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу; являются ли несовместными; являются ли равновозможными; образуют ли группу случаев.
1) Опыт — бросание (правильной) монеты; события:
2) Опыт — бросание двух монет; события:
3) Опыт — бросание игральной кости; события:
4) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды в 36 листов;
события:
5) Опыт — выстрел по мишени; события
Е1 = ; Е2 = .
6) Опыт — передача (в одинаковых условиях) трех сообщений равной длины; события:
7) Опыт — эксплуатируются два прибора в течение времени τ; события:
1.16. Многогранник, имеющий k граней (k > 3) с номерами 1, 2, .
. k, бросается наугад на плоскость; при этом он падает на ту или другую грань. Построить для этого опыта пространство элементарных
событий и выделить в нем подмножество, соответствующее событию
А = .