Найти вероятность того что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной безразлично

автор: admin
10.09.2023

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

Все категории
экономические 43,679
гуманитарные 33,657
юридические 17,917
школьный раздел 612,441
разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Найти вероятность того что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной безразлично

Группа: Активисты
Сообщений: 414
Регистрация: 1.3.2007
Город: Люберцы
Вы: другое

Прошу проверить моё решение задачи № 9 из решебника Гмурмана издания 1979 г.

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).
Решение (Гмурмана (IMG:style_emoticons/default/dry.gif) ). Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из шести элементов по три, т. е. C из 6 по 3.
Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на
одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях
двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элементов по
два, т. е. С из 5 по 2.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу возвозможных элементарных исходов:
P=( С из 5 по 2)/( C из 6 по 3) = 1/2.

Решение моё (IMG:style_emoticons/default/blink.gif) :
Вероятность выпадения 6 на одной кости = 1/6. Бросание 2-х других имеет 6^2=36 исходов, из которых 20 – благоприятные (я просто нарисовал квадрат 6х6 и подсчитал благоприятные исходы). Так как первую кость можно выбрать 3 способами по ответ будет таким: 3*(1/6)*(20/36)=60/216

Для проверки решения я накарябал программку и получил результат, совпадающий с моим решением. Поскольку крайне маловероятно, что ошибся Гмурман, слёзно прошу указать на мои ошибки в решении и в программе. (IMG:style_emoticons/default/unsure.gif)

Группа: Руководители
Сообщений: 3 189
Регистрация: 23.2.2007
Из: Казань
Город: Казань
Учебное заведение: КГУ
Вы: другое

Вы заставили меня задуматься. Действительно, почему у Гмурмана общее число элементарных исходов С из 6 по 3? Ведь при бросании 3-х костей получаем 6^3=216. А число благоприятствующих исходов
3*C(1, 1)*C(5, 1)*C(4, 1)=3*1*5*4=60.
Т.е. искомая вероятность P=60/216. Получается как у вас.

Подождем Вениамина. Может он нам объяснит, чего мы недопонимаем (IMG:style_emoticons/default/blink.gif)

Группа: Активисты
Сообщений: 414
Регистрация: 1.3.2007
Город: Люберцы
Вы: другое

Я смирился с необъяснимым явлением.

А что, хорошо ли издание 2002 года? Меня вот жаба душит покупать. Пользуюсь тем, которое скачал из сети. Стоит ли покупать новое?

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель

Группа: Активисты
Сообщений: 414
Регистрация: 1.3.2007
Город: Люберцы
Вы: другое

А вот мне логика Гмурмана не понятна (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Не могли бы вы немного пояснить?

Группа: Преподаватели
Сообщений: 720
Регистрация: 26.2.2007
Город: СПб
Вы: преподаватель

Как интересно.
Мне у Гмурмана тоже непонятно — уж по крайней мере С(6,3) с повторениями.
Хотя, наверное, можно за элементарные исходы взять только те, когда все числа разные? Я так правда никогода не делала..

Наверное, ключевое выражение здесь — "ЕСЛИ на гранях двух других . "

И тогда действительно по-гмурмановски решать надо.

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель

На самом деле Вы (уж и не знаю, к кому теперь обращаюсь (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) ) и Гмурман РЕШАЕТЕ РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ (с разными условиями) и вина в этом лежит на Гмурмане — он слишком туманно и неоднозначно изложил условие задачи. Это очень частый недостаток формулировок задач по теории вероятностей — неоднозначность понимания условия, но это не недостаток теории вероятностей, а недостаток тех, кто эти задачи формулирует.
Формулировка Гмурмана:
"Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести)."
Меня в формулировке сразу насторожило слово "если". Ведь если понимать задачу так, как ее поняли Вы и я, то гораздо уместнее было бы на его месте поставить союз "а".
Судя по приведенному решению, Гмурман находит вероятность как долю благоприятных исходов СРЕДИ ИСХОДОВ С НЕПОВТОРЯЮЩИМИСЯ ЧИСЛАМИ ОЧКОВ НА ГРАНЯХ, а не среди всех исходов вообще (как это следовало бы делать, если понимать условие так, как это сделали мы) . То, что Гмурман при этом рассматривает только неупорядоченные тройки очков на гранях не ошибка, так как учет порядка приведет к умножению чисел n и m на одно и то же число 3!=6, что потом не скажется на результате при счете по формуле P=m/n. Такое решение наводит на мысль о задаче на условную вероятность.
Фактически Гмурман решает следующую задачу:

"Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если известно, что на всех гранях выпало различное количество очков ."
Реально это задача на условную вероятность, поэтому ей вообще нет места в том разделе самого начала задачника. Если Вы решите задачу в последней формулировке, используя привычную формулу P(A/B)=P(A*B ) / P(B ), то Вы легко получите ту вероятность 1/2, которую получил Гмурман.

Наверное, ключевое выражение здесь — "ЕСЛИ на гранях двух других . "

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Гмурман, задача 9. "Руководство к решению задач по теорверу"

Последний раз редактировалось NameIsArt 22.11.2022, 11:32, всего редактировалось 1 раз.

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с формулировкой задачи и решением Гмурмана.

Задача 9.
Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).

Решение. Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из шести элементов по три, т.е. $C^3_6$ . Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элементов по два, т.е. $C^2_5$ . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу
возможных элементарных исходов: .» Почему не учитываются у Гмурмана исходы, где числа равны на костях? Например (6 6 6)? В условии, «если на гранях двух других костей выпадут», предполагает, что? Исходы это _только_ те, где неравны все числа? А остальные броски мы не учитываем?

2. Гмурман: «Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, , к общему числу возможных элементарных исходов: $P = C^2_5 C^3_6 = 1/2$ «. Но ведь учли только одно множество, когда на одной кости 6, не учли два других множества. Верно?

NameIsArt ,
Вы когда строите вероятностное пространство $$(\Omega, \mathbb<F>, \mathbb)$» />, Вы сами вольны задавать все три компоненты тройки, только бы они удовлетворяли своим определениям и эксперименту. Попробуйте построить два вероятностных пространства — одно когда в <img decoding=$ у нас упорядоченные тройки, то есть когда мы считаем исходы $(6, 5, 4)$ и $(4, 6, 5)$ различимыми, а второе — когда считаем их неразличимыми. В обеих моделях посчитайте требуемые вероятности — они должны совпасть.

Заметьте, когда вы строите модель для бросания правильной монетки, у вас множество элементарных исходов это $$\<0, 1\>$» />, Вы не учитываете, например, вероятность того что монетка встала на ребро. Так и тут, Вы можете изначально сузить ваше множество элементарных исходов до только лишь тех, где на двух гранях выпадают несовпадающие друг с другом числа (а на оставшейся грани — что угодно), так как в такой модели считать будет удобнее. Если это вызывает подозрение — постройте ещё третью модель, где в <img decoding=$ будут всевозможные результаты бросания и тоже найдите вероятность интересующего события.

Последний раз редактировалось ewert 22.11.2022, 12:33, всего редактировалось 1 раз.

Дело в том, что Вы с Гмурманом решаете разные задачи. Вы считаете безусловную вероятность того, что на одной грани выпала шестёрка, на двух других — что-то другое и разное. Гмурман же считает условную вероятность выпадения шестёрки при условии, что все цифры разные (слово «если» намекает именно на условную вероятность).

Другое дело, что он совершенно безобразно сформулировал задачу. Слово «других» после «если» абсолютно неуместно — описание условия не должно ссылаться на описание интересующего нас события.

(Ну и то, что он считает кости неразличимыми — несколько легкомысленно; но это всего лишь легкомыслие, а не ошибка.)

— Вт ноя 22, 2022 13:33:22 —

Вы когда строите вероятностное пространство $$(\Omega, \mathbb<F>, \mathbb)$» />, Вы сами вольны задавать все три компоненты тройки, только бы они удовлетворяли своим определениям и эксперименту. Опять же легкомысленная формулировка. Классический пример: бросаем два кубика; какова вероятность того, что выпадут одинаковые цифры? Можно считать кубики различимыми (пронумерованными), а можно неразличимыми. И то, и другое можно. Только вот во втором случае элементарные исходы окажутся не равновероятными. Опять же легкомысленная формулировка. Классический пример: бросаем два кубика; какова вероятность того, что выпадут одинаковые цифры?<div class='code-block code-block-13' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Можно считать кубики различимыми (пронумерованными), а можно неразличимыми. И то, и другое можно. Только вот во втором случае элементарные исходы окажутся не равновероятными.

Последний раз редактировалось Sdy 22.11.2022, 14:28, всего редактировалось 1 раз.

ewert ,
наверное, я Вас не понимаю.
Мы в обоих случаях задаём тройку же, а не просто $\Omega$ .
Ну, оба случая дискретны, поэтому $$\mathbb<F>= 2^<\Omega>$» />, и с <img decoding=$

В первом случае у нас $$\Omega = \<(a, b) | 1 \leq a, b \leq 6\>$» />, <img decoding=$ — множество всех неупорядоченных пар чисел от до $6$ . По идее можно записать через мультимножества, но словами, наверное понятнее. Если мы тут зададим вероятность равновероятно для каждого элементарного исхода, то получим противоречие с реальностью — эксперимент нам говорит, что неупорядоченная пара $$\<5, 6\>$» /> выпадает в два раза чаще, чем пара <img decoding=$ , каждому исходу, где числа одинаковые, вероятность $p$ , и из условия $$\sum_<i=1>^<n>P(w_i)=1$» /> найти это самое <img decoding=$

Последний раз редактировалось EUgeneUS 22.11.2022, 14:18, всего редактировалось 1 раз.

Благодарю за ответы! Выходит, что моя ошибка, согласно решению Гмурмана, в том, что есть будто элементарный исход с одинаковыми выпавшими гранями, но не должно быть таких. Только я с трудом это вижу в условии задачи. То есть нужно понимать, что раз вопрос о шестерке, которая отлична от двух других костей, которые тоже отличны между собой, то подразумевается, что множество всех исходов — это различные кости? В общем, буду внимательнее к условиям задач.

Попробуйте построить два вероятностных пространства — одно когда в $\Omega$ у нас упорядоченные тройки, то есть когда мы считаем исходы $(6, 5, 4)$ и $(4, 6, 5)$ различимыми, а второе — когда считаем их неразличимыми. В обеих моделях посчитайте требуемые вероятности — они должны совпасть.

Да, Вы правы. Получается одинаковые вероятности. (1) Количество эл. исходов без повторений, с учетом порядка = 5 * 4 * 3 = 120. С шестеркой в этой моделе: (5*4) * 3 позиции шестерки = 60. P = 60/120 = 1/2. (2) Кол-во эл. исходов без повторений, без учета порядка = $C_6^3 = 20$ . С шестеркой, без учета порядка: $C_5^2 = 10$ . P = 10/20 = 1/2.

Последний раз редактировалось мат-ламер 23.11.2022, 19:45, всего редактировалось 1 раз.

Ну формулировка у автора не самая удачная, будто бы он буквы экономил, поэтому Вы всегда можете преподавателю подробно объяснить, какую именно задачу решали Вы, главное же логику решения понять.

Я не знаю, разбирали ли Вы условную вероятность, но в этой задаче ещё заковырка со словом «если». На самом деле под сужением пространства элементарных исходов у меня как раз и зарыта условная вероятность. Если проходили, то можете это попробовать явно проделать, об этом ещё ewert писал.

Вы считаете безусловную вероятность того, что на одной грани выпала шестёрка, на двух других — что-то другое и разное. Гмурман же считает условную вероятность выпадения шестёрки при условии, что все цифры разные (слово «если» намекает именно на условную вероятность).

Только я бы это делал для случая упорядоченного выпадения очков, чтобы работать с равными вероятностями.

То, что задача сформулирована коряво, это понятно. Но тут вообще непонятно, как можно аккуратно сформулировать задачу, чтобы получить ответ равный $'\slash 2$$ (как у Гурмана) ? Предположим, что мы решаем такую задачу: «На каких-то двух костях из трёх выпали разные цифры, не равные $6$ . Какова вероятность, что на третьей кости выпадет шестёрка?» Так тут ответ $' \slash 6$$ .

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной кости

1) С_n^k — биномиальный коэффициент, он же число сочетаний из k по n
Это количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.

С_n ^k = (n!) / ( k! (n-k)! )

Здесь n! = n(n-1)(n-2). 2*1 — факториал числа n

2) Условие означает, что на одном из кубиков выпало 6 + на других два других различных числа. Первое было бы в трех разных случаях (6 выпало на 1-ом кубике, на 2-ом и на 3-ем) , если бы мы различали кубики, но у нас это не важно, поэтому смотрим на второе условие. Оно означает, что нам надо из множества 1. 5 (6 уже брать нельзя) выбрать 2 числа. Это можно сделать C_5^2 способами.

3) C_5^2 / C_6 ^3 = (5! * 3! * 3!) / (6! * 2! * 3!) = (5! * 3!) / (6! * 2!) = 3 / 6 = 1 / 2

Как-то решал задачу: Сколько раз надо бросать 1 кость до выпадения шестёрки. Решение на 5-ти страницах, результат 4 раза. Парадокс, блн.

С-это сочетания. Например С из 3-х по 10 равно 10х9х8/ делить на 3 факториал.

С точки зрения теории вероятостей, сколько бы раз ни бросили, шестерка всегда могла не выпасть. Например, если бросили 4 раза — вероятность ее невыпадения — q^4 = (5/6)^4.

Если речь про среднее число бросков до выпадания, то количество бросков равно сумме по n индикаторов событий «понадобилось >= n бросков». По линейности матожидания получаем сумму q^n равную 1/(1-q) (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, привет школа), т.е. 6 бросков, как и следовало ожидать. Пять страниц были бесполезной тратой бумаги.
Можно и еще короче.

Найти вероятность того что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной безразлично

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

Найти вероятность того что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной безразлично

Научный форум dxdy

Гмурман, задача 9. "Руководство к решению задач по теорверу"

Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной кости

Добавить комментарий Отменить ответ