Найдите все значения a при которых система имеет ровно одно решение

Подставляем a=2 в системy [b] # [/b]

Складываем
u^2-4v+4+v^2-4u+4 меньше или равно 0.

(u-2)^2+(v-2)^2 меньше или равно 0 ⇒ cумма двух неотрицательных выражений меньше или равно 0, тогда и только тогда, когда
u-2=0 и v-2=0
u=2 и v=2
u=v=2

Найдите все значения параметров a и b при которых система имеет одно решение

При замене тройки $%(x;y;z)$% на $%(-x;-y;z)$% система не меняется. Следовательно, эти тройки должны совпадать, то есть единственное решение системы должно иметь вид $%(0;0;z)$%. Из первых двух уравнений получается $%z=a$% и $%z=b$%, то есть $%a=b$%. Таким образом, решением системы должна быть тройка $%(0;0;a)$%, и из последнего уравнения $%a^2=4$%.

Рассмотрим исходную систему при $%a=b=\pm2$%. Сравнение первых двух уравнений даёт $%xyz(z-1)=0$%. Если $%xyz=0$%, то $%z=a$%, и тогда в последнем уравнении получается $%x^2+y^2=0$%, то есть $%x=y=0$%. Это то решение, которое нами уже учтено. Осталось рассмотреть случай $%z-1=0$%: таких решений у нас быть не должно.

При $%z=1$% у нас получается, что $%xy=a-1$% и $%x^2+y^2=3$%. Система из этих двух уравнений не должна иметь решений. Рассматриваемых случаев у нас всего два: $%a=2$% и $%a=-2$%. В первом из них $%xy=1$%, и такие решения есть. В этом легко убедиться, подставив $%y=1/x$% в первое уравнение: получится биквадратное уравнение с положительными корнями. Значит, этот случай нам не подходит. Во втором случае $%a=-2$%, откуда $%xy=-3$%. Так быть уже не может, потому что при этом оказывается, что $%(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=-3 < 0$% (в этом же самом можно убедиться при помощи составления биквадратного уравнения). Значит, второй случай нам подходит.

В ответе получается $%a=b=-2$%. Единственным решением будет $%(0;0;-2)$%.

отвечен 24 Фев ’14 17:41

Ясно что система симметрична относительно $%x$% и $%y,$% тогда если решение $%(x,y,z)$% единственное решение, то $%x=y,$% тогда имеем систему

$%\begin x^2z+z=a \\x^2z^2+z=b \\ 2x^2+z^2=4\end \Leftrightarrow \begin \large\frac<4z-z^3>2+z=a \\x^2z^2+z=b \\ x^2=\large \frac<4-z^2>2\end \Leftrightarrow \begin z^3=6z-2a \\x^2z^2+z=b \\ x^2=\large \frac<4-z^2>2\end.$%

Первое уравнение имеет ровно одно действительное решение (графики функциий $%z^3$% и $%6z-2a$%, пересекаются в одной точке ). Если подставить это единственное значение в уравнение $%x^2=\large \frac<4-z^2>2,$% получим единственное значение $%x,$% только когда $%z=\pm2,$% а $%x=0.$% И так решению $%(0;0;2)$% соответствуeт $%a=b=2,$% решению $%(0;0;-2),$% соответствует $%a=b=-2.$%

Остается проверить , что при $%a=b=2$% и $%a=b=-2$% система действительно имеет только эти решения.

$%\begin xyz+z=2 \\xyz^2+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end \Leftrightarrow \begin xyz(z-1)=0 \\xyz^2+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end \Leftrightarrow \left[\begin\begin x=0 \\y=0 \\z=2\end\\\begin x=\frac12(\pm1-\sqrt5) \\y=\frac12(\mp1-\sqrt5) \\ z=1\end\\\begin x=\frac12(\pm1+\sqrt5) \\y=\frac12(\mp1+\sqrt5) \\ z=1\end\end\right.$%

Значит $%a=b=2$% не подходить, а при $%a=b=-2,$%

$%\begin xyz+z=-2 \\xyz^2+z=-2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end \Leftrightarrow \begin xyz(z-1)=0 \\xyz^2+z=-2 \\ x^2+y^2+z^2=4\end \Leftrightarrow \begin x=0 \\y=0 \\z=-2\end.$%

Системы с параметром

Найдите все значения параметра b, при которых система $$ \left\<\beginx=-|b-y^<2>|\\ y=a(x+b^<2>)\end\right.$$ имеет решение при любом значении параметра а.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3334

Найдите все значения a, при каждом из которых система $$\left\<\beginx\sin a-y\cos a+3\sin a+\cos a=0\\ 2x+y-1=0\end\right.$$ имеет решение (x;y) в квадрате $$-4\leq x\leq -1 , 2\leq y\leq 5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3429

Найдите все значения параметра р, при каждом из которых система уравнений имеет два различных решения: $$\left\<\begin(y-1)^<2>=x-|x|\\(x-p)^<2>+2p+y=25\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3865

Найдите все значение параметра a , при которых система $$\left\<\begin9x^<2>-6xy+y^<2>+6x-13y+3=0\\13x^<2>+6xy+10y^<2>+16x+2y-4ax-6ay+a^<2>-2a+3=0\end\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4022

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\<\beginx^<2>-2xy-3y^<2>=8\\2x^<2>+4xy+5y^<2>=a^<4>-4a^<3>+4a^<2>-12+\sqrt<105>\end\right.$$имеет хотя бы одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)

Задание 4192

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых существует хотя бы одно $$x$$, удовлетворяющее условию: $$\left\<\beginx^<2>+(5a+2)x+4a^<2>+2a<0\\x^<2>+a^<2>=4\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4400

Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений: $$\left\<\begin|x^<2>-5x+4|-9x^<2>-5x+4+10x|x|=0\\x^<2>-2(a-1)x+a(a-2)=0\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

2. $$\left\<\begin1\leq x_<1>\leq4\\1\leq x_<2>\leq4\end\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end\right.$$

Общим решением будет объединение: $$a\in<-1>\cup[1;6]$$

Задание 4577

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4776

При каких значениях параметра p система $$\left\ <\beginx^<2>+2px+3p^<2>+3p+3\leq 3\sin y — 4\cos y\\ 0\leq y\leq 2\pi \end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4823

Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\<\begin1-\sqrt<|x-1|>=\sqrt<7|y|>\\49y^<2>+x^<2>+4a=2x-1\end\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Тогда система примет вид : $$\left\<\beginm+n=1\\m^<4>+n^<4>=-4a\end\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_<0>;n_<0>)$$ является решением системы (*), то пара $$(n_<0>; m_<0>)$$ также её решение :

1) Пусть $$m_<0>\neq n_<0>, m_<0>, n_<0>>0$$. Тогда $$\left[\begin\left\<\begin\left | x-1 \right |=m_<0>^<2>\\7\left | y \right |=n_<0>^<2>\end\right.\\\left\<\begin\left | x-1 \right |=n_<0>^<2>\\7\left | y \right |=m_<0>^<2>\end\right.\end\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют условию задачи .

2) Пусть одно из значений $$m_<0>$$ или $$n_<0>$$ равно нулю, тогда пары (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда $$a=-\frac<1><4>$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :

$$\left[\begin\left\<\begin\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end\right.\\\left\<\begin\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end\right.\end\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; \frac<1><7>)$$, $$(1; -\frac<1><7>)$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$

$$m_<0>=\frac<1><2>$$, $$a=-\frac<1><32>$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac<1><2>;\frac<1><2>)$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :

Докажем, что при $$a=-\frac<1><4>$$ и $$a=-\frac<1><32>$$ других, кроме найденных решений, данная система не имеет .

Тогда $$m^<4>+n^<4><m+n$$, т.е. $$m^<4>+n^<4><1$$, что противоречит второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-\frac<1><4>$$ других решений системы нет и $$a=-\frac<1><4>$$ удовлетворяет условию .

Задание 5061

При каких значениях параметра система уравнений $$\left\<\begin(x^<2>+(y-7)^<2>-9)((x-4)^<2>+(y-3)^<2>-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end\right.$$ имеет четыре решения?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(*) x^<2>+(y-7)^<2>=9$$ — окружность с центром $$O_<1>(0;7)$$ и радиусом $$R=3$$

$$(**)(x-4)^<2>+(y-3)^<2>=1$$ – окружность с центром $$O_<2>(4,3)$$ и радиусом $$R=1$$

$$y=a(x-4)-2$$ — пучок прямых ,проходящих через точку $$A(4,-2)$$

Пусть $$B_<1>C$$ — точки касания прямой $$y=a(x-4)-2$$ с окружностью (**) с , а, $$D_<1>E$$ — с окружностью (*)

Система будет иметь 4 решения , если прямая будет пересекать окружности в 4 точках. На рисунках слева оранжевым цветом выделены пограничные случаи расположения прямой в таком случае (4 решения от момента касания в точке D до момента касания в точке C при повороте прямой против часовой стрелки ,не включая данные значения)

Найдем соответствующие значения параметра a .Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки с координатами $$(x_<0>,y_<0>)$$ до прямой $$ax+by+c=0$$: $$p=\frac<\left | ax_<0>+by_<0>+c \right |><\sqrt+b^<2>>>$$

С другой стороны , расстояние от точки $$O_<1>$$ до прямой $$y=a(x-4)-2$$ равно радиусу окружности (*) , откуда $$\frac<\left | 4a+9 \right |><\sqrt+1>>=3\Rightarrow$$ $$(4a+9)^<2>=9(a^<2>+1)\Leftrightarrow$$ $$16a^<2>+72a+81=9a^<2>+9\Leftrightarrow $$$$7a^<2>+72a+72=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begina=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>\\a=-\frac<36-6\sqrt<22>><7>\end\right.$$

Поскольку касание происходит в точке D, то угловой коэффициент прямой в случае касания в точке D должен быть меньше, чем в случае касания в точке E, поэтому $$a=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>$$

Аналогичным образом находим значения параметра в случае касания с окружностью (**):

Касание прямой с окружностью в точке C соответствует значению $$a=-2\sqrt<6>(a=2\sqrt<6>$$ — касание в точке B). Окончательно получим , что система имеет 4 решения при $$a_<1,2>=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>;-2\sqrt<6>.$$

Путеводитель по задачам с параметром

34. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:

35. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:

Уравнения с параметром + показать

2023

1.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.

1.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.

2.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$.

2.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке $[0;4].$

3.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) При каких значениях параметра $a$ уравнение

имеет ровно 2 различных решения.

3.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) При каких значениях параметра $a$ уравнение

имеет ровно 2 различных решения.

4.1. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение $\sqrt=\sqrt$ имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.

4.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение $\sqrt=\sqrt$ имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один положительный.

5.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Найти все значения a, при каждом из которых уравнение $(2x-x^2)^2-4\sqrt<2x-x^2>=a^2-4a$ имеет хотя бы один корень.

5.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Найти все значения a, при каждом из которых уравнение $(4x-x^2)^2-32\sqrt<4x-x^2>=a^2-14a$ имеет хотя бы один корень.

6.1. (ЕГЭ 2023, досрок) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\sqrt\cdot sin x=\sqrt\cdot cos x$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\pi]. $

6.2. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\sqrt\cdot sin x+\sqrt\cdot sin x=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[-\pi;0]. $

до 2023

-6. (Реальный ЕГЭ, 2021) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

-5. (Реальный ЕГЭ, 2021) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt$
имеет ровно два различных корня.

-4. (Т/P, 2020) Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

имеет единственный решение на отрезке $[0;2].$

-3. (Реальный ЕГЭ, 2019) При каких значениях параметра $a$ уравнение

имеет ровно два различных решения?

-2. (Реальный ЕГЭ, 2019) При каких значениях параметра $a$ уравнение

имеет ровно два различных решения?

Ответ:$(-3;0)\cup (0;2)\cup (2;6)\cup (6;12)\cup (12;+\infty).$ Решение

-1. (Реальный ЕГЭ, 2017) Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$

0. (резервный ЕГЭ, 2017) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

1. (ЕГЭ, 2016) Определите, при каких значениях параметра уравнение

имеет ровно два различных решения.

2. (ЕГЭ, 2016) Определите, при каких значениях параметра уравнение

имеет ровно три различных решения.

3. (ЕГЭ, 2016) Определите, при каких значениях параметра уравнение

имеет ровно один корень.

4. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных действительных корня.

5. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $log_3(ax^3+a)-2log_3\sqrt=log_3x$ имеет хотя бы один действительный корень.

6. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно $132$ решения.

7. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет одно решение.

8. (Т/Р Ларина) Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых любой корень уравнения

находится в промежутке $[-1;0].$

9. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных действительных корня.

10. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.

11. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три корня.

12. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\frac=0$ имеет ровно один корень.

13. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $2|2|x|-a^2|=x-a$ имеет ровно три корня.

14. (Т/Р Ларина) Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a|x-1|=x+2$ имеет ровно один корень. Укажите этот корень для каждого такого значения $a.$

15. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых корни уравнения $x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0$ являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии.

16. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных действительных корня.

17. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке $[1; 2]$.

18. (Т/Р Ларина) Найти все значения параметра $a$, при которых больший корень уравнения

на $\sqrt<\frac<2><3>>$ больше, чем квадрат разности корней уравнения

19. (Т/Р Ларина) При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно одно решение?

20. ( Диагностич., 2013 ) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$

21. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $x-2=\sqrt<-2(a+2)x+2>$ имеет единственное решение.

22. ( Диагностич., 2014 ) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $x^2-|x-a+6|=|x+a-6|-(a-6)^2$ имеет единственный корень.

23. (ЕГЭ , 2013 ) Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение $ax+\sqrt<-5-6x-x^2>=5a+2$ имеет единственное решение.

24. (Досрочн. ЕГЭ , 2013 ) Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $\log_<1-x>(a-x+2)=2$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[-1;1).$

25. (Досрочн. ЕГЭ , 2013 ) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $a|x-4| = \frac<5>$ на промежутке $[0; +\infty)$ имеет ровно три корня.

26. (Т/Р Ларина) Найдите все значния параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.

27. (Т/Р Ларина) Найдите все значния параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет не менее трех различных корней.

28. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет наибольшее количество решений на отрезке $[-\pi;\frac<17\pi><6>]$. Чему равно это количество?

29. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три корня. Для каждого такого $a$ укажите корни.

Ответ: три корня при $a=0$ или $a=2;$

30. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет два различных корня $x_1,x_2,$ удовлетворяющих неравенству $|\frac<1>-\frac<1>|>1$.

31. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно четыре различных корня.

32. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на промежутке $[-\frac<\pi><2>;2\pi].$

33. (Т/Р Ларина) При каких положительных значениях параметра $a$ уравнение $||2x|-4|=|x^2-a|$

имеет ровно $4$ решения?

34. (Т/Р, 2017) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три решения.

35. (Т/Р Ларина) Найдите все значния параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных действительных корня.

36. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет более двух корней.

37. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

38. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.

39. (Т/Р Ларина) Найти все $a$, при каждом из которых уравнение $x-2=\frac<(a+1)(a-5)>$

имеет ровно один корень на промежутке $(-\infty;0)$. Ответ: $(-\infty;-1)\cup (-1;1]\cup $<$2$>$\cup [3;5)\cup (5;+\infty).$ Решение

40. (Т/Р Ларина) Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень. Ответ: $(-\infty;-2)\cup\left \< \frac<-1-\sqrt5> <2>\right \>.$ Решение

41. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно одно решение. Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;1]\cup \left \< 2 \right \>.$ Решение

42. (Т/Р 281 Ларина) При каких значениях параметра $a$ уравнение

43. (Т/Р 283 Ларина) Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на промежутке $(\frac<4><3>;2].$

Неравенства с параметром + показать

1.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок $[0;\frac<2\pi><3>].$

Решение Ответ: $(-\infty;-2)\cup (\frac<1+\sqrt<17>><4>;+\infty).$

3.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения a , при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок $[0;\frac<2\pi><3>].$

1. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых множество решений неравенства $|x-a|+|x+3a|\geq x^2+a^2$ содержит ровно четыре целых значения $x$.

2. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых неравенство

выполняется для любых $x\in [2;4\sqrt2].$

3. (Т/Р Ларина) Для каждого значения $a$ решите неравенство $ax^2-(2a+1)x+2>0$.

4. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство

имеет единственное целочисленное решение. Для найденных значений $a$ выпишите это решение.

5. (Т/Р Ларина) При каких $a$ для всех $x\in [2;\frac<5><2>]$ выполняется неравенство

Ответ: ($-2;0]\cup(1,5;2$)$\cup$($2,5;3)\cup[7,5;+\infty$). Решение

6. (Т/Р Ларина) Найти все значения действительного параметра $a$, для которых неравенство $4^x-a\cdot 2^x-a+3\leq 0$ имеет хотя бы одно решение.

7. (МГУ, 2013) Найдите минимальное значение разности [latexpage] $x-4a$ при условии $x^2+4a^2\leq 4.$

8. (Т/Р Ларина) Определите, при каких значениях параметра $a$ пересечение множеств

$(x-a+1)^2+(y-2a-3)^2\leq 80$, $(x-2a+3)^2+(y-4a+1)^2\leq 20a^2$

представляет собой круг.

9. (Т/Р Ларина) При каждом значении параметра $a$ решить неравенство

Ответ: $a\in (-\infty;0)$: $x\in [1;3];$ $a\in [0;1)$: $x\in [1;2-a)\cup (a+2;3];$ $a=1$: решений нет; $a\in (1;\frac<5><4>)$: $x\in (2-a;1]\cup [3;a+2);$ $a\in [\frac<5><4>;+\infty)$: $x\in (\frac<3><4>;1]\cup [3;a+2).$ Решение

10. (Т/Р Ларина)

При каких значениях параметра $a$ для всякого $x$ из $[0;7]$ верно неравенство

11. (Т/Р Ларина) При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства

содержится единственное целое число?

Функции с параметром + показать

1. (Т/Р Ларина) Для каждого $a$ определите наибольшее значение функции $f(x)=x^3-3ax^2$ на отрезке $[-2; 2]$.

2. (Т/Р Ларина) График функции $f(x)=x^3+ax^2+bx+c,c<0$, пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найдите $a,b$ и $c$, если площадь треугольника $AMN$ равна $1$.

3. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение функции

4. (Т/Р Ларина) Парабола $p_2$ симметрична параболе $p_1$, заданной уравнением $y=ax^2 (a>0)$, относительно точки $T(b;ab^2), b>0.$ Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке: $p_1$ – в точке $A_1,$ $p_2$ – в точке $A_2$ так, что угол $A_1A_2T$ прямой. Касательная к параболе $p_1$, проведенная в точке $T$, пересекает прямую $A_1A_2$ в точке $K$. Найдите отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $A_1A_2.$

5. (Т/Р Ларина) Найдите все $a$, при каждом из которых функция

имеет ровно два экстремума на промежутке (‐2;3).

6. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых для любого $x$ из промежутка $[3;9)$ значение выражения $log^2_3x-6$ не равно значению выражения $(a-4)log_3x.$

7. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$, при каждом из которых функция $f(x)=||x|-2|-ax+8a$ принимает значение, равное 2, в двух различных точках.

8. (ДЕМО, 2014) Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x)=2ax+|x^2-8x+7|$ больше 1.

9. (Т/Р Ларина) Уравнение $2x^3+ax^2+bx+c=0$ с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.

10. (Т/Р Ларина) Для каждого значения параметра $a$ найдите точку максимума функции

Ответ: $a\in (-\infty;-1):$ $a+1;$ $a=-1:$ нет; $a\in (-1;1):$ $0;$ $a=1:$ нет; $a\in (1;+\infty):$ $a-1$.