Найти вероятность того что в случайном семизначном телефонном номере последняя цифра не больше 3

Равновозможные исходы

Один из прототипов задания №3 ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задания упорядочены по уровню сложности.

Равновозможные исходы. Знакомство

Задача 1
В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Задача 2
Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Задача 3
Во время психологического теста психолог предлагает каждому из двух испытуемых А и Б выбрать одну из трёх цифр: 1, 2 и 3. Считая, что все комбинации равновозможны, найдите вероятность того, что А и Б выбрали разные цифры.

Гарантийный ремонт и частота рождения

Задача 1
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Задача 2
Вероятность того, что новый компьютер в течение года потребует гарантийного ремонта, равна 0,05. В некотором городе из 500 проданных компьютеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 28 штук. На сколько в этом городе отличается частота события «гарантийный ремонт» от eго вероятности?

Задача 3
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

В среднем из/на

Задача 1
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задача 2
В среднем из 1000 авторучек, поступивших в продажу, 15 пишут плохо или не пишут. Найдите вероятность того, что одна случайно выбранная авторучка пишет хорошо.

Задача 3
Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Чемпионаты, соревнования, конференции и олимпиады

Задача 1
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 4 из Финляндии, 7 из Дании, 9 из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Швеции.

Задача 2
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Задача 3
В чемпионате по прыжкам с шестом участвуют 9 спортсменов из Китая, 6 спортсменов из США и 5 спортсменов из Канады. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступивший последним, окажется из Китая.

Места, коробки, группы

Задача 1
В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист ? хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что ? пойдет в магазин?

Задача 2
В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А пойдёт в магазин?

Задача 3
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Геометрические мотивы

Задача 1
Учитель нарисовал на доске квадрат . и предлагает учащемуся выбрать две вершины. Сколько элементарных событий в этом опыте?

Задача 2
Учитель нарисовал на доске квадрат . и случайно выбирает две вершины. Какова вероятность того, что выбранные вершины соединяются диагональю?

Задача 3
Дан правильный пятиугольник. Учитель предлагает ученику выбрать наугад две вершины. Найдите вероятность того, что выбранные вершины принадлежат одной стороне пятиугольника.

Монетка и кубик маскируются

Задача 1
Небольшие холодильники упакованы в кубические картонные коробки. При хранении холодильник должен стоять дном вниз. На складе одну такую коробку положили случайным образом, не обращая внимания на положение холодильника. Найдите вероятность того, что холодильник хранится неправильно.

Задача 2
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Задача 3
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и третью игру.

Порядок следования

Задача 1
Андрей, Борис и Владислав по очереди в случайном порядке подходят к прилавку киоска. Какова вероятность того, что Борис подойдёт позже Андрея?

Задача 2
На трех крючках в ряд висели три полотенца-красное, синее и зеленое. Их отправили в стирку, а потом снова повесили на те же крючки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что теперь полотенца висят не в том порядке, в каком висели раньше.

Задача 3
На фестивале скрипичной музыки выступают 20 исполнителей, по одному от одной европейской страны. Порядок, в котором они выступают, определяется жребием. Какова вероятность того, что представитель Голландии будет выступать после представителя Ирландии, но перед скрипачом из Швеции?

Случайное число

Задача 1
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра окажется чётной?
Примечание. 0 – это четное число

Задача 2
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Задача 3
Какова вероятность того, что случайно выбранное двузначное число делится на 5?

Классическое определение или независимые события

Задача 1
Какова вероятность того, что последние две цифры случайного телефонного номера различны?

Задача 2
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Задача 3
Найдите вероятность того, что в случайном семизначном телефонном номере последняя цифра не больше 3, а две цифры перед ней не больше 2.

Элементы комбинаторики

Задача 1
У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Задача 2
Андрей и Пантелей выбирают по одному натуральному числу от 1 до 9 независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что сумма этих чисел делится на 4.

Задача 3
Три друга A, Б, В летят на самолёте. При регистрации им достались три кресла подряд, и друзья заняли их в случайном порядке. Найдите вероятность того, что А сидит рядом с Б.

Равновозможные исходы. Знакомство
1. 0,25;
2. 0,25;
3. 2/2

Гарантийный ремонт и частота рождения
1. 0,006;
2. 0,006;
3. 0,498;

В среднем из/на
1. 0,995;
2. 0,985;
3. 0,92;

Чемпионаты, соревнования, конференции и олимпиады
1. 0,36;
2. 0,25;
3. 0,45;

Места, коробки, группы
1. 0,125;
2. 0,4;
3. 0,2;

Геометрические мотивы
1. 6;
2. 1/3;
3. 0,5;

Монетка и кубик маскируются
1. 5/6
2. 0,375;
3. 0,125;

Случайное число
1. 0,5;
2. 0,3;
3. 0,2;

Классическое определение или независимые события
1. 0,9;
2. 0,25;
3. 0,036;

Вариант 420 Ларин ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания и ответы

Вариант 420 Алекса Ларина ЕГЭ 2023 по математике профильный уровень 11 класс с ответами и решением, а также полным видео разбором, который опубликован на сайте 4 марта, по новой демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ.

Тренировочный вариант 420 Ларина ЕГЭ 2023 по математике профиль

Видео решение варианта

1. Дан квадрат АВСD со стороной 10. На его сторонах АВ, ВС и СD выбраны точки Р, Q и R соответственно так, что АР = 1, BQ = 2 и DR = 3. Найдите площадь треугольника РQR.

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD апофема равна стороне основания. Точка М – середина ребра SA. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки В, С и М. Ответ дайте в градусах.

3. Найдите вероятность того, что в случайном семизначном телефонном номере последняя цифра не больше 3, а две цифры перед ней не больше 2.

4. Вероятность выиграть в моментальной лотерее составляет 0,4. Некто покупает 6 лотерейных билетов. Какова вероятность того, что из них ровно 3 окажутся выигрышными? Результат округлите до сотых.

9. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

15. 15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы: – 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15‐го числа каждого месяца с 1‐го по 20‐й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца. – к 15‐му числу 21‐го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг (в тыс. рублей) будет 15 числа 20‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1215 тысяч рублей?

16. Четырехугольник АВСD c перпендикулярными диагоналями АС и BD вписан в окружность. А) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей четырехугольника перпендикулярно стороне ВС, делит пополам сторону АD. Б) Найдите стороны четырехугольника АВСD, если известно, что АС = 84, BD = 77, а диаметр окружности равен 85.

Какова вероятность того что последние три цифры телефонного

Задание 4. Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного абонента совпадают?

Задание 13. а) Решите уравнение

Задание 16. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 60°, угол ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р. а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6 16.

Типовые и тренировочные задачи по теории вероятности ЕГЭ

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Типовые и тренировочные задачи по теории вероятности.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. В сумме 6 очков имеют следующие упорядоченные пары чисел: (1;5); (2;4); (3;3); (4;2); (5;1). Общее количество возможных исходов равно 36. Таким образом, .

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. В сумме 16 очков имеют следующие шесть упорядоченных троек чисел: (4;6;6); (6;4;6); (6;6;4); (6;5;5); (5;6;5); (5;5;6). Общее количество возможных исходов равно 216. Таким образом, .

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая .

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение. Всего 80 исходов, благоприятных 18 – число выступлений, запланированных на третий день. .

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение. Не подтекают 995 насосов из 1000, следовательно, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 0,995.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. Из каждых 108 сумок 100 не имеют дефектов. .

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Монету бросают три раза. Найдите вероятность элементарного исхода ОРО.

Первое решение. Всего возможно 8 элементарных исходов: ООО, РОО, ОРО, ООР, ОРР, РОР, РРО, РРР. Таким образом, вероятность элементарного исхода ОРО равна 0,125.

Второе решение. Произошли три независимых события: при первом бросании выпал орел, при втором – решка, при третьем – орел. Вероятность каждого из них равна 0,5.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Старт» играет по очереди с командами «Динамо», «Локомотив» и «Спартак». Найдите вероятность того, что «Старт» будет начинать только первую и третью игры.

Решение. Поскольку перед началом матча капитаны бросают монету, то условие задачи аналогично предыдущей. Также требуется найти вероятность исхода ОРО. Ответ: 0,125.

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение. Применим формулу Бернулли. .

В коробке лежат 7 красных карандашей, 8 синих и 3 зеленых. Какое наибольшее число желтых карандашей можно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки красный карандаш была не меньше 0,3?

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые тщательно перемешаны. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.

Решение Число ребер куба равно 12. Исключаем те кубики, которые располагаются в вершинах куба и получаем .

Иван Иванович регистрирует автомобиль в ГИБДД и получает новый трехзначный номер. Все три цифры нового номера случайны (номер 000 не разрешен). Найти вероятность того, что при случайном выборе в новом номере все три цифры будут одинаковы.

Решение Всего трехзначных чисел 999, из них 9 – с одинаковыми цифрами. .

В городе телефонные номера состоят из 7 цифр. Найдите вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер является палиндромом, т.е. одинаково читается справа налево и слева направо.

Решение. Пусть число разрешенных первых цифр равно , тогда общее число номеров равно . Номер – палиндром однозначно определяется первыми четырьмя цифрами. Значит, семизначных палиндромов . Вероятность того, что случайный номер является палиндромом, .

Найдите вероятность того, что в семизначном телефонном номере пять последних цифр – две двойки и три тройки в любом порядке.

Решение. Общее количество комбинаций из пяти цифр равно . Из них число благоприятствующих данному событию равно количеству способов выбрать два места из пяти для цифры два. Оно равно . .

Найдите вероятность, что в случайном семизначном номере последняя цифра не больше 3, а две цифры перед ней не больше 2.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишень, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

В классе 21 человек, среди них близнецы – Даша и Маша. Класс случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Даша и Маша окажутся в разных группах.

На фестивале органной музыки выступают 15 исполнителей, по одному от одной европейской страны. Порядок, в котором они выступают, определяется жребием, Какова вероятность того, что представитель Венгрии будет выступать после представителя Сербии, но перед музыкантом из Австрии?

Рассмотрим самое простое и короткое решение этой задачи. Исполнители из трех указанных стран могут расположиться (не обязательно, подряд) шестью различными способами (число перестановок из трех). Благоприятствует данному условию только один из них. Ответ: .

Замечание Ответ не зависит от общего числа исполнителей. Он определяется только числом участников, которых требуется расположить в заданном порядке.

В кармане у Пети 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Решение Задача на нахождение вероятности сложного события. Двухрублевые монеты или были переложены в другой карман, или остались лежать на месте. Таким образом, .

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение Определим события: А – кофе закончится в первом автомате; В – кофе закончится во втором автомате. По условию задачи, и (отметим, что эти события не являются независимыми, в противном случае ). По формуле вероятности суммы, . Следовательно, вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» .

В банке три окна работы с клиентами. Вероятность того, что в случайный момент окно свободно, равна 0,3. Окна работают независимо друг от друга. В банк заходит клиент. Найдите вероятность того, что в этот момент свободно хотя бы одно окно.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в пятницу в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,72. Вероятность того, что пассажиров окажется меньше 20, равна 0,35. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 20 до 29.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение. Пусть — искомое число выстрелов. Вероятность промаха при первом выстреле равна 0,6, при всех последующих – 0,4. Получим

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Возможны две гипотезы: — пациент болен; — пациент здоров. По условию, ; .

Событие — анализ крови дал положительный результат. Тогда ; . Согласно формуле полной вероятности, , где . Следовательно, .

Примечание: задача могла бы быть решена с помощью графов.

Задачи для самостоятельной работы.

В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке и 6 человек – только на финском языке. Какова вероятность того, что из двух наудачу выбранных людей оба говорят

б) на разных языках?

ПИН-код для сим-карты – случайная комбинация четырех цифр. Будем называть ПИН-код удачным, если в нем встречаются только цифры 0 и 1 (обе цифры присутствуют). Найдите вероятность того, что покупателю сим-карты достанется удачный ПИН-код.

В избирательный список внесены фамилии четырех кандидатов: А, Б, К и М. Порядок фамилий в списке определяется случайно. Какова вероятность того, что фамилии будут расположены в алфавитном порядке?

Издание из двенадцати томов расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что третий том окажется на седьмом месте, а седьмой том на третьем месте?

На уроке физкультуры группа из 12 мальчиков случайным образом была разбита на две равные команды. Какова вероятность того, что два друга Петя и Вася оказались в разных командах?

В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из нее вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся

ПИН-код для сим-карты – случайная комбинация четырех цифр. Будем называть ПИН-код простым, если в нем встречаются только одна или две цифры. Найдите вероятность того, что покупателю сим-карты достанется простой ПИН-код.

Цифры 1,2,3,4,5 располагаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что первой окажется четная, а последней – нечетная цифра?

На уроке физкультуры группа из 22 учащихся случайным образом была разбита на две равные команды. Какова вероятность того, что два друга Андрей и Сергей оказались в одной команде?

Типовые и тренировочные задачи по теории вероятности ЕГЭ

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение. Элементарное событие — спортсменка, выступающая первой. Всего 20 возможных исходов, 5 благоприятных. .

4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение. Всего 25 возможных исходов, из них 9 — благоприятных. .

5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение. Всего 80 исходов, благоприятных 18 – число выступлений, запланированных на третий день. .

6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. Из каждых 108 сумок 100 не имеют дефектов. .

8. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение. Всего 25 исходов, из них 9 — благоприятных. .

9. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение. Всего 25 исходов, из них 15 — благоприятных. .

10. Монету бросают три раза. Найдите вероятность элементарного исхода ОРО.

11. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Старт» играет по очереди с командами «Динамо», «Локомотив» и «Спартак». Найдите вероятность того, что «Старт» будет начинать только первую и третью игры.

12. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение. Применим формулу Бернулли. .

13. В коробке лежат 7 красных карандашей, 8 синих и 3 зеленых. Какое наибольшее число желтых карандашей можно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки красный карандаш была не меньше 0,3?

Решение ; .

14. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые тщательно перемешаны. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.

Решение Число ребер куба равно 12. Исключаем те кубики, которые располагаются в вершинах куба и получаем .

15. Иван Иванович регистрирует автомобиль в ГИБДД и получает новый трехзначный номер. Все три цифры нового номера случайны (номер 000 не разрешен). Найти вероятность того, что при случайном выборе в новом номере все три цифры будут одинаковы.

Решение Всего трехзначных чисел 999, из них 9 – с одинаковыми цифрами. .

16. В городе телефонные номера состоят из 7 цифр. Найдите вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер является палиндромом, т.е. одинаково читается справа налево и слева направо.

17. Найдите вероятность того, что в семизначном телефонном номере пять последних цифр – две двойки и три тройки в любом порядке.

18. Найдите вероятность, что в случайном семизначном номере последняя цифра не больше 3, а две цифры перед ней не больше 2.

Решение. .

19. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишень, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. .

20. В классе 21 человек, среди них близнецы – Даша и Маша. Класс случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Даша и Маша окажутся в разных группах.

Решение. Противоположное событие — Даша и Маша окажутся в одной группе (в первой, во второй или в третьей). Таким образом, ; .

21. На фестивале органной музыки выступают 15 исполнителей, по одному от одной европейской страны. Порядок, в котором они выступают, определяется жребием, Какова вероятность того, что представитель Венгрии будет выступать после представителя Сербии, но перед музыкантом из Австрии?

22. В кармане у Пети 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

23. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

24. В банке три окна работы с клиентами. Вероятность того, что в случайный момент окно свободно, равна 0,3. Окна работают независимо друг от друга. В банк заходит клиент. Найдите вероятность того, что в этот момент свободно хотя бы одно окно.

Решение .

25. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в пятницу в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,72. Вероятность того, что пассажиров окажется меньше 20, равна 0,35. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 20 до 29.

Решение Определим события: А — пассажиров будет меньше 20; В — пассажиров будет от 20 до 29; С — пассажиров будет меньше 30. Очевидно, что события А и В несовместны и . Тогда . .

26. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

;

; ; ; .

Ответ: 5 выстрелов

27. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Возможны две гипотезы: — пациент болен; — пациент здоров. По условию, ; .

Примечание: задача могла бы быть решена с помощью графов.

Задачи для самостоятельной работы.

1. В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке и 6 человек – только на финском языке. Какова вероятность того, что из двух наудачу выбранных людей оба говорят

а) на одном языке?

б) на разных языках?

2. ПИН-код для сим-карты – случайная комбинация четырех цифр. Будем называть ПИН-код удачным, если в нем встречаются только цифры 0 и 1 (обе цифры присутствуют). Найдите вероятность того, что покупателю сим-карты достанется удачный ПИН-код.

3. В избирательный список внесены фамилии четырех кандидатов: А, Б, К и М. Порядок фамилий в списке определяется случайно. Какова вероятность того, что фамилии будут расположены в алфавитном порядке?

4. Издание из двенадцати томов расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что третий том окажется на седьмом месте, а седьмой том на третьем месте?

5. На уроке физкультуры группа из 12 мальчиков случайным образом была разбита на две равные команды. Какова вероятность того, что два друга Петя и Вася оказались в разных командах?

1. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из нее вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся

б) разных цветов?

2. ПИН-код для сим-карты – случайная комбинация четырех цифр. Будем называть ПИН-код простым, если в нем встречаются только одна или две цифры. Найдите вероятность того, что покупателю сим-карты достанется простой ПИН-код.

3. На рок-фестивале выступают группы, названия которых начинаются с букв латинского алфавита A, B, C , D . Последовательность их выступлений определяются жребием. Какова вероятность того, что группы будут выступать в следующем порядке: B, A , C , D ?

4. Цифры 1,2,3,4,5 располагаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что первой окажется четная, а последней – нечетная цифра?

5. На уроке физкультуры группа из 22 учащихся случайным образом была разбита на две равные команды. Какова вероятность того, что два друга Андрей и Сергей оказались в одной команде?

Ответы: Вариант 1. 1. а) ; б) ; 2. 0,0014; 3. ; 4. ; 5. .