В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?
Пусть m кг алюминия и n кг никеля добывается в первой области в сутки.
Если 0,2 кг алюминия добывается за 1 человеко-час, то 1 кг алюминия добудут за 5 человеко-часов, а m кг — за 5m человеко-часов.
Если 0,1 кг никеля добывается за 1 человеко-час, то 1 кг никеля добудут за 10 человеко-часов, а n кг — за 10n человеко-часов.
Т.к. в первой области работают 50 человек по 10 часов каждый, то вместе они дают 500 человеко-часов. Составим уравнение:
5m + 10n = 500.
Пусть х кг алюминия и у кг никеля добывается во второй области в сутки.
Здесь на добычу алюминия и никеля требуется х 2 и у 2 человеко-часов в сутки. Всего во второй области 500 человеко-часов (50 человек отрабатывают по 10 часов каждый).
х 2 + у 2 = 500.
В двух областях алюминия добывается (m + x) кг, а никеля — (n + y) кг. Отношение алюминия к никеля в сплаве равно 1 к 2, т.е. на одну порцию никеля надо взять две порции алюминия. Составим уравнение:
2(m + x) = n + y.
Общая масса металлов.
Пусть S = m + x + n + y — общая масса металлов, добываемых в обеих областях. Т.к. n + y = 2(m + x), то
S = m + x + 2(m + x) = 3(m + x).
Мы получили систему из четырех уравнений. Наша задача выразить S через одну какую-нибудь переменную (целесообразно взять m или х, т.к. они уже входят в состав четвертого уравнения), тогда мы получим зависимость одной переменной от другой, т.е. функцию.
Выразим из 1-ого уравнения n, из 2-ого — y. Подставим получившиеся выражения в 3-е уравнение вместо n и у.
Из 3-его уравнения выразим m и подставим получившиеся выражение в 4-е уравнение.
Вот она — зависимость переменной S от х.
Нахождение наибольшего значения функции.
Упростим правую часть:
Теперь нам необходимо найти наибольшее значение этой функции. Для этого сначала найдем первую производную от S(x).
Приравняем ее к 0 и найдем нули функции:
х = 10 принадлежит отрезку [0; √500]. Подставим 10 и концы отрезка в функцию и найдем наибольшее значение.
х не может быть меньше 0, т.к. добыча алюминия не может быть отрицательной;
х не может быть больше √500, т.к. в противном случае подкоренное выражение будет отрицательным.
**Стикер "Памагити" взят из социальной сети "Вконтакте".
Блог Олега Кривошеина
Стихи и цветы,поздравления и сценарии. Школьная математика, подготовка к ЕГЭ и ГИА,тесты, проекты,задачи и решения. Собственные произведения и фотографии моих цветов: георгины и розы.
Страницы блога
- Главная
- Стереометрия
- Числа
- ОГЭ-9
- ЕГЭ профильный
- ЕГЭ базовый
- Логарифмы
- Функции и производные
- Текстовые задачи
- Математика 7
- Информатика
- ОГЭ физика
- Игры
- Портфолио
- КЛюМа
- № 16
- Нормативные документы
- Дистанционка
четверг, 14 апреля 2016 г.
Как распределить трудовые ресурсы
Приведём очередной пример решения экономических задач из сборника «ЕГЭ 2016 Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий». Под редакцией И.В. Ященко.
В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться 10 часов в сутки на добыче алюминия и никеля. В первой
Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.
решение вопроса
Связанных вопросов не найдено
- Все категории
- экономические 43,679
- гуманитарные 33,657
- юридические 17,917
- школьный раздел 612,441
- разное 16,911
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Задание № 15. Задачи на оптимальный выбор. Рабочие в двух областях
В работе рассмотрено решение задач на оптимальный выбор — вычисление наибольшей массы металлов, добытой в двух областях.
Просмотр содержимого документа
«Задание № 15. Задачи на оптимальный выбор. Рабочие в двух областях»
Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль). Задачи на оптимальный выбор. Рабочие в двух областях
Задача 1. (№ 513298)
В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывают 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется 
человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
1) Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, и необходимо произвести наибольшее количество металла, все рабочие первой области должны быть направлены на добычу никеля, который они добывают втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,3 = 240 кг никеля.
2) Во 2-й области:
Пусть m человек добывают алюминий, тогда (160 – m) человек – никель.
Трудозатраты составят: 
Следовательно, металла добыто:
алюминия: 
Значит, 
точка максимума функции и в ней функция принимает наибольшее значение.
Следовательно, во 2-й области 80 человек добывают алюминий, 160 – 80 = 80 (чел) добывают никель.
Всего добыто: 240 + 40 = 280(кг).
Задача 2. (№ 513294)
В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Пусть в первой области х рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − х рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, один рабочий добывает 1 кг алюминия или 1 кг никеля, поэтому за сутки рабочие добудут х кг алюминия и (20 − х) кг никеля.
Пусть во второй области у рабочих заняты на добыче алюминия, а (20 – у) рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, n рабочих добывают кг любого из металлов, поэтому вместе бригады добудут кг алюминия и кг никеля.
Всего будет произведено кг алюминия (1) и кг никеля (2). Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, имеем:
Количеству никеля соответствует количество сплава Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):
Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение функции при натуральных y, не больших 20.
Найдем нули производной:
В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.
Далее имеем: из (*) Это означает, что все рабочие первой области должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10 человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля, они добудут их по 10 кг. Всего будет добыто 30 кг алюминия и 10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава.
Задача 3. (№ 515709)
В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y 2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором 1 кг алюминия приходится на 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
В каждой области в день может быть затрачено 500 человеко-часов труда.
Пусть в первой области на добыче алюминия ежедневно будет затрачено х человеко-часов, а во второй области − y 2 человеко-часов. Составим таблицу по данным задачи.
Масса
металла за день, кг
Масса
металла за день, кг
Первая область
Вторая область
0,2x + y
Для производства сплава масса добытого алюминия должна быть вдвое меньше массы добытого никеля:
Пусть m — масса сплава, она равна сумме масс добытых металлов:
Учитывая равенство (*) имеем:
Найдём наибольшее значение функции , где Для этого исследуем функцию с помощью производной.
Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:
Заметим, что при равенство (*) выполняется, если
Таким образом, наибольшее значение функции m(y) равно
Значит, завод сможет производить 90 кг сплава ежедневно.
Задания для самостоятельного решения:
1. (№ 513297)
В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y 2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
2. (№ 513293)
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?