Три точечных заряда q1 q2 q3 расположены как показано на рисунке

Три заряда q1 = q, q2 =-2q и и q3 = 2q расположены в вышинах правильного треугольника со стороной а. Какую работу надо совершить, чтобы

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,441
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Три точечных заряда q1, q2 и q3 размещены в вершинах квадрата, как показано на рисунке.

Готовое решение: Заказ №10176

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Физика

Дата выполнения: 16.11.2020

Цена: 227 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

3. Три точечных заряда q1, q2 и q3 размещены в вершинах квадрата, как показано на рисунке. Если заряд q1 убрать, то вектор напряженности электрического поля в вершине, свободной от зарядов, остается прежним по модулю, но изменяет направление на противоположное. Определите заряд q1, если известно, что q3=1 нКл

Решение: Так как поле создано системой зарядов, воспользуемся принципом суперпозиции: Напряженность поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов: . В нашем случае: .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Три точечных заряда q1 q2 q3 расположены как показано на рисунке

Три заряда q1 = q, q2 =-2q и и q3 = 2q расположены в вышинах правильного треугольника со стороной а. Какую работу надо совершить, чтобы

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Закон Кулона: сложные задачи

В этой статье собраны задачи довольно сложные, требующие знания и геометрии так же, как и физики. Здесь мы вспомним законы Ньютона, и еще раз повторим как разложить силы на проекции по осям.

Задача 1. Три точечных заряда $q=10$ мкКл, $2q$ и $-3q$ расположены на окружности радиусом $R=30$ см так, как показано на рисунке. Найти модуль и направление (угол с горизонтом) силы, действующей на заряд $q$ со стороны двух других.

Модуль силы взаимодействия зарядов $q$ и $2q$ равен (заряды отталкиваются):

Модуль силы взаимодействия зарядов $q$ и $-3q$ равен (заряды притягиваются):

Расстояние $l$, или сразу $l^2$, определим из теоремы Пифагора:

Треугольник $abc$ равнобедренный, острые углы равны $45^ $, поэтому угол $c$ – прямой, и смежный с ним угол (угол между векторами сил $F_1$ и $F_2$) также прямой. Поэтому равнодействующую можно определить по теореме Пифагора:

Определим угол наклона равнодействующей к горизонту. Проще всего определить тангенс угла $\alpha$:

Однако $\alpha$ – не искомый угол. Искомый угол – это угол $\gamma$. Он равен $\gamma=\beta-45^ $. Угол $\beta$ дополняет угол $\alpha$ до $90^ $, поэтому

Задача 2. На гладкую замкнутую непроводящую нить длиной $l=60$ см нанизаны три бусинки с зарядами $q_1=20$ мкКл, $q_2=\frac $ и $q_3=\frac $. Система находится в равновесии. Найти силу натяжения нити $T$.

Задача довольно-таки непростая, так как сразу понятно, что, имея одноименные заряды, шарики будут отталкиваться друг от друга и в результате расположатся в вершинах треугольника, только вот длины сторон этого треугольника и его углы непонятно, какие.

Обозначим стороны через $a, b, c$, а углы через $\alpha, \beta, \gamma$. Тогда можно записать теорему синусов для данного треугольника:

Модули сил взаимодействия между зарядами будут равны:

Из рисунка понятно, что, поскольку шарики все нанизаны на одну и ту же нить, и сила ее натяжения не может быть разной на отдельных участках, а везде одинакова, то

Известно, что $a+b+c=l$, подставим:

Задача 3. Три шарика соединены между собой одинаковыми резиновыми шнурами так, что получился правильный треугольник. Система лежит на гладком горизонтальном столе. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы площадь треугольника увеличилась в 4 раза? Коэффициент жесткости каждого шнура $k$, начальная длина $l$.

Площадь изменяется пропорционально квадрату коэффициента подобия, поэтому, если площадь выросла вчетверо, то, следовательно, длина шнура увеличилась вдвое: $l_1=2l$.

Тогда модуль силы взаимодействия между соседними зарядами равен:

Причем удлинение шнура равно: $\Delta l=l$.

Откуда величина заряда равна:

Задача 4. По кольцу, расположенному горизонтально, могут свободно перемещаться три шарика. Заряд первого шарика $+q_1$, второго и третьего – $+q_2$ каждый. Чему равно отношение зарядов $\frac $, если при равновесии дуга между зарядами $+q_2$ составляет $\alpha=60^ $?

Шарики будут находиться в равновесии, если будет соблюдаться условие $\vec +\vec +\vec =0$

По теореме синусов можем записать, что

Здесь $N, F_1, F_2$ – модули сил. Например,

Определим $l$, по теореме косинусов для треугольника $q_1q_2O$:

Тогда сила $F_1$ равна:

Сила взаимодействия между зарядами $q_2$ равна:

Определим из ранее записанной теоремы синусов соотношение сил:

С другой стороны,

Приравняем правые части:

В знаменателе имеем $\sin15^ $, заменим его выражением $\sin(45^ -30^ )$:

Задача 5. В центре равностороннего треугольника находится заряд $q=0,58$ мкКл. Какие одинаковые заряды следует поместить в вершинах треугольника, чтобы вся система находилась в равновесии?

Необходимо, чтобы заряды в вершинах отталкивались, поэтому они должны быть отрицательными.

Из рисунка понятно, что условие равновесия

$R$ – радиус описанной окружности данного треугольника, поэтому $R=\frac >$.

Задача 6. В непроводящей сфере радиусом $R=50$ см находятся 4 маленьких шарика массой $m=50$ г каждый. Какие по величине одноименные заряды нужно сообщить шарикам, чтобы в положении равновесия они расположились в углах квадрата со стороной $R$?

Шарики упали бы вниз, на донышко, да не тут-то было. Сила Кулона не дает им приблизиться друг к другу, и поэтому они разошлись на то максимальное расстояние, которое позволила им сила тяжести. Шарики опираются о стенку сферы и на них действует, кроме упомянутых силы тяжести и кулоновой силы, еще и сила реакции опоры.

Нарисуем вид сверху: из рисунка понятно, что расстояние между шариками, находящимися по диагонали квадрата, не равно $R$, то есть шарики расположились не на диаметре сферы, а ниже. Определим, насколько: в прямоугольном треугольнике $OHM$ определим длину катета $OH$. Нам известна длина гипотенузы, она равна радиусу сферы, ведь $O$ – ее центр. Расстояние $MH$ – радиус окружности сечения той плоскостью, в которой расположились шарики. Его можно найти из треугольника $HMC$:

Тогда получается, что треугольник $OHM$ равнобедренный, и оба острых угла у него по $45^ $.

Запишем уравнение по второму закону Ньютона:

Распишем по осям:

Определим кулонову силу. Каждый шарик взаимодействует с тем, что напротив него (по диагонали), и с обоими смежными шариками. Тогда:

Примеры решения задач. Пример 18. Три точечных заряда Q1= Q2= Q3=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника

Пример 18. Три точечных заряда Q₁= Q₂= Q₃=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q₄ нужно помесить в центр треугольника, чтобы указанная система находилась в равновесии.

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой из зарядов, например Q₁, находился в равновесии. Заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующая на него сил равна нулю (рис. 6):

равнодействующая сил F₂ и F₃ .

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q₁= Q₂= Q₃, найдем

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, cos α =cos 60 0 =1/2.

С учетом этого формула (2) примет вид

Подставим числовые значения

Пример 19.Два заряда и расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной Определить напряженность и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Р е ш е н и е.1.Напряженность электрического поля в точке A (рис. 7) является геометрической (т. е. векторной) суммой напряженностей и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

Модуль результирующий напряженности может быть найден по теореме косинусов как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и

Напряженность электрического поля точечного заряда выражается формулой

где Q – заряд, создающий поле; — электрическая постоянная; — диэлектрическая проницаемость среды; r – расстояние от расчётной точки поля до заряда, его создающего.

Так как то имеем

Подставив (3) и (4) в (1), получим

Выразим числовые значения величин в СИ:

Проверим формулу (5):

Подставим в формулу (5) числовые данные и вычислим

Примечание. В расчётную формулу (5) подставлены модули зарядов, поскольку их знаки учтены при выводе этой формулы.

2. Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

Потенциал поля точечного заряда выражается формулой

В формуле (7) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (7) в (6) и учитывая, что получим

Подставив числовые значения величин в (8) и вычислим:

Пример 20. Электрическое поле создается двумя зарядами Q₁= 4мкКл и Q₂=-2 мкКл, находящимися на расстоянии а=0,1 м друг от друга. Определить работу А_1,2 сил поля по перемещению заряда Q=50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис.8)

Решение.Для определения работы А_1,2 сил поля воспользуемся соотношением

Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы φ₁ и φ₂ точек 1 и 2 поля:

Проверим, даст ли правая часть равенства единицу работы (Дж):

Подставим числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 21. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁=10 6 м/с, чтобы скорость его возросла в n=2 раза.

Решение.Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

где Т₁ и Т₂— кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m- масса электрона; υ₁ и υ₂— начальная и конечная скорость его.

Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим

Отсюда искомая разность потенциалов

Пример 22. Конденсатор емкостью С₁=3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁=40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂=5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры,

где W₁— энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂— энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

где С- емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

где U₂— разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

Подставив выражение U₂ в (3), найдем

Пример 23. Потенциометр сопротивлением R=100 Ом подключен к батарее с ЭДС ε=150В и внутренним сопротивлением R_i=50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением R_v=500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов междутеми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение. 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 9), определим по формуле

где R₁— сопротивление, параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра; I₁— суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для полной цепи:

где R_e сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:

Сопротивление R₁ найдем по формуле параллельного соединения проводников ,откуда

Подставив в (1) выражение R_e по (2), найдем

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтом удобно вычисление величин провести раздельно:

2. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметра равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра:

где I₂ — сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее определим по формуле

Подставив выражение I₂ в (3), найдем

Пример 24. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение времени Δt=2 с по линейному закону от I₀=0 до I= 6 А (рис 10). Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂— за вторую, а также найти отношение Q₂/ Q₁

Решение. Закон Джоуля- Ленца в виде справедлив для постоянного тока (I=const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

где k-коэффициент пропорциональности, характеризующий скорости изменения силы тока:

С учетом (2) формула (1) примет вид

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ и t₂:

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Пример 25. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнит­ную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 11) , отстоящей от оси одного про­водника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого —r₂ = 12 см.

Решение.Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции маг­нитных полей. Для этого определим направления магнит­ных индукции B₁ и B₂ полей, создаваемых каждым про­водником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

Модуль вектора В может быть найден по теореме коси­нусов:

где α — угол между векторами В₁ и В₂.

Магнитные индукции B₁ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁и г₂ от проводов до точки А:

Подставляя выражения B₁и B₂в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем

Вычислим cos α. Заметив, что (как углы c соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

где d — расстояние между проводами. Отсюда

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 26. Длинный провод с током I= 50 А изогнут под углом . Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 12). Расстояние d = 5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматри­вать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. 13) . В соответствии с принципом супер­позиции магнитных полей магнитная индукция В в точ­ке А будет равна геометрической сумме магнитных ин­дукции В₁ и В₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В=В₁ + В₂. Магнитная индукция В₂ равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лап­ласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода,

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением

где r₀ — кратчайшее расстояние от провода 1до точки А (рис. 13).

В нашем случае (провод длинный), (cosα₂=cos(2π/3)=-1/2). Расстояние Тогда магнитная индукция

Вектор В сонаправлен с вектором В₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 13 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно пло­скости чертежа, от нас).

Пример 27. Два бесконечно длинных провода скреще­ны под прямым углом (рис. 14). По проводам текут токи I₁ = 80 А и I₂=60 А. Расстояние d, между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точ­ке A, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпо­зиции магнитных полей магнитная индукция В поля, создаваемого токами I₁и I₂, определяется выра­жением

В = В₁ + В₂, где В₁ — магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁;В₂ — магнитная индукция по-, созданного в точке Атоком I₂.

Заметим, что векторы B₁ и В₂ взаимно перпен­дикулярны (их направле­ния находятся по правилу буравчика и изобра­жены в двух проекциях на рис. 15). Тогда модуль вектора В можно опреде­лить по теореме Пифа­гора:

где B₁и В₂ определяются по формулам расчета магнит­ной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

Пример 28.Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 16. Радиус R дуги окруж­ности равен 10см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током I=80 А, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 17): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2)радиуса R. Тогда

где B₁, В₂ и Вз — магнитные индукции в точке О, созда­ваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то В₁ = 0 и тогда

Учитывая, что векторы В₂ и В₃ направлены в соответ­ствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому

Магнитную индукцию В₃ найдем, воспользовавшись соотношением

Используя найденные выражения для В₂ и В₃, получим

Пример 29. По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое дей­ствует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удоб­ства I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле.

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 18) через второй провод и по касательной к ней — вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индук­ции В₁ определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I₂ длиной d l действует в магнитном поле сила

Подставив в это выражение B₁согласно (1), получим

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Заметив, что I₁ = I₂ = I, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Сила F сонаправлена с силой dF (рис. 18) и опреде­ляется (в данном случае проще) правилом левой руки.

Пример 30. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциа­лов U = 600 В, влетел в однород­ное магнитное поле с индукцией B = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение. Движение заря­женной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том слу­чае, когда частица влетит в маг­нитное поле перпендикулярно ли­ниям магнитной индукции v В.Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а_n.

Согласно второму закону Ньютона,

где m — масса протона.

На рис. 19 совмещена траектория протона с пло­скостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору v к центру окружности (векторы а_n и F_л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в про­екции на радиус) :

В скалярной форме Fл=QvВ sinα. В нашем случае v В и sin α = 1, тогда Fл= QvВ. Так как нормальное ускоре­ние а_n= v 2 /R, то выражение (2) перепишем следующим образом:

Отсюда находим радиус окружности:

Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выраже­ние можно записать в виде

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = ΔТ, или

где φ₁-φ₂ — ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U) ; Т₁ и Т₂ — начальная и ко­нечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией прото­на (Т₁«0) и выразив кинетическую энергию Т₂ через импульс р, получим

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (3) :

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

Подставим в формулу (4) числовые значения физи­ческих величин и произведем вычисления:

Пример 31.Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В= 0,2 Тл) , стал двигаться по окружности радиуса R=5см. Определить магнитный момент р_т эквивалент­ного кругового тока.

Решение. Электрон начинает двигаться по окруж­ности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На

рис. 20 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крести­ками).

Движение электрона по окруж­ности эквивалентно круговому току, который в данном случае опреде­ляется выражением

где е — заряд электрона; Т — пе­риод его обращения.

Период обращения можно выра­зить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период Т = v/ (2лR). Тогда

Зная I_экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

где S — площадь, ограниченная окружностью, описывае­мой электроном (S = πR 2 ).

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на πR и перепишем это выражение в виде:

В полученном выражении известной является ско­рость электрона, которая связана с радиусом R окруж­ности, по которой он движется, соотношением R = mv/(QB) (см. пример 6). Заменив Q на │e│, найдем интересующую нас скорость v=\е\ВR/т и подставим ее в формулу (3):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А∙м 2 ):

Пример 32. Электрон движется в однородном магнит­ном поле (В=10мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (α≠π/2) к линиям магнитной индук­ции. Разложим, как это показано на рис. 21, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору в(v‌‌) и перпендикулярную ему (v ). Скорость v в магнит­ном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v в результа­те действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (Fл ) (в отсутствие параллельной со­ставляющей (v‌‌ ‌ = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной маг­нитным силовым линиям). Таким образом, электрон бу­дет участвовать одновременно в двух движениях: равно­мерном перемещении со скоростью v ‌ ‌ и равномерном движении по окружности со скоростью v

Период обращения электрона связан с перпендику­лярной составляющей скорости соотношением

Найдем отношение R/v . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение а_п=v 2 /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать

Сократив (2) на v ., выразим соотношение

и подставим его в фор­мулу (1):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Модуль скорости v, как это видно из рис. 20, можно выразить через и :

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляю­щую скорости:

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обра­щения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстоя­ние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу — метр (м) . Поэтому в квад­ратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Пример 33.Альфа-частица прошла ускоряющую раз­ность потенциалов U= 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е= кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа — частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа — частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:

Скорость альфа — частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпен­дикулярно скорости и вектору магнитной индукции В;

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил F_л = F_k будет равна нулю. В проекции на ось Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что v В и sin a = 1):

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельного заряда (Кл/кг):

Пример 34.Короткая катушка, содержащая N = 10 3 витков, равномерно вращается с частотой п =10 с -1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a = 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см 2 .

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции e_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла.

Потокосцепление , где N — число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону , где В — магнитная индукция; S — площадь катушки; w — угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Заметив, что угловая скорость w со связана с частотой вращения п катушки соотношением и что угол (рис. 22), получим (учтено, что )

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Пример 35. Квадратная проволочная рамка со стороной, а = 5 см и сопротивлением R=10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции

Возникшая ЭДС индукции, вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить, воспользовавшись законом Ома для полной цепи , где R — сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока то это выражение можно переписать в виде

Проинтегрировав выражение (1), найдем

Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние)

Ф₂ = 0, последнее равенство перепишется в виде

Найдем магнитный поток Ф₁. По определению магнитного потока имеем

где S — площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) . Тогда

Подставив (3) в (2), получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

Пример 36.Плоский квадратный контур со стороной а= 10 см, по которому течет ток I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B =1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 2) . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис. 23)

где — магнитный момент контура; В — магнитная индукция; — угол между векторами р_m (направлен по нормали к контуру) и В.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, = 0, т. е. векторы p_m и В сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил [см. (1)] будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменной (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме . Учитывая формулу (1), получаем

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

Работа при повороте на угол φ₁=90 0

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I= 100 А, B= 1Tl, а = 10 см =0,1 м) и подставим в (3):

A₁ = 100 ∙ 1 · (0,1) 2 Дж = 1 Дж.

Работа при повороте на угол φ₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол φ₂ мал, заменим в выражении (2) sinφ

Выразим угол φ₂ в радианах. После подстановки чис­ловых значений величин в (4) найдем

Задачу можно решить и другими способами:

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизываю­щего контур:

где Ф₁ — магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ — то же, после перемещения.

Если φ₁ = 90°, то Ф₁ = ВS, Ф₂ = 0. Следовательно,

А = IВS = IВа 2 ,

что совпадает с (3).

2. Воспользуемся выражением для механической по­тенциальной энергии контура с током в магнитном поле

Тогда работа внешних сил

Так как р_т =Ia 2 , соsφ₁ = 1 и соs φ₂ = 0, то

что также совпадает с (3).

Пример 37.Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А маг­нитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L, соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность Lсвязана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением

Потокосцепление, в свою очередь, может быть опреде­лено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу) :

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соле­ноида:

Энергия магнитного поля соленоида

Выразив (2) согласно (3), получим

Подставим в формулы (3) и (4) значение физических величин и произведем вычисления:

Похожие публикации:

1. Как обновить страницу на озоне
2. Как убрать квадрат с экрана
3. Как ходить в x plane 11
4. Среда передачи недоступна как исправить