Как доказать что оператор линейный

Лекция 12 Линейные операторы

Определение 1. Пусть — линейное пространство и каждому вектору, принадлежащему, поставлен в соответствие вектор , . Соответствиеназывается оператором, определенным в линейном пространстве .

Принята также запись: . Векторназываетсяпрообразом, а —образом при отображении оператором .

Определение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если:

1) ;

2) — вещественного числа.

Пример 1. — линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, — зеркальное отражение относительно оси(рис. 12.1).— линейный оператор.

Убедимся, что выполняется требование 2) в определении 2.

Пусть — произвольное вещественное число, по определению умножения надля геометрического векторавекторимеет то же направление, что и, если, и противоположное, если, и.

Рис. 12.2 соответствует случаю ,(рассматривается аналогично).

Пусть,,— зеркальное отражение вектораотносительно оси,— зеркальное отражение вектора. Тогда

и, значит,. Но, поэтому. Кроме того, направление векторасовпадает с направлением вектора, следовательно,. Таким образом, имеем

.

Так же, исходя из геометрических соображений, можно доказать, что , следовательно, операторзеркального отражения относительно осиявляется линейным оператором.

1. — линейное пространство всех многочленов степени,— оператор дифференцирования,. Доказать, что— линейный оператор.

2. — линейное пространство всех непрерывных на отрезкефункций. Для любойоператоропределен следующим равенством:

, .

Доказать, что — линейный оператор.

Определение 3. Пусть — линейное пространство, — базис в, — линейный оператор в. Матрицей линейного операторав базисеназывается матрица, ,такая, что

,

,

.

Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторовпо базису.

Пример 2. Найти матрицу линейного оператора зеркального отражения относительно оси в базисе.

По определению оператора (рис. 12.3).

Используя разложение векторов ипо базису, находим:,. Полученные строки координат располагаем по столбцам:

.

Упражнение. — линейное пространство всех геометрических векторов, — декартов базис,— декартова система координат,— оператор проектирования на ось. Доказать, что— линейный оператор, и найти его матрицу в базисе.

Замечание 2. Пусть — линейное пространство,— линейный оператор в,(I) — базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.

Для того, чтобы в этом убедиться, разложим векторы по базису (I). Столбцы матрицы представляют собой координаты этих векторов, которые согласно теореме 3 лекции 10 определяются единственным образом, следовательно, матрицаоператорав (I) определена однозначно.

Теорема 1. Пусть — линейное пространство, (I) — базис в , — линейный оператор в, — матрица линейного операторав базисе(I), , , ,. Тогда

.

Доказательство. Имеем

.

По условию .

Используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 из лекции 10), получим

. (12.2)

Заметим, что в последнем равенстве числа — элементыk-й строки матрицы .

Привлекая правило умножения матриц, равенство (12.2) запишем в виде

.

Пример 3. Для линейного оператора зеркального отражения относительно оси найти, как преобразуются координаты произвольного вектора.

Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2:

.

В силу теоремы 1, если — прообраз, а— образ,, то, т.е. первая координата образа остается без изменения, а вторая меняет лишь знак (рис. 12.4).

Пример 4. — линейное пространство всех многочленов степени,— линейный оператор дифференцирования. Найти его матрицу в базисеи, используя теорему 1, продифференцировать многочлен.

Решение. Находим образы векторов базиса и разлагаем полученные векторы по базису:

,

,

.

Матрица оператора в базисеимеет вид

,

а вектор . Обозначим. По теореме 1 имеем

,

или в виде разложения по базису :.

Упражнение. — линейное пространство всех геометрических векторов плоскости,— декартов базис,— декартова система координат,— оператор поворота плоскости вокруг начала координат на уголпротив часовой стрелки. Доказать, что— линейный оператор, найти матрицуоператорав базисеи координаты образа вектора.

4.3.5 Линейный оператор и его матрица

Определение. Пусть даны два пространства и . Если по закону каждому вектору поставлен в соответствие вектор , то говорят, что задан оператор (функция, отображение), отображающий в и пишут .

Обозначение: ; – образ, – прообраз.

Определение. Если для любых и из и любых вещественных чисел и имеет место , то оператор называется линейным.

Произвольные отображения линейных пространств изучаются в курсе математического анализа. В курсе линейной алгебры изучаются лишь линейные отображения.

Пример 6. Оператор действует из в по закону , где , и – фиксированный вектор, например, . Оператор переводит вектор из в другой вектор из . Докажем, что он линейный: . Здесь воспользовались свойствами векторного произведения.

Пример 7. Линеен ли оператор , где произвольный вектор, а вектор – фиксированный?

Решение. , так как , . Следовательно, оператор – нелинейный.

Пусть даны два пространства и и оператор , действующий из в . Пусть в есть базис , а в – базис .

Подействовав оператором на базисные векторы пространства , получим векторы из , которые можно разложить по базису с коэффициентами линейных комбинаций :

Строим матрицу таким образом, чтобы в ее столбцах стояли координаты образов базисных векторов пространства относительно базисных векторов пространства :

.

Матрица называется матрицей линейного оператора , действующего из в . Таким образом, если оператор , то матрица этого оператора имеет размер , то есть у нее строк и столбцов.

Замечание. Если в и выбрать другие базисы, то в этих базисах матрица линейного оператора будет иметь другой вид.

Из определения матрицы линейного оператора следует, что, зная закон (оператор), по которому вектору сопоставляется вектор , можно построить матрицу, и наоборот, любой матрице соответствует некоторый линейный оператор.

Пример 8. Построить матрицу линейного оператора, действующего из в по закону , где векторы и заданы относительно канонического базиса.

Решение. Подействуем оператором на базисные векторы :

;

;

.

Таким, образом, – искомая матрица.

Пример 9. Пусть в выбран базис , , , а в выбран базис , . Найти матрицу линейного оператора, действующего из в по закону , где .

Решение. ; ;

; .

Пример 10. Дана матрица . Найти линейный оператор (закон, по которому действует оператор).

Решение. Матрица – это матрица линейного оператора, действующего из в . Пусть в базис , в базис . Так как в столбцах матрицы стоят координаты векторов относительно базиса , то

(1)

Пусть произвольный вектор из , где – координаты этого вектора в базисе , тогда . Действуя оператором на вектор и учитывая линейность оператора, получим: .

Учитывая (1), имеем:

.

Таким образом, оператор действует по закону

.

Зная матрицу оператора , результат его действия на вектор можно найти в матричной форме. Пусть известна матрица оператора размера с элементами . В этом случае оператор с такой матрицей действует из в . Если – любой вектор из , то результат действия оператора на вектор можно найти по формуле:

,

Где – координаты вектора .

Пример 11. Операторы и действуют в пространстве по законам , , где ; ( – скалярное произведение векторов и ). Найти координаты вектора в каноническом базисе.

Решение. Координаты вектора можно найти двумя способами:

А) найдем матрицу .

Строим матрицу в каноническом базисе:

; ;

.

.

Строим матрицу в каноническом базисе:

; ;

.

;

.

.

Этот способ решения называется матричным;

Б) операторный способ.

. Подействуем оператором на вектор :

, теперь на полученный вектор подействуем оператором :

.

Для самостоятельной работы.

1. Оператор действует по закону:

.

Найти его матрицу в каноническом базисе.

Ответ: .

2. Оператор действует в плоскости и осуществляет зеркальное отражение относительно прямой . Доказать, что он линейный и найти его матрицу в каноническом базисе.

Ответ: .

3. Дана матрица .

А) Найти оператор, матрицей которого является матрица .

Б) Найти образ вектора .

Ответ: .

Линейные операторы

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

1. A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂.
2. A(λx)=λAx.

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

y=Ax,

(1)

где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

,	(2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax.

(9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx=Ax+Bx, x∈R,

(10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Cej=Aej+Bej=	n	(aij+bij)ej
	∑
	j=1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B.

(11)

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=A(Bx), x ∈ R.

(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB.

(13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax)

(14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA.

(15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Ox=0.

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

−A=(−1)A.

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

Как доказать, что а линейный оператор и найти его матрицу в базисе

Прошу помочь с решением.
Матрица линейного оператора и её нахождение. Оператор A действует в пространстве многочленов степени <=2. Доказать, что A линейный оператор и найти его матрицу в базисе , если Ap(t)=((t+2)p(t))’.

Прошу по возможности описывать подробно каждый шаг, просто в моём вузе, скажем без мата, линал очень плохо объясняют притом сильно спрашивают

Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу
Подскажите, с чего начать? ^ <3>– линейное пространство арифметических трехмерных векторов. В.

Доказать, что φ– линейный оператор, и найти его матрицы в базисах
Здравствуйте, помогите решить задачу: В пространстве многочленов степени не выше 2 задан оператор.

Найти линейный оператор в новом базисе
Задана матрица A линейного оператора в некотором базисе е1,е2,е3. Найти матрицу этого оператора в.

Доказать, что существует линейный оператор
Доказать, что для любых подпространств L1 и L2 конечномерного линейного пространства V таких, что.

Сообщение от 0909-090-

0909-090-, давайте вспоминать, что такое линейный оператор по определению.

Вам надо проверить, что:
1) оператор из произвольного полинома не более чем второй степени p сделает полином не более чем второй степени q=A(p);
2) для двух произвольных полиномов p и q верно A(p+q)=A(p)+A(q);
3) для произвольного полинома p верно A(b*p)=b*A(p), где b — некоторое число.

Соответственно, просто возьмите произвольный полином (или два полинома), как-то обозначив его коэффициенты, и посмотрите, что будет происходить с ними при подстановке во все эти равенства.

Сделаете (особенно первый пункт) — можно будет заняться матрицей.

Сообщение от 0909-090-

Нужно проверить справедливость двух равенств:

С первым равенством все совсем просто:
(константа выносится за скобки при дифференцировании).

Разберемся со вторым равенством:

Теперь обратим внимание на то, что:
соответственно

Это означает, что

Оба условия линейности соблюдаются.

Доказать, что существует единственный линейный оператор
Здравствуйте, добрый вечер. Доказать, что существует единственный линейный оператор, переводящий.

Доказать, что существует единственный линейный оператор
Доказать, что существует единственный линейный оператор, действующий в трехмерном линейном.

Линейный оператор в базисе
Как решаются подобные задачи, есть ли, где подробно это описывается: Линейный оператор Q в.

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, найти координаты вектора d в этом базисе
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d в этом базисе.