Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии
Как же запомнить множество определений, формул тригонометрии? На помощь приходят мнемонические приёмы. Некоторые мнемотехнические правила придумала сама, какие-то правила предложили ребята, что-то взяла из работ своих коллег.
Просмотр содержимого документа
«Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии»
Мнемонические приёмы запоминания при изучении тригонометрии
Для многих ребят в школе тригонометрия – один из самых трудных, непонятных разделов математики. Уже с первых уроков идёт отторжение и нежелание изучать её, вникать в глубины, запоминать правила, значения функций. А как запомнить множество формул? На помощь пришла мнемотехника. Стала сама придумывать мнемотехнические правила, какие-то правила предложили ребята, что-то взяла из работ своих коллег.
Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника
Для запоминания определений синуса и косинуса предлагаю закон «равновесия». Согласно этому закону к короткому слову (синус) надо соотнести длинное слово (противолежащий), к длинному слову (косинус) – короткое слово (прилежащий).
К осинус прилежащий
Через некоторое время пришло озарение по запоминанию правила про тангенс. Именно предлог «про» помог. И сейчас, когда я прошу напомнить определение про тангенс, специально делаю упор на предлог про и ребята хором отвечают – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Назвали мы данный способ – правило «про».
Определение синуса и косинуса угла
Для облегчения запоминания, что косинус угла – это абсцисса точки, а синус угла – это ордината точки единичной окружности используем закон соответствия. Предлагаю ребятам посмотреть на начальные буквы функций (косинус, синус), начальные буквы координат (абсцисса, ордината) и записать их в алфавитном порядке: в первом столбце – функции, во втором – координаты.
К осинус абсцисса (cos α x)
Синус ордината (sin α y)
Значения функций
Значения синуса и косинуса для углов 0, 30, 45, 60, 90 легко вычислить с помощью левой руки. Для этого:
Пронумеруем пальцы от большого до мизинца, счет начинаем с нуля (рис. 1).
Затем из каждого числа извлечем корень и разделим на 2. Где возможно подсчитаем значения (рис. 2).
ля функции синус отсчет углов идет от большого пальца к мизинцу, для косинуса – от мизинца к большому, то есть:
Для sin Для cos
большой № 0 – соответствует 0, большой № 0 – соответствует 90,
указательный № 1 – соответствует 30, указательный № 1 – соответствует 60,
средний № 2 – соответствует 45, средний № 2 – соответствует 45,
безымянный № 3 – соответствует 60, безымянный № 3 – соответствует 30,
мизинец № 4 – соответствует 90. мизинец № 4 – соответствует 0.
Ребята, которые используют этот метод, отсчитывают угол в нужном направлении, смотрят на номер пальца и говорят значение функции.
Знаки функций
Учащиеся прекрасно запоминают, что у тангенса и котангенса знаки располагаются крест-накрест, но забывают, у какой функции (синуса или косинуса), знаки расположены горизонтально, а у какой – вертикально. В этом случае поможет следующее правило: произносить слова «синус» и «косинус» нужно нараспев, выделяя ударную гласную и фиксируя при этом, в каком направлении вытягивается рот. При произнесении слова «синус» ударная гласная «и» вытягивает рот в направлении «», значит, у синуса знаки расположены горизонтально. Аналогично, при произнесении слова «косинус», ударная гласная «о» вытягивает рот в направлении «↕», значит, у косинуса знаки расположены вертикально.
Четность и нечетность тригонометрических функций
Приём сладкоежек: последние три функции: синус, тангенс и котангенс – это друзья, они конфетки (знак «минус») не едят и как капризные детки их выплевывают, а вот Косинус, – сладкоежка и конфету съедает.
Формулы приведения (Лошадиное правило)
В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс), смотрел на свою умную лошадь. Она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/2 ± α (3π/2 ± α) или π ± α (2π ± α). Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ (вертикального диаметра окружности), то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ (горизонтального диаметра окружности), то «нет, не менять». 
Затем оставалось, только определить знак функции – это зависело от того в какой четверти располагалась это точка и знака тригонометрической функции в той или иной четверти.
Основное тригонометрическое тождество
Тождество можно ребятам преподнести в виде стишка.
Синус квадрат очень рад
К нему едет брат – косинус квадрат.
Когда встретятся они, окружность удивится:
Выйдет целая семья, то есть единица.
Тригонометрические формулы
Много трудностей обычно вызывает запоминание тригонометрических формул, и далеко не все ученики могут тут же вывести забытую формулу. Поэтому можно рекомендовать запомнить, что sinx – функция «хорошая», а cosx – «плохая». Это означает, что для синуса в соответствующих формулах знак сохраняется, а для косинуса – меняется. Кроме того, функция синус – объединяющая функция, а косинус – разделяющая функция.
Формулы сложения
Для запоминания формул сложения для синуса и косинуса мы применяем правило сенокоса (sin – сено, cos – коси) :
Правило для синуса – сено коси, коси сено:
sin(x + y)=sinxcosy + cosxsiny
sin(x – y)=sinxcosy – cosxsiny
При записи формул надо вспомнить, что sinx – функция «хорошая» (знак сохраняется, то есть справа такой же знак, как и слева), также функция синус – объединяющая функция (справа стоят смешанные произведения синуса и косинуса).
Правило для косинуса – коси коси, сено сено:
cos(x + y)= cosxcosy – sinxsiny
cos(x – y)= cosxcosy + sinxsiny
При записи формул надо вспомнить, что cosx – функция «плохая» (знак справа меняется на противоположный), также функция косинус – разделяющая функция (справа произведения одноименных функций).
Формулы понижения степени
Важно понять структуру этих формул, в частности, такой момент – «степень понижается, а угол становится в два раза больше». Эти формулы очень похожи друг на друга, поэтому для лучшего их запоминания следует применять правило: «Единица минус – дает синус, а единица плюс – дает косинус».
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
Вспоминаем, что друзья – это Синус, Тангенс и Котангенс. У них во всех формулах стоит πn. А у единственной сладкоежки, у косинуса стоит 2πn. Ключевое слово – два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там – два. Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет 2πn.. А ещё наоборот бывает. Пропустит ученик знак ±, доберётся до конца, напишет правильно 2πn, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся ученик к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.
Узнать ещё
Эта ассоциация позволяет легко запомнить, что x — это ось абсцисс, а y — ось ординат и никогда больше не путать оси координат.
Ассоциация очень простая. Итак, есть ось абсцисс и ось ординат — ось x и ось y. Абсцисса начинается на букву «а», ордината — на букву «о». Что у нас в русском алфавите? Сначала идет буква «а», затем — буква «о». В латинском алфавите сначала идет «x», затем — «y». Соответственно, абсцисса — это x, ордината — это y.
Русский алфавит: а, о
Латинский алфавит: x, y
Соответствие: а-x, о-y ( А бсцисса — X , O рдината — Y ).
Для тех, кто путает, где на координатной плоскости ось x, а где — ось y, есть следующая ассоциация .
Абсцисса и ордината — невозможно запомнить. Уберите это из матем
Как это запомнить вообще? Я репетитор математики я не могу это запомнить в 27 лет. Это как весна и осень. Какая между ними разница? Я тоько лет в 25 запомнил более или менее что осень перед зимой. Абсцисса и ордината — что это за бред? Латинские значения этих слов — отрезанная линия и параллельная линия — чиво бл? Это не имеет никакого смысла никакой логики. Абсцисса и ордината — это как говорить про основание неравнобедренного треугольника. По той же логике тогда у треугольника основание — это то что снизу короче. Какого фига в математике до сих пор существует этот бред.
04 Jun 2023 в 13:58 #2
Как это запомнить вообще? Я репетитор математики я не могу это запомнить в 27 лет. Это как весна и осень. Какая между ними разница? Я тоько лет в 25 запомнил более или менее что осень перед зимой. Абсцисса и ордината — что это за бред? Латинские значения этих слов — отрезанная линия и параллельная линия — чиво бл? Это не имеет никакого смысла никакой логики. Абсцисса и ордината — это как говорить про основание неравнобедренного треугольника. По той же логике тогда у треугольника основание — это то что снизу короче. Какого фига в математике до сих пор существует этот бред.
Мне жаль тебя если ты не можешь отличить весну от осени .
04 Jun 2023 в 14:00 #3
Мне жаль тебя если ты не можешь отличить весну от осени .
нет ну сейчас уже могу потмоу что то что перед зимой и после зимы — это вроде как понятно более или менее тут есть разница. То есть раньше быо слодно потому что я не сранивал это с зимой а сравнивал их друг с другом типа и разницы очевидно не было. А относителньо зимы не так уж сложно это запоминть оказалось.
04 Jun 2023 в 14:00 #4
а кто ваще использует это кроме теории? в каких-то задачах что-ли используется? а так a = x, о = y че сложного?
04 Jun 2023 в 14:02 #5
а кто ваще использует это кроме теории? в каких-то задачах что-ли используется? а так a = x, о = y че сложного?
да в сраных огэ и егэ типа просят найти абсциссу. просто фейспалм блин
04 Jun 2023 в 14:03 #6
У меня любимое время года — осень, а весна — одно из самых помойных, клятое цветение+какахи зимние оттаивают.
Ну и фиговый ты репетитор, если не знаешь школьной программы. Вообще не поверю, что ты за тысячи часов работы не запомнил А->X; O->Y
04 Jun 2023 в 14:06 #7
а кто ваще использует это кроме теории? в каких-то задачах что-ли используется? а так a = x, о = y че сложного?
я о том что это нарушает другое правило математики. Любой математик сскажет что у трегуольника неправнобедренного нет основания очевидно потом что им может быть любая сторона просто крути этот треугольник типа да то есть это не имеет смысла и не может иметь смысл. так с абсциссой и ородинатой получается ровно то же самое. Абсциаа модет быть ординатой если повернуть систему координат. Че это за бред?
У меня любимое время года — осень, а весна — одно из самых помойных, клятое цветение+какахи зимние оттаивают.
Ну и фиговый ты репетитор, если не знаешь школьной программы. Вообще не поверю, что ты за тысячи часов работы не запомнил А->X; O->Y
да это кал а не программа. мне она не нравится я с ней не согласен. и знать это говно я отказываюсь. это только всякие дауны знают которые думать не умеют.
04 Jun 2023 в 14:13 #8
я о том что это нарушает другое правило математики. Любой математик сскажет что у трегуольника неправнобедренного нет основания очевидно потом что им может быть любая сторона просто крути этот треугольник типа да то есть это не имеет смысла и не может иметь смысл. так с абсциссой и ородинатой получается ровно то же самое. Абсциаа модет быть ординатой если повернуть систему координат. Че это за бред?
если перевернуть систему координат меняется же только твое восприятие, ось X остается осью X (абцисс) просто допустим она встает в место где обычно ось Y
это же тупо названия не?
04 Jun 2023 в 14:14 #9
да это кал а не программа. мне она не нравится я с ней не согласен. и знать это говно я отказываюсь. это только всякие дауны знают которые думать не умеют.
Чел, тебя никто не заставлял работать репетитором. Но если ты выбрал такую профессию, то обязан это знать, потому что ты зависишь от программы, а не она от тебя.
Если ты не даун и умеешь думать, то почему ты работаешь школьным репетитором в 27, а не фармишь гранты за научные статьи?
04 Jun 2023 в 14:16 #10
если перевернуть систему координат меняется же только твое восприятие, ось X остается осью X (абцисс) просто допустим она встает в место где обычно ось Y
это же тупо названия не?
ну если мы говорим что абсцисса = Х и не вкладываем в этой никакой доп смыслов, то ничего не меняется. Но тогда не совсем ясно зачм вообще это говорить это что русский язык? Типа синонимы у нас такие или как?
Чел, тебя никто не заставлял работать репетитором. Но если ты выбрал такую профессию, то обязан это знать, потому что ты зависишь от программы, а не она от тебя.
Если ты не даун и умеешь думать, то почему ты работаешь школьным репетитором в 27, а не фармишь гранты за научные статьи?
Я в доту играю и куканю бомжей. Я дотер. Репетиторство — сопсоб заплатить за интернет и хавчик, чтобы хреначить в доту 24 на 7. А инт я не выиграл из-за тебя и твоих репортов коорые ты неблогодарное создание мне кидаешь за то что я что-тор сказал про твою мамку надрывая жопу и протаксивая тебя безщдаря 24 на 7 соло.
04 Jun 2023 в 14:19 #11
Как это запомнить вообще? Я репетитор математики я не могу это запомнить в 27 лет. Это как весна и осень. Какая между ними разница? Я тоько лет в 25 запомнил более или менее что осень перед зимой. Абсцисса и ордината — что это за бред? Латинские значения этих слов — отрезанная линия и параллельная линия — чиво бл? Это не имеет никакого смысла никакой логики. Абсцисса и ордината — это как говорить про основание неравнобедренного треугольника. По той же логике тогда у треугольника основание — это то что снизу короче. Какого фига в математике до сих пор существует этот бред.
Плохой ты репетитор раз запомнить два Термена не можешь
04 Jun 2023 в 14:21 #12
Оябалдею! Дети 4х годовалые способны отличить весну от осени, а тут лоб о 27 годах.
04 Jun 2023 в 14:23 #13
Оябалдею! Дети 4х годовалые способны отличить весну от осени, а тут лоб о 27 годах.
ну это какие-то гении разве что вундеркинды
04 Jun 2023 в 14:26 #14
ну это какие-то гении разве что вундеркинды
Зайди в детский сад. Там обычно висят картины нарисованные детьми, там часто темы такие: весна, лето, осень.
04 Jun 2023 в 14:28 #15
если перевернуть систему координат меняется же только твое восприятие, ось X остается осью X (абцисс) просто допустим она встает в место где обычно ось Y
это же тупо названия не?
это всё стремление математиков такого снобистского характера типа «мы знаем историю математики» вот это абсцисса — какой-то черт миллион лет назад так придумал. В математике как таковой вообще нет места подобной чуши.
Зайди в детский сад. Там обычно висят картины нарисованные детьми, там часто темы такие: весна, лето, осень.
это училка рисовала за чела чел о чем ты что ты мне втираешь? Это сделал не ребенок.
04 Jun 2023 в 14:52 #16
отрезная и параллельная линии это бред ?? это две разные линии
04 Jun 2023 в 14:54 #17
Мне жаль тебя если ты не можешь отличить весну от осени .
весной грязь в солнечную погоду,а осенью в пасмурную,зимой грязь замерзает,летом высыхает
04 Jun 2023 в 15:20 #18
ну я бы на самом деле тоже дропнул бы эти термины
потому что: ось X, ось Y
и нет вопросов
попахивает просто разной устаревшей ерундой и терминологическим дрочевом
когда типа есть нормальные термины в стиле: координатная ось, координата, параметр — значение, прообраз — образ
04 Jun 2023 в 15:22 #19
ну я бы на самом деле тоже дропнул бы эти термины
потому что: ось X, ось Y
и нет вопросов
попахивает просто разной устаревшей ерундой и терминологическим дрочевом
когда типа есть нормальные термины в стиле: координатная ось, координата, параметр — значение, прообраз — образ
Ты где обувь покупаешь?
04 Jun 2023 в 15:26 #20
это всё стремление математиков такого снобистского характера типа «мы знаем историю математики» вот это абсцисса — какой-то черт миллион лет назад так придумал. В математике как таковой вообще нет места подобной чуши.
это училка рисовала за чела чел о чем ты что ты мне втираешь? Это сделал не ребенок.
я в 6-7 лет офигенные реалистичные кувшины, деревья, цветы и тыквы рисовал, с нормальными тенями и прочим
не так это сложно
можно даже круче чем на фотке
Ты где обувь покупаешь?
тапочки и сланцы купил в каком-то гипермаркете
тапочки неплохие spesita что ли
кроссовки покупал в дисконт-центре puma, ну и еще одни в дисконт-центре адидаса — выглядят как после ядерной войны немножко, им уже года 4, я в них где только не лазил
пуме досталось меньше, я все же их берег для города больше, а вторые все в бетоне, краске, пыли, клочках сена и какой-то еще дичи, порванные там и сям
в них если без носка залезешь, нога черная будет от сажи и грязи
зимние боты я купил в магазе ralf ringer вроде, не помню точно, но какой-то ру производитель
кстати не сдохли и живы до сих пор у меня, выглядят не такими потрепанными как кроссовочки
04 Jun 2023 в 15:42 #21
да ладно…
я в 6-7 лет офигенные реалистичные кувшины, деревья, цветы и тыквы рисовал, с нормальными тенями и прочим
не так это сложно
можно даже круче чем на фотке
обувь?
ну по-разному
тапочки и сланцы купил в каком-то гипермаркете
тапочки неплохие spesita что ли
сланцы обыкновенные
кроссовки покупал в дисконт-центре puma, ну и еще одни в дисконт-центре адидаса — выглядят как после ядерной войны немножко, им уже года 4, я в них где только не лазил
пуме досталось меньше, я все же их берег для города, а вторые в бетоне, пыли, клочках сена и какой-то еще дичи, порванные там и сям
зимние боты я купил в магазе ralf ringer вроде, не помню точно, но какой-то ру производитель
кстати не сдохли и живы до сих пор у меня, выглядят не такими потрепанными как кроссовочки
У меня в детстве были ральф рингер я их брал за 3300 вроде, цена для того времени была дороговато. Это вроде был год мб 2009-2010. Очень хорошие и нравились мне. С ними вообще ничего не случилось, дальше их брат носил, когда я вырос.
Участник команды сайта
04 Jun 2023 в 15:45 #22
Кто-нибудь скажет ему про ось аппликат?
04 Jun 2023 в 16:48 #23
У меня в детстве были ральф рингер я их брал за 3300 вроде, цена для того времени была дороговато. Это вроде был год мб 2009-2010. Очень хорошие и нравились мне. С ними вообще ничего не случилось, дальше их брат носил, когда я вырос.
ну типа того, да
мне покупали просто всякое дерьмо пока я рос, ну потому что смысла не было, а потом нормальных вещей накупили, в которых я до сих пор хожу
а вообще я в итоге пришел к тому, что мне больше всего в любое время суток нравятся пестрые гавайские рубашки
сверху на них набрасывается монохромная накидка и штаны того же цвета (ну например оверсайз XXL рубашка с коротким рукавом, внизу рубашка с узором и штаны цвета накидки)
выглядишь немного как творческий разгильдяй, эдакий представитель богемы
а я и в самом деле примерно нечто такое из себя и представляю
и это прикол такой конечно: когда одежда становится твоей второй кожей, она идеально тебе подходит, ты хочешь её носить, перестает тебя ментально сковывать
04 Jun 2023 в 20:10 #24
Так просто ведь — X и Y по алфавиту. Абсцисса и Ордината тоже по алфавиту.
04 Jun 2023 в 22:07 #25
ну типа того, да
мне покупали просто всякое дерьмо пока я рос, ну потому что смысла не было, а потом нормальных вещей накупили, в которых я до сих пор хожу
а вообще я в итоге пришел к тому, что мне больше всего в любое время суток нравятся пестрые гавайские рубашки
сверху на них набрасывается монохромная накидка и штаны того же цвета (ну например оверсайз XXL рубашка с коротким рукавом, внизу рубашка с узором и штаны цвета накидки)
выглядишь немного как творческий разгильдяй, эдакий представитель богемы
а я и в самом деле примерно нечто такое из себя и представляю
и это прикол такой конечно: когда одежда становится твоей второй кожей, она идеально тебе подходит, ты хочешь её носить, перестает тебя ментально сковывать
это норм лук, если ты вывозишь его энергетически. То есть если ты такой типа самец и более или менее успешен, если у тебя красивые телочки с тобой мутят и ты так одеваешься, это круто. Но я вижу много челиков забитых полудохленьких таких которые пытаются так одеваться и на них это выглядит как-то типа «ну чел камон ты не вывозишь», потому что как ты сказал — «богема» — это все-таки некоторый социальный статус подразумевающий какой-то масштаб твоей линочсти в том или ином социальном кругу, так сказать.
Ось ординат
Оси абсцисс и ось ординат – это вечная проблема, как учеников, так и студентов. Названия осей по переменным х и у запоминаются куда легче, поэтому все привыкли использовать их. Почему нужно знать изначальные названия и откуда взялось понятие ординаты расскажем ниже.
Декартова система координат
Рене Декарт прославился многими открытиями в науке, несмотря на всяческие гонения со стороны бушевавшей инквизиции. Но в умах многих и многих поколений потомков он остался как изобретатель декартовой или прямоугольной системы координат.
Прямоугольная система координат сегодня используется везде: в радарах, для настройки светового оборудования, в оптике – практически любая отрасль не может обойтись без использования столь удобной системы.
Система Декарта состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых. В любой системе координат обязательно должны быть:
- Начало отсчета.
- Единичные отрезки.
- Направление осей.
Единичные отрезки на разных осях могут быть различны. Размер отрезка выбирают в соответствии с отметками, которые нужно нанести.
Оси координат
Оси координат это основа системы. Чтобы узнать координаты какой-либо точки, нужно опустить перпендикуляры на каждую из осей. Отрезки, заключенные между точкой отчета и точкой пересечения оси с перпендикуляром зовутся проекциями точки на оси. Размер этих проекций, выраженный в единичных отрезках, и есть координаты точки.
Традиционно оси называют переменными х и у. Это связано с традиционной записью функций, которые часто в виде графиков переносятся на ось координат. Например, функция у=х+3 – прямая линия. При этом сразу понятно, что если подставить любое число вместо х, то можно получить соответствующее значение у. Так высчитывают координаты точки в составе графика.
По факту оси можно называть как угодно. Это зависит только от ученика, решающего задачу. А названия абсцисс и ординат сохраняется всегда.
Осью абсцисс зовется ось х. Она отвечает за отслеживание горизонтальных перемещений точки. В переводе с латинского языка «абсцисса» переводится как «отрезок».
Если говорить кратко о оси ординат, то так зовется ось у. Эта ось отвечает за перемещения по вертикали. Если точка поднимается или опускается, это можно отследить по изменению ординаты. Ордината переводится как порядок.
Осью абсцисс зовется ось х. Она отвечает за отслеживание горизонтальных перемещений точки. В переводе с латинского языка «абсцисса» переводится как «отрезок».
Если воспользоваться переводом, то можно сказать так: чтобы отметить точку в системе координат, нужно отложить отрезок по горизонтали, равный абсциссе и поднять точку на несколько порядков вверх по ординате. Так проще запомнить правильные названия осей.
Что мы узнали?
Мы поговорили о Декартовой системе координат. Узнали, зачем нужно использовать правильные названия осей. Поговорили о том, что такое абсцисса и ордината. Выяснили, почему чаще всего оси обозначаются х и у. Сказали о том, что традиционное обозначение может быть заменено в любой момент.