Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и — α .
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 ( 1 , 0 ) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 ( x , y ) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 ( x , y ) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.
Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.
При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 ( x , y ) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.
Косинус — это абсцисса точки A 1 ( x , y ) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.
Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.
- Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.
- Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.
- Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.
- Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.
Свойство периодичности
Свойство периодичности — одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.
При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.
Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Математически данное свойство записывается так:
sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α
Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.
sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5
t g ( — 689 ° ) = t g ( 31 ° + 360 ° · ( — 2 ) ) = t g 31 ° t g ( — 689 ° ) = t g ( — 329 ° + 360 ° · ( — 1 ) ) = t g ( — 329 ° )
Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
Вновь обратимся к единичной окружности.
Точка A 1 ( x , y ) — результат поворота начальной точки A 0 ( 1 , 0 ) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 ( x , — y ) — результат поворота начальной точки на угол — α .
Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты ( x , y ) , а вторая — ( x , — y ) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin — α = — y , cos — α = x , t g — α = — y x , c t g — α = x — y
Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.
Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
sin — α = — sin α cos — α = cos α t g — α = — t g α c t g — α = — c t g α
Согласно этому свойству, справедливы равенства
sin — 48 ° = — sin 48 ° , c t g π 9 = — c t g — π 9 , cos 18 ° = cos — 18 °
Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.
Тангенс
Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: \(1,3\), \(\frac<π><4>\), \(π\), \(-\frac<π><3>\) и т.п.
— так и угол в градусах: \(45^°\), \(360^°\),\(-800^°\), \(1^° \) и т.п.
Для обоих случаев тангенс вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).
Тангенс острого угла
Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.
Вычисление тангенса числа или любого угла
Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших \(360°\) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:
Пример. Вычислите \(tg\:0\).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус \(0\). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :
Точка \(0\) на числовой окружности совпадает с \(1\) на оси косинусов, значит \(cos\:0=1\). Если из точки \(0\) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку \(0\), значит \(sin\:0=0\). Получается: \(tg\:0=\) \(\frac
Пример. Вычислите \(tg\:(-765^\circ)\).
Решение: \(tg\: (-765^\circ)=\) \(\frac
Что бы вычислить синус и косинус \(-765^°\). Отложим \(-765^°\) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на \(720^°\) , а потом еще на \(45^°\).
Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:
Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.
Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.
Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.
Пример. Вычислите \(tg\:\frac<π><4>\).
Решение:
1)Отмечаем \(\frac<π><4>\) на окружности.
2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.
3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется \(1\).
Пример. Вычислите \(tg\: 45°\) и \(tg\: (-240°)\).
Решение:
Для угла \(45°\) (\(∠KOA\)) тангенс будет равен \(1\), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку \(A\), пересекает ось тангесов. А для угла \(-240°\) (\(∠KOB\)) тангенс равен \(-\sqrt<3>\) (приблизительно \(-1,73\)).
Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.
В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от \(-∞\) до \(+∞\), то есть может быть любым.
При этом тангенс не определен для:
1) всех точек \(A\) (значение в Пи: …\(-\) \(\frac<7π><2>\) ,\(-\) \(\frac<3π><2>\) , \(\frac<π><2>\) , \(\frac<5π><2>\) , \(\frac<9π><2>\) …; и значение в градусах: …\(-630°\),\(-270°\),\(90°\),\(450°\),\(810°\)…)
2) всех точек \(B\) (значение в Пи: …\(-\) \(\frac<9π><2>\) ,\(-\) \(\frac<5π><2>\) ,\(-\) \(\frac<π><2>\) , \(\frac<3π><2>\) , \(\frac<7π><2>\) …; и значение в градусах: …\(-810°\),\(-450°\),\(-90°\),\(270°\)…) .
Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).
Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ .
Знаки по четвертям
С помощью оси тангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак тангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.
Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.
Связь с другими тригонометрическими функциями:
— котангенсом того же угла: формулой \(ctg\:x=\) \(\frac<1>
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .
Знаки тригонометрических функций
Помнить эту информацию крайне необходимо. Но необходимо понимать из чего она исходит, так как именно понимание этого – есть одно из основных условий усвоения сути тригонометрии.
Построим тригонометрическую окружность (окружность на координатной плоскости с радиусом равным единице); радиус-вектор, повернутый на произвольный угол от 0 до 90 градусов; обозначим абсциссу и ординату точки пересечения радиус-вектора и единичной окружности соответственно х и у:
ОА – это радиус-вектор;
А – точка пересечения радиус-вектора и тригонометрической окружности;
α (альфа) – угол, на который поворачивается радиус-вектор;
у – ордината точки А;
х – абсцисса точки А;
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВА.
По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
Вывод (он же является определением синуса):
Синусом угла α (альфа) называется ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиус-вектора на угол α.
Следствие, которое можем сделать:
Значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти положительны, а лежащих в третьей и четвёртой четверти отрицательны.
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
Вывод (он же является определением косинуса):
Косинусом угла α (альфа) называется абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиус-вектора на угол α.
Следствие, которое можем сделать:
Значения косинусов углов лежащих в первой и четвёртой четверти положительны, а лежащих во второй и третьей четверти отрицательны.
По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:
Тангенс угла α (альфа) — это отношение синуса к косинусу.
Или, по-другому — отношение координаты y к координате x .
По определению котангенса в прямоугольном треугольнике:
Котангенс угла α (альфа) — это отношение косинуса к синусу .
Или, по-другому — отношение координаты x к координате y .
Знаки тангенса и котангенса в четвертях определяются просто, в каждой четверти определяем знак синуса и косинуса, далее делим:
При делении положительного числа на положительное, получаем положительное число; при делении положительного числа на отрицательное получаем отрицательное число.
При делении отрицательного числа на положительное, получаем отрицательное число; при делении отрицательного числа на отрицательное получаем положительное число.
Как вы поняли, знаки тангенса и котангенса в соответствующих четвертях одинаковы.
Кстати, один из выводов, который следует из определений синуса и косинуса:
Известно, что по теореме Пифагора ОА 2 = АВ 2 + ОВ 2 , то есть 1 = у 2 + х 2
По определению синуса и косинуса, изложенным выше:
А ЭТО ЕСТЬ
ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
Как видим, основное тригонометрическое тождество и теорема Пифагора «крепко» связаны. Понимание «природы» этой формулы, а также знание информации, которую даёт нам тригонометрическая окружность определяет успех в изучении разделе курса «Тригонометрия» .
Следующих определений в курсе тригонометрии не существует, это скорее «словесная связка» или своеобразный штамп, который позволяют быстро вспомнить информацию. Излагаю только потому, что мне лично это помогало быстро вспоминать сами определения синуса и косинуса , а также знаки функций в четрвертях. Буду рад, если это поможет и вам.
Если вы это чётко усвоите, то например, если речь пойдёт о синусе какого-либо угла, то мысленно можно проецировать точку пересечения радиус-вектора и единичной окружности на ость оу (ось ординат) и определять значение синуса этого угла (разумеется если значение табличное). Можно не мысленно, а по эскизу:
В разделе ФОРМУЛЫ мы продолжим рассматривать полезные теоретические моменты, не пропустите!