Как найти тангенс равнобедренного треугольника

Тангенс угла tg(α)

Катетами прямоугольного треугольника называются те его стороны, которые образуют прямой угол. Каждый из катетов всегда меньше гипотенузы по значению, но в сумме они обязательно ее превосходят. Зная оба катета, можно найти не только третью сторону прямоугольного треугольника – гипотенузу, по теореме Пифагора, но и углы, находящиеся между катетами и гипотенузой. Для этого используется тригонометрическое отношение тангенса угла α , которое по определению равно отношению катета, противолежащего углу α , к катету прилежащему.
Делением катета, находящегося напротив угла, на катет, который является одной из сторон угла, получается значение тангенса, соответствующее определенной градусной мере. Краткая таблица основных значений тангенса находится внизу страницы, а полная таблица всех тангенсов расположена по ссылке.

Свойства

Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b .

Найдите тангенс угла при основании равнобедренного треугольника с основанием 30 см и боковой стороной 25 см

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,436
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Как найти тангенс угла в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник — это фигура, которая имеет две равные стороны и два равных угла при этих сторонах. Так как эти два угла равны между собой, то мы можем найти тангенс одного из них и использовать его для вычисления тангенса другого.

Тангенс угла в равнобедренном треугольнике можно найти по формуле: тангенс угла = длина стороны, противолежащей углу, деленная на половину длины основания.

Пример: Допустим, у нас есть равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами длиной 10 см и основанием, равным 6 см. Найдем тангенс угла при одной из сторон длиной 10 см.

Сторона	Основание
10 см	6 см

Чтобы найти тангенс угла, мы должны разделить длину стороны, противолежащей углу, на половину длины основания:

Тангенс угла = 10 см / 3 см = 3,33

Ответ: тангенс угла при одной из сторон длиной 10 см равен 3,33.

Как найти тангенс угла в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны между собой, а третья сторона может быть либо больше, либо меньше этих сторон.

Для нахождения тангенса угла в равнобедренном треугольнике необходимо знать длину боковой стороны, которая равна другим двум сторонам.

Формула для нахождения тангенса угла:

tg(∠ABC) = AB / BC

Где AB — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а BC — длина основания равнобедренного треугольника.

Угол	Равные стороны	Основание	Тангенс угла
∠ABC	AB = BC = 5 см	AC = 6 см	tg(∠ABC) = 5 / 6 = 0,83

Таким образом, для нахождения тангенса угла в равнобедренном треугольнике нужно знать длину боковой стороны, которая равна другим двум сторонам, и формулу для нахождения тангенса угла.

Инструкция с примерами

Шаг 1: Создайте равнобедренный треугольник, который имеет две равные стороны и два равных угла. Например, стороны могут иметь значения 5 см и угол между ними 60 градусов.

Шаг 2: Используйте формулу тангенса, которая гласит, что tg(α) = a/b, где а — длина катета, примыкающего к углу, b — длина противоположного катета, чтобы найти тангенс угла α.

Сторона	Значение
Сторона a	5 см
Сторона b	5 см
Угол α	60 градусов

Шаг 3: Подставьте значения в формулу и рассчитайте тангенс угла α:

Шаг 4: Ответ представляет собой значение тангенса угла α, который в данном примере равен 1.

Примечание: Если вы используете калькулятор, убедитесь, что он работает в градусах, а не в радианах.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс

Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.

1. Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс. ? . . .

Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!

1. Ключевые определения

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Мы видим, что острый угол $\alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $\alpha $, назовём противолежащим:

Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.

1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс

Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $.

Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).

Рассмотрим пару примеров.

Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $\alpha $.

Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $\alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.

Имеем:

\[\begin\sin \alpha& =\frac=\frac<5> <4>\\ \cos \alpha& =\frac=\frac<3> <5>\\ \operatorname\alpha& =\frac=\frac<4> <3>\end\]

Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.

Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:

Но об этом чуть позже.

Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $\alpha $.

Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

\[\begin<< AC>^<2>> & =<^<2>>+<^<2>>=1+1=2 \\ AC & =\sqrt <2>\\ \end\]

Теперь найдём синус, косинус и тангенс:

\[\begin\sin \alpha &=\frac=\frac<1><\sqrt<2>>=\frac<\sqrt<2>> <2>\\ \cos \alpha &=\frac=\frac<1><\sqrt<2>>=\frac<\sqrt<2>> <2>\\ \operatorname\alpha&=\frac=\frac<1><1>=1 \end\]

Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)

1.2. Задачи для тренировки

Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.

Задача 3. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Решение.

\[\begin\sin \alpha &=\frac<5> <13>\\ \cos \alpha &=\frac<12> <13>\\ \operatorname\alpha &=\frac<5> <12>\\ \end\]

Задача 4. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Решение.

\[\begin\sin \alpha &=\frac<8> <17>\\ \cos \alpha &=\frac<15> <17>\\ \operatorname\alpha &=\frac<8> <15>\\ \end\]

Задача 5. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

\[\begin<^<2>>&=<<3>^<2>>-<<1>^<2>>=9-1=8 \\ l&=\sqrt<8>=2\sqrt <2>\\ \end\]

Синус, косинус и тангенс:

\[\begin\sin \alpha&=\frac<1> <3>\\ \cos \alpha&=\frac<2\sqrt<2>> <3>\\ \operatorname\alpha&=\frac<1><2\sqrt<2>>=\frac<\sqrt<2>> <4>\\ \end\]

Задача 6. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

\[\begin<^<2>> &=<<2>^<2>>-<<1>^<2>>=4-1=3 \\ l &=\sqrt <3>\\ \end\]

Синус, косинус и тангенс:

\[\begin\sin \alpha&=\frac<1> <2>\\ \cos \alpha&=\frac<\sqrt<3>> <2>\\ \operatorname\alpha&=\frac<1><\sqrt<3>>=\frac<\sqrt<3>> <3>\\ \end\]

Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?

2. Теорема о единственности

Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $\alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.

Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.

2.1. Формулировка теоремы

Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.

2.2. Доказательство

Рассмотрим произвольный острый угол $\alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:

А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:

А можно и вот так — это не имеет никакого значения:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы \[\angle ABC=\angle AMN=90<>^\circ \] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:

\[\Delta ABC\sim \Delta AMN\]

Из подобия треугольников следует двойное равенство

Выпишем второе равенство — получим пропорцию

Попробуем выразить $\sin \alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому

\[BC\cdot AN=MN\cdot AC\]

Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:

Однако по определению синуса имеем:

Получается, что $\sin BAC=\sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $\alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $\sin \alpha $.

То же самое касается и $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $ и $\operatorname\alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $\alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.

3. Стандартные углы

Итак, значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $ и $\operatorname\alpha $ однозначно определяются величиной угла $\alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.

Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:

1. Для большинства углов $\alpha $ нельзя найти точные значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.
2. Верно и обратное: для большинства «красивых» $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $\alpha $.

Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.

3.1. Три стандартных угла

Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:

Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $\alpha =45<>^\circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:

Поскольку в равнобедренном треугольнике $\angle A=\angle B=45<>^\circ $, получим:

Это именно те значения, которые указаны в таблице!

Теперь разберёмся с углами $\alpha =30<>^\circ $ и $\alpha =60<>^\circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:

Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $\angle ABH=\angle CBH=30<>^\circ $.

Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=\sqrt<3>$. Нанесём все данные на чертёж:

Разберёмся с углом 60°:

Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!

Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $\sin <50>^\circ $? Или, быть может, $\cos <10>^\circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.

Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?

3.2. Что с другими углами?

Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:

Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $\alpha $:

Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $\alpha $? Ответ: неизвестно.:)

Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.

Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:

• Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
• Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.

Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.

Например, $\sin 30<>^\circ $, $\cos 45<>^\circ $, $\operatorname60<>^\circ $ и т.д. А всякие $\sin 15<>^\circ $, $\cos 25<>^\circ $ или $\operatorname89,5<>^\circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)

Зная $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ или $\operatorname\alpha $, мы сможем назвать точный угол $\alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.

Например, мы точно знаем, что если $\sin \alpha =\frac<\sqrt<2>><2>$, то $\alpha =45<>^\circ $. Но когда $\sin \alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $\alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).

С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.

4. Свойства синуса, косинуса, тангенса

Мы разберём три ключевых свойства:

1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
2. Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
3. Основное тригонометрическое тождество.

Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.

4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Выразим синус, косинус:

А теперь выразим тангенс и заметим, что

Точно так же можно выразить и котангенс:

Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:

\[\operatorname\alpha \cdot \operatorname\alpha =\frac\cdot \frac=1\]

Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:

Основные формулы тригонометрии:

\[\operatorname\alpha =\frac<\sin \alpha ><\cos \alpha >;\quad \operatorname\alpha =\frac<\cos \alpha ><\sin \alpha >;\quad \operatorname\alpha \cdot \operatorname\alpha =1\]

Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.

4.2. Связь между острыми углами

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C=90<>^\circ $. Пусть градусная мера $\angle A=\alpha $ градусов:

Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $\angle A=\alpha $, то угол $\angle B=90<>^\circ -\alpha $. Но тогда:

\[\sin \alpha =\sin A=\frac=\cos B=\cos \left( 90<>^\circ -\alpha \right)\]

То же самое и с косинусами:

\[\cos \alpha =\cos A=\frac=\sin B=\sin \left( 90<>^\circ -\alpha \right)\]

И даже с тангенсами и котангенсами:

\[\begin \operatorname\alpha&=\operatornameA=\frac =\operatornameB=\operatorname\left( <90>^\circ -\alpha\right) \\ \operatorname\alpha&=\operatornameA=\frac = \operatornameB=tg\left( <90>^\circ -\alpha \right) \\ \end\]

Другими словами, если вместо $\alpha $ поставить $<90>^\circ -\alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:

\[\begin\sin \left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\cos \alpha \\ \cos \left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\sin \alpha \\ \operatorname\left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\operatorname\alpha\\ \operatorname\left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\operatorname\alpha\end\]

Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.

4.3. Основное тригонометрическое тождество

Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Запишем выражения для $\sin \alpha $ и $\cos \alpha $:

Далее заметим, что

В числителе можем применить теорему Пифагора: $<^<2>>+<^<2>>=<^<2>>$, поэтому

Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $\alpha $.

:

\[<<\sin >^<2>>\alpha +<<\cos >^<2>>\alpha =1\]

Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $\alpha $.

С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.

Задача 7. Найдите $18\cos \alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\sin \alpha =\frac<\sqrt<65>><9>$.

Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:

\[<<\sin >^<2>>\alpha +<<\cos >^<2>>\alpha =1\]

Подставим указанное значение $\sin \alpha $ и выразим $\cos \alpha $:

\[\begin<<\left( \frac<\sqrt<65>> <9>\right)>^<2>>+<<\cos >^<2>>\alpha &=1 \\ \frac<65><81>+<<\cos >^<2>>\alpha &=1 \\ <<\cos >^<2>>\alpha &=\frac<16> <81>\\ \cos \alpha&=\pm \frac<4> <9>\end\]

Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $\cos \alpha =<4>/<9>\;$. Остаётся сделать финальный шаг:

\[18\cos \alpha =18\cdot \frac<4><9>=2\cdot 4=8\]

Вот и всё! Ответ: 8.

В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.

Заметка на будущее: замечание о том, что угол $\alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.

Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.

Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.

Задача 9. ►

Найдите $52\cos \alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\sin \alpha =\frac<5><13>$.

Решение. Найдём $\cos \alpha $:

\[\begin<<\cos >^<2>>\alpha &=1-<<\sin >^<2>>\alpha = \\ &=1-\frac<25><169>=\frac<144> <169>\\ \cos \alpha&=\pm \frac<12> <13>\end\]

Поскольку $\cos \alpha \gt 0$ для острых $\alpha $, выбираем $\cos \alpha =<12>/<13>\;$. Итого

\[52\cos \alpha =52\cdot \frac<12><13>=48\]

Ответ: 48.

Задача 10. ►

Найдите $1+2\operatorname\alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\cos \alpha =\frac<1><\sqrt<26>>$.

Решение. Найдём $\sin \alpha $:

\[\begin<<\sin >^<2>>\alpha &=1-<<\cos >^<2>>\alpha = \\ & =1-\frac<1><26>=\frac<25> <26>\\ \sin \alpha&=\pm \frac<5><\sqrt<26>> \end\]

Поскольку $\sin \alpha \gt 0$ для острых $\alpha $, выбираем

\[\sin \alpha =\frac<5><\sqrt<26>>\]

Считаем $\operatorname\alpha $:

\[\operatorname\alpha =\frac<\sin \alpha ><\cos \alpha >=\frac<5><\sqrt<26>>\cdot \frac<\sqrt<26>><1>=5\]

Откуда

\[1+2\operatorname\alpha =1+2\cdot 5=11\]

Ответ: 11.

5. Тригонометрия на координатной сетке

Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.

Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.

Звучит страшно, но на практике всё легко.:)

Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Дополнительное построение: $AH\bot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому

\[\operatornameABC=\frac=\frac<3><4>=0,75\]

Это и есть искомый тангенс.

Ответ: 0,75.

Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:

Задача 12. ►

Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: $AH\bot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому

\[\operatornameABC=\frac=\frac<2><4>=\frac<1><2>\]

Ответ: 0,5.

Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.

Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.

Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.

Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.

Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.

Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:

\[\operatornameMNK=\frac=\frac<\sqrt<2>><2\sqrt<2>>=\frac<1><2>=0,5\]

Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:

\[\operatornameMNK=\frac=\frac><2a\sqrt<2>>=\frac<1><2>=0,5\]

Ответ: 0,5.

Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:

Задача 14. ►

Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: отрезок $DH$.

Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $\operatornameDEF=1$.

Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:

\[\operatornameDEF=\frac>>=1\]

Ответ: 1.

Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.

К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:

И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):

Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)

Похожие публикации:

1. Как выйти из 3в режима в фотошопе
2. Как найти 4 сторону четырехугольника зная 3 стороны
3. Как сделать водяной знак в кап куте
4. Что лучше селерон или пентиум