Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
![\[r = \frac{{a + b - c}}{2},\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec22155d942408f8d27aae9d3efa9912_l3.png)
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катеты BC=a, AC=b, гипотенуза AB=c.
Проведём радиусы OK, OM, ON к сторонам треугольника.
![\[OK \bot AC,OM \bot BC,ON \bot AB\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7329f7c027d33ecc199905f45d832cb4_l3.png)
![\[AK = AN,BM = BN,CK = CM\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b4c2004c9b22aa77419c5fa212d8f4bf_l3.png)
(как отрезки касательных, проведённых из одной точки).
Отсюда следует, что четырёхугольник CKOM — квадрат, стороны которого равны радиусу вписанной в треугольник ABC окружности: CK=CM=OM=OK=r.
![\[a + b = BC + AC = BM + CM + AK + CK = \]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5ffb0fc8482441becc8123dfb3c19c7_l3.png)
![\[= BN + CM + AN + CK = (BN + AN) + CM + CK = \]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56616abdd54c83e4b65e8c9c394dcd50_l3.png)
![\[= c + 2r,\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d85e97478b88cb9aed63def11f9b7b2_l3.png)
![\[a + b = c + 2r, \Rightarrow 2r = a + b - c,\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-571b016e71f352c28695dcb2201b4201_l3.png)
Таким образом, формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Уроки математики и физики для школьников и родителей
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен площади этого треугольника, делённой на полупериметр:
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из катетов на отрезки 2 см и 8 см, отсчитывая от вершины прямого угла. Найдите периметр треугольника.
Начертим чертёж :
(2 + х ) 2 + (2 + 8) 2 = (8 + х ) 2 ,
х 2 + 4х + 4 + 100 =
= х 2 + 16 х + 64,
х = 10 / 3 (см) .
Р = (2 + 8) + (8 + 10 / 3 ) + ( 10 / 3 + 2) = 26 2 / 3 (см) .
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делить гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника .
Начертим чертёж :
400 = 64 + 16 x + x 2 + x 2 + 24 x + 144,
2 x 2 + 40 x – 192 = 0,
x 2 + 20x – 96 = 0,
x 2 не подходит.
Р = 8 + 12 + 12 + 4 + 4 + 8 = 48 (см).
ОТВЕТ : 48 см.
Описанная окружность прямоугольного треугольника.
Центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, будет середина его гипотенузы.
Найдите величин у угла АСВ ?
ВС – д и аметр, поэ тому ∠ ВАС = 90 ° ,
Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на его диаметр, делит диаметр на отрезки, разность между которыми равна 5 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 6 см.
Пусть АВ – диаметр окружности с центром в точке О , СD ⊥ АВ ,
С D = 6 см, А D = х см ,
В D – А D = 5 см.
D В = (х + 5) см.
Треугольник АСВ – прямоугольный (угол С прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр ).
СD – перпендикуляр, проведений из вершины прямого угла на гипотенузу. Тогда :
А D ∙ D В = С D 2 ,
х ( х + 5) = 6 2 ,
х 2 + 5х – 36 = 0 ,
x 1 не п о дходит.
Поэтому , А D = 4 см,
D В = 4 + 5 = 9 (см).
АВ = А D + D В =
= 4 + 9 = 13 (см).
r = АВ : 2 = 13 : 2 = 6,5 (см).
ОТВЕТ: 6,5 см
Из точки на окружности проведены две перпендикулярные хорды, разность между которыми равна 4 см. Найдите эти хорды, если радиус окружности равен 10 см.
Пусть задана окружность рад и уса R ,
R = АО = ВО = СО = 10 см,
АС – АВ = 4 см.
Пусть АВ = х см, то гда
АС = (4 + х) см.
Так как ∠ А = 90 ° , то треугольник ВАС – прямоугольный , в котором
ВС = 2ОВ= 2 ∙ 10 = 20 см.
Из прямоугольного треугольника ВАС имеем :
АВ 2 + АС 2 = ВС 2 ,
х 2 + (4 + х ) 2 = 20 2 ,
х 2 + 16 + 8 х + х 2 = 400,
х 2 + 4х – 192 = 0,
х 2 = –16 – не п о дходит .
Поэтому , АВ = 12 см ,
АС = 4 + 12 = 16 (см).
ОТВЕТ : 12 см , 16 см
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14 ° . Найдите меньший угол этого треугольника.
Начертим чертёж.
АМ = МС = МВ = R ,
где R – радиус описанной окружности.
Найдём сначала угол МВС . Учитывая, что BD – биссектриса, то
∠ D ВС = 90 / 2 = 45 ° . Тогда
∠ МВС = ∠ МВ D + ∠ D ВС,
Рассмотрим равнобедренный треугольник МВС со сторонами
МВ = МС ,
в котором углы при основании ВС равны, то есть
∠ С = ∠ МВС = 59 ° .
Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 ° , то
В окружности на расстоянии 6 см от его центра проведена хорда длинной 16 см. Найдите радиус окружности.
Начертим чертёж :
ВК ⊥ А D , АК = 9 – 4 = 5 см .
Из ∆ ВКА:
ЗАДАЧА :
В угол, величина которого равна 60° , вписано две окружности, которые внешне касаются одна другой. Найдите радиус большой окружности, если радиус меньшей равен 6 см.
ОС = 2СА = 12 см ,
∆ О D В :
О D = 2 D В = 2 R ,
12 + 6 + R = 2 R ,
R + 18 = 2 R ,
R = 18 см.
Биссектриса АМ треугольника АВС ( ∠ С = 90°) делит катет ВС на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки А, С , и М .
ВМ ˃ МС и
ВМ = 10 см, МС = 6 см.
то гда АВ = 10х .
Из прямоугольного треугольника АВС ( ∠ С = 90 ° ) имеем :
АВ 2 = АС 2 + ВС 2 ,
(10 х ) 2 = (6 х ) 2 + (10 + 6) 2 ,
64 х 2 = 16 2 , х = 2 (см),
АС = 6х = 12 (см).
Из прямоугольного треугольника АСМ ( ∠ С = 90 ° ) имеем :
АМ 2 = АС 2 + СМ 2 ,
Окружность, которая проходит через точки А, М и С , будет описанной окружностью вокруг прямоугольного треугольника АСМ . Тогда её диаметр равен гипотенузе треугольника. Поэтому,
В окружность по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды, длины которых равны 6 см и 8 см, а расстояние между ними – 4 см. Найдите радиус окружности.
Пусть задан а окружность О ,
АВ = 6 см, СD = 8 см.
Через точку О проведём
F Е ⊥ АВ.
АЕ = ВЕ = 3 см,
F Е ⊥ С D ,
С F = FD = 4 см,
Е F = 4 см.
Треугольники ОВЕ и О DF прямоугольные , до того ж
ОВ = О D = r .
Пусть О F = х см, то гда
ОЕ = Е F – х = (4 – х) см.
Из прямоугольного треугольника ОЕВ по теорем е П и фагора
ОВ 2 = ОЕ 2 + ВЕ 2 ,
r 2 = (4 – х) 2 + 3 2 .
Аналог и чно
О D 2 = О F 2 + FD 2 ,
r 2 = х 2 + 4 2 .
(4 – х ) 2 + 3 2 = х 2 + 4 2 .
16 – 8 х + х 2 + 9 = х 2 + 16,
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):
| \( \small r= \frac<\large S><\large p>, \) | (1) |
| \( \small p= \frac<\large a+b+c><\large 2>. \) | (2) |
Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:
| \( \small S= \large \frac<1> <2>\small \cdot a \cdot b. \) | (3) |
Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
| \( \small r= \large \frac<\frac<1><2>ab><\frac<1><2>(a+b+c)> \) \( \small = \large \frac |
(4) |
где c вычисляется из теоремы Пифагора:
| \( \small c= \sqrt< a^2+b^2>. \) | (5) |
Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на \( \small a+b-c \):
| \( \small r= \frac<\large ab(a+b-c)> <\large (a+b+c)(a+b-c)>\) \( \small = \frac<\large ab(a+b-c)> <\large (a+b)^2-c^2>\) \( \small = \frac<\large ab(a+b-c)> <\large a^2+2ab+b^2-c^2>\) | (6) |
Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:
| \( \small r= \frac<\large ab(a+b-c)> <\large 2ab>\) \( \small = \frac<\large a+b-c> <\large 2>.\) |
Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:
| \( \small r= \frac<\large a+b-c> <\large 2>,\) | (7) |
где c вычисляется из (5).
Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):
 |
Подставим значения \( \small a=17, \; b=5\; c=17.720045 \) в (7):
 |
Ответ: 
2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол
Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
| \( \small \frac<\large a><\large \sin \alpha>=\frac<\large b> <\large \sin \beta>.\) |
Учитывая, что \( \small \alpha=90°-\beta \) и \( \small \sin \ (90°-\beta)=\cos \beta \), получим:
| \( \small \frac<\large a><\large \sin \alpha>=\frac<\large a> <\large \sin (90°-\beta)>\) \( \small =\frac<\large a><\large \cos \beta>=\frac<\large b> <\large \sin \beta>.\) | (8) |
Тогда из (8) получим:
| \( \small b=\frac<\large a \cdot \sin \beta><\large \cos \beta>. \) | (9) |
Далее, из теоремы синусов:
| \( \small \frac<\large a><\large \sin \alpha>=\frac<\large a> <\large \sin (90°-\beta)>\) \( \small =\frac<\large a><\large \cos \beta>=\frac<\large c> <\large \sin 90°>.\) |
| \( \small c=\frac<\large a> <\large \cos \beta>.\) | (10) |
Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения \( \small b \) и \( \small c \) из (9) и (10) в (7):
  |
 |
(11) |
Пример 2. Известны катет \( \small a=21 \) и прилежащий к нему угол \( \small \beta=30° \) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения \( \small a=21 \) \( \small \beta=30° \) в (11):
 |
Ответ: 
3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол \( \small \alpha; \) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:
| \( \small \alpha+\beta=90°\) \( \small \beta=90°-\alpha \) |
Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:
  |
 |
(12) |
Пример 3. Известны катет \( \small a=6 \) прямоугольного треугольника и противолежащий угол \( \small \alpha=53°. \) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение \( \small a=6, \; \alpha=53° \) в (12):
 |
Ответ: 