7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.
Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции 
:
, (9)
где 
, 
– координатные орты.
Величина этого вектора равна изменению потенциала 
при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.
Длина градиента (потенциала) равна
. (10)
Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.
, (11)
где
– символический вектор, называемый оператором Гамильтона или оператором набла.
Для электростатического поля имеем:
.
Тогда соотношение (11) принимает вид
,
или
, (12)
т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.
Знак минус в (12) показывает, что вектор 
направлен противоположно вектору градиента потенциала 
, и силовые линии электрического поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.
Очевидно, что проекция вектора 
на произвольное направление l равна со знаком минус частной производной потенциала по данному направлению:
. (13)
В случае однородного электрического поля (поля плоского конденсатора), в любой точке которого вектор напряженности 
постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:
, (14)
где
– разность потенциалов или напряжение между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями);
– расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).
Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью, для которой
. (15)
Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.
Следовательно, вектор 
всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.
Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью 
. Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряженности 
электрического поля удобнее сначала определить потенциал φ и затем по формуле
вычислить напряженность 
.
Силовые линии — направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля. Отсюда следует, что напряженность 
равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии.
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить
между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить 
наиболее просто:
.
Теперь дадим определение эквипотенциальной поверхности. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности
Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.
При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится: 
Отсюда следует, что проекция вектора 
на dlравнанулю, то есть 
Следовательно, 
в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.
Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине 
, это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине
Градиент потенциала
в атмосферном электричестве — вектор, направленный по нормали к изопотенциальной поверхности атмосферного электрического поля в сторону возрастания потенциала поля к численно равной производной от потенциала в этом направлении.
- Telegram
- Вконтакте
- Одноклассники
Научные статьи на тему «Градиент потенциала»
Мембраны клеток эукариотов
Этот поток веществ в сторону меньшей концентрации (транспорт по градиенту концентрации) существует до.
Другие ионы проникают в клетку соответственно градиенту их электрохимического потенциала и проницательности.
Если клетку поместить в гипотонический раствор, то возникает градиент водного потенциала: концентрация.
Потому вода поступает внутрь клетки по градиенту своей концентрации и при этом мембрана выборочно пропускает.
Движение воды сквозь мембрану при наличии градиента концентрации можно прекратить при условии действия
Представление градиента гравитационного потенциала небесных тел рядом шаровых функций
Известно, что производная сферической функции порядка п сама является сферической функцией порядка п+1. С помощью алгоритма Л. Каннингема [1] удалось выразить коэффициенты производной в виде линейной комбинации коэффициентов самой функции. По-видимому, это оптимальное выражение для градиента гравитационного потенциала произвольного небесного тела рядом Лапласа по шаровым функциям. Дано обобщение на высшие производные. Подобная процедура выполнена с шаровыми функциями, регулярными в начале координат.
Транспорт веществ через мембрану
Такие каналы могут быть потенциал зависимыми и открываются при разности потенциалов, потенциал-независимые.
осмосом; транспорт воды обеспечивается работой белков-аквапоринов; различной величиной электрического потенциала.
Определение 2 Простая диффузия – это перенос веществ через мембрану по градиенту концентрации (из.
Ее трактуют как процесс трансмембранного переноса веществ по градиенту концентрации при участии белков.
Он трактуется как процесс трансмембранного переноса веществ против градиента концентрации.
Влияние градиента температур в волокнистых полимерных материалах на интерпретацию данных термостимулированной релаксации поверхностного потенциала
Волокнистые полимерные материалы, получаемые путем распыления расплава полимера потоком сжатого газа, находят широкое применение в системах фильтрации и характеризуются высокой эффективностью фильтрации при малом перепаде давления. Способность фильтра захватывать частицы загрязнителя определяется электретными свойствами полимерного материала, из которого он изготовлен. В данной работе исследуются электретные свойства волокнитов и пленок на основе полипропилена (ПП) и полиэтилентерефталата (ПЭТФ) методами термостиму-лированной и изотермической релаксации поверхностного потенциала (ТСРП и ИТРП), дифференциальной сканирующей калориметрии (ДСК). Подробно рассматривается вопрос влияния градиента температур в диэлектрике на интерпретацию данных, получаемых термоактивационны-ми методами.
Потенциал
Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом 
. Величина
, (12)
Где Wр – потенциальная энергия заряда q, называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля 
для описания электрических полей.
Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.
В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.
Из (12) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией
.
Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов
.
Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.
Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна
.
Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из денной точки на бесконечность.
Последнее соотношение модно использовать для установления единиц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ — единицу потенциала, называемую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.
Отсюда 1В =1Дж/1Кл.
Эквипотенциальные поверхности.
Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженностей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями.
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.
Если потенциал задан как функция X, Y, Z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:
(x,y,z) = const.
Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях отличалось повсюду на одинаковую величину ∆ (например на I В).
В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда 
. Отсюда следует, что 
при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.
Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направлены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.
Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электростатических полей.
Градиент потенциала. Связь между напряженностью и потенциалом.
Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины 
, либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а — потенциальной энергии заряда, легко сообразить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенциальной энергией и силой..
Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl может быть представлена с одной стороны, как 
где 
— проекция вектора напряженности на направление элементарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. — 
. Приравнивая эти выражения, получим: 
, откуда находим, что 
, где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.
В частности, в декартовой системе координат:
; 
; 
;
откуда 
.
Выражение в скобках называется градиентом скаляра.
. (13)
Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.
Градиент некоторой скалярной величины 
есть векторная величина со следующими свойствами. Направление градиента совладеет с направлением, в котором при смещении из данной точки функция возрастает с наибольшей скоростью. Величина 
по этому направлению дает модуль градиента. Частные производные 
, 
, 
представляют собой проекции градиента на оси x,y,z.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Градиент скалярного поля потенциала
Понятие градиента потенциала позволяет рассчитать составляющие Ex, Ey, Ez вектора электрического поля в каждой точке пространства по значениям поля потенциала.
Как функция координат потенциал U(x,y,z) является полем скалярной величины U. В этом поле имеются поверхности, на которых значения потенциала U не меняются, т.е. являются постоянными величинами. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Так как между отдельными точками эквипотенциальной поверхности нет разности потенциалов, то очевидно работа сил поля при перемещении зарядов вдоль такой поверхности будет равна нулю. Это означает, что проекции сил поля на эту поверхность будут равны нулю. Следовательно, в каждой точке эквипотенциальной поверхности силовые линии электростатического поля расположены по отношению к ней перпендикулярно, рис. 3.3.
Рис. 3.3. Эквипотенциальные поверхности (a), к определению градиента и
производной по направлению (б)
Градиентом потенциала в точке А(x,y,z) назовем производную функции U по линии, направленной в точке А вдоль вектора нормали :
Градиент потенциала – это вектор, направленный в каждой точке перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, т.е. в направлении вектора напряженности поля .
По абсолютной величине градиент потенциала равен скорости изменения потенциала в направлении . Из рис. 3.3 видно, что
Функцию называют производной по направлению.
Из этого выражения видно, что производная по любому направлению, отличному от направления нормали, меньше по абсолютному значению производной по направлению нормали. Таким образом, градиент – это векторная величина, которая соответствует направлению наиболее быстрого изменению потенциала. Производная в направлении нормали имеет наибольшее значение. Это хорошо видно на рис. 3.3 б, где показана бесконечно малая окрестность точки А. В этой окрестности эквипотенциальные поверхности и практически параллельны и изменения потенциала на интервалах и одинаковы. Следовательно,
Найдем теперь производные потенциала в точке А по направлению каждой из координатных осей x, y и z:
Видно, что эти производные являются проекциями градиента (как векторной величины) по оси x, y, z, т.е.
По абсолютной величине
На основании формул (3.2 -3.4)
Таким образом, установлен очень важный факт, заключающийся в том, что напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. Расписывая это выражение по координатам, находим, что
На основании (3.2), учитывая, что , получим:
С учетом (3.12) также получим:
Последнее уравнение называют уравнением Пуассона. В развернутом виде
Если в исследуемом объеме отсутствуют заряды, то
Это уравнение называют уравнением Лапласа.
Полученные уравнения позволяют решить следующую очень важную задачу. Как, зная распределение зарядов в некоторой области определить напряженности полей Ex, Ey, Ez в каждой точке пространства с координатами x, y, z. Из анализа выражения (3.15) следует, что решить непосредственно уравнение
относительно трех неизвестных Ex, Ey, Ez нельзя.
Однако можно решить дифференциальные уравнения в частных производных Пуассона относительно одной неизвестной – потенциала U, а затем найти составляющие поля из уравнения (3.12). Что касается уравнения Лапласа, то, казалось бы, что при отсутствии зарядов его нет смысла рассматривать. Однако его решения очень важны тогда, когда можно задать граничные условия. В этом случае оно дает единственное решение для свободного пространства, если заданы значения полей на некоторой границе.