Сколько телефонных номеров можно составить из 6 цифр так чтобы в каждом отдельно взятом номере

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Когда мы составляем телефонный номер, каждая цифра имеет значение, и это важно для набора правильного номера. Но что, если мы хотим составить номер, в котором все цифры должны быть различными?

Давайте рассмотрим этот вопрос.

У нас есть 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и мы хотим выбрать 6 из них для составления номера. При этом все цифры должны быть различными.

Для первой цифры у нас есть 10 вариантов (0-9). После выбора первой цифры, мы должны выбрать вторую, и у нас остается только 9 вариантов, так как мы не можем использовать первую цифру повторно. Аналогично, для третьей цифры у нас есть 8 вариантов, для четвертой — 7 вариантов, для пятой — 6 вариантов и для шестой — 5 вариантов.

Итак, общее количество телефонных номеров, которые можно составить из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различными, можно вычислить как произведение количества вариантов для каждой позиции:

10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151200

Таким образом, можно составить 151200 телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различными.

Заключение: Используя простые математические принципы, мы можем узнать, сколько телефонных номеров мы можем составить из 6 цифр, где каждая цифра различна. В конечном итоге, количество таких номеров составляет 151200.

Сколькими можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Сколькими можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Девять номеров можно оставить.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Сколько существует семизначных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Сколько существует семизначных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Сколько существует шестизначных телефонных номеров начинающихся на 36 в которых все цифры различные?

Сколько существует шестизначных телефонных номеров начинающихся на 36 в которых все цифры различные.

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 12345, если цифры не повторяются?

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 12345, если цифры не повторяются!

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлично от нуля?

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлично от нуля?

Сколько различных четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4 5 6 если каждая цифра содержиться в записи числа только один раз?

Сколько различных четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 4 5 6 если каждая цифра содержиться в записи числа только один раз?

Сколько различных четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая цифра содержится в записи числа только один раз?

Сколько различных четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая цифра содержится в записи числа только один раз?

Сколько можно составить семизначных телефонных номеров из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

Сколько можно составить семизначных телефонных номеров из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

Антон знает 10 из 11 цифр номера телефона?

Антон знает 10 из 11 цифр номера телефона.

Какова вероятность того, что он с первого раза сможет угадать последнюю цифру и получить верный номер телефона?

Сколько существует 10 — цифровых телефонных номеров таких, что цифры 0 и 9 не встречаются среди первых четырех цифр номера?

Сколько существует 10 — цифровых телефонных номеров таких, что цифры 0 и 9 не встречаются среди первых четырех цифр номера?

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Сколькими можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?. Вопрос соответствует категории Алгебра и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Практика Примеры решения типовых задач

Задание 1. Сколькими способами можно выбрать две книги по разным темам, если на полке находится 12 книг по математике, 14 книг по физике, 16 книг по информатике?

Решение. Если выбирать книгу по математике и книгу по физике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 14 вариантов выбора книги по физике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по математике и книгу по информатике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по физике и книгу по информатике, то существует 14 вариантов выбора книги по физике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Следовательно, всего существуетспособа выбора двух книг по разным темам.

Задание 2. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение. В данном случае комбинация состоит изразличных элементов, отличающихся только порядком их расположения. Значит, имеем дело с перестановкой.. Существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Задание 3.Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Решение. Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:.

Задание 4. В группе КН–10-1 обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по общежитию, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение. Число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно. По формуле находим:

Ответ: 12144 способа.

Задание 5. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение.Так как кнопки нажимаются одновременно (порядок не важен), то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда находим:

.

Ответ: 120 вариантов.

Задание 6. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. 1) Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться? 2) Если позывные состоят из четырех букв, которые не повторяются?

Решение. В современном латинском алфавите 26 букв. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место.

1) На оставшиеся два места может претендовать любая из 26-ти букв, т.к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

2) На второе место можно поставить любую из 25 букв, т.к. в позывных буквы не должны повторяться. На третье место – 24 буквы, на четвертое место – 23 буквы. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

Ответ: 1) 262; 2) 13800.

Задание 7. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение. Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение:.

Задание 8. Алфавит некоторого языка содержит 30 букв. Сколько существует шестибуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из букв этого алфавита, если:

буквы в словах не повторяются?

буквы в словах могут повторяться?

Решение. Существует шесть мест, на которые нужно разместить 30 букв.

1. Буквы не должны повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: . Такое произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и информация задачи представлена в ней в скрытой форме. Нетрудно заметить, что это не что иное, как формула размещений.

2. Буквы повторяются. Используя принцип умножения, получаем: – формула для размещений с повторениями.

Ответ: 1) ; 2).

Задание 9.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

Решение. Так как цифр в числе не менее трех, необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных чисел –, четырехзначных –, пятизначных –. Используем принцип сложения:.

Задание 10. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, а) если первая из них не равна нулю; б) если номер состоит из одной буквы латинского алфавита, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?

Решение. а) Всего существует 10 цифр. На первом месте не может быть цифры 0, поэтому способов поставить цифру на первое место существует 9. На втором месте может стоять любая из 10-ти цифр (цифры могут повторяться), т.е. способов поставить цифру на второе место существует 10, и т.д. Используя принцип умножения, получаем:.

б) На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных местах – любые из девяти цифр, причем они могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем: .

Ответ: ,.

Задание 11. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?

Решение. (а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем:. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (), то получаем окончательно следующее произведение:.

(б) Способов переставить 7 книг существует . Из них ‑способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует:

Ответ: (а) 1440; (б)

Задание 12. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:

.

Задание 13. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы.)

Решение. Т.к. фрукты одного вида неразличимы, то существует один способ взять одно яблоко, один способ взять 2 яблока, один способ взять три яблока и т.д., т.е. всего семь способов выбрать несколько яблок (несколько – это не менее одного). Необходимо также прибавить один способ не взять ни одного яблока. Следовательно, существует 8 способов взять яблоки. Аналогично существует 5 способов выбрать лимоны и 10 способов выбрать апельсины. Следуя принципу умножения, получим все способы отбора фруктов:. Но среди этих способов существует один способ, когда не выбирается ни один фрукт. Следовательно, решением данной задачи будет следующее выражение:.

Задание 14. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв словасапфир?2) Сколько среди них таких, которые не содержат буквыр? 3) Сколько таких, которые начинаются с буквыси оканчиваются буквойр?

Решение. 1. Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений:.

2. Необходимо исключить букву риз рассмотрения. Количество слов, не содержащих эту букву:А.

3. На первое место поставить букву сможно только одним способом. На последнее место поставить буквурможно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам:А.

Ответ: 360, 120, 12.

Задание 15. Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв словаперестановка?Сколько из них начинается с буквып и оканчивается буквойа?

Решение. В словеперестановка12 букв, из них повторяются 2 буквыеи две буквыа. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквыеилиаменяются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями:

Чтобы посчитать количество перестановок, начинающихся на букву пи оканчивающихся на буквуа, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буквае. Применяем формулу для перестановок с повторениями:

Ответ: ;

Задание 16. Сколько членов было в клубе, если известно, что при нумерации членских билетов использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки?

Решение. Имеем дело с 3-перестановками с повторениями из 9 элементов (0,1,2,3,4,5,6,7,9). Число трехзначных номеров, не содержащих восьмерки, равно.

Ответ: 729 членов в клубе.

Задание 17. Группа студентов проходила практику в Германии и Франции. Половина студентов проходила практику во Франции. В обеих странах учились 12 студентов, 39 студентов в Германии. Сколько студентов в группе, если все прошли практику?

Решение. Задача на использование формулы включений-исключений. Т.к. в нашем случае имеется 2 свойства, формула будет выглядеть так:

Интерпретация: – общее количество студентов;– количество студентов, проходящих практику во Франции;– количество студентов, проходящих практику в Германии;– количество студентов, проходящих практику в обеих странах;– количество студентов, не прошедших практику.

Составим уравнение: . Решив его, получаем общее количество студентов, равное 54.

Элементы комбинаторики. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Правило умножения (основная формула комбинаторики)

Общее число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:

Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Первая монета имеет альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть альтернативы и т.д., т.е. .

Искомое количество способов:

Правило сложения

Если любые две группы и не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из можно осуществить способами.

На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов выбора одной математической или одной экономической книги.

Математическая книга может быть выбрана способами, экономическая — способами.

По правилу суммы существует способа выбора математической или экономической книги.

Размещения и перестановки

Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Размещения без повторений , когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из элементов по .

Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения элементов из генеральной совокупности объема , равно:

Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно

Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?

Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:

Размещения с повторениями , когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат — размещением с повторениями из элементов по .

Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением элементов из генеральной совокупности объема , равно

Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?

Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора элементов из генеральной совокупности объема получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из элементов по .

Число сочетаний из элементов по равно:

В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:

Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:

Пусть из генеральной совокупности объема выбирается элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из элементов по .

Число сочетаний с повторениями из элементов по :

На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?

Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:

Разбиение множества на группы

Пусть множество из различных элементов разбивается на групп так, то в первую группу попадают элементов, во вторую — элементов, в -ю группу — элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.

Число разбиений на групп, когда в первую попадают элементов, во вторую — элементов, в k-ю группу — элементов, равно:

Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 — 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете — от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа — несколько минут.

1.7. Основные формулы комбинаторики

При нахождении вероятностей в схеме классического определения широко используется комбинаторика, поэтому напомним наиболее употребительные определения и формулы для вычисления.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р n = n !

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Пример . Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение . Искомое число трехзначных чисел Р 3 = 3! = 123 = 6.

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример . Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение . Искомое число сигналов
.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

.

Пример . Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение . Искомое число способов
.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Замечание . Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями

,

где n 1 + n 2 + . = n .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

1. Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А , либо В можно m + n способами.

2. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А , В ) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Приведем несколько примеров непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А )=1/10.

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т.е.
. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (В )=1/90.

Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А )».

Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность

Р (А ) = 1/2.

Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение . Общее число равновозможных исходов испытания равно 66 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1; 3), (3; 1), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность

Р (А ) = 3/36 = 1/12.

Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов но 6 элементов ().

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять на семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можноспособами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно
.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.

План занятия:

1. Число размещений.

2. Число перестановок.

3. Число сочетаний.

5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Методические указания по изучению темы

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Пусть есть некоторое множество из n элементов: x 1, x 2, x 3, …, x n .

Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:

Понятие факториала

Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n ! (n факториал), то есть

Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.

Из последних двух формул следует, что

В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?

Решение : Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда

Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P n (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:

В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?

В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)

Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?

Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляют по формуле: (С — первая буква французского слова combinasion).

Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?

Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний

Свойства числа сочетаний:

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.

Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Размещения с повторениями

Число размещений по m элементов с повторениями из n различных элементов равно n m ,то есть

Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.

Перестановки с повторениями

Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Сочетания с повторениями

Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n +m -1) различных элементов по m элементов:

Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a , b , c , d по 3 элемента.

Искомое число будет

Бином Ньютона

Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:

Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

При n = 2 получим формулу ;

При n = 3 получим формулу .

Пример. Определить разложение при n=4.

Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:

Рассмотрим следующий треугольник:

Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:

Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.

В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)

Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)

При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:

4. Найти n , если 5С n 3 =

5. Найти n , если

6. Найти n , если

7. Найти n , если

8. Найти n , если , k n

9. Решить уравнение

10. Решить систему

11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?

13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?

17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?

18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?

20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?

21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?

23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?

24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?

29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?

31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.

32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?

36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.

37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. (Обмен происходит по одной марке).

38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?

40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?

41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?

43. Определить разложение при n=5.

44. Определить разложение при n=8.

45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).

46. Найти шестой член разложения , если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

47. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).

48. В разложении бинома найти члены, не содержащие иррациональности.

49. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

Практическое занятие №2

(интерактивное занятие в малых группах)

Булевы функции

Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.

План занятия:

1. Основные операции

2. Булевы функции от n переменных

3. Основные эквивалентности

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика возникла в XVI веке. Первые комбинаторные задачи касались азартных игр. Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров, для решения других проблем теории информации.

Значительную роль комбинаторные методы играют и в чисто математических вопросах — теории групп и их представлений, изучении основ геометрии, неассоциативных алгебр и др.

Пример комбинаторной задачи. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

I способ. Постараемся выписать все такие числа. На первом месте может стоять любая цифра кроме 0. Например, 2. На втором месте любая цифра из 0, 4, 6 и 8. Пусть 0. Тогда в качестве третьей цифры можно выбрать любую из 4, 6, 8. Получаем три числа

Вместо 0 на второе место можно было поставить 4, тогда третье цифрой можно записать или 0, или 6, или 8:

Рассуждая аналогично, получаем ещё две тройки трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте:

Других, кроме выписанных 12-ти, трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте, и удовлетворяющих условию, нет.

Если на первом месте записать цифру 4, а остальные выбирать из цифр 0, 2, 6, 8, то получим ещё 12 чисел:

По столько же трёхзначных чисел можно составить с цифрой 6 на первом месте и цифрой 8 на первом месте. Значит, искомое количество:

204, 206, 208, 240, 246, 248, 260, 264, 268, 280, 284, 286;

402, 406, 408, 420, 426, 428, 460, 462, 468, 480, 482, 486;

602, 604, 608, 620, 624, 628, 640, 642, 648, 680, 682, 684;

802, 804, 806, 820, 824, 826, 840, 842, 846, 860, 862, 864.

Ответ: 48. ◄

Метод рассуждения, которым мы воспользовались при решении предыдущей задачи, называется перебором возможных вариантов .

Правила сложения и умножения

Комбинаторное правило сложения (правило «или») — одно из основных правил комбинаторики, утверждающее, что, если имеется n элементов и элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 A n можно выбрать m n способами, то выбрать или A 1 , или A 2 , или, и так далее, A n можно

m 1 + m 2 + . + m n

Например, выбрать подарок ребёнку из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог можно

Ответ: 19. ◄

Правило умножения (правило «и») — ещё одно из важных правил комбинаторики. Согласно ему, если элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 способами и так далее, элемент A n можно выбрать m n способами, то набор элементов ( A 1 , A 2 , . , A n ) можно выбрать

m 1 · m 2 · . · m n

1) Выбрать ребёнку в подарок машинку, плюшевого медведя и железную дорогу, выбирая из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог, можно

2) Воспользуемся правилом умножения для решения задачи, уже рассмотренной выше: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

0 не может стоять первым, значит первую цифру нужно выбрать из 2, 4, 6, 8 — 4 способа;

второй цифрой может быть любая из четырёх оставшихся — 4 способа;

третью цифру можно выбрать среди трёх оставшихся — 3 способа.

Итак, искомое количество трёхзначных чисел:

Ответ: 48. ◄

Перестановки

Множество из n элементов называется упорядоченным , если каждому его элементу поставлено в соответствие натуральное число от 1 до n .

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

Например, из 4 элементов ♦ ♣ ♠ можно составить следующие 24 перестановки:

◄

Количество перестановок из n элементов принято обозначать P n . С помощью перебора возможных вариантов легко убедиться, в том что

P 1 = 1; P 2 = 2; P 3 = 6; P 4 = 24.

Вообще, число всевозможных перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n , то есть n ! (читается «эн факториал»):

P n = 1 · 2 · 3 · . · ( n — 1 ) · n = n !.

Для P n справедлива рекуррентная формула:

P n = n · P n — 1 .

Значение факториала определено не только для натуральных чисел, но и для 0:

Таблица факториалов целых чисел от 0 до 10
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n !	1	1	2	6	24	120	720	5 040	40 320	362 880	3 628 800

Например, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре места в одном ряду с 1-го по 10-е место, если никакие два мальчика и никакие две девочки не сидят рядом?

Возможны два случая с одинаковым количеством способов: 1) мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных и 2) наоборот.

Рассмотрим первый случай. Мальчики по нечётным местам могут сесть

способами. Столько способов и для девочек на чётных местах. Согласно правилу умножения, мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных могут расположиться

120 · 120 = 14 400

способами. Значит, всего способов

14 400 + 14 400 = 28 800.

Ответ: 28 800. ◄

Перестановки с повторениями

Перестановкой с повторениями из n элементов, среди которых k разных, при этом насчитывается n 1 неразличимых элементов первого типа, n 2 неразличимых элементов второго типа и так далее, n k неразличимых элементов k -го типа (где n 1 + n 2 + … + n k = n ), называется любое расположение этих элементов по n различным местам.

Число перестановок с повторениями длины n из k разных элементов, взятых соответственно по n 1 , n 2 , …, n k раз каждый обозначается и вычисляется следующим образом:$$P_=\frac

Например, сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4?

В данном случае: n = 10, n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3, n 4 = 4,$$P_<1, 2, 3, 4>=\frac<10!><1!2! 3! 4!>=\frac<10!><1!2! 3! 4!>=12

Ответ: 12 600. ◄

Размещения

Размещением из n элементов по m (m ≤ n) m элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Два размещения из n элементов по m считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения.

Например, составим все размещения из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:

◄

Число всех размещений из n элементов по m обозначают \(A_n^m\) (читается: » А из n по m «) и вычисляется по любой из формул:$$A_n^m=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot . \cdot (n-m+1)\\A_n^m=\frac<(n-m)!>$$

1) Воспользуемся понятием размещений из n элементов по m для решения задачи, уже дважды рассмотренной ранее: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Первую цифру можно выбрать четырьмя способами из набора 2, 4, 6, 8. В каждом из этих случаев количество пар второй и третей цифры равно числу размещений из 4 оставшихся цифр по 2. Значит искомое количество трёхзначных чисел равно:$$4\cdot A_4^2=4\cdot \frac<4!><(4-2)!>=4\cdot \frac<4!><2!>=4\cdot (3\cdot 4)=48.$$Ответ: 48.

2) Для полёта в космос необходимо укомплектовать экипаж из шести человек. В него должны входить: командир корабля, первый и второй его помощники, два бортинженера, один из которых старший, и один врач. Командный состав выбирается из 20 лётчиков, бортинженеры — из 15 специалистов, а врач — из 5 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?

Поскольку в выборе командного состава важен порядок, то командира и двух его помощников можно выбрать \(A_<20>^3\) способами. Порядок бортинженеров тоже важен, значит, для их выбора существует \(A_<15>^2\) способов. Врач всего один, для его выбора существует 5 способов. Воспользуемся комбинаторным правилом умножения и найдём количество возможных экипажей корабля:$$A_<20>^3\cdot A_<15>^2\cdot 5=\frac<20!><17!>\cdot \frac<15!><13!>\cdot 5=(18\cdot 19\cdot 20)\cdot (14\cdot 15)\cdot 5=7

000.$$Ответ: 7 182 000. ◄

Понятно, что, если m = n , то$$A_n^m=A_n^n=P_n=n!.$$

Справедливо также, что, если m = n — 1 , то$$A_n^=A_n^n=P_n=n!.$$

Размещения с повторениями

Помимо обычных размещений бывают и размещения с повторениями или выборки с возвращением .

Пусть имеется n различных объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был только что взят), запишем его название, пометив номером 2, и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.

Например, количество вариантов шестизначного пароля, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 или буквой латинского алфавита (одна и та же строчная и прописная буква — один символ) и может повторяться, равно:$$\overline_<10+26>^6=\overline_<36>^6=36^6=2

336.$$Если же строчные и прописные буквы считаются различными символами (как это обычно и бывает), то количество возможных паролей становится ещё более колоссальным:$$\overline_<10+26+26>^6=\overline_<62>^6=62^6=56

◄

Сочетания

Сочетанием из n элементов по m (m ≤ n) называется любое множество, состоящее из m элементов, выбранных из данных n элементов.

В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по m считаются различными, если они различаются хотя бы одним элементом.

Например, составим все сочетания из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:

◄

Число всех сочетаний из n элементов по m обозначают \(C_n^m\) (читается: » C из n по m «) и вычисляется по любой из формул:$$C_n^m=\frac$$$$C_n^m=\frac

1) Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?

Так как порядок маляров в каждой выбранной четвёрке и порядок плотников в каждой выбранной паре не имеет значения, то, согласно комбинаторному правилу умножения, искомое количество способов равно:$$C_<12>^4 \cdot C_5^2 =\frac<12!><4!\cdot 8!>\cdot \frac<5!><2!\cdot 3!>=\frac<9\cdot10\cdot11\cdot12><1\cdot2\cdot3\cdot4>\cdot \frac<4\cdot5><1\cdot 2>=4

950.$$Ответ: 4 950. ◄

2) В классе обучаются 30 учащихся, среди которых 13 мальчиков и 17 девочек. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 учащихся этого класса, если в неё должна входить хотя бы одна девочка?

Количество всех возможных команд по 7 человек из класса равно \(C_<30>^7\). Количество команд в которых только мальчики — \(C_<13>^7\). Значит, количество команд, в которых есть хотя бы одна девочка, равно:$$C_<30>^7 — C_<13>^7 =\frac<30!> <7!\cdot 23!>— \frac<13!><7!\cdot 6!>=2

084.$$Ответ: 2 034 084. ◄

Сочетания с повторениями

Помимо обычных сочетаний рассматривают сочетания с повторениями .

Пусть в множестве имеется n объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был взят и записан ранее), запишем его название и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.

Принципиальное отличие от размещений с повторениями заключается в том, что в данном случае элементы списка не нумеруются. Например, список «A, С, A, В» и список «А, А, В, С» считаются одинаковыми.

Сочетания с повторениями обозначаются \(\overline_n^m\) и вычисляются по формуле$$\overline_n^m=P_

n-1>=\frac<(m+n-1)!>.$$И ещё один способ записи той же формулы:$$\overline_n^m=C_^m=\frac<(m+n-1)!>.$$Заметим, что подобно размещениям с повторениями, допустим случай, когда m > n , то есть выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Действительно, каждый объект после «использования» возвращается обратно и может быть использован снова и снова.

Например, выясним сколькими способами можно купить 7 пирожных в кондитерском отделе, если в продаже 4 их сорта?

Естественно полагать, что количество пирожных каждого вида не меньше 7, и при желании можно купить только пирожные одного из них. Так как порядок в котором кладут купленные пирожные в коробку не важен, то имеем дело с сочетаниями с повторениями. Так как нужно выбрать 7 пирожных из 4 его видов, то искомое количество способов равно:$$\overline_4^7=\frac<(7+4-1)!><7!\cdot (4-1)!>=\frac<10!><7!\cdot 3!>=\frac<8\cdot 9\cdot 10><1\cdot 2\cdot 3>=120.$$

Ответ: 120. ◄

Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты

Равенство$$(x+a)^n=C_n^0x^na^0+C_n^1x^a^1+. +C_n^mx^a^m+. +C_n^nx^0a^n$$называют биномом Ньютона или формулой Ньютона . Правая часть равенства называется биномиальным разложением в сумму , а коэффициенты \(C_n^0,