Как убрать корень из уравнения

Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых есть арифметические корни или степени с дробным показателем от выражений, зависящих от переменной \(x\), называются иррациональными. Это одни из самых неприятных уравнений в школьном курсе математики. Но бояться их не стоит, просто нужно внимательно следить, чтобы в процессе решения не появились посторонние корни.

Как решать такие уравнения, и откуда берутся посторонние корни, мы разберем в этом уроке.

Нам понадобятся уверенные знания по темам:

, квадратные и рациональные уравнения; и корень степени \(n\);
• ОДЗ;

Для начала на примерах разберемся, какие уравнения называются рациональными, а какие иррациональными:

\(x^2+4x-5=0\) — это обыкновенное квадратное уравнение, в нем нет никаких корней и дробных степеней, значит это уравнение рациональное;

\(\frac-\frac<4x^2>=1\) — здесь тоже нет ни корней, ни дробных степеней: уравнение рациональное;

\(\sqrt+x=27\) — а здесь есть арифметический квадратный корень \(\sqrt\), поэтому это уравнение будет иррациональным;

\(x^<\frac<1><3>>+3=10\) — так как в уравнении есть дробная степень \(x^<\frac<1><3>>\), то это уравнение тоже будет иррациональным;

\(\frac<1><\sqrt[3]>+2x=19\) — иррациональное уравнение, так как есть корень третьей степени \(\sqrt[3]\).

Существует несколько основных типов иррациональных уравнений. Начнем с самого простого.

Как избавиться от квадратного корня в уравнении

Когда вы впервые узнали о квадратах чисел, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции с квадратами, а также о квадратном корне. Эта обратная связь между квадратными числами и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет влияние другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила о том, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень с одной стороны уравнения. Затем возведите в квадрат обе стороны уравнения и продолжайте решение для переменной. Не забудьте проверить свою работу в конце.

Простой пример

Прежде чем рассмотреть некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями, рассмотрим простой пример: Решите уравнение √ x + 1 = 5 для x .

Изолировать квадратный корень

Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения. Например, если исходное уравнение было √ x + 1 = 5, вы бы вычли 1 из обеих частей уравнения, чтобы получить следующее:

Квадрат обе стороны уравнения

Возведение в квадрат обеих сторон уравнения устраняет знак квадратного корня. Это дает вам:

Или, как только упростили:

Вы удалили знак квадратного корня, и у вас есть значение для x , поэтому ваша работа здесь завершена. Но подождите, есть еще один шаг:

Проверь свою работу

Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:

Поскольку это вернуло правильное утверждение (5 = 5, в отличие от неверного утверждения, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным. В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод Устранение радикалов может иногда создавать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении, поэтому лучше всегда иметь привычку проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная сейчас.

Немного более сложный пример

Что если у вас есть более сложное выражение под знаком радикала (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы все еще можете применить тот же процесс, который использовался в предыдущем примере, но это уравнение выдвигает на первый план пару правил, которым вы должны следовать.

Изолировать радикальное

Как и раньше, используйте операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение радикала на одной стороне уравнения. В этом случае вычитание 5 с обеих сторон дает вам:

Предупреждения

Обратите внимание, что вас просят изолировать квадратный корень (который предположительно содержит переменную, потому что, если бы она была константой вроде √9, вы могли бы просто решить ее на месте; √9 = 3). Вас не просят изолировать переменную. Этот шаг наступает позже, после того как вы удалили знак квадратного корня.

Квадрат обе стороны

Возведите в квадрат обе стороны уравнения, что дает вам следующее:

Что упрощает до:

Предупреждения

Обратите внимание, что вы должны поставить квадрат под знаком радикала, а не только в переменной.

Изолировать переменную

Теперь, когда вы удалили корень или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:

Проверь свою работу

Как и прежде, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:

Что упрощает до:

Упрощение радикала дает вам:

29 = 29, верное утверждение, которое указывает на действительный результат.

Как оценить логарифмы с основанием квадратного корня

Логарифм числа идентифицирует степень, которую определенное число, называемое основанием, должно быть увеличено, чтобы произвести это число. В общем виде это выражается как log a (b) = x, где a — основание, x — мощность, на которую возводится основание, а b — значение, в котором логарифм .

Как оценить, используя кривую квадратного корня

Кривая квадратного корня — это метод повышения оценок всего класса, чтобы привести их в соответствие с ожиданиями. Его можно использовать для коррекции неожиданно сложных испытаний или, как правило, для сложных занятий.

Как получить ответ квадратного корня из квадратного корня на Ти-84

Чтобы найти квадратный корень с помощью моделей Texas Instruments TI-84, найдите символ квадратного корня. Эта вторая функция находится над клавишей x в квадрате на всех моделях. Нажмите вторую функциональную клавишу в левом верхнем углу клавиатуры и выберите клавишу х в квадрате. Введите значение, о котором идет речь, и нажмите Enter.

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Это простейшее квадратное уравнение, имеющее два корня: 4 и −4 . Такое уравнение мы решали используя определение квадратного корня.

Согласно определению квадратного корня, число b является квадратным корнем из числа a , если b 2 = a и обозначается как b = √a .

Тогда в случае x 2 = 16 , можно записать что x = √16 , откуда x = ±4 .

Теперь решим данное квадратное уравнение путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

«Обернём» обе части уравнения x 2 = 16 в квадратный корень:

Теперь вспоминаем одно из свойств квадратного корня, которое гласит что квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа

Тогда в левой части нашего уравнения получим модуль из x , а в правой части число 4

Получили простейшее уравнение с модулем. Оно имеет два корня: 4 и −4. Запишем это решение в виде совокупности уравнений:

Проверка:

Из правой части уравнения x 2 = 16 следует извлекать именно арифметический квадратный корень. Ранее мы говорили, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. То есть:

Но в данном случае нас интересует именно неотрицательное значение 4 (его и называют арифметическим квадратным корнем). Потому что если мы извлечем и второй корень (отрицательный −4 ), то получим уравнение |x|= −4 которое не имеет решений.

Пример 2. Решить уравнение 3x 2 = 12

Решение

Разделим обе части на 3

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

Получили простейшее уравнение с модулем. Решим его, сведя его в совокупность:

Как убрать корень из уравнения

Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня

— это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:

Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:

1. Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
2. 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g ( x ) ≥ 0.
3. Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?

Решение иррационального уравнения

Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:

2 x 2 − 14 x + 13 = (5 − x ) 2
2 x 2 − 14 x + 13 = 25 − 10 x + x 2
x 2 − 4 x − 12 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b 2 − 4 ac = (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x ₁ = 6; x ₂ = −2

Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.

Как упростить решение

Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.

Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g ( x ) = 5 − x , которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:

Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:

g ( x ₁) = g (6) = 5 − 6 = −1 < 0
g ( x ₂) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Из полученных значений следует, что корень x ₁ = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x ₂ = −2 нам вполне подходит, потому что:

1. Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
2. Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x ₂ = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.

Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.

Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней

Решение уравнений через переход к уравнениям-следствиям может привести к появлению так называемых посторонних корней. В этой статье мы, во-первых, детально разберем, что такое посторонние корни. Во-вторых, поговорим о причинах их возникновения. И в-третьих, на примерах рассмотрим основные способы отсеивания посторонних корней, то есть, проверки корней на предмет наличия среди них посторонних с целью исключения их из ответа.

Посторонние корни уравнения, определение, примеры

В школьных учебниках по алгебре не дается определение постороннего корня. Там представление о постороннем корне формируется путем описания следующей ситуации: при помощи некоторых преобразований уравнения осуществляется переход от исходного уравнения к уравнению-следствию, находятся корни полученного уравнения-следствия, и осуществляется проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, которая показывает, что некоторые из найденных корней не являются корнями исходного уравнения, эти корни называют посторонними корнями для исходного уравнения [1, с. 174-175; 2, с. 202; 3, с. 187-188].

Отталкиваясь от этой базы, для себя можно принять такое определение постороннего корня:

Посторонние корни – это корни полученного в результате проведения преобразований уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение и следствие этого уравнения x·(x−1)=0 , полученное в результате замены выражения тождественно равным ему выражением x·(x−1) . Исходное уравнение имеет единственный корень 1 . Уравнение, полученное в результате проведения преобразования, имеет два корня 0 и 1 . Значит 0 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Причины возможного появления посторонних корней

Если для получения уравнения-следствия не использовать никакие «экзотические» преобразования, а использовать только основные преобразования уравнений, то посторонние корни могут возникнуть лишь по двум причинам:

• из-за расширения ОДЗ и
• из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Здесь стоит напомнить, что расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения в основном происходит

• При сокращении дробей;
• При замене нулем произведения с одним или несколькими нулевыми множителями;
• При замене нулем дроби с нулевым числителем;
• При использовании некоторых свойств степеней, корней, логарифмов;
• При использовании некоторых тригонометрических формул;
• При умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для этого уравнения;
• При освобождении в процессе решения от знаков логарифмов.

Пример из предыдущего пункта статьи иллюстрирует появление постороннего корня из-за расширения ОДЗ, которое имеет место при переходе от уравнения к уравнению-следствию x·(x−1)=0 . ОДЗ для исходного уравнения есть множество всех действительных чисел, за исключением нуля, ОДЗ для полученного уравнения есть множество R, то есть, ОДЗ расширяется числом нуль. Это число в итоге и оказывается посторонним корнем.

Также приведем пример появления постороннего корня из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Иррациональное уравнение имеет единственный корень 4 , а следствие этого уравнения, полученное из него путем возведения обеих частей уравнения в квадрат, то есть, уравнение , имеет два корня 1 и 4 . Из этого видно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат привело к появлению постороннего корня для исходного уравнения.

Заметим, что расширение ОДЗ и возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, не всегда приводит к появлению посторонних корней. Например, при переходе от уравнения к уравнению-следствию x=2 ОДЗ расширяется с множества всех неотрицательных чисел до множества всех действительных чисел, но посторонние корни не появляются. 2 – это единственный корень как первого, так и второго уравнения. Также не происходит появления посторонних корней при переходе от уравнения к уравнению-следствию . Единственным корнем и первого, и второго уравнения является x=16 . Именно поэтому мы говорим не о причинах появления посторонних корней, а о причинах возможного появления посторонних корней.

Что такое отсеивание посторонних корней?

Термин «отсеивание посторонних корней» лишь с натяжкой можно назвать устоявшимся, он встречается далеко не во всех учебниках алгебры, но является интуитивно понятным, из-за чего обычно и используется. Что понимают под отсеиванием посторонних корней, становится понятно из следующей фразы: «… проверка – обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»)» [1, с.176].

Отсеивание посторонних корней – это обнаружение и отбрасывание посторонних корней.

Теперь можно переходить к способам отсеивания посторонних корней.

Способы отсеивания посторонних корней

Проверка подстановкой

Основной способ отсеивания посторонних корней – это проверка подстановкой. Он позволяет отсеять посторонние корни, которые могли возникнуть и по причине расширения ОДЗ, и по причине возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Проверка подстановкой состоит в следующем: найденные корни уравнения-следствия по очереди подставляются в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение, те из них, которые дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения, а те, которые дают неверное числовое равенство или выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Покажем на примере, как проводится отсеивание посторонних корней через подстановку в исходное уравнение.

Решите уравнение

В некоторых случаях отсеивание посторонних корней целесообразнее проводить другими способами. Это относится в основном к тем случаям, когда проверка подстановкой связана со значительными вычислительными трудностями или когда стандартный способ решения уравнений какого-то определенного вида предполагает другой проверки (например, отсеивание посторонних корней при решении дробно-рациональных уравнений проводится по условию не равенства нулю знаменателя дроби). Разберем альтернативные способы отсеивания посторонних корней.

По ОДЗ

В отличие от проверки подстановкой, отсеивание посторонних корней по ОДЗ уместно не всегда. Дело в том, что этот способ позволяет отсеивать лишь посторонние корни, возникающие по причине расширения ОДЗ, и он не гарантирует отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть по другим причинам, например, из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Более того, не всегда просто отыскать ОДЗ для решаемого уравнения. Тем не менее, способ отсеивания посторонних корней по ОДЗ стоит держать на вооружении, так как часто его использование требует меньших вычислительных работ, чем использование других способов.

Отсеивание посторонних корней по ОДЗ проводится следующим образом: все найденные корни уравнения-следствия проверяются на предмет принадлежности области допустимых значений переменной для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения, те из них, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те из них, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Анализ приведенной информации приводит к выводу, что отсеивание посторонних корней по ОДЗ целесообразно проводить, если единовременно:

• легко находится ОДЗ для исходного уравнения,
• посторонние корни могли возникнуть только по причине расширения ОДЗ,
• проверка подстановкой связана со значительными вычислительными сложностями.

Покажем, как проводится отсеивание посторонних корней, на практике.

Решите логарифмическое уравнение

По условиям ОДЗ

Как мы сказали в предыдущем пункте, если посторонние корни могли возникнуть лишь по причине расширения ОДЗ, то их можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Но не всегда просто найти ОДЗ в виде числового множества. В таких случаях можно проводить отсеивание посторонних корней не по ОДЗ, а по условиям, определяющим ОДЗ. Разъясним, как проводится отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ.

Найденные корни по очереди подставляются в условия, определяющие ОДЗ для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения. Те из них, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями уравнения. А те из них, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию или дают не имеющее смысла выражение, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Приведем пример отсеивания посторонних корней по условиям ОДЗ.

Решить иррациональное уравнение

Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень

Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.

Отсеивание посторонних корней, которые могут возникнуть при возведении в одну и ту же четную степень обеих частей иррациональных уравнений вида , где n – некоторое четное число, можно проводить по условию g(x)≥0 . Это вытекает из определения корня четной степени: корень четной степени n есть неотрицательное число, n -ая степень которого равна подкоренному числу, откуда . Таким образом, озвученный подход представляет собой своего рода симбиоз метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метода решения иррациональных уравнений по определению корня. То есть, уравнение , где n –четное число, решается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а отсеивание посторонних корней выполняется по условию g(x)≥0 , взятому из метода решения иррациональных уравнений по определению корня.

Покажем, как на практике отсеиваются посторонние корни указанным способом.

Решите уравнение

В заключение скажем, что рассмотренный подход является частным случаем более общего подхода к отсеиванию посторонних корней, возникающих при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Отсеять посторонние корни, которые могут возникнуть при возведении обеих частей уравнения f(x)=g(x) в одну и ту же четную степень, можно по условию . Несомненно, озвученное утверждение нуждается в доказательстве. Оставим это Вам.

Приведем пример отсеивания посторонних корней предложенным способом. Возьмем уравнение , «сделанное» из только что решенного уравнения. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат и некоторые дальнейшие преобразования позволяют найти корни и . Проведем отсеивание посторонних корней по условию , которое в нашем случае таково

Подстановка в неравенство корня дает

Полученное неравенство верное, так как в числителе положительное число, а в знаменателе – отрицательное, поэтому, отношение этих чисел есть отрицательное число. Значит, — корень исходного уравнения.

Подстановка в неравенство корня дает неравенство , которое является неверным, так как отношение двух положительных чисел есть число положительное. Значит, — посторонний корень для решаемого уравнения.

Иррациональные уравнения

Простейшие иррациональные уравнения мы рассматривали здесь.

С простейшими иррациональными уравнениями мы сталкиваемся в части В ЕГЭ по математике.

Сегодня же работаем с иррациональными уравнениями , с которыми вы можете столкнуться в части С ЕГЭ по математике.

Это не единственный способ. Можно, например, переходить к уравнениям-следствиям, после чего полученные корни подвергать проверке. Но это не всегда удобно…

Задание 1.

Какая информация скрыта в самом уравнении?

Возводя в квадрат обе части уравнения, мы выйдем на новое уравнение, – при этом мы сохраним информацию, заложеннную в исходном уравнении.

Обратите внимание, – мы вольны выбрать лишь одно из неравенств! Скажите, зачем нам писать еще и , если и мы уже сказали, что ?

Оставляйте наиболее выгодное (простое) неравенство!

Решением данной системы, а значит и исходного уравнения, является число 5.

Задание 2.

(Нет смысла указывать, что еще и . Раз правая часть уравнения системы неотрицательна и мы сказали, что в левой части один из множителей неотрицателен, то и второй автоматически неотрицателен). Выбирайте любое из неравенств!)

Задание 3.

Перепишем уравнение следующим образом:

Подкоренное выражение () неотрицательно.

А так как левая часть уравнения не отрицательна, то и

Вот эту информацию мы должны сохранить при преобразовании основного уравнения.

Поэтому переходим к следующей, равносильной системе:

У вас не возникло вопроса, почему мы не указали в системе ? На самом деле об этом в системе сказано! Ведь есть , а квадрат не может быть отрицательным.

Решение системы – число -1.

Задание 4.

Перепишем уравнение так:

Мы не будем сокращать обе части уравнения на ! Это может грозить потерей корней.

Переходим к совокупности:

Обратите внимание – уравнение должно быть подчинено условию !

Можно сказать так:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда первый множитель равен нулю при условии, что второй существует, или второй множитель равен нулю при условии, что первый существует.

Возвращаемся к совокупности:

Корень уравнения не удовлетворяет неравенству

Поэтому совокупность равносильна уравнению

Задание 5.

Перепишем уравнение следующим образом:

Обе части этого уравнения на его области определения принимают неотрицательные значения.

Возведем в квадрат обе части:

Это уравнение равносильно исходному.

Задание 6.

Выгодно переписать уравнение вот так:

Возводим обе части уравнения в квадрат, переходим к системе, равносильной исходному уравнению:

Система равносильна уравнению:

Если мы уже указали, что и при этом у нас правая часть равенства неотрицательна, то вытекает автоматически.

(Точно также мы могли бы указать лишь и не указывать, что ).

Задание 7.

После разложения на множители каждого подкоренного выражения имеем:

Конечно же, мы замечаем одинаковый множитель в подкоренных выражениях. Как это использовать?

Только будьте осторожны! Нельзя расщеплять корень такого вида на ! Это верно только в случае

Рассмотрим три случая:

1)

является корнем исходного уравнения.

2)

Или (после деления на обеих частей)

При уравнение не имеет решений, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.

Рассмотрим третий случай.

3)

или (после деления на обеих частей)

Уравнение не имеет корней, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.

Итак, решением исходного уравнения является 4 (из случая (1)).

Задание 8.

Рассмотрим еще один полезный прием.

Домножим обе части уравнения на .

Но, обратите внимание, эта разность обращается в нуль при (но – не есть корень исходного уравнения).

Поэтому, чтобы в дальнейшем вдруг не получить посторонние корни, потребуем, чтобы

Поскольку , сократим на обе части уравнения, перейдем к равносильному уравнению:

Возводим в квадрат обе части равенства:

Уравнение корней не имеет. (Зря старались:)…)

Ответ: решений нет.

Задание 9.

Как и в предыдущем задании домножим обе части уравнения на сопряженное к левой части уравнения выражение.

Как убрать корень из уравнения

Определение: Иррациональными называются уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня или возведена в дробно-рациональную степень.
Пример:
1)
2)

Основные методы и понятия.

При решении иррациональных уравнений следует помнить несколько ограничений:
1) Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным (т.е.больше или равным нуля).
2) Корень четной степени может принимать только неотрицательные значения.
Пример:
Дано уравнение:

Здесь можно ввести ограничения:
Также следует помнить, что .

Почти каждое уравнение можно решать двумя подходами:
А) найти Область Допустимых Значений (ОДЗ) для переменной и проверить, входят ли в эту область полученные корни,
Б) решать «в лоб», но для всех полученных корней сделать проверку, подставив их в исходное уравнение.
Но лучше перебдеть, чем недобдеть, поэтому в любом случае, всегда-всегда следует стараться сделать проверку. Иногда это затруднительно, особенно если корень получился похожим на нечто такое: , но пробовать стоит всегда.
Для того, чтобы показать необходимость проверки полученных корней, рассмотрим два равенства:
и
Первое из них верное, а второе – нет.
Возведем обе части каждого из них в квадрат.
Получим
и
Получено два ВЕРНЫХ равенства.
Из этого бесхитростного примера можно сделать вывод: при возведении в квадрат обеих частей уравнения нередко появляются лишние корни, т.к. при возведении в квадрат отрицательные величины становятся положительными.

Решение уравнений вида: .
Задача: решить уравнение
Метод решение:
1) Найдем Область Допустимых Значений переменной, решив систему неравенств

2) Возведем в квадрат обе части уравнения, тем самым избавимся от корня.
3) Решим полученное уравнение

4) Проверим, входят ли полученные корни в Область Допустимых Значений.
5) Сделаем проверку корней, подставив их в исходное уравнение.

Пример 1 (Уравнение имеет корни):

ОДЗ этого уравнения:
2)

4)
Значение является корнем уравнения, т.е. оно входит в ОДЗ, т.к.
Значение не является корнем уравнения, т.к. оно не входит в ОДЗ, т.к.
5) Проверим корень , подставим его в исходное равенство

Конечно, можно и в квадрат возвести, но…. вспомним один крайне полезный метод, о котором рассказывается в статье Решение алгебраических уравнений, содержащих модули.

Итак, преобразуем левую часть равенства:

Получили:
равенство верное, т.е. является корнем уравнения.
Ответ:

Пример 2 (уравнение корней не имеет):

Задача: решить уравнение:
1)

Эта система не имеет решения. Получается, что Область Допустимых Значений не содержит ни одного элемента, т.е. ни одно из значений переменной х не может быть корнем этого уравнения. На этом решение окончено.
ОДЗ этого уравнения:
Ответ: корней нет.

Замечание: Основной метод решения иррациональных уравнений – возведение обеих частей равенства в степень, равную степени корня, дабы от оного избавиться. Но есть еще замены, преобразования, сокращения и т.д. и т.п.
Вперед