Как правильно округлять в физике
Обработка результатов измерений в лабораториях проводятся на калькуляторах и ПК, и просто удивительно, как магически действует на многих студентов длинных ряд цифр после запятой. «Так точнее» – считают они. Однако легко видеть, например, что запись a = 2.8674523 ± 0.076 бессмысленна. При ошибке 0.076 последние пять цифр числа не означает ровно ничего.
Если мы допускаем ошибку в сотых долях, то тысячным, тем более десятитысячным долям веры нет. Грамотная запись результата была бы 2.87 ± 0.08. Всегда нужно производить необходимые округления, чтобы не было ложного впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результатов.
Правила округления
- Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу.
Примеры:
8.27 ≈ 9 0.237 ≈ 0.3 0.0862 ≈ 0.09 0.00035 ≈ 0.0004 857.3 ≈ 900 43.5 ≈ 50 - Результаты измерения округляют с точностью «до погрешности», т.е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.
Примеры:
8.337 (округлить до десятых) ≈ 8.3;
833.438 (округлить до целых) ≈ 833;
0.27375 (округлить до сотых) ≈ 0.27.
8.3351 (округлить дл сотых) ≈ 8.34;
0.2510 (округлитьь до десятых) ≈ 0.3;
271.515 (округлить до целых) ≈ 272.
Мир науки
Рефераты и конспекты лекций по географии, физике, химии, истории, биологии. Универсальная подготовка к ЕГЭ, ГИА, ЗНО и ДПА!
Погрешности измерений показывают также, какие цифры в полученном результате измерения сомнительны, поэтому нет смысла в записи погрешности с большим числом знаков.
По обычаю ограничиваются одной значащей цифрой и только при особо точных измерениях погрешность записывается двумя или тремя цифрами.
Используют 3 правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения:
1. Погрешность результата измерения показывается двумя значащими цифрами, если первая из них 1 или 2, и одной — если первая цифра 3 и более.
2. Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым заканчивается округления значение абсолютной погрешности.
3. Округление производится только в конечной ответы, а все предварительные расчеты проводят с одним — двумя лишними знаками.
В соответствии с правилом 1 установлены и нормированные значения погрешностей 3В: в числах 1,5% или 2,5% показываются два знака, но в числах 0,5%, 4%, 6%; показывается только один знак.
При округлении результатов измерения используют еще такие правила:
1) лишние цифры в целых чисел заменяют нулями, а в дробных десятичных отвергают; н., 732 «700.
2) если первая из заменяемых нулями или откидываемых цифр <5, то цифры, которые остались не меняются, если же она> 5, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на 1;
3) если отвергаем цифра = 5 со следующими нулями, то округление производится до ближнего четного числа.
Результаты измерения можно записать некоторыми значимыми цифрами и рядом нулей, но в этом случае и нули должны полностью определенное значение и характеризуют погрешность измерения. Н., пусть результат измерения их = 9,5 B, который можно записать цифрами: 9,5; 9,50; 9,500. В этих случаях нули после последней значащей цифры определяют показатель достоверности результатов измерения. С этой точки зрения эти записи необходимо читать так: 9,45 <Ux <9,55; 9,495 <и <9,505; 9,4995 <Ux <9,5005.
В метрологии по обычаю используют следующее правило: погрешность, которая получается в результате вычислений, должна быть на порядок меньше суммарной погрешности измерения, т.е. необходимое число знаков в результате вычисления должно быть жестко связано с реальной точностью измерений.
При выполнении вычислений нескольких составляющих погрешности с n верными знаками, необходимо взято наибольшее составляющую с (n +1) знаками, другие составляющие округлить до разрядности крупнейшей составляющие округлить до разрядности крупнейшей составляющей и выполнить вычисления. После выполнения вычислений округлить результат до необходимого количества значащих цифр.
Правила округления и представления результата измерений с учетом абсолютной погрешности измерений
Как уже отмечалось выше, ни одну физическую величину невозможно измерить абсолютно точно. Поэтому, если, например, наш исследователь измерил плотность тела и сообщил Вам, что она равна 6,3×10 3 кг/м 3 , то Вы можете быть уверены – это число несколько отличается от истинного значения плотности тела (исследователь и сам об этом знает). Если теперь ту же физическую величину (то есть плотность) измерит другой исследователь, то он может Вам назвать другое число – например, 6,27×10 3 кг/м 3 . Но и это число тоже отличается от истинного значения.
С другой стороны, оба числа (6,3×10 3 кг/м 3 и 6,27×10 3 кг/м 3 ) — разные. Какое же из них ближе к истинному? Наверное, то, у которого больше цифр. Тот исследователь, который сообщил больше цифр, наверное, измерял точнее, следовательно, допустил меньшую погрешность.
Погрешность показывает, насколько тот, кто проводил измерения, гарантирует результат.
Как первый, так и второй исследователи, сообщив Вам свой результат, непременно сообщат и то, насколько они могли ошибиться. Сделают они это так.
· Первый исследователь: «плотность тела равна (6,3 ±0,1)×10 3 кг/м 3 .
· Второй исследователь: «плотность тела равна (6,27 ±0,03)×10 3 кг/м 3 .
Это значит, что первый исследователь гарантирует Вам, что значение плотности находится в интервале (6,2 ¸ 6,4)×10 3 кг/м 3 , а его коллега гарантирует, что значение плотности находится в интервале (6,24 ¸ 6,30)×10 3 кг/м 3 . Они не противоречат друг другу, и они оба правы. Однако второй исследователь провёл измерения точнее, допущенная им погрешность меньше.
Приведённый пример показывает, для чего нужно знать погрешность, если целью эксперимента является измерение некоторой физической величины. А если эксперимент ставится для проверки физической закономерности или закона? В необходимости знания погрешностей в этом случае мы убедимся в дальнейшем.
А вот студенты иногда дают ответы, например, такого типа: . Результат измерения содержит пять цифр, и это создаёт впечатление высокой точности измерения. Значение же абсолютной погрешности показывает, что студент, проводивший измерения, уверен только в первой цифре результата измерения 2, а во второй цифре 8 он сомневается (возможно, на самом деле 7 или 9). Но как он тогда может утверждать, что в третьей цифре он ошибается не более чем на 2? Ведь ошибка во второй цифре на единицу означает, что истинное значение измеряемого напряжения лежит в интервале . Это означает, что третья цифра в истинном значении напряжения может быть любой – от 0 до 9. То же самое относится, естественно, и ко всем остальным цифрам. Итак, правильно записать результат измерения надо так: . Несмотря на то, что здесь в результате измерения значительно меньше цифр, чем написал студент, ответ не стал менее точным. Студент же просто написал пять лишних (недостоверных) цифр – лишних потому, что ни в одной из них совершенно не уверен, ведь он сомневается уже во второй цифре результата измерения 8, поэтому цифры 3, 5 и 4 результата измерения и цифры 2 и 7 погрешности совершенно недостоверны.
Запомните это и никогда не пишите лишних цифр. А чтобы Вам легче было это запомнить, прочитайте внимательно следующее правило.
| Правило 4. | При записи результата измерения абсолютную погрешность нужно округлять так, чтобы осталась только одна значащая цифра. После этого округляется результат измерения так, чтобы его последняя цифра находилась в том разряде, в котором находится единственная значащая цифра абсолютной погрешности.[6] |
Здесь необходимо отметить следующее, что погрешность – это всегда потеря [7]. В измерениях — это потеря информации об измеряемой величине.
Поясним на примере. Пусть в ходе эксперимента измерено количество теплоты, полученное каким – то объектом, среднее значение которого равно
Пусть абсолютная ошибка измерений составила,
в первом случае, = 0,0584 кДж.
Тогда результат измерений должен быть записан в виде
= (334,48 ± 0,06) кДж = (334,48 ± 0,06)·10 3 Дж.
Во втором случае = 0,584 кДж, тогда
В третьем случае = 5,84 кДж, тогда
В четвертом случае = 58,4 кДж, тогда
= (330 ± 60) кДж = (33 ± 6)·10 4 Дж.
В пятом случае = 584 кДж, тогда
= (300 ± 600) кДж =(3 ± 6)·10 5 Дж.
Все! Информация об измеряемой величине потеряна. В этом случае необходимо применить измерительные приборы с более высокой точностью, и (или) изменить метод измерений.
Отсюда следует важный вывод: Чем выше точность измерений, тем больше значащих цифр в среднем значении измеряемой величины.
Правильное округление результатов вычисления
Необходимо округлить результаты вычисления. Изучила имеющиеся методички, информацию в интернете, но все равно имеются некие трудности.
Подскажите, правильно ли я округляю.
Считаю баллистическую постоянную гальванометра по этой формуле: B = (C*U)/(n)
Подставляю имеющиеся данные: B = (0.750 * 1.00)/(2.625) = 0,28571
Начинаю думать, как округлять.
В 0,750 три значащих цифры: 7, 5, 0.
В 1.00 три значащих цифры: 1, 0, 0.
В 2,625 четыре значащих цифры: 2, 6, 2, 5.
При умножении и делении сохраняют столько значащих цифр, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством этих цифр.