Телефонный номер состоит из 5 цифр найти вероятность что все цифры различны

Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как велика вероятность, что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечетные?

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,436
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Наудачу взят телефонный номер, состоящий из 5 цифр. Найдите вероятность того, что все числа различны, если первая цифра

Мы отправили письмо со ссылкой на смену пароля на username@mail.ru.

Если письма нет, проверь папку «Спам».

Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся

Нужна регистрация на Учи.ру

«Ваш урок» теперь называется Учи.Ответы. Чтобы зайти на сайт, используй логин и пароль от Учи.ру. Если у тебя их нет, зарегистрируйся на платформе.

Teor.Ver. glava 1

1.1. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 3 билета?

вероятность выиграть, имея три билета, состоит в наступлении хотя бы одного из трех событий, которые являются совместными. В этом случае вместо формулы суммы вероятностей удобнее использовать формулу вычисления вероятностей произведения противоположных событий:

.

Вероятность наступления каждого из событий вычисляется по формуле классического определения вероятности:

.

где — число возможных исходов, а — число благоприятных исходов.

.

Ответ: .

1.2. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

первая цифра может быть любой. Вероятность того, что вторая отличается от первой 9/10, третья отличается от предыдущих 8/10, четвертая и пятая от предыдущих 7/10 и 6/10 соответственно.

Вероятность всех различных 1*9/10*8/10*7/10*6/10=0.3024.

1.3. Какова вероятность вытащить 2 разноцветных шара из ящика, где 8 белых и 12 черных.

существует два варианта выбора разноцветных шара: сначала вытащить черный шар, а затем белый, или сначала вытащить белый шар, а затем черный.

Вероятность вытащить первым черный шар равна , а затем вторым белый . Вероятность вытащить первым белый шар равна , а затем вторым черный . Итоговая вероятность равна .

Ответ: .

1.4. У первого акционера 9 акций вида А и 12 акций вида В. У второго, соотвественно, 5 и 9. В результате операции купли-продажи 7 акций первого перешли ко второму держателю акций. Найти вероятность того, что случайно выбранная акция второго акционера окажется вида А.

рассмотрим гипотезы: Н₁ — взятая акция была из 7 купленных у первого, Н₂ — взятая акция первоначально была у второго.

Тогда . Пусть А — событие, когда взятая акция вида А, тогда по формуле полной вероятности: .

, тогда .

Ответ: .

1.5. Устройство состоит из 12 независимых блоков, помеченных Б1, Б2, …, Б12. Вероятность того, что неисправность может произойти в одном из блоков Б1, Б2, БЗ, Б4 составляет 0,6. При поиске появившейся неисправности обследованы блоки Б1, Б2, БЗ, но неисправность не обнаружена. Какова вероятность того, что неисправность будет обнаружена в блоке Б4?

1.6. Определить вероятность того, что трехзначный номер первой встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр и цифры шесть.

воспользуемся формулой:

;

где:

;

Ответ: .

1.7. Из чисел 1, 2, 3, 15 одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым числом будет не меньше числа 3?

1.8. Стержень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределенной по всей длине стержня. Найти вероятность того, что меньший обломок имеет длину, не превосходящую одной трети длины стержня.

вероятность, что меньший обломок имеет длину не больше стержня, равна .

Ответ: />

1.9. Для повышения надежности прибора он дублируется тремя такими же приборами. Надежность каждого прибора равна 0.6. Найти надежность системы . Сколько надо взять приборов , чтобы надежность системы стала 98% ?

Так как вероятности выхода из строя любого из приборов равны и приборы работают независимо друг от друга, то мы можем найти вероятность того, что все приборы будут неисправны(это единственный случай , когда система неисправна) , и , вычитая из единицы данное решение мы найдем надежность системы.

1) P(s)= P(s)=

2) P(s)<P’(s) (0,9774<0,98) значит, n’>4, но при n=5:

Значит, n’=5;

Ответ:

1.10. Из колоды в 32 карты берутся 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

А- вероятность того, что будет хотя бы одна дама.

Всего 32 карты, из них 4 дамы. При вытягивании первой карты вероятность того, что не будет дамы . При вытягивании второй карты . Третьей . Четвертой .

Вероятность того, что среди вытянутых карт нет дам:

Вероятность того, что будет хотя бы одна дама:

Ответ:

1.11. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 30,7% имеют первую, 39,5% — вторую, 21,9% — третью и 7,9% — четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

вероятность события , заключающегося в том, что случайно взятому больному подойдет кровь случайно взятого донора, будем искать по формуле полной вероятности:

.

где – вероятность гипотезы ;

— условная вероятность наступления события при гипотезе .

Вероятности гипотез равны:

.

.

Найдем условные вероятности:

Если первая группа, то .

Если вторая группа, то .

Если третья группа, то .

Если четвертая группа, то .

Тогда вероятность наступления события :

.

Ответ: .

1.12. Какова вероятность, что при игре в преферанс (32 карты раздаются трём игрокам) в прикупе окажутся два туза?

для первой карты прикупа допустимо 4 варианта (любой из тузов), всего карт 32, для второй – 3 (из 31) карты, поэтому

Ответ:

1.13. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпало 4.

всего исходов , а благоприятных 3: (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1). Итоговая вероятность равна .

Ответ: .

1.14. 4 поздравительные открытки случайно разложены по 4-ём конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт.

пусть А_i — событие, когда открытка оказалась в своём конверте. Тогда согласно формуле вероятности суммы событий получим:

, где . Тогда .

Ответ:

1.15. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

вероятность выигрыша . По формуле Бернулли .

Ответ:

1.16. Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что оба элемента будут не изношены.

m – включенные устройства не изношены, n – возможность включить два устройства

Ответ:

1.17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помня лишь что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

всего мы имеем десять цифр и нам нужно выбрать три из них, зная лишь что они должны быть различны. Первое число мы можем выбирать из всех десяти, но подойдет нам только одно, второе число мы выбираем уже из девяти чисел, а третье из восьми, поскольку мы знаем что числа не должны повторяться.

1.18. Два игрока по очереди бросают игральную кость. Каждый по одному разу. Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

всего может выпасть 36 вариантов, первый игрок выиграет при 15 исходах. Тогда .

Ответ:

1.19. В коробке 5 одинаковых изделий, 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди 2-х извлеченных изделий окажется одно окрашенное.

рассмотрим 2 возможных варианта:

1)Р(А) — 1-ый шар окрашенный,

Р(В|А) — 2-ой неокрашенный.

2)Р(В) — 1-ый шар неокрашенный,

Р(А|В) — 2-ой окрашенный.

Тогда по формуле получим:

1)

2)

Сложим найденные результаты и получим Р=0,6

Ответ:

1.20. Среди 10 электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

А1 — вероятность получения одной нестандартной лампочки. А2- вероятность получения второй нестандартной лампочки.

А — вероятность того, что две одновременно лампочки окажутся нестандартными.

Ответ:

1.21. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима одному.

в данном случае производится независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью может появиться событие , поэтому применим формулу Бернулли:

.

.

.

Ответ: .

1.22. Вероятность того, что монета диаметром d не пересечёт ни одну сторону квадратной сетки равно p. Определить размер сетки.

1.23. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному кораблю придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля составляет два часа, а второго – три часа.

пусть у – время прихода второго корабля, а х – первого. Тогда, условие не ожидания будут выглядеть так: , или . Тогда искомая вероятность равна .

Ответ: .

1.24. На обслуживающее устройство в промежуток времени [0,12] должны поступить 2 заявки. Если разность между моментами поступления заявок меньше 2, то вторая заявка теряется. Найти вероятность потери заявки.

заявки х и у могут поступить в промежуток [0,12] не зависимо друг от друга. Событие А — потеря заявки происходит, когда . Рассмотрим график этой функции. Тогда по геометрической интерпретации задачи .

.

Ответ:

1.25. Найти вероятность того, что сумма двух случайных чисел из отрезка [- 1, 2] больше единицы, а их произведение меньше единицы.

1.26. На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы шириной а, бросается наугад игла длины l (l<a). Найти вероятность того, что иголка пересечет какую-либо прямую.

L

L/2

Ответ:

1.27. На плоскости отрезок длиной 10 см закреплен в одним концом и вращается вокруг точки закрепления так, что все направления отрезка равновероятны. Найти среднюю проекцию отрезка на заданную ось.

1.28. Стрельба заканчивается после третьего попадания по мишени. Найти вероятность того, что при этом будет 5 промахов, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3.

по формуле Бернулли .

Ответ:

1.29. Вероятность того, что посетитель страховой компании заключит с ней какой-либо договор, равна 0,4. Сколько посетителей надо обслужить, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,9 можно было утверждать, что будет заключен договор?

т.к. производится n одинаковых опытов(в одинаковых условиях) и вероятность появления события А в каждом опыте одна и та же( Р=0.4), т о вероятность события А вычисляется по формуле Бернулли:

2 клиента:

3 клиента:

4 клиента:

5 клиентов:

1.30. Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равно 0.6. найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее 4 попаданий.

Р=0,6 – вероятность попадания в объект из каждого орудия,

А- поражение цели. Воспользуемся формулой Бернулли: Мы можем ее использовать, так как имеем многократное повторение опыта в задаче.

Ответ: .

1.31. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

вероятность хотя бы одного появления события в независимых опытах в одинаковых условиях выражается формулой:

.

.

Ответ: .

1.32.Сотрудники отдела маркетинга предполагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность, что рост спроса действительно произойдёт?

решим задачу по формуле полной вероятности:

где H₁ – спрос вырастет; H₂ – спрос понизится; A/H₁ – прогноз оправдается; A/H₂ – прогноз не оправдается;

Ответ:

1.33. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-ого автомата вдвое больше производительности 2-ого. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й – 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом.

пусть производительность первого — , тогда производительность второго — . По условию . Используя, формулу полной вероятности .

Ответ: .

1.34. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? Ничьи не рассматриваются.

по формуле Бернулли: . Противники равносильные, значит, . Тогда .

Ответ: вероятнее выиграть 2 партии из 4.

1.35. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Начти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

1.36. Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов.

P=0,6 – вероятность того, что аппарат первого сорта

N=10 – общее кол-во аппаратов

M=6 – первого сорта

По формуле Бернулли:

Ответ:

1.37. Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить из строя независимо друг от друга с вероятностями Р₁=0,3, Р₂=0,4, Р₃=0,5 соответственно. Стало известно, что вышел из строя один станок. Какова вероятность того, что это первый станок?

вероятность будем считать по формуле Байеса:

1.38. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собирается из высококачественных Деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность за время t равна 0.95, если из деталей обычного качества — его надежность 0.7. Прибор испытывали в течение времени t и он отработал безотказно. Какова вероятность того, что он был собран из высококачественных деталей?

1.39. Найти вероятность того, что при случайной расстановке 3-х ладей на шахматной доске они не будут угрожать друг другу.

2.4. Непосредственный подсчет вероятностей

Рассмотрим несколько примеров вычисления вероятностей событий, пользуясь классическим определением вероятности. Приводимые ниже примеры носят исключительно иллюстративный характер.

Пример 1. В Первом ящике Находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11?

Решение. А) Пусть A – событие, состоящее в том, что сумма номеров вынутых шаров не меньше 7 (т. е. больше или равна 7).

После вынимания из каждого ящика по одному шару возможны следующие исходы: (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (2,10), (3,6), (3,7), (3,8), (3,9), (3,10), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (4,10), (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10).

Число всех равновозможных случаев (исходов) . Очевидно, что число случаев (исходов), благоприятствующих наступлению события A, равно m=25. Тогда по формуле (1) . Событие A – достоверное.

Б) Исходами, благоприятствующими наступлению события B=<сумма номеров вынутых шаров равна 11>, являются (5,6), (4,7), (3,8), (2,9), (1,10). Число таких случаев m=5. Число всех равновозможных случаев (см. пункт a). Поэтому .

В) Число всех случаев . Исходами, благоприятствующими наступлению события C=<сумма номеров вынутых шаров не больше 11 (т. е. меньше или равна 11)>, являются (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (3,6), (3,7), (3,8), (4,6), (4,7), (5,6). Число таких случаев равно . Следовательно, .

Пример 2. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад последовательно выбираются три карточки, и вынутые таким образом цифры ставятся слева направо. Найти вероятность того, что полученное при этом трехзначное число будет четным.

Решение. Пусть событие A=<получение четного трехзначного числа>. Различные комбинации трех цифр из имеющихся пяти представляют собой размещения, так как они могут отличаться как составом входящих цифр, так и порядком их следования (или и тем и другим), т. е. общее число всех случаев , из которых событию A благоприятствует случаев (число будет четным, если оно оканчивается либо на 2, либо на 4). По формуле (1) .

Пример 3. (задача о выборке). В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 деталей 2 окажутся нестандартными.

Решение. Пусть событие A=<из 6 выбранных наудачу для проверки деталей две - нестандартные>. Общее число всех случаев выбора 6 деталей из 50 равно , так как комбинации из 50 деталей по 6 представляют собой сочетания, ибо они отличаются только составом деталей. Определим число случаев, благоприятствующих событию A. Число способов выбрать 2 нестандартные детали из 5, находящихся в партии, равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 4 стандартных деталей из 45 стандартных деталей в партии. Следовательно, по правилу произведения число случаев, благоприятствующих событию A, равно: . Таким образом, .

Пример 4. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна “дама”.

Решение. Обозначим интересующее нас событие буквой A. Событие A можно представить в виде суммы трех несовместных событий: , где событие — появление одной “дамы”, — появление двух “дам”, — появление трех “дам”. Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были при решении предыдущей задачи, найдем, что число случаев, благоприятствующих событиям равно соответственно , , . Так как число всевозможных случаев выбрать 3 карты из 36 равно , то ; ; .

В силу аксиомы сложения .

Этот пример можно решить и иным способом.

Пусть событие , противоположное событию A, состоит в том, что среди вынутых трех карт не окажется ни одной “дамы”. Очевидно, что число случаев, благоприятствующих событию , равно и, следовательно, .

Тогда искомая вероятность .

Пример 5. В урне 3 белых, 6 красных и 5 синих шаров. Из нее наудачу вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что: a) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 1 белый и 2 синих шара.

Решение. Сначала заметим, что число способов вынуть 3 шара из 14, имеющихся в урне, равно .

А) Пусть событие A состоит в том, что три шара, вынутых из урны, одного цвета (т. е. три шара либо белые, либо красные, либо синие). Выбрать 3 белых шара из 3 можно способами; 3 красных из имеющихся 6 можно выбрать способами; 3 синих из 5 синих — способами. По правилу суммы общее число m случаев, благоприятствующих событию A, равно . Отсюда .

Б) Пусть событие B состоит в том, что три вынутых из урны шара разных цветов. По правилу произведения, найдем, что число m случаев, благоприятствующих событию B, равно . Поэтому .

В) Пусть C – событие, состоящее в том, что из трех вынутых шаров, 1 белый и 2 синих. Выбрать 1 белый шар из имеющихся в урне 3 белых шаров можно способами, а 2 синих из имеющихся 5 синих — способами. Тогда по правилу произведения имеем: . Следовательно, .

Пример 6. Наудачу Взятый телефонный номер Состоит из 5 цифр. Как велика вероятность, что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечетные?

Решение. 1) Пусть событие A состоит в том, что все цифры пятизначного телефонного номера различны. Так как на каждом из пяти мест в пятизначном номере может стоять любая из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то число всех различных пятизначных номеров (все они могут быть перенумерованы следующим образом: номер 00000 – 1-й, 00001 – 2-й, 00002 – 3-й, …, 99998 — 99999-й и, наконец, 99999 – 100 000 –й). Номера, у которых все цифры различные, есть размещение из 10 элементов по 5. Поэтому, число случаев, благоприятствующих событию A, и искомая вероятность .

2) Пусть событие B – все цифры пятизначного номера нечетные. Поскольку из 5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9) можно образовать различных пятизначных номеров, то число случаев, благоприятствующих событию B, m =. Учитывая, что число всех равновозможных случаев , найдем .