Как сравнить два комплексных числа

комплексные-числа — Сравнение комплексных чисел

P.S. — Ваше мнение по этому вопросу основано на логике или на общепринятой математике?

задан 7 Май ’12 13:01

По-моему, как раз поэтому. Мне в голову уже давно напрашивается лёгкая и обоснованная система сравнения комплексных чисел. При сравнении комплексных чисел между собой нужно заменять их на такое выражение: $$\frac<\sqrt(a+b)><|a|+|b|>$$ Где a — действительная, b — мнимая части этих чисел. Как и в действительных числах сравниваются длины векторов (модулей) с учётом их направления. Но всё портит то, что по этой формуле равны неравные числа. Хотя можно ввести ввести знак «комплексно равно» (например, 2+i комплексно равно 1+2i, или 3 комплексно равно 3).

Можно много чего вводить, например, сравнение комплексных чисел по модулю, вещественной, мнимой части и еще множеству других вещественных функций от них. Но никакая функция, переводящая комплексные числа в действительные не будет взаимно-однозначной (если она достаточно «хорошая»). Так как комплексная плоскость и прямая имеют разные размерности). Вы сравниваете значения «своей» функции, а не сами числа.

Всем спасибо за ответы. Особенно спасибо за дополнительную информацию. =)

3 ответа

Нет, не поэтому. Потому что комплексные числа это, по сути векторы, они задаются парой чисел. А что больше, (2; 3) или (4; 2)? Соответственно, что больше 2 + 3i или 4 + i?

Впрочем, комплексные числа нельзя сравнить «разумным» способом. Какое-нибудь сравнение можно придумать для любого множества (т.е. вполне упорядочить его). Но это построение не конструктивно, оно требует применения аксиомы выбора.

Еще проще ввести частичный порядок, например, считать , что $%a+ bi < x+yi$% только при (a < x, b < y).

Дополнение.Задумалась о таком аспекте. В теории отношений есть понятие «линейный порядок». Т.е. такой, что для каждых двух неравных элементов выполняется либо $%a < b$%, либо $%b < a$%. Смысл названия понятен: такие элементы можно «вытянуть в линию», как числа на прямой. У диаграммы Хассе такого порядка все уровни состоят из 1 элемента.

В то же время мы можем ввести на комплексной плоскости порядок, например, так: $%z \prec w \Leftrightarrow (x < u \vee (x = u, y < v)) $%. Здесь, конечно, $%z= x + iy, w = u + iv$%. Это действительно порядок (т.е. транзитивное асимметричное отношение), и он линеен. Однако при этом комплексная плоскость вовсе не вытягивается в линию. Вернее, такую линию можно себе представить, но она должа состоять из бесконечного числа прямых x = const, «приставленных» друг к другу.

Кстати, этот порядок согласован с порядком на вещественной прямой. Впрочем, как и другой, в котором сравнение идет сначала по мнимой части: $%z \prec w \Leftrightarrow (y < v \vee (y = v, x < u)) $%.

отвечен 7 Май ’12 13:20

Такую «линию» тоже можно рассматривать как спираль, проходящую через бесконечность.

Да, я тоже об этом подумала.

Вот, например, простой способ упорядочивания комплексных чисел: будем считать, что $%z_1>z_2$%, если $%|z_1|>|z_2|$%. Если же модули чисел равны, т.е. $%|z_1|=|z_2|$%, то будем считать большим то число, у которого больше аргумент. Но для любого математического построения важна конструктивность: где и как такое сравнение можно использовать?

Ответ на комментарий (для Никиты Башаева). Вашу последнюю реплику я не совсем понял, но про «пару действительных чисел» постараюсь пояснить. Действительное число эквивалентно точке прямой, а комплексное число — точке плоскости, т.е. упорядоченной паре действительных чисел (координат точки). Но координаты можно вводить разными способами. Конечно, самая распространенная система координат — декартова прямоугольная, в ней точка $%z$% задается как пара действительных чисел $%(a,b)$%, где $%a=Re(z),b=Im(z))$%- действительная и мнимая части комплексного числа $%z$%. Но можно использовать и полярную систему координат, в этом случае точка $%z$% ,будет задаваться как другая пара действительных чисел $%(\rho,\phi)$%, где $%\rho=|z|,\phi=arg(z))$% — модуль и аргумент. А можно это сделать с помощью эллиптических, параболических или косоугольных координат. И вообще, существует бесконечно много возможных представлений комплексного числа в виде упорядоченной пары двух действительных чисел. Любое множество таких пар равномощно множеству действительных чисел, поэтому всегда можно построить взаимно-однозначное соответствие между этими множествами и, таким образом, упорядочить множество комплексных чисел (т.к. множество действительных чисел является вполне упорядоченным), и это можно сделать бесконечным числом способов. Один способ из этого бесконечного множества способов я предложил. Но вопрос о смысле и полезности такого упорядочивания остается открытым.

Дополнение (для Никиты Башаева)

1) Да, действительные числа при «спиральном упорядочивании» будут сравниваться по модулю (больше то, у которого больше модуль).

2) Число и точка — два базовых понятия математики, между ними всегда стараются установить взаимно-однозначное соответствие, чтобы свести эти 2 понятия к одному. Обычно такое соответствие устанавливается естественным образом.

3) Для $%R$% и $%C$% следует использовать не знак принадлежности, а знак подмножества.

Ответ на комментарий. И я о том же. При таком способе упорядочивания условие $% a_1+i \cdot 0 \lt a_2+i \cdot 0$% эквивалентно условию $% |a_1| \lt |a_2| $%

Сравнение комплексных чисел

Модуль комплексного числа — это уже обычное действительное число. И сравнивать их мы и так все умеем.

Интересует, есть ли какое-нибудь математическое определение того, какое из комплексных чисел больше?

Или иначе. Комплексными числами можно описывать периодические процессы. Тогда мы получаем не длину и направление, а фазу и амплитуду.

(8) Это берется (сравнение по направлению) в зависимости от решаемой задачи.

(13) Ага.
Вот, например, более подробно о метрических пространствах. В общем случае требования к метрике задается его аксиомами.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Метрическое_пространство

Грубо говоря, метрическое пространство обобщает понятие «расстояние» между двумя объектами.

и как быть в n-мерном пространстве ?

(14) Как вариант провести произвольную прямую и сравнивать расстояние их до прямой. 🙂

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось shumakovaeo 16.06.2014, 16:37, всего редактировалось 1 раз.

Подскажите определение или литературу по методу «комплексного сравнения».
всегда считала, что копмлексные числа не упорядочены, а тут задание
«найти и изобразить образ области » .
имеется ввиду комплексное, не могу понять, что за область
Что обозначает символ ? А символ ? И при чём здесь сравнение комплексных чисел?

Последний раз редактировалось shumakovaeo 16.06.2014, 16:35, всего редактировалось 3 раз(а).

принадлежит, а не принадлежит. формулировку задания я не меняла, так преподаватель выдал.
я посчитала, что область это числа вне отрезка .
Думала по аналогии с действительными числами это значит или , но не знаю как сравнивать комплексные числа.
Возможно я неверно поняла запись ?

нашла (правда не в книге, а в сети) такой способ сравнивать: только если и . приемлим ли такой способ?

Комплексные числа, основные понятия

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $i$ — «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt <-1>$ или $i^ <2>=-1$.

Комплексное число вида $\overline=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Записать комплексно-сопряженные числа для заданных комплексных чисел:

1) $z_ <1>=2+10i$; 2) $z_ <2>=4$; 3) $z_ <3>=-5i$

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline=a-bi$.

Для числа $z_ <1>=2+10i$ получим $\overline >=2-10i$.

Для числа $z_ <2>=4$ получим $\overline >=4$.

Для числа $z_ <3>=-5i$ получим $\overline >=5i$.

Комплексная плоскость

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:

• действительная ось (соответствует оси абсцисс);
• мнимая ось (соответствует оси ординат).

Комплексно-сопряженное число $\overline=a-bi$ изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной относительно действительной оси, для точки, изображающей некоторое комплексное число $z=a+bi$.

Изобразить на комплексной плоскости числа $z_ <1>=3+2i,\, \, z_ <2>=-2,\, \, \, z_ <3>=i$ и комплексно-сопряженные к ним.

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline=a-bi$.

Для числа $z_ <1>=3+2i$ получим $\overline >=3-2i$.

Для числа $z_ <2>=-2$ получим $\overline >=-2$.

Для числа $z_ <3>=i$ получим $\overline >=-i$.

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.1)

Если комплексное число изображается точкой на вещественной оси, то комплексно-сопряженное число изображается той же самой точкой.

Два комплексных числа $z_ <1>$ и $z_ <2>$ можно сравнить между собой.

Некоторые комплексные числа $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ называются равными, если выполняются следующие равенства $a_ <1>=a_ <2>,b_ <1>=b_ <2>$. Обозначение: $z_ <1>=z_ <2>$.

Некоторое комплексное число $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ равно нулю тогда и только тогда, когда $a_ <1>=0,b_ <1>=0$.

Сравнить заданные комплексные числа: 1) $z_ <1>=3+2i$ и $z_ <2>=3+2i$; 2) $z_ <1>=3+3i$ и $z_ <2>=3-2i$.

1) Для чисел $z_ <1>=3+2i$ и $z_ <2>=3+2i$ имеем $3=3,\, \, \, 2=2$, следовательно, $z_ <1>=z_ <2>$.

2) Для чисел $z_ <1>=3+3i$ и $z_ <2>=3-2i$ имеем $3=3,\, \, \, 2\ne -2$, следовательно, $z_ <1>\ne z_ <2>$.

Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:

• алгебраическая;
• тригонометрическая;
• показательная.

Алгебраическая форма записи

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

• $a$ — вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
• $b$ — мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Тригонометрическая форма записи

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt +b^ <2>> $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg \frac $.

Показательная форма записи

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^ $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt +b^ <2>> $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac $.

Привести примеры комплексных чисел, представленных в различных формах записи.

Алгебраическая запись: $z_ <1>=\sqrt <3>+(-\sqrt <2>)\cdot i$, $z_ <2>=3+2i$.

Тригонометрическая запись: $z=\sqrt <3>\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$.

Показательная запись: $z=3\cdot e^ $.

Операции над комплексными числами

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Сумма

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_ <1>+z_ <2>=(a_ <1>+b_ <1>i)+(a_ <2>+b_ <2>i)=(a_ <1>+a_ <2>)+(b_ <1>+b_<2>$.

Разность

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_ <1>-z_ <2>=(a_ <1>+b_ <1>i)-(a_ <2>+b_ <2>i)=(a_ <1>-a_ <2>)+(b_ <1>-b_<2>$.

Выполнить действия: 1) $z_ <1>+z_ <2>$2) $z_ <1>-z_ <2>$ для комплексных чисел $z_ <1>=3+3i$ и $z_ <2>=3-2i$.

Произведение

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^ <2>=-1$.

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=r_ <1>\cdot (\cos \varphi _ <1>+i\sin \varphi _ <1>)$ и $z_ <2>=r_ <2>\cdot (\cos \varphi _ <2>+i\sin \varphi <2>)$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_ <1>\cdot z_ <2>=r_ <1>\cdot r_ <2>\cdot [\cos (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>+\varphi _<2>)$.

Выполнить умножение комплексных чисел:

$z_ <1>=3+3i$ и $z_ <2>=3-2i$; 2) $z_ <1>=\sqrt <3>\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$ и $z_ <2>=\sqrt <3>\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

1) $z_ <1>\cdot z_ <2>=(3+3i)\cdot (3-2i)=3\cdot 3+3\cdot 3i+3\cdot (-2i)+3i\cdot (-2i)$

2)$z_ <1>\cdot z_ <2>=\left(\sqrt <3>\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )\right)\cdot \left(\sqrt <3>\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)=$ $=\sqrt <3>\cdot \sqrt <3>\cdot [\cos (2\pi +\pi )+i\cdot \sin (2\pi +\pi )]3\cdot (\cos 3\pi +i\cdot \sin 3\pi ) $

Частное

Частным двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=r_ <1>\cdot (\cos \varphi _ <1>+i\sin \varphi _ <1>)$ и $z_ <2>=r_ <2>\cdot (\cos \varphi _ <2>+i\sin \varphi _ <2>)$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_ <1>\cdot z_ <2>=\frac > > \cdot [\cos (\varphi _ <1>-\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>-\varphi _<2>)$.

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме необходимо:

• представить запись операции деления в виде дроби;
• числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
• привести полученное выражение к алгебраической записи.

Выполнить деление комплексных чисел:

1) $z_ <1>=3+i$ и $z_ <2>=2-i$; 2) $z_ <1>=2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$ и $z_ <2>=4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

2)$z_ <1>\cdot z_ <2>=\left(2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )\right)\div \left(4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)=$

$=2\cdot 4\cdot [\cos (2\pi -\pi )+i\cdot \sin (2\pi -\pi )]=8\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$

Степень

Степенью порядка $n$ комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством $z^ =r^ \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi _ <1>)$.

Данная формула называется формулой Муавра.

Выполнить действие $z^ <4>$, где $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

По формуле Муавра получим:

$z^ <4>=2^ <4>\cdot (\cos 4\pi +i\cdot \sin 4\pi )=16\cdot (\cos 4\pi +i\cdot \sin 4\pi).$

Корень

Корнем $n$-й степени комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством $\sqrt[] =\sqrt[] \cdot (\cos \frac<\varphi +2\pi k> +i\sin \frac<\varphi +2\pi k> ),\, \, \, k=0..n-1$.

Выполнить действие $\sqrt[<3>] $, где $z=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Для $k=0$ получаем: $w_ <1>=\sqrt[<3>] =\sqrt[<3>] <2>\cdot \left(\cos \frac<\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<\pi > <3>\right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_ <2>=\sqrt[<3>] =\sqrt[<3>] <2>\cdot \left(\cos \frac<\pi +2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<\pi +2\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <2>\cdot \left (\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для получаем: Для $k=2$ получаем: $w_ <3>=\sqrt[<3>] =\sqrt[<3>] <2>\cdot \left(\cos \frac<\pi +4\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<\pi +4\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <2>\cdot \left(\cos \frac<5\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<5\pi > <3>\right)$

Похожие публикации:

1. The autocad license you re using is not valid как убрать
2. Trash что это за папка
3. Как скачать апк на айфон
4. Как скачать приложение ватсап на телефон